Về AG phỏng nhóm ngược hoàn toàn

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN THỊ THÚY HẰNG VỀ AG** – PHỎNG NHÓM NGƯỢC HOÀN TOÀN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số : 60 46 01 04 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ QUỐC HÁN NGHỆ AN-2015 Mục lục MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nửa nhóm quy, nửa nhóm ngược………………………………….5 1.2 Các quan hệ Grin nửa nhóm……………………………………… 1.3 Băng nửa dàn Băng nửa nhóm………………………………… 14 Chương Nửa nhóm quy hoàn toàn 19 2.1 Nửa nhóm quy hoàn toàn……………………………………… 19 2.2 Nửa nhóm Cliphơt……………………………………… .23 Chương Các AG**  nhóm ngược hoàn toàn 29 3.1 Các AG  nhóm……………………………………… 29 3.2 Các AG**  nhóm ngược hoàn toàn………………………………33 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 MỞ ĐẦU Một nhóm Abel – Grassmann (gọi tắt AG  nhóm) nhóm thỏa mãn đồng thức  xy  z   zy  x Cấu trúc chúng có mối liên quan chặt chẽ với nửa nhóm giao hoán, AG  nhóm chứa đơn vị phải nửa nhóm giao hoán Hơn nữa, A AG  nhóm hữu hạn với phần tử không bên trái z A \  z trở thành nhóm giao hoán Tên gọi “phỏng nhóm Abel – Grassmann” gợi ý Stojan Bogdamovic seminar Nis Tên gọi xuất lần năm 1994 báo On Abel – Grassmanns groupoids P V Protic N Stevanovic (xem [12]) Một AG  nhóm thỏa mãn đồng thức x  yz   y  xz  gọi AG**  nhóm Các nhóm nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chẳng hạn, năm 2004, Q Mushtaq A Banno chứng minh AG**  nhóm chứa AG**  nhóm thỏa mãn luật giản ước nhúng vào vị nhóm mà phần tử giản ước tạo thành nhóm mà đơn vị trùng với đơn vị vị nhóm giao hoán (xem [6]) Hơn nữa, tương đẳng AG**  nhóm ngược mô tả Muhstaq M Khan (xem [9] [11]), hệ hạt nhân chuẩn AG**  nhóm nghiên cứu M Bozinovic, P V Protic N Stanovic (xem [3]) Dựa báo Completely inverse AG**  groupids hai tác giả Wieslaw A Duek Roman S Gigon đăng tạp chí Semigroup Forum năm 2013, tìm hiểu AG**  nhóm ngược hoàn toàn, AG**  nhóm có tính chất: phần tử a có phần tử ngược a 1 thỏa mãn đồng thức aa1  a1a Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương Chương 1.Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày khái niệm tính chất nửa nhóm quy, nửa nhóm ngược, quan hệ Grin nửa nhóm, băng nửa dàn để làm sở trình bày chương sau Chương Nửa nhóm quy hoàn toàn Trong chương trình bày nửa nhóm quy hoàn toàn, nửa nhóm Cliphơt, phân tích chúng thành nửa dàn nửa nhóm đặc biệt nửa nhóm đơn hoàn toàn, nhóm hay nửa nhóm đơn trái Chương Các AG**  nhóm ngược hoàn toàn Trước hết trình bày AG  nhóm AG**  nhóm ngược Sau trình bày khái niệm số đặc trưng AG**  nhóm ngược hoàn toàn Các nhóm xét Chương mở rộng thực lớp nửa nhóm xét Chương Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn tận tình, chu đáo thầy giáo PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến PGS TS Lê Quốc Hán định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu.Qua tác giả gửi lời cám ơn chân thành đến thầy giáo, cô giáo tổ Đại số lý thuyết số – Khoa Sư phạm Toán học bạn học viên cao học 21 – Đại số lý thuyết số quan tâm giúp đỡ hướng dẫn tận tình tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy giáo, cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Chúng xin chân thành cám ơn CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nửa nhóm quy, nửa nhóm ngược 1.1.1 Định nghĩa Phần tử a thuộc nửa nhóm S gọi phần tử quy a  aSa hay nói cách khác: a  axa với x  S Nửa nhóm S gọi quy phần tử quy Nếu axa  a e  ax lũy đẳng, ea  a Thật vậy; e2   ax  ax    axa  x  e ea  axa  a Tương tự f  xa lũy đẳng S af  a Ta ý a phần tử quy thuộc nửa nhóm S , iđêan phải aS  a  aS sinh a aS , a  af kéo theo a  aS Tương tự S1a  Sa 1.1.2 Bổ đề Phần tử a thuộc nửa nhóm S quy iđêan phải (trái) nửa nhóm S sinh a sinh lũy đẳng đó, tức aS  eS ( S1a  S1e ) Chứng minh Nếu a quy axa  a với x thuộc S e  ax phần tử lũy đẳng S mà ea  a Do aS  eS Đảo lại, giả thiết aS  eS e2  e Khi e  ex với x thuộc S , ea  e2 x  ex  a, e  ay với y thuộc S nên a  ea  aya Nếu y  a  a a  aaa Do trường hợp a  aSa, tức a quy 1.1.3 Định nghĩa (i) Hai phần tử a b thuộc nửa nhóm S gọi ngược aba  a bab  b (ii) Nửa nhóm S gọi nửa nhóm ngược phần tử có phần tử ngược Nếu a b phần tử thuộc nhóm tối đại H nửa nhóm S , đặc biệt S nhóm a, b ngược chúng nghịch đảo nhóm với nghĩa thông thường Nếu phần tử a thuộc nửa nhóm S có phần tử ngược với a quy 1.1.4 Bổ đề Nếu a phần tử quy thuộc nửa nhóm S , chẳng hạn axa  a với x  S , a có phần tử ngược với nó, chẳng hạn phần tử xax Chứng minh Giả sử b  xax Thế thì: aba  a  xax  a   axa  xa  axa  a Do b ngược với a 1.1.5 Bổ đề Hai phần tử thuộc nửa nhóm S nghịch đảo nhóm S chúng ngược giao hoán với Chứng minh Giả sử a b phần tử ngược giao hoán với thuộc nửa nhóm S e  ab( ba ) Khi e lũy đẳng, ea  ae  a eb  be  b Do a b phần tử khả nghịch eSe thuộc nhóm tối đại H e S chứa e Vì ab  ba  e nên a b nghịch đảo nhóm H e Mệnh đề đảo hiển nhiên Một phần tử quy có số phần tử ngược với Nửa nhóm ngược nửa nhóm phần tử có phần tử ngược Vácne[1952b] gọi nửa nhóm “nhóm suy rộng” Hiện nửa nhóm ngược lập thành lớp nửa nhóm có nhiều triển vọng cho việc nghiên cứu chúng gần nhóm 1.1.6 Bổ đề Nếu e , f , ef fe lũy đẳng thuộc nửa nhóm S ef fe ngược Chứng minh Ta có  ef  fe  e f   ef 2e2 f  ef ef   ef   ef Tương tự  fe  ef  fe   fe 1.1.7 Định lý Ba điều sau nửa nhóm S tương đương: (i) S quy hai lũy đẳng giao hoán với (ii) Mỗi iđêan phải iđêan trái S có phần tử sinh lũy đẳng (iii) S nửa nhóm ngược (tức phần tử thuộc S có phần tử ngược nhất) Chứng minh (i)  (ii) Theo Bổ đề 1.1.2, iđêan phải S có phần tử sinh lũy đẳng Giả thiết e f lũy đẳng sinh iđêan phải tức eS  fS Khi ef  f fe  e Nhưng theo (i) ef  fe nên e  f (ii)  (iii) Theo Bổ đề 1.1.2, nửa nhóm S quy Chỉ cần chứng minh phần tử ngược Giả sử b c ngược với a Khi aba  a, bab  b, aca  a, cac  c Từ abS  aS  acS Sba  Sa  Sca nên ab  ac ba  ca (theo (ii)) Do b  bab  bac  cac  c (iii)  (i) Rõ ràng nửa nhóm ngược quy Chỉ phải chứng tỏ hai lũy đẳng giao hoán với Trước hết ta phải chứng minh tích ef hai lũy đẳng e f lũy đẳng Thật vậy, giả sử a phần tử ngược ef Khi (ef )a(ef )  ef , a  ef  a  a Đặt b  ae Thế thì:  ef  b  ef   efae2 f  efaef  ef b  ef  b  ae2 fae  aefae  ae  b Do b phần tử ngược ef , nên theo tính chất (iii) ae  b  a Tương tự chứng minh fa  a Do a   ae  fa   a  ef  a  a Nhưng lũy đẳng phần tử ngược dùng điều kiện (iii) ta kết luận a  ef Như ef lũy đẳng Bây giả sử e f hai lũy đẳng bất kỳ, theo điều vừa chứng minh, ef fe lũy đẳng Theo Bổ đề 1.1.6 chúng ngược Vậy ef fe ngược ef , ef  fe 1.2 Các quan hệ Grin nửa nhóm 1.1.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm Ta định nghĩa quan hệ J sau S : a L b  S1a  S1b a R b  aS1  bS1 L, R, a J b  S 1aS  S 1bS1 Trong S 1a, aS , S1aS1 tương ứng iđêan trái, iđêan phải iđêan S sinh a Rõ ràng L, R, J quan hệ tương đương S Hơn nữa, L tương đẳng phải R tương đẳng trái S Với a  S , ký hiệu La , Ra J a tương ứng với L – lớp, R – lớp, J – lớp 1.2.2 Bổ đề Các quan hệ giao hoán với quan hệ D=L0R=R0L L R tương ứng chứa a quan hệ tương đương bé chứa L R Chứng minh Ta cần chứng minh L0R  R0L Giả sử  a, b   L0R Khi đó, tồn c  S cho a L c c R b Thế tồn u, v  S cho a  uc b  cv, đặt d  av  ucv  ub Vì L tương đẳng phải nên  a, c  L kéo theo  av, cv   L, nghĩa  d , b   L Vì R tương đẳng trái nên  c, b   R kéo theo  uc, ub   R, nghĩa  a, d  R Từ  a, d  R  d , b   L kéo theo  a, b   R0L L0R  R0L D chứa lớp a ký hiệu Da Chú ý LJ R  J nên DJ nói chung D  J Với a  S , ta có hai ký hiệu thường dùng: J  a  iđêan sinh a, J  a   S 1aS J a tập tất phần tử sinh J  a  , nghĩa J a D – lớp chứa a 1.2.3 Định nghĩa Quan hệ H S xác định H = L  R Với a  S , ký hiệu H – lớp chứa