Thông tin tài liệu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHÙNG THỊ VÂN BIỂU DIỄN CÁC NỬA NHÓM NGƢỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ QUỐC HÁN VINH - 2010 MỤC LỤC Trang Mở đầu Chƣơng Biểu diễn nửa nhóm ngƣợc ánh xạ phận - 1.1 Nửa nhóm quy Nửa nhóm ngược 1.2 Tương đẳng nửa nhóm ngược 1.3 Biểu diễn nửa nhóm ngược ánh xạ phận - 11 Chƣơng Biểu diễn nửa nhóm ngƣợc cấu trúc tự 16 2.1 Nửa nhóm ngược tự 16 2.2 Biểu diễn mơ tả nửa nhóm 24 2.3 Biểu diễn nửa nhóm ngược cấu trúc tự 29 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 MỞ ĐẦU Một nửa nhóm S gọi nửa nhóm ngược phần tử S có phần tử ngược nhất, nghĩa với x S tồn phần tử x 1 S cho x xx 1 x x 1 x 1 xx 1 Để thấy cấu trúc nửa nhóm ngược, người ta thường thông qua biểu diễn chúng Có hai phương pháp biểu diễn nửa nhóm ngược: Biểu diễn nửa nhóm ngược ánh xạ phận - biểu diễn nửa nhóm ngược cấu trúc tự Bản luận văn dựa tài liệu [3] [4] để tìm hiểu biểu diễn nửa nhóm ngược theo hai phương pháp Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Biểu diễn nửa nhóm ngược ánh xạ phận một Trong chương nhắc lại khái niệm tính chất nửa nhóm ngược Sau trình bày phương pháp mơ tả tương đẳng nửa nhóm ngược theo hạt nhân vết Phần cuối chương trình bày chứng minh chi tiết Định lý biểu diễn nửa nhóm ngược ánh xạ - Vagner - Presen Chương 2: Biểu diễn nửa nhóm ngược cấu trúc tự Trong chương trước hết chúng tơi trình bày khái niệm tính chất nửa nhóm tự nửa nhóm ngược tự Sau chúng tơi xét số biểu diễn nửa nhóm theo nửa nhóm tự hệ thức xác định, đặc biệt mô tả tường minh biểu diễn nửa nhóm xyclic hữu hạn Phần cuối luận văn trình bày biểu diễn nửa nhóm ngược theo nửa nhóm ngược tự áp dụng phép biến đổi Tietze để mô tả tường minh biểu diễn lớp nửa nhóm ngược đặc biệt: nửa nhóm bicyclic Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS TS Lê Quốc Hán - Trường Đại học Vinh Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn dành cho tác giả hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm túc trình học tập, nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến PGS TS Ngô Sĩ Tùng, PGS TS Nguyễn Thành Quang thầy cô giáo chuyên nghành Đại số - Khoa Toán Khoa Đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Vinh tận tình giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường THPT chuyên Lam Sơn, bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận đóng góp q báu từ thầy, giáo bạn đồng nghiệp Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả PHÙNG THỊ VÂN CHƢƠNG BIỂU DIỄN NỬA NHÓM NGƢỢC BỞI CÁC ÁNH XẠ BỘ PHẬN MỘT- MỘT 1.1 Nửa nhóm quy Nửa nhóm ngƣợc 1.1.1 Định nghĩa i) Phần tử a nửa nhóm S gọi phần tử quy tồn phần tử x S cho a axa ii) Nửa nhóm S gọi nửa nhóm quy phần tử S phần tử quy 1.1.2 Ví dụ 1) Mọi luỹ đẳng phần tử quy Nói riêng, S có phần tử đơn vị phần tử phần tử quy 2) Mọi nhóm nửa nhóm quy 3) Nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ T X tập hợp X khác rỗng nửa nhóm quy Nếu S nửa nhóm chứa luỹ đẳng tập hợp tất luỹ đẳng S ký hiệu E (S ) , ES hay E không sợ nhầm lẫn Nếu S nửa nhóm quy E 1.1.3 Bổ đề (Bổ đề Lallement) Giả sử S nửa nhóm quy, giả sử : S P tồn cấu nửa nhóm Nếu e E P 1 (e) ES , nghĩa tồn luỹ đẳng f E S cho ( f ) e Chứng minh Giả sử x S thoả mãn điều kiện ( x) e ( x tồn tồn ánh) giả sử y phần tử ngược x S , ta có x x yx y yx y Đặt f xyx Khi ( f ) ( x). ( y). ( x) = ( x). ( y). ( x) ( x yx ) ( x ) ( x) e e , nghĩa ( f ) e Hơn f luỹ đẳng xyx.xyx xyx yx xyx Từ Bổ đề Lallement trực tiếp suy ra: 1.1.4 Hệ Giả sử tương đẳng nửa nhóm quy S S l S Nếu x E S1 tồn e E S cho x e 1.1.5 Định nghĩa a) Giả sử S nửa nhóm a S Khi đó, phần tử x S gọi phần tử ngược a axa a xax x b) Một nửa nhóm S gọi nửa nhóm ngược phần tử S có phần tử ngược Giả sử S nửa nhóm ngược x phần tử S Khi phần tử ngược x ký hiệu x 1 Theo Định nghĩa, ta có x x x 1 x x 1 x 1 x x 1 1.1.6 Ví dụ 1) Nếu S nhóm S nửa nhóm ngược, phần tử ngược x S phần tử nghịch đảo nhóm x 2) Nửa nhóm bicyclic nửa nhóm ngược 3) Giả sử X tập hợp tuỳ ý khác rỗng Khi tập hợp X phép biến đổi - từ X vào với phép hợp thành ánh xạ nửa nhóm ngược 1.1.7 Định lý Giả sử S nửa nhóm ngược Thế E S nửa nhóm S Hơn nữa, E S dàn nghĩa luỹ đẳng S giao hoán với Chứng minh Giả sử e, f ES Xét phần tử ngược (duy nhất) x (ef ) 1 ef Thế ef ef x.ef ef xe.ef ef fx.ef (vì e e f f ) xe.ef xe xefxe xe ; fx.ef fx f xefx fx , nghĩa x (ef ) 1 xe fx Từ x E S , x xe fx x.ef x x ef E S , e, f E S , nghĩa E S nửa nhóm S Hơn E S giao hoán Thật vậy, e, f E S có ef , fe ES ef fe.ef ef ef (ef ) ef fe fe fe fe fe ( fe ) fe , nghĩa fe ( ef )1 ef 1.1.8 Định lý Giả sử S nửa nhóm Khi điều kiện sau tương đương: i) S nửa nhóm ngược ii) S quy luỹ đẳng giao hốn iii) Mỗi L -— lớp R - lớp chứa luỹ đẳng Chứng minh i) ii) Theo Định lý 1.1.7 ii) iii) Giả sử có (ii) Khi L -— lớp R - lớp chứa luỹ đẳng Đối với tính nhất, giả sử f Le với e, f E S Thế eL f tồn x, y S cho e xf f ye Từ e xf xff ef fe yee ye f Tương tự, eR f kéo theo e f Do (ii) kéo theo (iii) iii) i) Giả sử có (iii) Thế D – lớp chứa luỹ đẳng , x S có phần tử ngược Giả sử y z phần tử ngược x Thế yx, zx E S với yx L x