Một số vấn đề về đồ thị và đường kính khuyết của đồ thị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH Vế THANH BèNH Một số vấn đề đồ thị đ-ờng kính khuyết đồ thị CHUYấN NGNH: HèNH HỌC - TÔ PÔ Mã số: 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS PHẠM NGỌC BỘI VINH - 2011 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU Chƣơng MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 1.1 Các khái niệm 1.2 Đồ thị liên thông 1.3 Chu số, sắc tố 14 1.4 Cây bụi 17 1.5 Đồ thị Euler 20 1.6 Đồ thị Hamilton 23 Chƣơng ĐƢỜNG KÍNH KHUYẾT HỖN HỢP 25 2.1 Các định nghĩa ví dụ 25 2.2 Đường kính khuyết cạnh, đỉnh 27 2.3 Đường kính khuyết hỗn hợp 30 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 LỜI NÓI ĐẦU Trong sống ngày, thường bắt gặp hình ảnh mạng lưới hệ thống điện, sơ đồ mạch điện thiết bị điện, đồ thành phố, hình ảnh mũi tên dẫn đường đi,vv Các hình ảnh phổ biến nhiều lĩnh vực nghiên cứu khác như: giao thông vận tải, điện kỹ thuật, vật lý tinh thể, hóa học, sinh học, toán học,vv Nhà toán học D.Koning người đề nghị tên chung: “graph” (đồ thị) cho loại sơ đồ đề nghị nghiên cứu cách có hệ thống tính chất chúng Sau cơng trình tiếng Euler tốn cầu Konigsberg (1736), nhiều nhà toán học khác quan tâm xây dựng lý thuyết để lại nhiều kết tiếng Trong chục năm gần đây, lý thuyết đồ thị phát triển nhanh chóng lớn mạnh mặt số lượng chất lượng cơng trình trở thành công cụ hữu hiệu để nghiên cứu nhiều ngành khoa học khác lý thuyết ứng dụng Lý thuyết đồ thị vấn đề liên quan chủ đề quan tâm nhà toán học Luận văn với chủ đề “Một số vấn đề đồ thị đƣờng kính khuyết đồ thị” tập trung vào việc trình bày số khái niệm đồ thị, tính liên thơng đường kính khuyết đồ thị Luận văn chia làm hai chương Chƣơng Một số vấn đề lý thuyết đồ thị Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm đồ thị, loại đồ thị, đồ thị có hướng, đồ thị vơ hướng, đồ thị đơn, đa đồ thị, tính liên thông đồ thị, đồ thị Euler, đồ thị Hamilton Chƣơng Đƣờng kính khuyết hỗn hợp Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm đường kính đồ thị, đường kính đồ thị con, đường kính khuyết hỗn hợp Luận văn hồn thành Khoa Sau đại học, Trường Đại học Vinh hướng dẫn, bảo thầy giáo PGS.TS Phạm Ngọc Bội Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Hữu Quang, TS Nguyễn Duy Bình, PGS TS Phan Thành An thầy cô giáo Khoa Toán, Khoa Sau đại học, Trường Đại học Vinh tận tâm dạy bảo chúng em thời gian học tập vừa qua Qua đây, tác giả chân thành cảm ơn tới học viên K17 Hình học-Tơ pơ, Ban Giám hiệu trường THPT Ngơ Trí Hịa tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng nhiều lực có hạn nên q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi sai sót kiến thức cách trình bày Tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả Chƣơng MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1.1 Các khái niệm đồ thị  Cho V tập hữu hạn E  V  V Một cặp G  V , E  gọi đồ thị; V (viết rõ V (G) ) gọi tập hợp đỉnh G; E (viết rõ E (G) ) tập tích Đềcác VV, gọi tập hợp cạnh G Cho đồ thị G  V , E  ta dùng kí hiệu đồ thị dạng G  V (G) U E(G)  Cho hai đỉnh A B,  A, B   E (G) AB gọi cạnh nối đỉnh A với đỉnh B cạnh AB gọi cạnh vô hướng  Cho hai đỉnh A B, cạnh nối đỉnh A với đỉnh B đồng thời rõ hướng (hướng từ A đến B hay hướng từ B đến A) gọi cạnh có hướng  Ta nói cạnh vơ hướng cạnh có hướng u kề với đỉnh A đồ thị A đỉnh đầu đỉnh cuối cạnh u  Hai đỉnh A B gọi kề (còn gọi láng giềng) chúng nối với cạnh  Đồ thị mà có tất cạnh vơ hướng gọi đồ thị vơ hướng (xem Hình 1.1) A B C D Hình 1.1  Đồ thị mà có tất cạnh có hướng gọi đồ thị có hướng (xem Hình 1.2 ) A B D C Hình 1.2  Đồ thị mà có cạnh vơ hướng cạnh có hướng gọi đồ thị hỗn hợp  Một đỉnh nối với cạnh gọi khuyên  Đồ thị khun hai đỉnh có khơng q cạnh nối chúng gọi đồ thị đơn (xem Hình 1.1)  Đồ thị kép (cịn gọi đa đồ thị) đồ thị có khuyên tồn hai đỉnh mà chúng có hai cạnh nối chúng (xem Hình 1.3) A D B C F E Hình 1.3  Đồ thị có hữu hạn đỉnh gọi đồ thị hữu hạn  Đồ thị mà cạnh gán cho giá trị gọi đồ thị có trọng số (xem Hình 1.4 ) B A C D Hình 1.4  Đồ thị mà cạnh khơng gán giá trị gọi đồ thị khơng có trọng số (xem Hình 1.1 )  Đồ thị rỗng đồ thị khơng có đỉnh khơng có cạnh  Đồ thị điểm đồ thị có đỉnh 1.1.2 Đồ thị ([1]) Đồ thị G1  (V1 ; E1 ) gọi đồ thị đồ thị G2  (V2 ; E2 ) V1  V2 E1  E2 1.1.3 Đƣờng đi, chu trình, độ dài đƣờng ([1])  Trong đồ thị hai cạnh gọi nối tiếp chúng có chung đầu mút  Một dãy n cạnh k1 , k2 , , kn gọi kề cạnh xuất hai lần đỉnh cuối cạnh đỉnh đầu cạnh  Một dãy cạnh nối tiếp ( A1 , A2 ), ( A2 , A3 ), , ( An1 , An ) gọi đường (còn gọi quỹ đạo) từ đỉnh A1 đến An khơng có đỉnh qua hai lần kí hiệu A1 A2 An Trong đỉnh A1 gọi đỉnh đầu, đỉnh An gọi đỉnh cuối đường Còn đỉnh Ai (2  i  n  1) đỉnh (điểm trong) đường Chiều dài quỹ đạo P, kí hiệu l ( P) số cạnh P  Trong đồ thị G khoảng cách hai đỉnh x y đồ thị kí hiệu d G ( x, y) quỹ đạo có chiều dài ngắn nối đỉnh x y G Nếu khơng có quỹ đạo x y ta qui ước d G ( x, y)    Một quỹ đạo P G định nghĩa dãy x  v0 , e1 , v1 , e2 , , vk 1 , ek , vk  y xem đồ thị G với tập đỉnh V ( P)  v0 , v1 , , vk  tập cạnh E( P)  e1 , e2 , , ek  Nếu ta lấy dãy đỉnh theo thứ tự ngược lại ta đồ thị con, ta dựng quỹ đạo P hai đường từ x tới y từ y tới x  Một đường khép kín (có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng nhau) gọi chu trình 1.1.4 Định nghĩa bậc đỉnh ([1])  Bậc đỉnh v đồ thị G tổng số cạnh nối với số khuyên có đỉnh v (các khun tính gấp