a H a 1.2.4 Chú ý a) R – lớp R L – lớp L nửa nhóm S giao chúng chứa D – lớp S Thật vậy, giả sử a  R b  L Khi a D b tồn c  S cho  a, c  R  c, b   L Nhưng điều tương đương với điều kiện c  R c  L, nghĩa c  R  L Do aDb R  L   Mặt khác, rõ ràng a D b D – lớp chứa R L trùng b) Để hình dung tốt D – lớp nửa nhóm S , ta dùng hình ảnh sau gọi “hộp trứng” Hãy tưởng tượng phần tử thuộc D thành bảng chữ nhật giống hộp dùng để trứng, mà dòng ứng với R – lớp, cột ứng với L – lớp chứa D Mỗi ô hộp trứng H – lớp chứa D, ý chứng tỏ hộp ô trống Ta không giả thiết phần tử thuộc đặc biệt Ta thấy H H – lớp cách – lớp chứa D có cấp Vậy nói ô hộp trứng số giống phần tử thuộc nửa nhóm S c) Nếu a b phần tử thuộc nửa nhóm S , ta viết J a  J b trường hợp S 1aS  S 1bS , nghĩa a  J  b  Quan hệ  thứ tự phận tập J – lớp S d) Chú ý nửa nhóm S đơn trái (phải) gồm – lớp (R – lớp) nửa nhóm đơn gồm J– lớp Ta nói nửa nhóm S D – đơn song đơn gồm D L – lớp Vì D J nên nửa nhóm song đơn nửa nhóm đơn Vì R  D L  D nên nửa nhóm đơn phải hay đơn trái song đơn 1.2.5 Bổ đề (Grin) Giả sử a b phần tử R tương đương tùy ý thuộc nửa nhóm S , giả sử s, s '  S cho as  b bs '  a Khi ánh xạ x  xs  x  La  y  ys  y  Lb  ngược bảo toàn R – lớp ánh xạ – từ L a lên Lb Lb lên L a tương ứng Chứng minh Ta ký hiệu hai ánh xạ   ' tương ứng Chú ý     ' thu hẹp dịch chuyển bên phải  S  S ' tập La  Lb  10 Giả sử x  La Vì L tương đẳng phải nên  x, a   L kéo theo  xs, as  L, từ xs  Lb Vậy  ánh xạ L a vào Lb tương tự  ' ánh xạ Lb vào L a Giả sử x  La Khi tồn phần tử t  S cho x  ta Do x '  xss '  tass '  tbs'  ta  x Vậy  ' phép biến đổi đồng L a Tương tự,  ' phép biến đổi đồng Lb , nên   ' ánh xạ – ngược từ L a lên Lb ngược lại Ta chứng tỏ  bảo toàn R – lớp Thật vậy, x  La y  x  xs ys '  x, nghĩa  y, x   R Tương tự ta chứng minh  ' bảo toàn L – lớp 1.2.6 Định lý Giả sử a c phần tử D – tương đương tùy ý thuộc nửa nhóm S Khi tồn phần tử b  S cho  a, b   R  b, c   L as  b, bs '  a, tb  c, t ' c  b với s, s ', t , t ' thuộc S1 Các ánh xạ x  txs  x  H a  z  tzs '  z  H c  ngược ánh xạ – lớp H a , H c sang lẫn Đặc biệt, hai H – lớp nằm D – lớp có cấp Chứng minh Theo Bổ đề đối ngẫu với Bổ đề Grin, ánh xạ  : y  ty  y  Rb   ': z  t 'z  z  Rc  ngược nhau, bảo toàn L – lớp ánh xạ – từ Rb lên Rc ngược lại Giả sử   ' ánh xạ Bổ đề Grin, thu hẹp H a H b tương ứng (vì theo Bổ đề Grin ánh xạ   ' bảo toàn R – lớp nên thu hẹp chúng ánh xạ – từ H a lên H b ngược lại) Tương tự, giả sử   ' thu hẹp H b H c tương ứng Khi   ' ' ánh xạ – ngược từ H a lên H b ngược lại Nhưng chúng trùng với ánh xạ nêu Định lý 25 nghĩa ánh xạ  , : S  S quy tắc a ,  e a Thế  , ánh xạ đồng S ,  , đồng cấu với a ,b  S (a , )(b , )  (e a )(e b )  ((e a )e )b Mặt khác, e a  S e đơn vị S nên (a , )(b , )  e a b  (a b ) , (a , )(b , )  (a b ) , Từ  , đồng cấu Giả sử      Chú ý tính chất đồng cấu nên a  S , có (a , ) ,  e (e a )  (e e )a  (e , )a  e a  a ,  , ,   , Cuối cùng, ý  ,  Y với a  S , b  S , tích a b  S với    Từ a b  e  a b    e a  b    e a  e  b (vì e a  S )  e a  e b    a   b   ;       ,   , S đẳng cấu với nửa dàn mạnh nhóm S Y ; S ; ,  (iii)  (iv) Chú ý nửa dàn mạnh nhóm nửa nhóm quy Các lũy đẳng phần tử đơn vị e nhóm G cách tính toán trực tiếp, tất  Y tất g  G , e g    e  ,  g   ,   e  g   ,   g  , ; g  e   g   ,  e  ,    g   ,  e  g  , Do e g  g e ,  ,   E Từ E  C  S  (iv)  (v) Giả thiết e DS f , e f lũy đẳng Thế tồn phần tử ngược a cho aa '  e, aa '  f Từ với ý e, f  C  S  , có e  e2  e  a ' a  a '  afa '  faa '  a ' aaa '  a ' ae  a ' ea  a ' aa ' a  f  f , ta kết luận DS   E  E   1E 26 (v)  (i) Mỗi D lớp chứa lũy đẳng đơn lẻ, nhóm Như D = H phần tử a có phần tử ngược a 1 tính chất  a 1   a, aa 1a  a, aa 1  a 1a 1 Như S nửa nhóm quy hoàn toàn từ S nửa dàn Y nửa nhóm đơn hoàn toàn S Bây x, y  S ta có xy  Rx  Ly , x D