Các ∆ nửa nhóm mũ yếu

Lời mở đầu Những thành tựu máy tính điện tử nói riêng và tin học nói chung đã mở ra cho loài ngời một thời đại mới: Thời đại công nghệ thông tin toàn cầu. Vì vậy vào những năm giữa thế kỹ hai mơi, các nhà toán học đã quan tâm đặc biệt đến việc xây dựng cơ sở toán học cho tin học, trong đó lý thuyết ngôn ngữ hình thức đóng vai trò then chốt. Một trong những cách tiếp cận với ngôn ngữ hình thức là dựa vào kiến thức đại số với hạt nhân chủ yếu là lý thuyết tơng đẳng trên nửa nhóm. Khi nghiên cứu về nửa nhóm, ta thấy rằng với mỗi nửa nhóm S ta luôn có hai quan hệ tơng đẳng, đó là tơng đẳng đồng nhất id s và tơng đẳng phổ dụng S ì S . Một nửa nhóm mà các tơng đẳng của chúng tạo thành một chuỗi bao hàm đợc gọi là - nửa nhóm. Schein và Tamura đã mô tả các - nửa nhóm giao hoán, Etterbeek đã mô tả các - nửa nhóm trung tâm và Trotter đã tổng quát hoá các kết quả đó đối với các - nửa nhóm mũ. Dựa vào bài báo Weakly exponental - semigroups của Attila Nagy đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 40 (1990), chúng tôi trình bày lại một cách chi tiết và có hệ thống hơn về các - nửa nhóm mũ yếu. Luận văn đợc chia làm 2 chơng: Chơng 1: Hệ thống hóa các kiến thức cơ sở liên quan về nhóm tựa xyclic dạng p, băng và nửa dàn trên các nhóm, phân tích một nửa nhóm giao hoán ra cá thành phần Archimede và nửa nhóm tách đợc. Chơng 2: Trình bày kiến thức liên quan đến - nửa nhóm từ đó nêu khái niệm các - nửa nhóm mũ yếu và chứng minh chi tiết tính chất về các - nửa nhóm Archimede mũ yếu (2.2.9). Các - nửa nhóm phân tích đợc thành nửa dàn mũ yếu và chứng minh một số kết quả liên quan đến chúng (Định lý 3.3.1; 3.3.3; ). Trình bày Định lý về điều kiện để nửa nhóm là mũ yếu: S là một - nửa nhóm mũ yếu nếu và chỉ nếu một trong các điều kiện sau đợc thoả mãn: 1 1 (i) S đẳng cấu với G hoặc G, trong đó G là một nhóm con của một nhóm tựa xyclic, (ii) S đẳng cấu với B hoặc B hoặc B, trong đó B hoặc là một nửa nhóm zero trái cấp hai hoặc là một nửa nhóm zero phải cấp hai, (iii) S là một nửa nhóm nil mà các tơng đẳng chính đợc sắp thứ tự chuỗi theo quan hệ bao hàm, (iv) S hoặc là một T hoặc một T2R hoặc một T2L nửa nhóm. Luận văn đợc hoàn thành với sự hớng dẫn tận tâm, nhiệt tình của thầy giáo PGS.TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và kính trọng đến thầy giáo PGS.TS. Lê Quốc Hán. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy, cô giáo trong tổ Đại số đã giúp đỡ động viên, chỉ bảo tác giả trong thời gian học tập cũng nh trong thời gian hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới ban giám hiệu nhà trờng, ban chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa Sau đại học và các phòng ban liên quan đã tạo điều kiện cho tác giả trong thời gian học tập và nghiên cứu tại Trờng Đại học Vinh. Luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót, tác