đơi) Ta ký hiệu bậc v G deg(v)  Đỉnh treo đỉnh có bậc  Một đỉnh gọi đỉnh lập bậc 1.1.5 Ví dụ Đồ thị Hình 1.1 Ta có deg(A) = deg(C) = 2, deg(B) = deg(D) = Đỉnh B đỉnh D đồ thị Hình 1.1 đỉnh treo 1.1.6 Định nghĩa ([1]) Trong đồ thị có hướng bậc vào đỉnh v ký hiệu deg-(v) số cạnh có đỉnh cuối v Bậc đỉnh v ký hiệu deg+(v) số cạnh có đỉnh đầu v Ta thấy: deg+(v) + deg-(v) = deg(v) 1.1.7 Định lí Cho G = (V,E) đồ thị vơ hướng, có số cạnh n Khi 2n =  deg( v) vV Chứng minh Theo định nghĩa bậc đỉnh v tổng cạnh G tính hai lần, tổng bậc đỉnh G gấp hai lần số cạnh 1.1.8 Định lí Trong đồ thị tùy ý, số đỉnh có bậc lẻ số chẵn Chứng minh Giả sử V1 , V2 tương ứng tập hợp bậc chẵn tập hợp bậc lẻ Khi 2n =  deg( v)   deg( v)   deg( v) Vì v số chẵn với vV v  V1 tổng  deg( v) vV1 vV2 số chẵn Mặt khác vế phải tổng chẵn vV1 (theo Định lí 1.1.7), ta suy  deg( v) số chẵn vV2 1.1.9 Định nghĩa ([1]) Bậc lớn đồ thị G, ký hiệu  (G):  (G) = max{ deg(v): v  V(G) } Bậc nhỏ đồ thị G, ký hiệu  (G):  (G) = min{ deg(v): v  V(G)} 1.2 ĐỒ THỊ LIÊN THÔNG 1.2.1 Định nghĩa ([1])  Đồ thị G gọi liên thông hai đỉnh nối đường Trong trường hợp đồ thị khơng liên thơng, hợp số đồ thị đơi khơng có điểm chung Những đồ thị gọi thành phần liên thông đồ thị G  Đường kính đồ thị liên thơng G, kí hiệu d (G) khoảng cách lớn hai đỉnh G  Đồ thị đơn vơ hướng có n đỉnh có đường kính gọi đồ thị đầy đủ n đỉnh kí hiệu K n  Một đỉnh đồ thị liên thông G gọi đỉnh mút đồ thị thu sau xóa đỉnh khơng cịn liên thơng 1.2.2 Ví dụ Đồ thị Hình 1.5 ví dụ đồ thị khơng liên thơng, có thành phần liên thơng a) b) c) Hình 1.5 1.2.3 Định lý ([2]) Đồ thị liên thơng có thành phần liên thơng Chứng minh Điều kiện cần Hiển nhiên Điều kiện đủ Giả sử G có hai thành phần liên thông X Y rời nhau, theo định nghĩa G khơng liên thơng, X có đỉnh A Y có đỉnh B mà khơng có đường nối A với B 1.2.4 Chú ý Từ sau ta sử dụng đến thuật tốn xóa đỉnh xóa cạnh đồ thị Khi nói xóa đỉnh nghĩa xóa đỉnh với tất cạnh kề đỉnh đó, nói xóa cạnh khơng xóa điểm mút 1.2.5 Định nghĩa i) Một tập đỉnh đồ thị liên thông G gọi tập đỉnh tách ta xóa đỉnh (theo quy tắc xóa nói trên) phần cịn lại G không 22 Chứng minh Điều kiện cần Giả sử P đường Euler G Vì P qua đỉnh có hai hướng đỉnh.Vì cạnh xẩy lần P đỉnh phải có bậc số chẵn Điều kiện đủ Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo số đỉnh G Giả sử bậc đỉnh số chẵn Vì G liên thơng đỉnh có bậc theo Định lý 1.5.3 G chứa chu trình C Nếu C chứa cạnh G việc chứng minh kết thúc Nếu khơng, ta xóa từ G cạnh C để dạng mới, giả sử đồ thị thu H không liên thông với số đỉnh G mà đỉnh có bậc chẵn Theo giả thiết quy nạp thành phần H có đường Euler Do thành phần H có đỉnh chung với C, ta thu đường Euler G theo cạnh C khơng