y Như S chứa D – lớp đơn lẻ, chứa lũy đẳng Từ S nhóm Bây từ (ii)  (iii) kết luận S nửa dàn mạnh nhóm S Y ; S ; ,  suy với phần tử x  S phần tử y  S , xx 1 yy 1  e e  e  e e  yy 1 xx 1 Như S nửa nhóm Cliphơt Phần cuối tiết trình bày lớp nửa nhóm với điều kiện “yếu” nửa nhóm Cliphơt Trước hết ta giới thiệu vài khái niệm cần thiết cho việc trình bày sau 2.2.5 Định nghĩa (i) Nửa nhóm S gọi nửa nhóm quy trái (phải) với phần tử a  S tồn phần tử x  S cho xa  a  a x  a  (ii) Nửa nhóm S gọi nửa nhóm quy với phần tử a  S tồn x, y  S cho a  xa y (iii) Một tập A nửa nhóm S gọi nửa nguyên tố a  A, a  S kéo theo a  A Trong [1, Bổ đề 1.4] chứng minh rằng: 2.2.6 Bổ đề Một nửa nhóm S quy trái (phải,giữa) iđêan trái (phải, hai phía) S nửa nguyên tố 2.2.7 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm S Khi điều kiện sau tương đương (i) S quy trái; 27 (ii) Mỗi iđêan trái S nửa nguyên tố; (iii) Mỗi L – lớp S nửa nhóm đơn trái S ; (iv) Mỗi L – lớp S nửa nhóm S ; (v) S hợp rời rạc nửa nhóm đơn trái; (vi) S hợp nửa nhóm đơn trái Chứng minh Sự tương đương (i) (ii) suy từ Bổ đề 2.2.6 Giả sử có (i) Khi a L a2 với a  S Giả sử a L b Thế a2 L ba L tương đẳng phải Do a L ba L – lớp La chứa a nửa nhóm S Để chứng minh La đơn trái, giả sử b  La Ta cần chứng tỏ ca  b với c thuộc La Khi ba  La ta chứng tỏ, nên b  xba với x thuộc S1 Giả sử c  xb Ta chứng tỏ c  La S quy trái nên ta có y  S cho x  yx Thế b  xba  yx2ba   ya  xba   yxb  yc Từ b  yc c  xb suy cLb , c  Lb  La Vậy (i) kéo theo (iii) (iii) kéo theo (iv) hiển nhiên Giả sử có (iv) a2  La với a  S , La nửa nhóm S Như a2 L a S quy trái Do (iv) kéo theo (i) (i), (ii), (iii), (iv) tương đương Rõ ràng (iii) kéo theo (v) (v) kéo theo (vi) Chứng minh kết thúc ta chứng minh (v) kéo theo (i) Giả sử có (v) a  S Thế a thuộc nửa nhóm đơn trái S Do a2 T xa  a giải với x T 2.2.8 Định lý Giả sử S nửa nhóm S Khi điều kiện sau tương đương (i) S hợp nhóm; (ii) S vừa quy trái vừa quy phải; (iii) Mỗi iđêan trái iđêan phải S nửa nguyên tố; (iv) S quy trái quy; (iv’) S quy phải quy; 28 (v) Mỗi H – lớp S nhóm; (vi) S hợp nhóm rời Chứng minh Nếu (i) rõ ràng S quy trái, quy phải quy, ta giải phương trình xa  a, a y  a, xax  a với x, y nằm nhóm S chứa a Như (i) kéo theo (ii), (iv) (iv’) Hơn (ii) (iii) tương đương với theo Bổ đề 2.2.6 Bây giả sử có (ii) Thế a L a2 a R a2 nên a H a2 với a  S Theo Định lý Grin suy H – lớp H a chứa a nhóm Như (v) Nghĩa (ii) kéo theo (v) (v) kéo theo (vi) H – lớp rời (vi) kéo theo (i) hiển nhiên Như ta chứng minh tương đương (i), (ii), (iii) (vi) chứng minh (i) kéo theo (iv) (iv’) Do đối ngẫu, chứng minh kết thúc ta chứng tỏ (iv) kéo theo (i) Giả sử a  S Theo Mệnh đề 2.2.7, La nửa nhóm đơn trái S Vì S quy nên axa  a với x  S Khi xa lũy đẳng thuộc La Như La nửa nhóm đơn trái chứa lũy đẳng Thế La tích trực tiếp nhóm băng, hợp nhóm Vì S hợp L – lớp nó, nên S hợp nhóm 29 CHƯƠNG CÁC AG**- PHỎNG NHÓM NGƯỢC HOÀN TOÀN 3.1 Các AG – nhóm Ta nhắc lại tập hợp khác rỗng A với phép toán hai gọi nhóm 3.1.1 Định nghĩa Giả sử A nhóm Khi A gọi nhóm Abel – Grassmann (hay đơn giản: AG  nhóm) A đồng thức  xy  z   zy  x thỏa mãn Một số tác giả khác P Holgate, M Kazim, M Naseeruddin, Q Mushtaq, M S Kamran gọi AG  nhóm nửa nhóm hầu bên trái (gọi tắt LA – nửa nhóm) hay nhóm ngược bên trái nhóm modular phải (xem [4], [5], [6]) Năm 2006, Q Mushtaq M Khan chứng minh rằng: Nếu A AG  nhóm chứa đơn vị phải A vị nhóm giao hoán Hơn nữa, A AG  nhóm hữu hạn với phần tử không bên trái z A \  z nhóm giao hoán Như cấu trúc AG  nhóm có mối liên hệ chặt chẽ với cấu trúc nửa nhóm giao hoán 3.1.2 Định nghĩa Giả sử A AG  nhóm Khi A gọi AG**  nhóm A thỏa mãn đồng thức x  yz   y  xz  Các AG**  nhóm tác giả quan tâm nghiên cứu từ năm 1994 (xem [3], [6], [9], [11]) 3.1.3 Mệnh đề Trong AG  nhóm A tùy ý, luật trung tâm có hiệu