zx L x Do theo giả thiết, yx zx Tương tự sử dụng quan hệ R có xy xz Do y yxy zxz z, có (i) 1.1.9 Định lý Giả sử S nửa nhóm Thế điều kiện sau tương đương: i) S nhóm ii) Với x S , tồn x S cho x xxx iii) Với x S , tồn x S cho xx ES iv) S nửa nhóm ngược thoả mãn điều kiện x xyx y yxy Chứng minh i) ii) Bằng cách chọn x x1 ii) iii) Là hiển nhiên x xxx xx xx.xx với xx E S Ngược lại, giả sử x 1 (trong trường hợp x x 1 E S ) xy ES Thế xyx xy.xy.x xyx.x.x xyx xyx y.xyx, y x, ii) áp dụng với xyx iii) iv) Vì x xyx xy E S từ xy xy.xy ES , nhận y yyx theo giả thiết tính nhất, y x x 1 iv) i) Vì xyy 1 xx 1 x yy 1 xyy 1 x 1 x 1 xyy 1 x 1 x x yy 1.x1.x xx1 xyy 1 xyy 1 Tương tự x yy 1 x y 1 nghịch đảo nhóm x 1.1.10 Hệ Giả sử S nửa nhóm ngược với luật giản ước phải Thế S nhóm Chứng minh Giả thiết xy Es Khi xy xy.xy tính giản ước phải S , có x xyx, yx yxyx nên y yxy, nghĩa y x 1 S nửa nhóm ngược nên phần tử có nghịch đảo nhất, theo định lý 1.1.9 ii) i), có S nhóm 1.2 Tƣơng đẳng nửa nhóm ngƣợc 1.2.1 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm ngược : S P đồng cấu nửa nhóm Thế (S ) nửa nhóm ngược P Nói riêng, tồn cấu P nửa nhóm ngược Chứng minh Vì x xx1 x x x1 x với x S nên (S ) nửa nhóm quy Giả sử h, g E α(S) Theo bổ đề Lallement, tồn e, f ES cho g (e), h ( f ) Khi gh (e). ( f ) (ef ) ( fe) ( f ). (e) hg nên luỹ đẳng (S ) giao hốn, (S ) nửa nhóm ngược P 1.2.2 Hệ Giả sử tương đẳng nửa nhóm ngược S Khi đó: i) S / nửa nhóm ngược ii) x y x1 y 1 ( x, yS ) 1.2.3 Chú ý a) Nếu : S P đồng cấu từ nửa nhóm ngược S lên nửa nhóm ngược P ( x 1 ) ( x)1 , với x S b) Giả sử T nửa nhóm nửa nhóm ngược S Khi T gọi nửa nhóm ngược x T , có x 1 T , x 1 phần tử ngược x S Cần ý khơng phải nửa nhóm nửa nhóm ngược nửa nhóm ngược Thật ta có: Giả sử S nửa nhóm ngược T nửa nhóm S Thế T nửa nhóm ngược S x 1 T với xT 1.2.4 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm ngược, : S P đồng cấu e E p Thế 1 (e) nửa nhóm ngược S Chứng minh Nếu x e y xy x y e.e e2 e nên xy 1 e Vậy 1 e nửa nhóm S Nếu x 1(e) ( x) e nên x1 x e1 e Vậy 1 e nửa nhóm ngược S 1 1.2.5 Định nghĩa Giả sử tương đẳng nửa nhóm S Khi đó: a) Tập Ker : x S e ES : x e e gọi hạt nhân eES b) Tập tr ( ) : e f e, f ES ES gọi vết 1.2.6 Định lý Giả sử S nửa nhóm ngược Thế tương đẳng S , có e ES : e e Chứng minh Một chiều khẳng định tầm thường Giả sử e e , e ES Thế thì: x y x1 x x1 y x1 x x1 y yx 1 x yx 1 y x y x yx 1 y Ta lại có x y x1 y 1 x1 y y 1 y x 1 y y 1 y yx 1 y y Từ đó, theo tính chất bắc cầu , có xy 1.2.7 Hệ Giả sử δ tương đẳng nửa nhóm ngược S Thế e ES : e