giả rất mong đợc sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo và các bạn. Vinh, tháng 12/ 2009 Tác giả. 2 2 Chơng I các kiến thức cơ sở liên quan 1.1 nhóm tựa xyclic dạng p 1.1.1. Khái niệm. Giả sử C là tập hợp các số phức. Khi đó tập C các số phức khác không cùng với phép nhân thông thờng lập thành một nhóm giao hoán với đơn vị là 1, với mỗi số tự nhiên n >1 cho trớc, tập hợp C(n) = {x C / x = 1} là nhóm con của C Giả sử p là một số nguyên tố xác định, khi đó tập C(p ) = {x C / x =1, n = 1,2, .} là nhóm con của C. Nó là một p - nhóm Abel hữu hạn và đợc gọi là nhóm tựa xyclic dạng p. Dễ thấy C(p ) = C(p ) với mỗi số tự nhiên n, ký hiệu = cos + i sin là một giá trị của căn bậc n của đơn vị. Thế thì C(n) là nhóm xyclic sinh bởi , và C(p ) = < / m = 1,2, .>. Nhóm C(p ) có dãy chuẩn tắc vô hạn với các thơng xyclic: 1 C(p ) C(p ) . C(p ) . Giả sử End C( p ) là vành các tự đồng cấu của nhóm tựa xyclic C( p ) và Aut C( p ) là nhóm các tự đẳng cấu của nó. Với mỗi số tự nhiên n, ký hiệu là căn nguyên thuỷ bậc p của đơn vị trong trờng hợp số phức, hơn nữa = ; n = 1,2, . Khi đó, mỗi tự đồng cấu của nhóm C( p )đợc xác định hoàn toàn bởi các tác động của nó lên , , .Giả sử End C( p ). Khi đó = , k Z( p ), n = 1,2, . Từ đó End( C(p )) Z ( p ) nên 3 3 Aut( C(p )) (Z( p )) trong đó Z( p ) bao gồm tất cả các số p- adic nguyên và thành phần tự do bằng 0 Từ đó Aut ( C( p ) ì . ì C( p ) GL(n; Z( p )) trong đó GL(n; Z( p )) là nhóm ma trận tuyến tính tổng quát trên vành Z(p ). 1.1.2 Nhóm Abel đầy đủ: Các nhóm sau đây đều Abel a. Định nghĩa. Nhóm G đợc gọi là chia đợc hay đầy đủ nếu với mỗi số tự nhiên n > 0 và mọi phần tử g G, phơng trình nx = g có nghiệm trong G. b. Ví dụ . .) Nhóm cộng tất cả các số hữu tỷ Q là nhóm Abel đầy đủ .) Nhóm tựa xyclic C( p ) là nhóm Abel đầy đủ. Thật vậy, nhóm C( p ) (trong cách viết theo lối cộng đẳng cấu với hợp của chuỗi tăng các nhóm xyclic hữu hạn < a > < a > . < a > . trong đó pa = 0, pa = a , n = 1,2, . Chúng ta xét phơng trình sx = g với g G và s N, s > 1. Phần tử g đợc chứa trong một nhóm con của dãy trên, chẳng hạn trong nhóm < a >. Thế thì g = la với l Z nào đó. Nếu s = p m; ( m, p ) = 1 thì tìm đợc các số nguyên d, d sao cho 1 = pd + md. Khi đó, dựa thêm vào các hệ thức g = la và p ta có g = ( pd + md )g = mdla suy ra g = mp ( dla ). Do đó, phần tử dla là nghiệm của phơng trình sx = g. Định lý sau sẽ chứng tỏ rằng, tổng trực tiếp của các nhóm Q và C(p ) vét hết tất cả các nhóm Abel đầy đủ. c. Mệnh đề 1. Lớp nhóm Abel đầy đủ đúng đối với phép lấy ảnh đồng cấu, tích trực tiếp và tổng trực tiếp. Định lý 1. Nhóm Abel tuỳ ý đẳng cấu với nhóm con của nhóm Abel đầy đủ nào đó. 4 4 Chứng minh. Giả sử G là nhóm Abel tuỳ ý. Khi đó G đẳng cấu với nhóm thơng của một nhóm tự do nào đó. Giả sử G F/ N và {x / i I} là hệ sinh của F. Ký hiệu F là tổng trực tiếp