lực, nghĩa đẳng thức  ab  cd    ac bd  với tất a, b, c, d  A 3.1.4 Định nghĩa Giả sử A AG  nhóm (1) 30 (i) A gọi AG  băng A thỏa mãn đồng thức x  x (ii) A gọi AG  nửa dàn A AG  băng thỏa mãn điều kiện ab  ba với tất a, b  A Giả sử A AG  nhóm B  A Ký hiệu EB tập hợp tất lũy đẳng B, nghĩa   EB  b  B | b  b Thế từ (1) suy rằng, E A  , EA EA  EA (Thật vậy, a, b  EA có a  a, b2  b nên  ab   ab.ab   aa  bb   a 2b  ab, ab  EA ) Từ suy EA AG  băng 3.1.5 Mệnh đề ([5]) Giả sử A AG**  nhóm Thế A thỏa mãn đồng thức  wx  yz    zx  yw (2) Chú ý A AG  nhóm với đơn vị trái A AG**  nhóm (xem [5]) Hơn nữa, quan sát thấy A AG**  nhóm, (2) suy EA   EA AG  nửa dàn (thật vậy, a, b  EA có a  a, b2  b ab, ba  EA theo chứng minh trên, nên ab  a 2b2   aa  bb    ba  ba    ba    ba  ) Thực ra, trường hợp EA AG  băng với a, b  EA e  EA , sử dụng (1) (2), nhận e  ab    ee  ab    ea  eb    ba  e   ea  b Như ta chứng minh kết sau 3.1.6 Mệnh đề Giả sử A AG**  nhóm Thế e.ab  ea.b (3) tất a, b  A e  E A Nói riêng, tập hợp tất lũy đẳng AG**  nhóm tùy ý rỗng nửa dàn 31 3.1.7 Định nghĩa Giả sử A AG**  nhóm Khi A gọi hoàn toàn quy với a  A tồn x  A cho a   ax  a ax  xa 3.1.8 Mệnh đề Nếu A AG**  nhóm hoàn toàn quy EA nửa dàn Chứng minh Theo Mệnh đề 1.1.6, ta cần chứng minh EA   Thật vậy, giả sử a  A Khi tồn x  A cho a   ax  a ax  xa Thế  ax  ax    aa  xx   x  aa.x   x  xa.a   x  ax.a   xa  ax  EA , nghĩa EA   3.1.9 Định nghĩa ký hiệu Giả sử A AG  nhóm với đơn vị trái e a  A Phần tử a*  A gọi phần tử ngược bên trái (bên phải) a a*a  e (tương ứng aa*  e ), phần tử A vừa phần tử ngược bên trái vừa phần tử ngược bên phải a gọi phần tử ngược a Giả sử a* phần tử ngược bên trái a Thế aa*  (ea)a*   a*a  e  ee  e Từ suy a* phần tử ngược a Nói riêng, a** phần tử ngược bên trái khác a, a*  (a*a)a*  ea*  (a**a)a*  (a*a)a**  ea**  (a**a)a**  a** Như vậy, phần tử ngược bên trái a Hơn nữa, f phần tử đơn vị trái A, fe  e  ee nên e  f , nghĩa e đơn vị trái A Đối ngẫu, đơn vị phải A Chúng ta thường ký hiệu phần tử ngược a a 1 Thế a  (a 1 )1 (ab)1  b1a 1 Trong trường hợp này, ta gọi a 1 phần tử nghịch đảo a 3.1.10 Định nghĩa Giả sử A AG  nhóm Khi A gọi AG  nhóm A có đơn vị trái phần tử A khả nghịch bên trái Chúng ta nhận kết sau 32 3.1.11 Mệnh đề Giả sử A AG  nhóm với đơn vị trái e Thế điều kiện sau tương đương: (i) A AG  nhóm; (ii) Mỗi phần tử A có phần tử ngược bên phải; (iii) Mỗi phần tử a  A có phần tử ngược nhất; (iv) Phương trình xa  b có nghiệm với a, b  A Chứng minh Theo chứng minh trên, (i)  (ii)  (iii) (iii)  (iv) Giả sử a, b  A Thế b  eb  (aa 1 )b  (ba 1 )a, nghĩa a nghiệm phương trình xa  b Hơn nữa, c d nghiệm phương trình xa  b , ca  b da  b nên c  ec  (a 1a)c  (ca)a 1  ba 1  (da)a 1  (a 1a)d  ed  d (iv)  (i) Theo Định nghĩa 1.1.10 Chú ý g lũy đẳng tùy ý AG  nhóm A với đơn vị e, gg  g  eg , từ e  g EA  e Ký hiệu V (a)  a*  A | a  (aa* )a, a*  (a* a)a* 3.1.12 Định nghĩa Giả sử A AG  nhóm Khi A gọi AG  nhóm quy V (a)   với a  A Chú ý AG  nhóm AG  nhóm quy, lớp AG  nhóm quy rộng lớp AG  nhóm Chẳng hạn, AG  băng AG  nhóm quy, a  (aa)a với a  A Trong [3] chứng minh rằng, AG**  nhóm tùy ý, V  a   với a  A, họ gọi AG**  nhóm ngược Trong trường hợp này, phần tử ngược a ký hiệu a 1 3.1.13 Mệnh đề Giả sử A AG  nhóm quy Thế thì: (i) V  a V  b   V  ab  , a, b  A; (ii) aa*  EA , a  A 33 Chứng minh (i) Giả sử a* V  a  , b* V  b  Thế (ab)(a*b* )ab  (ab)a.(a*b* )b  (ab)a.(bb* )a*  (ab)(bb* ).aa*  (bb*.b)a.aa* , (ab)(a*b* )ab  (ba)(aa* )  (aa*a)b  ab Theo tính chất đối xứng, a*b*  (a*b* )ab(a*b* ) (ii) Vì a* V  a  aa*  a*a nên aa*  EA (theo [3]) 3.2 Các AG**  nhóm ngược hoàn toàn 3.2.1 Định nghĩa Giả sử A AG**  nhóm Thế A gọi AG**  nhóm ngược hoàn toàn hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) A AG**  nhóm ngược, nghĩa với a  A tồn phần tử ngược a1  A cho (aa 1 )a  a , (a 1a)a 1  a 1 ; (ii) Trong A đồng thức xx1  x1 x thỏa mãn Chú ý AG**  nhóm ngược khảo sát năm 2004 Q Mushtaq A Bano (xem [6]) Năm 2008, M Bozinovic, P V Protic N Stevanovic chứng minh AG**  nhóm ngược, aa1  a1a aa1 , a1a  EA Kết gợi ý cho Wieslaw A Dudek Roman S Gigon đưa khái niệm AG**  nhóm ngược hoàn toàn vào năm 2012 (xem [5]) Trước đưa ví dụ AG**  nhóm ngược hoàn toàn, xin nhắc lại Bổ đề Lallement nửa nhóm quy, mà AG**  nhóm ngược hoàn toàn (xem [5]) 3.2.2 Bổ đề Lallement ([2]) Giả sử S nửa nhóm quy  : S  T toàn cấu nửa nhóm Nếu e  ET tồn f  ES cho   f   e 3.2.3 Ví dụ Giả sử A nửa nhóm ngược giao hoán Đặt a  b  a1b a, b  A , a 1 nghịch đảo nửa nhóm ngược A Thế  A,  AG**  nhóm E A,  EA Hơn nữa,  a  a   a  a nên a phần tử ngược a  A,  a  A  A,  AG**  nhóm ngược hoàn toàn Hơn nữa, a 1   a  b   a 1  a 1b  aa 1b 34 Từ a 1  (a 1   a  b )  a 1  aa 1b  aaa 1b  aa 1ab  ab, nghĩa ab  a 1   a 1   a  b    a   a 1  (a 1  b)  a, b  A Giả sử  tương đẳng  A,  Từ đẳng thức suy  tương đẳng nửa nhóm ngược giao hoán A Hơn nữa,  a, a  a     A,  ,  a, a 1a    A, a  a  a1a Như  a , aa 1a    A nên  a , a    A Từ Bổ đề Lallement suy tồn e  EA  a  e  E A,  a Nói cách khác, a  a  Ea  A,  Ngược lại,  tương đẳng A,  tương đẳng  A,  (xem [5]) Hơn nữa,  a , a    A,  a, e    A với e  EA Vì e  e  e nên  a, a  a     A,  3.2.4 Định nghĩa Một nhóm A gọi toàn ánh – lũy đẳng tương đẳng  A,  – lớp lũy đẳng chứa tương đẳng A Từ định nghĩa 2.2.3 suy  tương đẳng nhóm toàn ánh – lũy đẳng A T : A  nhóm thương A theo  , với e '  ET tồn e  EA cho   e   e ',  : A  A  , a a toàn cấu tắc 3.2.5 Định lý Nếu A AG**  nhóm ngược hoàn toàn A nhóm toàn ánh – lũy đẳng Chứng minh Giả sử  tương đẳng AG**  nhóm ngược hoàn toàn A , a  A a  a Chúng ta cần x   xa  x a2 x  xa2  EA Chú ý rằng,  a x   aa   a  a x.a   a  xa a   a  aa x    aa   ax   a  a x   a  xa  , nghĩa a  a  xa  2 Đặt e  a  xa  Thế thì, 2 e a  xa   a  a   2 Hơn nữa, e2   a.xa  a.xa   a  a.xa  xa   a  ax  xa.a   a  ax  a x Do đó, cách sử dụng 35 Mệnh đề 1.1.5 (2),  ax   a x    ax   xa    a x   xa    xa   xa    xa x  a Mệnh đề 1.1.6 (3), xa2  EA Từ  ax   a x   xa Do e2  a  xa   e  E A 3.2.6 Nhận xét Giả sử  tương đẳng AG**  nhóm ngược hoàn toàn A Khi tập thương A  a  | a  A  với phép toán a.b   ab   nhóm Thế với a, b   , 1 có  a    a 1 Từ  a, b     a 1 , b1    Hơn nữa, A  AG**  nhóm ngược hoàn toàn (xem [5]) 3.2.7 Định nghĩa Giả sử A nhóm tùy ý  lớp cố định nhóm Chúng ta nói tương đẳng   – tương đẳng A   Chẳng hạn,  lớp tất nửa dàn,  tương đẳng nửa dàn A A  nửa dàn 3.2.8 Định nghĩa A gọi nửa dàn A  AG  nhóm tồn tương đẳng  A cho  – lớp AG  nhóm Trong trường hợp này, A nửa dàn Y  A  AG  nhóm A ,  Y , A  – lớp A với   Y , hay đơn giản: A nửa dàn Y  A  AG  nhóm A Chú ý A A  A ,  tích   Y Hơn nữa, A   A A   A    3.2.9 Định nghĩa Tương đẳng  nhóm A gọi tương đẳng tách lũy đẳng  – lớp chứa nhiều lũy đẳng Như vậy,  tương đẳng tách lũy đẳng A từ e f với e, f  EA ta có e  f 36 Kết đơn giản sau sử dụng sau 3.2.10 Bổ đề Một AG**  nhóm ngược hoàn toàn chứa lũy đẳng AG  nhóm Chứng minh Giả sử A AG**  nhóm ngược hoàn toàn e lũy đẳng nó, EA  e Thế e  aa1  a1a Từ ea   aa 1  a  a Như A AG  nhóm Trong lý thuyết nửa nhóm, ta biết nửa nhóm quy hoàn toàn nửa dàn nửa nhóm đơn hoàn toàn, từ nửa nhóm ngược quy hoàn toàn nửa dàn nhóm Bây trình bày kết tương tự 3.2.11 Định lý Giả sử A AG**  nhóm ngược hoàn toàn Xác định quan hệ  A  a, b     aa 1  bb1 tất a, b  A Thế thì: (i)  tương đẳng nửa dàn nhỏ A; (ii) Mỗi  – lớp AG  nhóm; (iii)  tương đẳng tách lũy lớn A; (iv) A nửa dàn A  AG  nhóm; (v) E A  A  Chứng minh (i) Với a  A có aa1  aa1 nên  a, a    Vậy  phản xạ Nếu  a, b    aa1  bb1 nên bb1  aa 1 ,  b, a    Từ  đối xứng Nếu  a, b     b, c    aa1  bb1 bb1  cc1 Do aa1  cc1 nên  a, c    Từ  bắc cầu Vậy  quan hệ tương đương