e 1.2.8 Định lý (Định lý Vagner): Giả sử tương đẳng nửa nhóm ngược S Thế Ker ( ) Ker ( ) tr ( ) tr ( ) Chứng minh Một chiều khẳng định tầm thường Giả sử Ker ( ) Ker ( ) tr ( ) tr ( ) Nếu e E S e x f ES : fx ff 1 f xx 1e; x ee 1 e xx 1 e xx 1 ef fx thoả mãn, nên ex Do e e Tương tự, có e e nên e e theo Hệ 1.3.7 1.2.9 Hệ Giả sử : S P : S T toàn cấu từ nửa nhóm 23 2.1.11 Định lý (Y+,-1) nửa nhóm tự với phép đối hợp, nghĩa ( P , ) nửa nhóm với phép đối hợp : X P ánh xạ bất kỳ, tồn đồng cấu : Y ,1 P, cho x x x 1 x với x X Chứng minh Mở rộng 0 : X P đến : Y P : ( x) ( x) ( x) nÕu nÕu x X x X Theo điều kiện thứ hai, đồng cấu theo điều kiện thứ phép đối hợp x1 x2 xn 1 x x x11 xn1 xn11 x11 xn xn1 x1 1 1 n n 1 x1 x2 xn x1 x2 xn Bây giờ, ta xét tính tự nửa nhóm ngược 2.1.12 Định nghĩa Giả sử F nửa nhóm ngược, X tập hợp khác rỗng : X F đơn ánh vào tập sinh ( X ) F Khi ( F , ) gọi nửa nhóm ngược tự X , ánh xạ : X P , P nửa nhóm ngược, tồn đồng cấu : F P cho x 1 x 1 Sau ta chứng minh tồn nửa nhóm ngược tự cách sử dụng xấp xỉ Vagner Giả sử ( Y , 1 ) nửa nhóm tự với phép đối hợp xây dựng Xác định quan hệ X ( Y , 1 ) X uu u , u \ u Y 1 uu 1 vv 1 , vv 1uu 1 \ u , v Y 24 Giả sử Xc tương đẳng sinh X Ký hiệu Z X nửa nhóm thương ( Y , 1 ) / Xc Xc - lớp chứa u u Như Z X u \ u Y tích u.v uv thoả mãn tính chất sau uu 1u u uu 1vv 1 vv 1uu 1 2.1.13 Định lý Z X nửa nhóm ngược tự X Chứng minh Trước hết ta chứng tỏ Z X nửa nhóm quy Thật vậy, với u Y , có u u 1 u uu 1u u u 1 u phần tử ngược u 1 Để chứng minh Z X nửa nhóm ngược, ta cần chứng minh luỹ đẳng Z X giao hoán Muốn vậy, cần chứng tỏ luỹ đẳng Z X có dạng uu 1 , uu 1 vv1 uu 1vv1 vv 1uu 1 vv1 uu 1 1 Trước hết, uu 1 luỹ đẳng, uu 1 u u Z X quy Giả thiết w luỹ đẳng Z X Thế u 1u uu 1 uu 1 u 1u theo định nghĩa X , w w w ww1w ww1w w w1w ww1 w w ww1 w1w w w w1 w w w1 w ww1 w1w 2 2 (ww1 )(ww1 )1 Do EZ uu 1 | u Y x Nói riêng, Z X nửa nhóm ngược Rõ ràng, tập hợp sinh Z X nửa nhóm ngược x | x X 25 Giả sử : Y ,1 Z X tồn cấu tắc, u u , u Y Ở thu hẹp: : X Z X song ánh Giả sử P nửa nhóm ngược : X P ánh xạ Khi mở rộng thành ánh xạ : Y P cách đặt x 1 x , x X 1 Vì Y nửa nhóm tự nên ánh xạ mở rộng thành đồng cấu : Y P Chúng ta chứng tỏ phép đối hợp Trước hết, Xc Ker , P nửa nhóm ngược với u , v Y có uu 1u u uu 1vv1 vv1uu 1 Thế theo định lý đồng cấu tồn đồng cấu : Z X P cho Nói riêng, x Y , ta có 0 x x x khẳng định chứng minh (tính suy tức khắc) 2.2 Biểu diễn mơ tả nửa nhóm 2.2.1 Định nghĩa Giả sử A bảng chữ Một biểu diễn nửa nhóm cặp < A |R >, R A A Các phần tử A gọi ký hiệu sinh hay đơn giản phần tử sinh, phần tử R gọi hệ thức xác định Một cặp ( u , v ) R thường biểu diễn u v Nửa nhóm xác định biểu diễn < A |R > nửa nhóm A / , tương đẳng nhỏ A chứa R Đối với w1 , w2 A viết w1 w2 w1 w2 từ đồng 26 A , w1 w2 biểu diễn phần tử S , nghĩa w1 , w2 Trong trường hợp cuối này, nói S thoả mãn hệ thức w1 w2 Giả sử T nửa nhóm sinh tập hợp B, : A B toàn ánh Chúng ta mở rộng theo cách đến toàn cấu : A T Chúng ta nói T thoả mãn hệ thức R hệ thức u v R có u v Bây phát biểu kết sau: 2.2.2 Mệnh đề Giả sử < A |R > biểu diễn, S nửa nhóm xác định T nửa nhóm thoả mãn R Thế T ảnh đồng cấu S Chứng minh Chúng ta biết S A , tương đẳng bé chứa R Vì T thoả mãn R nên tồn đồng cấu : A T cho u v R có u v Do R Ker Ker tương đẳng, nên phải có Ker Do theo Định lý đồng cấu nửa nhóm, có A Ker T ảnh đồng cấu S A Ker Cho w1 , w2 A , nói w2 nhận từ w1 áp dụng hệ thức từ R tồn , A* hệ thức u v R cho w1 u w2 v Chúng ta nói w2 nhận suy từ w1 tồn dãy w1 1 , , , k 1 , k w2 27 từ từ A cho i 1 nhận từ i áp dụng hệ thức xác định từ R Chúng ta nói w1 w2 hệ R Từ mệnh đề 2.2.2 trực tiếp suy : 2.2.3 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm sinh tập hợp A R tập hợp A A Thế < A |R > biểu diễn với S : i) S thoả mãn tất hệ thức R ii) Nếu u , v hai từ tuỳ ý A cho S thoả mãn u v u v hệ R Bây xem xét số ví dụ biểu diễn nửa nhóm 2.2.4 Ví dụ a) Biểu diễn < A | > xác định nửa nhóm tự A , tương đẳng nhỏ A chứa tập hợp rỗng quan hệ đường chéo (w, w) : w A A A b) Xét tập R a, a a a giả sử tương đẳng nhỏ a chứa R , thì: a a a a3 aa a a3 aa3 a a a a a a a a a a a a a a n a a n 1, n * Vì có a a , nên a / tầm thường 28 Chúng ta kết luận biểu diễn < x | a a > xác định nửa nhóm tầm thường Mệnh đề Biểu diễn < a | a nr a r > xác định nửa nhóm xyclic cấp 2.2.5 n r chu kỳ n Chứng minh Giả sử M a, a , , a n , , a nr 1 nửa nhóm xyclic sinh a với cấp n r chu kỳ n Chúng ta biết r số nguyên dương nhỏ nhất, k , cho a k lặp lại n r luỹ thừa lặp lại a r , nên M thoả mãn hệ thức a r a nr Giả sử M thoả mãn hệ thức a p1 a p2 , giả sử a p2 lặp lại a p1 Chúng ta muốn chứng tỏ hệ thức hệ a r a nr Nếu p1 p2 a p a p kết suy ra, nên không tính tổng qt ta giả thiết p2 p1 Khẳng định Nếu p1 , p2 r p1 p2 (mod n) a p a p thu đựơc từ anr ar Chứng minh Trong trường hợp viết p2 p1 kn với k đó, nên: a p1 a kn p2 a kn r a p2 r a ( k 1) n a n r a p2 r a ( k 1) r a r a p2 r a ( k 2) n a n r a p2 r a ( k 2) n a r a p2 r a r a p2 r a p2 Chúng ta kết luận a p a p thu từ anr ar Bây ta tiếp tục chứng minh mệnh đề 2.2.5 Vì r luỹ thừa nhỏ nên phải có