của các nhóm đẳng cấu với Q: F = Q với Q Q, i I. Tuy mỗi nhóm Q ta đánh dấu một phần tử khác không nào đó. Khi đó ánh xạ x b mở rộng đợc thành đẳng cấu nhóm từ F vào nhóm con (F) của F. Do đó , G đẳng cấu với nhóm con nào đó của F/N, trong đó F/N là nhóm đầy đủ theo mệnh đề 1. Định lý 2. Giả sử A là nhóm con của nhóm Abel G. Nếu A đầy đủ thì A là hạng tử trực tiếp. Chứng minh. Giả sử B là nhóm con tối đại của G có giao với tất cả các nhóm con khác không (nhóm con B tối đại theo bổ đề Zoorn). Chúng ta sẽ chứng minh: G = A B Chứng minh bằng phản chứng. Giả thiết rằng G A B. Chọn phần tử g G sao cho g A B. Khi đó <g> (A B) {0} vì nếu ngợc lại, trong tổng trực tiếp <g> A B có <g> B. Bởi vậy g A B nhng khi đó do tính đầy đủ của A và tính tối đại của B thì tồn tại n Z, n 0 sao cho n A B. Chọn n là số nguyên tố dơng nhỏ nhất thoả mãn điều kiện ng A B, khi đó n là số nguyên tố. (Thật vậy, nếu có ớc nguyên tố p thì g A B). Do cách chọn g, tìm đợc a A, b B sao cho ng = a + b vì A là nhóm giải đợc, nên tồn tại a A sao cho na = a. Đặt g = g - a khi đó ng = b. Thế thì g, g A B. Theo cách chọn B, có A <g , B> = {0}. 5 5 Khi đó, a' A, a' 0 thì a' có thể biểu diễn đợc dới dạng a' = kg+ b'. Với b' B, 0 < k < n, vì n nguyên tố và 0 < k < n nên (k, n) = 1, do đó tồn tại các số nguyên l và s sao cho: lk + sn = 1 Do đó g = lkg + sng Vì ng , kg = a' - b' A B nên g 1 A B. Mâu thuẫn nhận đợc kết thúc phép chứng minh định lý 2. Mệnh đề 2. Tổng của một tập hợp tuỳ ý các nhóm Abel đầy đủ là một nhóm Abel đầy đủ. Định lý 3. Giả sử G là nhóm Abel đầy đủ khác không. Khi đó G phân tích đợc thành tổng trực tiếp của các nhóm con hoặc đẳng cấu với Q, hoặc đẳng cấu với nhóm tựa xyclic C(p ), với các số nguyên tố khác nhau nào đó. Chứng minh. Trong nhóm G chúng ta chọn phần tử g 0. Xét hai khả năng có thể xảy ra đối với g. Khả năng 1: Phần tử g có cấp vô hạn. Vì G đầy đủ nên tồn tại dãy phần tử g = g, g, ., g, .thuộc G sao cho: (n + 1)g = g , n = 1, 2, . Khi đó, nhóm con sinh bởi g, g, ., g, . đẳng cấu với Q. Khả năng 2: Phần tử g có cấp hữu hạn n. Khi đó phần tử a = g, trong đó p là ớc nguyên tố của g sẽ có cấp bằng p. Vì G đầy đủ, nên tồn tại dãy phần tử a, a, ., pa = a sinh ra nhóm con đẳng cấu với C(p ). Nh vậy, trong mọi trờng hợp, trong G tồn tại nhóm con A hoặc đẳng cấu Q hoặc đẳng cấu với C(p ) chứa phần tử g 0 thuộc G. Giả sử đã xây dựng đợc dãy nhóm con đầy đủ A A . A . , < sao cho với số siêu hạn , A= A , < còn với số không siêu hạn , A = A -1 C -1 , trong đó C -1 trong đó C -1 đẳng cấu với Q hay C(p ). 