A Để chứng minh  tương đẳng A ta lấy  a, b    c  A Thế 1 1  ca  ca    ca   c1a1    cc1  aa 1    cc1 bb1    cb   c 1b1    cb  cb  37 tương tự,  ac  ac    bc  bc  Do  ca, cb     ac, bc    Từ  1 1 tương đẳng A Ta lại có:  aa  aa  1 1 1      aa 1 a 1 a 1 1    aa 1  a a    aa  aa    aa  , 1 1 1 1  a, aa 1    , aa1  EA Vì EA nửa dàn, nên S  nửa dàn Do đó,  tương đẳng nửa dàn A Hơn nữa, e1  e e  EA , nên  tách lũy đẳng Cuối cùng,  tương đẳng nửa dàn A cho    Thế quan hệ    tương đẳng nửa dàn A mà chứa thực  ,      – lớp chứa lũy đẳng A,  – lớp chứa lũy đẳng, mâu thuẫn với Định lý 3.2.4 Do đó,  phải tương đẳng nửa dàn nhỏ A (ii) Theo chứng minh trên,  tương đẳng tách lũy đẳng Vì a 1  a với a  A nên  – lớp AG**  nhóm ngược hoàn toàn Do theo Bổ đề 3.2.9,  – lớp AG  nhóm (iii) Giả sử  tương đẳng tách lũy đẳng A,  a, b    Thế a 1 b1 Suy  aa 1 , bb1    ,  tương đẳng nên  ổn định phải Do aa1  bb1 aa1 , bb1  EA  tách lũy đẳng Từ  a, b    nên    (iv) Vì A hợp  – lớp rời rạc mà  – lớp AG  nhóm Hơn lũy đẳng thuộc  – lớp EA nửa dàn (v) Suy trực tiếp từ (iv) 38 KẾT LUẬN Nội dung trình bày luận văn gồm: 1.Hệ thống hóa kiến thức liên quan đến nửa nhóm quy, nửa nhóm ngược, quan hệ Grin nửa nhóm, băng nửa dàn 2.Khái niệm tính chất đặc trưng nửa nhóm quy hoàn toàn, nửa nhóm Cliphơt số lớp nửa nhóm nửa dàn nhóm (Mệnh đề 2.1.2, Mệnh đề 2.1.3, Định lý 2.1.5, Định lý 2.2.4, Mệnh đề 2.2.7, Định lý 2.2.8) 3.Khái niệm tính chất đặc trưng AG  nhóm AG**  nhóm ngược hoàn toàn (Mệnh đề 3.1.8, Mệnh đề 3.1.11, Định lý 3.2.4, Định lý 3.2.11) 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A.H Cliphơt G B Prestơn (1976), Lý thuyết nửa nhóm (tập 1, 2), Bản dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Phí Văn Thủy (2012), Nửa nhóm quy hoàn toàn, Luận văn cao học Thạc sỹ, Trường Đại học Vinh, 2012 Tiếng Anh [3] M Bozinovic, P V Protic, N Stevanovic (2008), Kernel normal system of inverse AG**  groupoids, Quasigr Relat Syst 17, – [4] W A Dudek, R S Gigon (2012), Congruences on completely inverse AG**  groupoids, Quasigr Relat Syst 20 (In print) [5] W A Dudek, R S Gigon (2013), Congruences on completely inverse AG**  groupoids, Semigroup Forum, 87, 201 – 229 [6] Q Mushtaq, A Bano (2004), Embedding of an AG**  groupoid in a commutative monoid, Quasigr Relat Syst, 12, 75 – 78 [7] Q Mushtaq, M S Kamran (2001), Finite AG  groupoid with left identity and lest zero, Int J Math Math Sci 27, 387 – 389 [8] Q Mushtaq, M Khan (2006), Decomposition of a locally associative AG**  groupoid, Adv Algebra Anal 1, 115 – 122 [9] Q Mushtaq, M Khan (2009), Semilattice decomposition of locally associative AG**  groupoids, Algebra Collq 16, 17 – 22 [10] P V Protic (2009), Congruences on an inverse AG**  groupoid via the natural partical order, Quasigr Relat Syst, 17, 283 – 290 [11] P V Protic, M Bozinovic (1995), Some congruences on an inverse AG**  groupoid, Filomat (Nis), 9, 879 – 886 [12] P V Protic, N Stevanovic (1997), On Abel – Grassmann’s groupoids (exposition) In: Proc Math Connfpristina, 27 – 29 [...]... )ab(a*b* ) (ii) Vì a* V  a  và aa*  a*a nên aa*  EA (theo [3]) 3.2 Các AG* *  phỏng nhóm ngược hoàn toàn 3.2.1 Định nghĩa Giả sử A là một AG* *  phỏng nhóm Thế thì A được gọi là một AG* *  phỏng nhóm ngược hoàn toàn nếu hai điều kiện sau đây được thỏa mãn: (i) A là một AG* *  phỏng nhóm ngược, nghĩa là với mỗi a  A tồn tại phần tử ngược duy nhất a1  A sao cho (aa 1 )a  a , (a 1a)a 1  a 1 ; (ii)... a1a Từ đó ea   aa 1  a  a Như vậy A là một AG  nhóm Trong lý thuyết nửa nhóm, ta đã biết rằng một nửa nhóm chính quy hoàn toàn là một nửa dàn các nửa nhóm đơn hoàn toàn, từ đó một nửa nhóm ngược chính quy hoàn toàn là một nửa dàn các nhóm Bây giờ chúng ta sẽ trình bày một kết quả tương tự 3.2.11 Định lý Giả sử A là một AG* *  phỏng nhóm ngược hoàn toàn Xác định quan hệ  trên A bởi  a, b   ... đến khái niệm nửa nhóm chính quy hoàn toàn 2.1.3 Mệnh đề Giả sử S là một nửa nhóm Khi đó các điều kiện sau tương đương: (i) S là nửa nhóm đơn hoàn toàn; (ii) S là nửa nhóm chính quy hoàn toàn và xx 1   xyx  xyx  , x, y  S ; 1 (iii) S là nửa nhóm đơn và S là nửa nhóm chính quy hoàn toàn Chứng minh (i)  (ii) Giả sử S là nửa nhóm đơn hoàn toàn và với mỗi a  S , a 1 là phần tử ngược duy nhất của... Trước khi đưa ra ví dụ về AG* *  phỏng nhóm ngược hoàn toàn, xin nhắc lại Bổ đề Lallement đối với các nửa nhóm chính quy, mà nó cũng đúng đối với các AG* *  phỏng nhóm ngược hoàn toàn (xem [5]) 3.2.2 Bổ đề Lallement ([2]) Giả sử S là một nửa nhóm chính quy và  : S  T là một toàn cấu nửa nhóm Nếu e  ET thì tồn tại f  ES sao cho   f   e 3.2.3 Ví dụ Giả sử A là một nửa nhóm ngược giao hoán Đặt a ... tương đẳng trên AG* *  phỏng nhóm ngược hoàn toàn A Khi đó tập thương A  a  | a  A  cùng với phép toán a.b   ab   là một phỏng nhóm Thế thì với mọi a, b   , 1 có  a    a 1 Từ đó nếu  a, b    thì  a 1 , b1    Hơn nữa, A  là một AG* *  phỏng nhóm ngược hoàn toàn (xem [5]) 3.2.7 Định nghĩa Giả sử A là một phỏng nhóm tùy ý và  là một lớp cố định các phỏng nhóm Chúng ta... của một AG  nhóm A với đơn vị là e, thế thì gg  g  eg , từ đó e  g và do đó EA  e Ký hiệu V (a)  a*  A | a  (aa* )a, a*  (a* a)a* 3.1.12 Định nghĩa Giả sử A là một AG  phỏng nhóm Khi đó A được gọi là một AG  phỏng nhóm chính quy nếu V (a)   với mọi a  A Chú ý rằng các AG  nhóm là các AG  phỏng nhóm chính quy, nhưng lớp các AG  phỏng nhóm chính quy rộng hơn lớp các AG  nhóm Chẳng... một phỏng nhóm 3.1.1 Định nghĩa Giả sử A là một phỏng nhóm Khi đó A được gọi là một phỏng nhóm Abel – Grassmann (hay đơn giản: một AG  phỏng nhóm) nếu trong A đồng nhất thức  xy  z   zy  x được thỏa mãn Một số tác giả khác như P Holgate, M Kazim, M Naseeruddin, Q Mushtaq, M S Kamran còn gọi một AG  phỏng nhóm là một nửa nhóm hầu bên trái (gọi tắt là một LA – nửa nhóm) hay một phỏng nhóm ngược. .. trên một phỏng nhóm A được gọi là tương đẳng tách lũy đẳng nếu mỗi  – lớp chứa nhiều nhất là một lũy đẳng Như vậy, nếu  là một tương đẳng tách lũy đẳng trên A thì từ e f với e, f  EA ta có e  f 36 Kết quả đơn giản sau đây sẽ được sử dụng sau này 3.2.10 Bổ đề Một AG* *  phỏng nhóm ngược hoàn toàn chứa chỉ một lũy đẳng là một AG  nhóm Chứng minh Giả sử A là một AG* *  phỏng nhóm ngược hoàn toàn và... các AG* *  phỏng nhóm ngược được khảo sát đầu tiên năm 2004 bởi Q Mushtaq và A Bano (xem [6]) Năm 2008, M Bozinovic, P V Protic và N Stevanovic đã chứng minh được rằng trong một AG* *  phỏng nhóm ngược, aa1  a1a nếu và chỉ nếu aa1 , a1a  EA Kết quả này đã gợi ý cho Wieslaw A Dudek và Roman S Gigon đưa ra khái niệm AG* *  phỏng nhóm ngược hoàn toàn vào năm 2012 (xem [5]) Trước khi đưa ra ví dụ về. .. hơn lớp các AG  nhóm Chẳng hạn, mỗi AG  băng là một AG  phỏng nhóm chính quy, vì a  (aa)a với mọi a  A Trong [3] đã chứng minh được rằng, trong một AG* *  phỏng nhóm tùy ý, V  a   1 với mọi a  A, do đó họ gọi nó là một AG* *  phỏng nhóm ngược Trong trường hợp này, phần tử ngược duy nhất của a được ký hiệu bởi a 1 3.1.13 Mệnh đề Giả sử A là một AG  phỏng nhóm chính quy Thế thì: (i) V  a V ... nửa nhóm đặc biệt nửa nhóm đơn hoàn toàn, nhóm hay nửa nhóm đơn trái Chương Các AG* *  nhóm ngược hoàn toàn Trước hết trình bày AG  nhóm AG* *  nhóm ngược Sau trình bày khái niệm số đặc trưng AG* *... nửa nhóm, ta biết nửa nhóm quy hoàn toàn nửa dàn nửa nhóm đơn hoàn toàn, từ nửa nhóm ngược quy hoàn toàn nửa dàn nhóm Bây trình bày kết tương tự 3.2.11 Định lý Giả sử A AG* *  nhóm ngược hoàn toàn. .. đưa khái niệm AG* *  nhóm ngược hoàn toàn vào năm 2012 (xem [5]) Trước đưa ví dụ AG* *  nhóm ngược hoàn toàn, xin nhắc lại Bổ đề Lallement nửa nhóm quy, mà AG* *  nhóm ngược hoàn toàn (xem [5])