cịn đỉnh lập H Vẽ đường Euler thành phần H mà chứa đỉnh liên tục dọc theo cạnh C thu đỉnh dọc theo thành phần H và, vv Toàn trình kết thúc ta trở đỉnh ban đầu (xem Hình 1.15) H H C Hình 1.15 1.5.5 Hệ Một đồ thị liên thông đồ thị Euler tập cạnh chia thành chu trình rời 1.5.6 Hệ Một đồ thị liên thông đồ thị nửa Euler có hai đỉnh bậc lẻ 23 1.6 ĐỒ THỊ HAMILTON Trong phần ta thảo luận có hay khơng đường đóng kín chứa cạnh đồ thị liên thơng G Tương tự trên, vấn đề đặt có tồn đường đóng kín chứa tất đỉnh đồ thị G hay không 1.6.1 Định nghĩa  Một đồ thị G gọi đồ thị Hamilton có đường đóng kín chứa đỉnh G  Một đồ thị không đồ thị Hamilton gọi đồ thị nửa-Hamilton tồn quỹ đạo (đường đi) qua đỉnh G 1.6.2 Ví dụ Đồ thị Hình 1.16 đồ thị Hamilton, đồ thị Hình 1.17 đồ thị nửa-Hamilton, đồ thị Hình 1.18 khơng phải đồ thị Hamilton, đồ thị nửa - Hamilton Hình 1.16 Hình 1.17 Hình1.18 Trong Định lý 1.5.4 Hệ 1.5.5 ta thu điều kiện cần đủ cho đồ thị liên thơng đồ thị Euler thu kết tương tự cho đồ thị Hamilton Kết luận suy từ kết tổng quát sau Ore 1.6.3 Định lý (Ore,1960)(xem[1]) Nếu G đồ thị đơn với n đỉnh ( n  ) deg( v)  deg( w)  n , với hai đỉnh không kề u, w G đồ thị Hamilton Chứng minh Giả sử định lý sai suy điều mâu thuẫn Giả sử G đồ thị không Hamilton với n đỉnh thỏa mãn điều kiện bậc đỉnh 24 cách bổ sung cạnh cần, ta giả sử G vừa khơng Hamilton Điều kéo theo G chứa quỹ đạo v1   qua đỉnh Nhưng G khơng-Hamilton nên đỉnh v1 v n khơng kề deg( v1 )  deg( )  n Điều phải có đỉnh vi kề với v1 với điều kiện vi 1 kề với v n Nhưng điều cho ta mâu thuẫn Vì v1  v2  vi 1   vn1   vi 1  vi  v1 chu trình Hamilton 1.6.4 Hệ (Dirac,1952) Nếu G đồ thị đơn với n đỉnh (n  ) bậc đỉnh không nhỏ n G có chu trình Hamilton 25 Chƣơng ĐƢỜNG KÍNH KHUYẾT HỖN HỢP 2.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ Trong chương sử dụng ký hiệu V (G) , E (G) tập đỉnh tập cạnh G 2.1.1 Định nghĩa  Đồ thị G gọi ( p, q) - liên thơng thỏa mãn điều kiện sau đây: - Xóa p đỉnh q -1 cạnh G phần cịn lại liên thơng - Xóa p -1 đỉnh q cạnh G phần cịn lại liên thơng  Chú ý: khái niệm “xóa đỉnh, xóa cạnh” đồ thị nói đến mục 1.2.4 Do ( p, q) - liên thông tổng quát cho liên thông đỉnh liên thông cạnh 2.1.2 Nhận xét i) Đồ thị G (k (G),0) - liên thông (0,  (G)) - liên thông ii) Mối liên hệ số liên thông đỉnh k( G ), số liên thông cạnh  (G) bậc nhỏ  (G) G sau: k( G )   (G)   (G) iii) Nếu G (k ,0) - liên thơng G (k  i, i) - liên thơng, với i thỏa mãn:  i  k Chứng minh i) Theo định nghĩa xóa k (G)  đỉnh G phần cịn lại liên thơng, G (k (G),0) - liên thông Tương tự, G (0;  (G)) - liên thông 26 ii) Bất đẳng thức đầu hệ kết luận sau: Nếu G đồ thị k -liên thông (đỉnh) G đồ thị k -liên thơng cạnh Giả sử G đồ thị k -liên thơng, ta xóa k cạnh G, chẳng hạn c1,…, ck ta hình G’ Ta chứng minh G’ liên thơng Lấy điểm mút cạnh c1 , ký hiệu A1, …, lấy điểm mút cạnh ck ký hiệu Ak Từ G, ta xóa đỉnh A1,…, Ak (với quy tắc xóa nói bên trên: xóa đỉnh cạnh xuất phát từ đỉnh bị xóa), ta hình G’’ Do G đồ thị k - liên thông nên G’’ liên thông Dễ thấy G’ = G’’  H, H tập hợp cạnh G qua đỉnh A1,…, Ak Như thực chất G’ tạo thành từ G’’ cách lấy G’’ lấy thêm số cạnh nối đỉnh G’’ (trường hợp đặc biệt G’ = G’’) Do G’’ liên thông nên G’ liên thông Ta chứng minh bất đẳng thức thứ hai:  (G)   (G) Giả sử A đỉnh có bậc  (G) Nếu ta xóa tất cạnh qua A, phần lại G hình G’ gồm hình H (khác ) hợp với A A khơng nối với đỉnh H G’ khơng liên thông iii) Giả sử G (k ,0) - liên thông  i, ta cần chứng minh G (k-1, 1) - liên thông Sau áp dụng kết G (k-2, 2) – liên thông (nếu  i), ….tiếp tục q trình i lần, ta có điều phải chứng minh Để G  k  1,1 liên thông, ta xét trường hợp:  Trường hợp Xóa k  đỉnh cạnh G, phần cịn lại liên thơng (theo điều kiện thứ Định nghĩa 2.1.1)  Trường hợp Xóa k  đỉnh cạnh G, chẳng hạn, xóa đỉnh d1,…, dk-2 cạnh c, ta hình G’ Ta chứng minh G’ liên thông Lấy điểm mút cạnh c , ký hiệu A Từ G, ta xóa đỉnh d1,…, dk-2, A, ta hình G’’ Do G (k ,0) - liên thông nên theo điều kiện Định nghĩa 2.1.1 ta suy G’’ liên thông Dễ thấy G’ = G’’  H, H 27 tập hợp cạnh G qua đỉnh A Như G’ tạo thành từ G’’ cách lấy G’’ lấy thêm số cạnh nối đỉnh A với đỉnh G’’ (trong trường hợp có cạnh c qua đỉnh A G’ = G’’) Do G’’ liên thơng nên G’ liên thơng 2.2 ĐƢỜNG KÍNH KHUYẾT CẠNH, ĐỈNH 2.2.1 Định nghĩa Giả sử G đồ thị k - liên thông cạnh  a  k Đường kính khuyết a - cạnh G định nghĩa bởi: DaE (G)  maxd (G \ X ) | X  E (G), | X | a , |A| kí hiệu số phần tử tập hợp A 2.2.2 Định nghĩa Giả sử G đồ thị k -liên thông  a  k Đường kính khuyết a đỉnh G định nghĩa bởi: DaV (G)  maxd (G \ X ) | X  V (G), | X | a 2.2.3 Chú ý DaE (G) đường kính lớn tất đường kính đồ thị G thu từ G sau xóa a cạnh DaV (G) đường kính lớn tất đồ thị G thu từ G sau xóa a đỉnh  Đặc biệt: D0E (G)  D0V (G)  d (G) (đường kính G )  Với p  k (G) q   (G) ta có DVp (G)  , DqE (G)   2.2.4 Nhận xét Dễ dàng thấy cho đồ thị liên thông bất đẳng thức (i) d (G)  D0E (G)  D1E (G)  D2E (G)   DE(G )1 (G)   (ii) d (G)  D0V (G)  D1V (G)  D2V (G)   DkV(G )1 (G)   28 Trong phần sau so sánh đường kính khuyết cạnh đường kính khuyết đỉnh với số cạnh số đỉnh bị xóa 2.2.5 Định lý Cho đồ thị G k -liên thông  a  k  k (G) Khi DaE  DaV (G)  Chứng minh Giả sử G đồ thị k -liên thông X E  E(G) mà | X | a  k Giả sử u, v  V (G) hai đỉnh khác Để chứng minh bất đẳng thức Định lý ta dựng quỹ đạo P từ u tới v G \ X với chiều dài ( P)  DaV (G)  i) Đầu tiên giả sử u v không kề G Giả sử Y  V (G) tập đỉnh mà thỏa mãn điều kiện sau +) Y  a +) u  Y , v  Y +) Với cạnh e  X đỉnh mút nằm Y Vì G \ Y đồ thị G với nhiều a đỉnh bị xóa (theo định nghĩa 2.2.2 nhận xét 2.2.4), ta có d (G \ Y )  DaV (G) Do có quỹ đạo P từ đỉnh u tới đỉnh v G \ X với chiều dài l ( P)  DaV  G   Từ cách xây dựng Y ta có G \ Y  G \ X P  G \ X ii) Nếu u v hai đỉnh kề G cạnh uv  X có quỹ đạo từ u tới v G \ X với độ dài Ta xét trường hợp uv  X Giả sử m số cạnh X nối đỉnh u tới đỉnh khác G ( m  a ) Vì G đồ thị k -liên thông a  k  k (G)   G có a  láng giềng u G Do có a 1  m láng giềng u mà cạnh từ u tới láng giềng khơng nằm X Vì X có m cạnh nối đỉnh u tới đỉnh G , có nhiều a  m  cạnh X mà nối đỉnh v tới 29 đỉnh khác G Do đỉnh v có a  m  láng giềng G mà cạnh từ v tới lân cận phần tử X Một lân cận đỉnh u , có nhiều a  m lân cận đỉnh v G khác u Láng giềng đỉnh u nhiều (với cạnh E(G) \ X ) láng giềng đỉnh v (với cạnh X ) Suy có lân cận w đỉnh u mà uw X vw E (G) vw X +) Nếu v w khơng kề G theo (i) có quỹ đạo Q G \ X với chiều dài l (Q)  DaV (G) Do cách xây dựng (i) mà u  Q , có quỹ đạo P từ u tới v G \ X Q p : u  w   v có độ dài l ( P)   DaV (G) , Q (ở w   v kí hiệu quỹ đạo từ đỉnh w tới đỉnh v ) +) Nếu vw E(G) Q quỹ đạo có độ dài Sau vài ví dụ minh họa cho định lý 2.2.6 Ví dụ Với chu trình Cn (n  ) n Ta có: k (C n )   (C n )  2, d (C n )    , D1E (Cn )  n  1, D1V (Cn )  n  2 Với n = Hình 2.1 biểu diễn chu trình C với đường khuyết giao điểm khuyết Hình 2.1 2.2.7 Ví dụ Với đồ thị đầy đủ K n (n  3) Rõ ràng ta có: k ( K n )   ( K n )  n  1, d ( K n )  với a  n  DaE ( Kn )  DaV ( K n )  30 2.2.8 Ví dụ Cho siêu lập phương Q3 Ta có : k (Q3 )   (Q3 )  3, d (Q3 )  D1E (Q3 )  D1V (Q3 )  D2E (Q3 )  D2V (Q3 )  Trong Hình 2.2 có bốn đồ thị Q3 với hai thành phần bị hụt Hình 2.2 2.3 ĐƢỜNG KÍNH KHUYẾT HỖN HỢP 2.3.1 Định nghĩa Giả sử G đồ thị ( p, q) - liên thông (  a  p  b  q)  a  p  b  q) (a, b) - đường kính khuyết hỗn hợp G D(Ma,b)  G   max d (G \ X ) | X  X E U X V , X E  E (G), X V  V (G), X V  a, X E  b 2.3.2 Chú ý Theo Định nghĩa 2.3.1 đỉnh mút cạnh X E nằm X V Trong trường hợp ta có đồ thị G với a đỉnh b cạnh bị xóa Dễ thấy đường kính đồ thị bị xóa nhỏ đường kính đồ thị G bị xóa a đỉnh b cạnh Vì điều kiện mà đỉnh mút cạnh X E không nằm X V không cần chứa định nghĩa 2.3.1 nhiên ta max vế phải đạt tập đồ thị bị xóa mà đỉnh mút X E khơng nằm X V  31 2.3.3 Nhận xét Đường kính khuyết hỗn hợp D(Mp ,q ) đường kính lớn tất đường kính đồ thị thu từ G cách xóa p đỉnh q cạnh Do đó: D(M0,0) (G)  d (G), D(M0,a ) (G)  DaE (G) D(Ma,0) (G)  DaV (G) 2.3.4 Bổ đề Đặt HVa = G \ X | X  V (G), X  a HEb = G \ X | X  E(G), X  b Khi đó: i) max DbE ( H ) | H HVa  = D(Ma,b) (G) ii) max DaV ( H ) | H HEb  = D(Ma,b) (G) Chứng minh i) Theo Định nghĩa 2.2.1 ta có DbE ( H )  max d (G \ X ) | X E  E (G),| X E | b = max d (G \ X ) | X E  E(G),| X E | b, XV  V (G), XV  a (do H  HVa ) Suy   V max DbE ( H ) | H Ha = max d (G \ X ) | X E  E(G),| X E | b, XV  V (G), X V  a = D(Ma,b) (G) Vậy max DbE ( H ) | H HVa  = D(Ma,b) (G) ii) Theo Định nghĩa 2.2.2 ta có DaV (G)  max d (G \ X ) | XV  V (G),| X V | a = max d (G \ X ) | X E  E(G),| X E | b, XV  V (G), XV  a (do H  HEb) Suy max DaV ( H ) | H  Hb E  = max d (G \ X ) | X E  E(G),| X E | b, XV  V (G), XV  a = D(Ma,b) (G) Do max DaV ( H ) | H HEb  = D(Ma,b) (G) 32 2.3.5 Mệnh đề Nếu G đồ thị ( p, q) - liên thông a, b số tự nhiên thỏa mãn  a  p  b  q  a  p  b  q D(Ma ,b) (G)  D(Ma ,b ) (G) ;    minb  1, p  a Chứng minh Giả sử G đồ thị ( p, q) - liên thông chứng tỏ đồ thị G với a đỉnh b cạnh ( b  ) bị xóa có quỹ đạo nối hai đỉnh có độ dài khơng q D(Ma,b) (G) với  tùy ý thoả mãn    minb  1, p  a Giả sử X  X E U XV , X E  E(G) X V  V (G) , X V  a, X E  b  Gọi u, v  G \ X hai đỉnh khác    minb  1, p  a Giả sử Y '  X E cho Y '   uv  Y ' Gọi YE  X E \ Y ' YE  b   Với cạnh từ Y ' ta chọn đỉnh mút khác u v Nếu Y 'V  V (G) tập mà chọn Y 'V   số cạnh Y ' có chung đỉnh mút Chú ý có số đỉnh đỉnh X V Do XV UY 'V  a   Giả sử YV  V (G) mà YV  a   , XV UY 'V  YV u, v  YV Giả sử H  G \ YV UYE  H đồ thị G với a   đỉnh b   cạnh bị xóa u, v  H Do a    p, b    q ( a    p b    q ) H liên thơng, có quỹ đạo P u v H với chiều dài ( P)  D(Ma,b) (G) Rõ ràng H không chứa đỉnh thuộc X V cạnh thuộc X E Suy H  G \  XV U X E  P  G \  XV U X E  2.3.6 Hệ Nếu G đồ thị k - liên thông  a  k DaE (G)  D(M0,a ) (G)  D(M1,a 1) (G)  D(M2,a 2) (G)   D(Ma1,1) (G) 2.3.7 Mệnh đề Nếu G đồ thị k - liên thông,  p  q  k D(Ma ,b) (G)  DVp q (G)  33 Chứng minh Giả sử a  p  q theo hệ 2.3.6 ta cần chứng minh D(Ma1,1) (G)  DaV (G)  Đầu tiên xóa (a  1) đỉnh G , G có V (G ) C a 1 cách chọn khác (a  1) đỉnh để xóa nên có C aV1(G ) đồ thị khác G với (a  1) đỉnh bị xóa V Gọi H=Ha-1 = G \ X | X  V (G), X  a  1 họ tất đồ thị Mỗi đồ thị H  H 2-liên thơng theo Định lí 2.2.5 D1E ( H )  D1V ( H )  , với H  H Do đó, max D1E ( H ) | H H   max D1V ( H ) | H  H  +1 Từ bổ đề 2.3.4,   = D(Ma1,1) (G)   = D(Ma,0) (G)  DaV (G) max D1E ( H ) | H H max D1V ( H ) | H  H Mệnh đề 2.3.7 Hệ 2.3.6 cho ta kết luận sau 2.3.8 Định lí Nếu G k - đồ thị liên thông ,  a  k DaE (G)  D(M0,a ) (G)  D(M1,a 1) (G)  D(M2,a 2) (G)   D(Ma1,1) (G)  DaV (G)  2.3.9 Ví dụ Giả sử W6 đồ thị “ bánh xe “ gồm đỉnh (Hình 2.4) Ta có: k (W6 )   (W 6)  3, d (W6 )  D1E (W6 )  D1V (W6 )  D2E (W6 )  D2V (W6 )  3, D(M1,1) (W6 )  , D(Mp,q ) (G)  DaE (G)   DaV (G)  2.3.10 Ví dụ Một đồ thị “ bánh xe” gồm đỉnh W7 (Hình 2.5) Với đồ thị ta có: k (W7 )   (W7 )  3, d (W7 )  2, D2E (W7 )  3, D(V1,1) (W7 )  5, D2V (W7 )  34 Hình 2.3 Đồ thị W6 ví dụ 2.3.9 Hình 2.4 Đồ thị W7 ví dụ 2.3.10 35 KẾT LUẬN Trong luận văn này, trình bày cách có hệ thống khái niệm, tính chất đồ thị số tính chất đường kính khuyết hỗn hợp đồ thị Những kết trình bày nhiều tài liệu khác số tính chất chưa chứng minh chứng minh vắn tắt Ngồi chúng tơi cịn trình bày số ví dụ minh họa Cụ thể luận văn đạt kết sau Trình bày cách có hệ thống khái niệm đồ thị, đồ thị liên thông, bụi, đồ thị Euler, đồ thị Hamilton Trình bày chứng minh số tính chất đồ thị liên thơng (Định lý 1.2.10, Định lý 1.2.11 ) Trình bày chứng minh số tính chất đồ thị Euier, đồ thị Hamilton (Định lý 1.5.3, Định lý 1.5.4, Định lý 1.6.3) Trình bày chứng minh số tính chất đường kính khuyết (Định lý 2.2.5, Mệnh đề 2.3.5, Mệnh đề 2.3.7) nêu số ví dụ minh họa (Ví dụ 2.2.6, Ví dụ 2.2.7, Ví dụ 2.2.8, Ví dụ 2.3.9,và Ví dụ 2.3.10) 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu Tiếng Việt [1] Vũ Đình Hịa (2001), Định lý vấn đề đồ thị hữu hạn, NXB Giáo dục [2] Doãn Châu Long (1971), Lý thuyết đồ thị, NXB Hà Nội [3] Nguyễn Hữu Nguyên, Nguyễn Văn Vỵ (1971), Lý thuyết đồ thị ứng dụng, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội Tài liệu Tiếng Anh [4] A Ainouche and Christofies (1985), Condition for the existence of hamiltonian circuits in graph based on vertex degrees, J.London Math.Soc [5] B Kelly et L M Kelly (1954), Paths and Circuits in critical graph, Am Jof Math [6] C Berge (1957), Two theorems in graph theory, Proc.Nat.Ac.Sc [7] G A Dirac (1953), The structure of k-chromatic graph, Fund Math [8] I ztok Banic, R ija Erves, J anez Zerovnik, Edge, vertex and fault diameters, Avances in Applied Mathematics 43 (2009) tr 231- 238, www.elsevier.com/locate/yaama [9] M Benhzad, G Chartrand and L Lesniak-Forster (1979), Graph and Digraph, Prindle,Weber and Schmidt, Boston [10] P J Kelly (1957), A congruence theorem for trees, Facijic J.of Math [11] T Van Aardenne - Ehrenfest et N.G.de Bruijn (1951), Circuits and trees in oriented linear graph, Simon Stevin ... Chƣơng Một số vấn đề lý thuyết đồ thị Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm đồ thị, loại đồ thị, đồ thị có hướng, đồ thị vơ hướng, đồ thị đơn, đa đồ thị, tính liên thơng đồ thị, đồ thị. .. quan chủ đề quan tâm nhà toán học Luận văn với chủ đề ? ?Một số vấn đề đồ thị đƣờng kính khuyết đồ thị? ?? tập trung vào việc trình bày số khái niệm đồ thị, tính liên thơng đường kính khuyết đồ thị Luận... thị khơng có trọng số (xem Hình 1.1 )  Đồ thị rỗng đồ thị khơng có đỉnh khơng có cạnh  Đồ thị điểm đồ thị có đỉnh 1.1.2 Đồ thị ([1]) Đồ thị G1  (V1 ; E1 ) gọi đồ thị đồ thị G2  (V2 ; E2 )