6 6 Nếu là số siêu hạn, đặt A = A, < Nếu không phải là số siêu hạn thì nhóm con A đầy đủ. Khi A G thì theo định lý 2, tồn tại sự phân tích trực tiếp G = A C. Tơng tự xây dựng A trong nhóm đầy đủ C, chúng ta chọn nhóm con C đẳng cấu với Q hay C(p ). Đặt A = A C Quá trình xây dựng quy nạp A kết thúc tại chỉ số đầu tiên sao cho A=G. Để xây dựng A, , còn lại phải chú ý rằng G phân tích đợc thành tổng trực tiếp A = C, C, ., C, . Định lý 3 đợc chứng minh. 1.2 Băng và nửa dàn. Băng các nửa nhóm Mục này nêu lên những kiến thức cơ sở để xây dựng các khái niệm phân tích một nửa nhóm thành nửa dàn các nhóm con mịn hơn. Trớc hết ta nhắc lại rằng một quan hệ thứ tự trên một tập X đợc gọi là thứ tự bộ phận nếu nó phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Ta sẽ dùng ký hiệu a < b để chỉ a b và a b 1.2.1. Bổ đề. Giả sử E là tập hợp tất cả các tơng đẳng của nửa nhóm S. Khi đó quan hệ xác định trên E bởi: e f( e, f E) nếu ef = fe = e là một thứ tự bộ phận trên E 7 7 Chứng minh. Vì e E nên e = e, do đó e e nên phản xạ. Hơn nữa, nếu e f, f e thì ef = fe = e và fe = ef = f nên e = f, do đó phản đối xứng. Ta lại có: nếu e f và f g thì ef = fe = e và fg = gf = f nên: eg = (ef)g = e(fg) = ef = e ge = g(fe) = (gf)e = fe = e do đó e g nên bắc cầu. 1.2.2. chú ý. Quan hệ xác định trong bổ đề 1.2.1 đợc gọi là thứ tự bộ phận tự nhiên trên E. 1.2.3. Định nghĩa. Giả sử là một thứ tự bộ phận trên tập X và Y là tập con của X. i/ Phần tử b X đợc gọi là cận trên của Y nếu y b với mọi y Y. ii/ Cận trên b của Y đợc gọi là cận trên bé nhất hay hợp của tập Y, nếu b c với mọi cân trên c của Y (Nếu Y có một hợp trong X, thì rõ ràng hợp đó là duy nhất). iii/ Phần tử a Xđợc gọi là cận dới của Y nếu a y với mọi y Y. iv/ Cận dới a của Y đợc gọi là cận dới lớn nhất hay giao của Y nếu d a với mọi cận dới d của Y (Nếu Y có một giao trong X thì giao đó cũng duy nhất). v/ Tập sắp thứ tự bộ phận X đợc gọi là nửa dàn trên (hay dới), nếu mỗi tập con gồm hai phần tử {a, b} của X có hợp (hay giao) trong X, trong trờng hợp đó mỗi tập con hữu hạn của X có hợp (hay giao) trong X. Hợp (giao) của {a, b} sẽ đợc ký hiệu là a v b ( hay a b ) vi/ Một dàn là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận, đồng thời là nửa dàn trên và nửa dàn dới. vii/ Dàn X đợc gọi là dàn đầy đủ, nếu mỗi tập con X có một hợp và một giao. 1.2.4. Ví dụ. 8 8 (1) Giả sử X là tập tất cả các nửa nhóm con của nửa nhóm S mà đợc bổ xung thêm tập rỗng. Thế thì X đợc sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm của lý thuyết tập. Vì giao của một tuỳ ý các nửa nhóm con của S hoặc là rỗng, hoặc là một nửa nhóm con của S trên X là một dàn đầy đủ. Giao của một tập con Y của X trùng với giao theo lý thuyết tập hợp của các phần tử thuộc tập hợp Y, tronh lúc đó hợp của Y là nửa nhóm sinh bởi hợp theo lý thuyết tập hợp các nửa nhóm thuộc Y. Tất cả các lý luận vẫn có hiệu lực, nếu ta thay thế từ "nửa nhóm con hay tập rỗng của S" bởi từ "tơng đẳng trên S" (2) Tập tất cả các ideal trái (phải, hai phía) của nửa nhóm S, bổ xung thêm tập rỗng, đóng đối với phép hợp theo lý thuyết tập cũng nh giao, nên là một dàn con đầy đủ của đại số Boole tất cả các tập con của S. 1.2.5. Định nghĩa. Nửa nhóm S đợc gọi là một băng nếu mọi phần tử của S đều là luỹ đẳng. Giả sử S là một băng. Khi đó S = E và S đợc sắp thứ tự bộ phận tự nhiên. (a b (a, b S) nếu và chỉ nếu ab = ba = a). 