p1 r , p1 , p2 r Giả sử n không chia hết p2 p1 , p2 p1 kn q k q n Và có a p1 a p1 r ar a p1 r a nr a p1 r a knr a p1 kn a p2 q , 29 nên a p a p q p2 q p2 mâu thuẫn với điều kiện a p lặp lại a p 2 Vì phải có p2 p1 ( mod n ) kết luận a p = a p hệ a r a n r Như vậy, theo mệnh đề 2.2.3, biểu diễn định M a | a nr a r xác Kết sau ln nhận biểu diễn nửa nhóm bảng nhân 2.2.6 Mệnh đề Nửa nhóm xác định biểu diễn Chứng minh Giả sử S nửa nhóm tuỳ ý xác định bảng chữ A as : s S A tương ứng - với S Tập hợp R ax ay axy : x , y S chứa A A nên xét biểu diễn < A | R > Giả sử T nửa nhóm xác định biểu diễn S thỏa mãn tất hệ thức R (Theo định nghĩa nửa nhóm) nên theo Mệnh đề 2.2.2 , S ảnh đồng cấu T , nghĩa tồn toàn cấu : T S , as s Giả sử u , v A cho u v , tồn x , y S cho x a x , y a y T ta có ax a y x y , điều kéo theo a x a y nên u v T Như - kết luận S đẳng cấu với T , S xác định biểu diễn < A | R > 30 2.3 Biểu diễn nửa nhóm ngƣợc cấu trúc tự 2.3.1 Định nghĩa a) Giả sử A bảng chữ Chúng ta định nghĩa biểu diễn vị nhóm giống biểu diễn nửa nhóm cách thay A A* Và hệ thức thuộc R có xuất đơn vị b) Một biểu diễn nửa nhóm ngược cặp < B| Q > B bảng chữ cái, B1 b1 : b B bảng chữ khác không giao với B tương ứng - với B, Q tập B B1 B B1 Tương tự định nghĩa biểu diễn nhóm biểu diễn vị nhóm ngược 2.3.2 Chú ý 1) Nếu S vị nhóm xác định biểu diễn vị nhóm < A | R > S xác định biểu diễn nửa nhóm < A , e | R, ae ea a ( a A ) > Giả sử S vị nhóm xác định biểu diễn nửa nhóm < A | R > Tồn từ w A biểu diễn đơn vị S S xác định biểu diễn vị nhóm < A | R, w > 2) Nửa nhóm ngược xác định biểu diễn (nửa nhóm ngược) B| Q nửa nhóm xác định biểu diễn B , B1 | Q, ww1w w, ww1 zz 1 zz 1ww1 ,( w , z ( B B1 ) ) 3) Nhóm G xác định biểu diễn nhóm B| Q xác định biểu diễn vị nhóm B , B1 | Q, bb1 b1b ( b B ) 31 2.3.3 Chú ý Cho nửa nhóm S , phương pháp để nhận biểu diễn bao gồm bước sau: * Tìm tập hợp sinh A S * Tìm tập hợp R hệ thức mà thoả mãn phần tử sinh A đủ để xác định S * Tìm tập hợp W A cho từ thuộc A biến đổi thành từ thuộc W cách áp dụng hệ thức thuộc R * Chứng minh từ thuộc W biểu diễn phần tử phân biệt S 2.3.4 Định nghĩa Tập hợp W mô tả gọi tập hợp dạng tắc hay dạng chuẩn tắc S Phương pháp để tìm biểu diễn mô tả luận văn này, kết biểu diễn < A | R > mà nhận thực tế biểu diễn S 2.3.5 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm, A tập sinh S , R A A tập hợp hệ thức W tập hợp A Giả thiết rằng: i) Các phần tử sinh A S thoả mãn tất hệ thức R ii) Đối với từ w A+ tồn từ w/ W cho w w/ hệ R iii) Nếu u, v W cho u v u v S Thế < A | R > xác định S Chứng minh Tập hợp A sinh nửa nhóm S R thoả mãn S , nên cần hệ thức tuỳ ý S hệ R Giả sử w1 , w2 phần tử thuộc S cho w1 w2 S 32 Thế tồn w1/ , w2/ W cho hệ thức w1 w1/ , w2 w2/ hệ R Từ w1 w2 iii) ta có w1/ w2/ Do w1 w1/ w2 w2/ hệ R Như S xác định biểu diễn < A | R > 2.3.6 Chú ý Khi S nhóm hữu hạn điều kiện (iii) Mệnh đề 2.3.5 thay điều kiện W S 2.3.7 Các phép biến đổi Tietze Một phương pháp để liên hệ hai biểu diễn khác nửa nhóm (nửa nhóm ngược, vị nhóm, nhóm, ) Phép biến đổi Tietze Chúng bốn toán tử áp dụng để từ biểu diễn cho phép nhận biểu diễn khác có cấu trúc Cho trước biểu diễn < A | R >, có thể: T1) Bổ sung hệ thức Cho trước u , v A cho u v không thuộc vào R , hệ quan hệ R, biểu diễn < A | R, u v > xác định cấu trúc < A | R > T2) Khử hệ thức Nếu u v hệ thức R cho hệ hệ thức R \{ u , v } cấu trúc xác định < A | R > xác định biểu diễn < A | R \ u v > T3) Bổ sung phần tử sinh Cho trước ký hiệu b không nằm A từ w A định nghĩa hệ thức b w, biểu diễn < A , b | R, b w > < A | R > xác định cấu trúc T4) Khử phần tử sinh Cho trước a A, u A \ a cho a u R, thay a u tất hệ thức R nơi mà a xuất hiện, khử a từ tập hợp phần tử sinh loại bỏ hệ thức a u khỏi R Chúng ta nhận biểu diễn < A \ b | R / \ a u >, xác định cấu trúc < A | R >, R / R với tất xuất a 33 thay u Từ định nghĩa trực tiếp suy ra: 2.3.8 Mệnh đề Hai biểu diễn hữu hạn xác định cấu trúc nửa nhóm biểu diễn nhận từ biểu diễn khác cách áp dụng số hữu hạn phép biến đổi Tietze Chúng ta sử dụng phép biến đổi Tietze để mô tả lớp nửa nhóm ngược đặc biệt 2.3.9 Mệnh đề Vị nhóm bicyclic thừa nhận biểu diễn vị nhóm a, b | ab 1 , nửa nhóm thừa nhận biểu diễn a , b | aba a 2b a, bab ab2 b Chứng minh Giả sử B vị nhóm bicyclic, xác định vị nhóm phép biến đổi cho đồ thị sau Như B sinh x y , x phép biến đổi xác định nx n 1, n , y phép biến đổi xác định y 0, ny n 1, n Phép biến đổi xy phép biến đổi đồng xy ( x) y 1y nxy ( n 1) y n Hơn nữa, j, k y i k j k x y k j x k j k i 0 ta có: 34 nên phần tử tuỳ ý B viết dạng y m x n , với m n thuộc Từ suy hệ thức thoả mãn B hệ xy luôn bị phá vỡ để trở thành dạng y m x n y j x k với m , n , j, k Vì y m x n x n n , y j x k x k k nên k n, xét số nguyên i cho i max (m, j ) : iy m x n ( i m ) x n i m n iy j xn ( i j ) x n i j n Điều kéo theo m j, y m x n y j x k m j n k Như tất hệ thức thoả mãn B hệ xy Xét bảng chữ A a , b đặt tương ứng a, b với x, y Có thể kết luận B thừa nhận biểu diễn vị nhóm a , b | ab 1 Xét nửa nhóm M xác định biểu diễn: < a , b | aba a2b a, bab ab2 b > Từ hệ thức xác định M có ( ab ) a