1.2.6. Mệnh đề. Một băng giao hoán là một nửa dàn dới đối với thứ tự bộ phận tự nhiên trên S. Giao a b của hai phần tử a và b của S trùng với tích ab của chúng. Đảo lại, một nửa dàn dới là một băng giao hoán đối với phép giao. Chứng minh. Theo bổ đề 2.2, quan hệ là một thứ tự bộ phận trên S (= E). Ta chứng tỏ rằng tích ab (= ba) của hai phần tử a, b S trùng với cận dới lớn nhất của {a, b}. Từ (ab)a = a(ba) = a(ab) = aab = ab = ab và a(ab) = (aa)b = ab = ab suy ra ab a. Tơng tự ab b nên ab là cận trên của {a, b}. Giả sử c a và c b. Thế thì (ab)c = a(bc) = ac = c, và tơng tự, c(ab) = c, từ đó c ab. Do đó ab à cận dới lớn nhất của {a, b}. Do đó S là nửa dàn dới. Mệnh đề đảo là hiển nhiên. 1.2.7. Chú ý. Giả sử S là một băng giao hoán. Khi đó nếu đặt a b khi và chỉ khi ab (=ba) = b thì (S, ) là nửa dàn trên. Tuy nhiên, để cho thống nhất trong luận văn này ta giữ định nghĩa nêu trong 1.2.5. Từ đây về sau, ta sẽ dùng từ nửa 9 9 dàn nh đồng nghĩa với từ băng giao hoán. Hơn nữa, từ nửa dàn đợc ngầm hiểu là nửa dàn dới, nếu không nói gì thêm. 1.2.8. Ví dụ. Giả sử X và Y là hai tập hợp tuỳ ý. S = X ì Y là tích Decartes của X và Y. Ta định nghĩa phép toán hai ngôi trên S bằng cách đặt: (x, y) (x, y) = (x, y) với x, x X; y, y Y. Tính kết hợp và luỹ đẳng đó là hiển nhiên. Ta sẽ gọi S là băng chữ nhật trên tập X x Y. Lý do của tên gọi đó nh sau: Ta hãy tởng tợng X x Y là một bảng chữ nhật gồm các điểm, trong đó điểm (x, y) nằm ở dòng x cột y của bảng. Thế thì a = (x, y) và (x, y) là hai đỉnh đối diện của một hình chữ nhật, mà hai đỉnh kia là aa = (x, y) và aa = (x, y). Các băng chữ nhật trên X x Y và X' x Y' đẳng cấu với nhau nếu và chỉ nếu = và = . Nếu = 1, = 1 thì băng chữ nhật trên X x Y đẳng cấu với nửa nhóm các phần tử không bên phải. 1.2.9. Định nghĩa và ký hiệu. Nếu nửa nhóm S đợc phân chia thành hợp của các nửa nhóm con rời nhau S , I ( I là tập hợp các chỉ số nào đó) thì ta nói rằng S phân tích đợc thành các nửa nhóm con S , I. Chú ý rằng sự phân tích trên chỉ có nghĩa nếu các nửa nhóm con S , thuộc vào lớp nửa nhóm nào hẹp hơn S. Giả sử S = {S , I } là sự phân tích của nửa nhóm S sao cho với mọi cặp , I, tồn tại I để cho S . S S. Khi đó I trở thành một băng đối với phép toán đó. Ta nói rằng S là hợp băng I các nửa nhóm S. ánh xạ : S I xác định bởi (a) = nếu a S là một toàn cấu và các nửa nhóm con S là các lớp của tơng đẳng hạt nhân ker. Đảo lại, nếu là một toàn cấu từ một nửa nhóm S lên một băng I, thì ảnh ngợc S = () của mỗi phần tử I là một nửa nhóm con của S là hợp của băng I của các nhóm S , I. Nếu băng I giao hoán, thì ta nói rằng S là hợp của nửa dàn I các nửa nhóm S , I. 10 10