a, a ( ab ) a, b ( ab ) b, ( ab) b b Như ab tác động đơn vị phần tử sinh M , nên M xác định biểu diễn vị nhóm < a , b | aba a2b a, bab ab2 b, ab > Từ hệ thức ab có bốn hệ thức khác biểu diễn nên áp dụng phép biến đổi Tietze (T2) nhận M < a , b | ab 1 >, M vị nhóm bicyclic 35 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau: Hệ thống khái niệm tính chất nửa nhóm quy, nửa nhóm ngược, nửa nhóm tự do, nửa nhóm ngược tự Mơ tả tương đẳng nửa nhóm ngược (Định lý 1.2.6, Định lý 1.2.8) Mơ tả biểu diễn nửa nhóm ngược ánh xạ phận - (Định lý 1.3.9) Trình bày biểu diễn mơ tả nửa nhóm (Mệnh đề 2.2.2, Mệnh đề 2.2.6) Trình bày biểu diễn nửa nhóm ngược cấu trúc tự phép biến đổi Tietze Áp dụng kết để tìm biểu diễn số lớp nửa nhóm đặc biệt nửa nhóm xyclic (Mệnh đề 2.2.5), nửa nhóm bicyclic (Mệnh đề 2.3.9) 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A H Cliphớt G B Prestơn (1970), Lý thuyết nửa nhóm tập1, dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngôn ngữ nhóm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Lê Quốc Hán (2008), Lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Trường Đại học Vinh Tiếng Anh [4] Catarina Carvalho (2003), Presentations of Semigroups and Inverse Semigroups M Sc Dissertation, University of St Andrews [5] Howie, J M (1995), Fundamentals of Semigroups Theor, Claredon Press, Oxford [6] Howie, J M., Ruskuc, N (1994), Constructions and Presentations for Monoids, Communic in Algebra 22, 6209 – 6224 [7] Lallment, G (1979), Semigroups and Combinatorial Applications, John Wiley and Sons, New York [8] Petrich, M (1984), Inverse Semigroups, Wiley, New York [9] Ruskuc, N (1995), Semigroups Presentations, Ph.D Thesis, University of St Andrews [10] Ruskuc, N (1999), Presentations for Subgroups of Monoids, Journal of Algebra 220, 365 – 380 [11] Schien, B M (1975), Free Inverse Semigroups are not finitely presented, Acta Math Acad Scient Hung 26, 41-52 37 ... Chƣơng Biểu diễn nửa nhóm ngƣợc ánh xạ phận - 1.1 Nửa nhóm quy Nửa nhóm ngược 1.2 Tương đẳng nửa nhóm ngược 1.3 Biểu diễn nửa nhóm ngược ánh xạ phận - 11 Chƣơng Biểu diễn nửa nhóm. .. phương pháp biểu diễn nửa nhóm ngược: Biểu diễn nửa nhóm ngược ánh xạ phận - biểu diễn nửa nhóm ngược cấu trúc tự Bản luận văn dựa tài liệu [3] [4] để tìm hiểu biểu diễn nửa nhóm ngược theo hai... biểu diễn nửa nhóm < A | R > Tồn từ w A biểu diễn đơn vị S S xác định biểu diễn vị nhóm < A | R, w > 2) Nửa nhóm ngược xác định biểu diễn (nửa nhóm ngược) B| Q nửa nhóm xác định biểu diễn
Ngày đăng: 04/10/2021, 17:30
Xem thêm:
