Biểu diễn các số nguyên dương trong các hệ cơ số đếm khác nhau và ứng dụng

-1- MỤC LỤC Trang Mục lục…………………………………………………………… Mở đầu……………………………………………………………… Chƣơng I Biểu diễn số hệ số đếm thập phân………… 1.1 Biểu diến số hệ số đếm thập phân…………………… 1.1.1 Khái niệm hệ đếm…………………………………… 1.1.2 Hệ đếm thập phân…………………………………… 1.1.3 Hàm S(n) 1.1.4 Mệnh đề 1.1.5 Hàm T(s) 1.2 Một số toán giải phương pháp biểu diễn số hệ số đếm thập phân Chƣơng II Biểu diến số hệ đếm hệ thập phân … 19 2.1 Biểu diễn số hệ đếm hệ thập phân… 2.2 19 2.1.1 Hệ đếm La mã ……………………………………… 19 2.1.2 Hệ đếm số 60…………………………………… 19 2.1.3 Hệ đếm số 5……………………………………… 19 2.1.4 Hệ đếm số 20…………………………………… 20 2.1.5 Hệ đếm số 12…………………………………… 20 2.1.6 Hệ đếm số 2……………………………………… 20 2.1.7 Hệ đếm số 8……………………………………… 21 2.1.8 Hệ đếm số 16…………………………………… 21 2.1.9 Hệ đếm số 24…………………………………… 21 2.1.10 Hệ đếm số 30…………………………………… 21 2.1.11 Hệ đếm số 3……………………………………… 21 2.1.12 Hệ đếm số 7…………… 22 Hệ đếm với số bất kì……………………………………… 22 -2- 2.2.1 Định nghĩa ……………………………………… 22 2.2.2 Định lý 1.…………………………………… 23 2.2.3 Định lý 23 2.2.4 Chuyển biểu diễn số từ hệ đếm số 10 sang hệ đếm số k 24 2.2.5 Chuyển biểu diễn số từ hệ đếm số k sang hệ đếm số 10 2.2.6 Chuyển biểu diễn số từ hệ đếm số hệ đếm số 25 sang …………………………………… 25 2.3 Một số toán giải phương pháp biểu diễn số hệ đếm thập phân………………………………… 2.4 Ứng dụng hệ đếm máy tính………………………… 26 30 2.4.1 Sử dụng máy tính để đổi biểu diễn số từ hệ đếm số sang hệ đếm số ………………… 30 2.4.2 Sử dụng phần mềm Maple để chuyển đổi biểu diễn số 2.5 Sử dụng lí thuyết hệ đếm để giải số toán thi quốc tế… 32 35 Kết luận …………………………………………………………… 41 Tài liệu tham khảo………………………………………………… 42 -3- MỞ ĐẦU Như biết, hệ đếm lí thuyết toán học xuất nhu cầu thực tiễn sống, hình thành phát triển với phát triển văn minh nhân loại Trong sống phải sử dụng hệ số 10 để tính Hệ đếm số 2, với hệ đếm số 10, số 8,…là sở làm việc máy tính Lí thuyết hệ đếm liên quan đến nhiều lĩnh vực khác tốn học: lí thuyết chia hết, tốn rời rạc, phương trình nghiệm nguyên phương trình hàm, qui nạp tốn học, tốn trị chơi… Mặc dù hệ đếm đóng vai trị quan trọng sống ngày người, song kiến thức hệ đếm cịn quan tâm giảng dạy bậc học phổ thơng Vì vậy, phần lớn sử dụng thành thạo cơng cụ có ứng dụng hệ đếm (máy tính, máy ảnh kỹ thuật số, máy nghe nhạc, điện thoại dy động…) lại khơng có kiến thức sơ đẳng hệ đếm Chẳng hạn, nhiều học sinh trung học phổ thơng biết sử dụng máy tính để thực hành phép tính (khơng phép toán số học, mà phép toán phức tạp) họ gần hồn tồn khơng có hiểu biết chế thực tính tốn máy tính Những kiến thức hệ đếm cho ta nhìn nhận ứng dụng sâu sắc tốn học sống đại Chính vậy, chọn đề tài nghiên cứu là: “Biểu diễn số nguyên dƣơng hệ số đếm khác ứng dụng” Đây mảng đề tài mà nhà trường phổ thơng cịn đề cập đến, nên việc tìm hiểu sâu, việc tìm kiếm tài liệu cịn gặp khó khăn, yêu cầu bồi dưỡng học sinh giỏi lại cần thiết Vì vậy, luận văn tác giả dùng công cụ biểu diễn số để giải số lớp tốn Luận văn trình bày hai chương, phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo -4- Chƣơng Biểu diễn số hệ số đếm thập phân Trong chương chúng tơi trình bày cách hệ thống kiến thức hệ thập phân; số tính chất hàm số số học S(n), T(n) liên quan đến biểu diễn số tự nhiên n tốn có sử dụng biểu diễn số hệ thập phân Chƣơng Biểu diễn số hệ đếm hệ thập phân Trong chương chúng tơi trình bày lí thuyết biểu diễn số hệ đếm hệ thập phân; chuyển đổi biểu diễn số từ hệ đếm số sang hệ đếm số khác; số cách giải toán dụng cách biểu diễn số hệ đếm thập phân; giới thiệu số đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế có ứng dụng hệ đếm; dùng máy tính để chuyển đổi biểu diễn số qua hệ đếm số khác -5- CHƢƠNG BIỂU DIỄN SỐ TRONG HỆ CƠ SỐ ĐẾM THẬP PHÂN 1.1 Biễu diễn số hệ thập phân 1.1.1 Khái niệm hệ đếm Hệ đếm tập hợp kí hiệu qui tắc sử dụng kí hiệu để biểu diễn xác định giá trị số Mỗi hệ đếm có số kí số (digits) hữu hạn Tổng số kí số hệ đếm gọi số (base hay radix) Hệ đếm thập phân hệ đếm phổ biến 1.1.2 Hệ đếm thập phân Hệ thập phân (hay hệ đếm số 10) hệ đếm có 10 ký tự dùng số lượng Hệ đếm dùng rộng rãi giới Nguồn gốc bắt nguồn từ cấu sinh học người, người có 10 ngón tay Hệ thập phân phát minh người Ảrập cổ, bao gồm 10 kí số theo kí hiệu sau: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Qui tắc tính giá trị hệ đếm đơn vị hàng có giá trị 10 đơn vị hàng kế cận bên phải Số nguyên dương hệ thập phân viết tổng chuỗi kí số thập phân 10 lũy thừa Trong số mũ lũy thừa tăng thêm đơn vị kể từ số mũ lũy thừa phía bên phải Số mũ lũy thừa hàng đơn vị hệ thập phân Ví dụ: Số 5246 thể sau: 5246 =5 103 +2.102 +4.101 +6.100 Như vậy, số 5246 có: Kí số số ngun đại diện cho giá trị đơn vị Kí số số nguyên đại diện cho giá trị chục Kí số số nguyên đại diện cho giá trị trăm -6- Kí số số nguyên đại diện cho giá trị ngàn Nghĩa là: số lũy thừa 10 tăng dần từ phải sang trái tương ứng với vị trí kí hiệu số Mỗi kí số vị trí khác số có giá trị khác ta gọi giá trị vị trí 1.1.3 Hàm S(n) Cho n số nguyên dương Ta gọi chữ số tổng (viết hệ thập phân) Sau vài tính chất đơn giản hàm 1.1.4 Mệnh đề Cho m, n số nguyên dương, ta có: 1) S (n)  n(mod9) 2)  S (n)  n 3) S (n)  n   n  4) S (m  n)  S (m)  S (n) 5) S (mn)  S (m)S (n) Chứng minh: 1) Giả sử hệ thập phân n có biểu diễn: (ak ak 1 n  ak 10k  ak 110k 1   a110  a0 , S (n)  ak  ak 1  Do đó: n  S (n)  ak (10k  1)  ak 1 (10k 1  1)  Bởi 10i   9(10i1  a1a0 ) đó:  a1  a0  a1 (10  1)  10  1) chia hết cho n  S (n) chia hết cho hay S (n)  n(mod9) 2) Do n > nên ak > , từ S (n)  ak  ak 1   a1  a0  Ngoài ra: S (n)  ak  ak 1   a1  a0  ak 10k  ak 110k 1   a110  a0  n 3) Ta có theo 2) S (n)  n , S (n)  n  ak  ak 1   a1   n  a0 0,1, ,9 4) Giả sử hệ thập phân, n m có biểu diễn: -7- (ak ak 1 a1a0 ) ; (bs bs 1 b1b0 ) Khơng tính tổng qt, giả sử n  m hay k  s , ta viết: n  m  ak 10k  ak 110k 1   (as  bs )10s   (a1  b1 )10  (a0  b0 ) Nếu a0  b0 chữ số thập phân c0  a0  b0 số hạng n + m Trong trường hợp ngược lại, tồn chữ số thập phân c0 cho a0  b0  10  c0 , trường hợp ta có: n  m  ak 10k  ak 110k 1   (as  bs )10s   (a1  b1  1)10  c0 Lý luận tương tự ký số cịn lại, ta có: S (n)  S (m)  (ak  ak 1   a1  a0 )  (bs  bs 1   ak   as 1  (as  bs )   (a1  b1 )  (a0  b0 )  ak   as 1  (as  bs )   (a1  b1  1)  c0  b1  b0 )   S (n  m) 5) Giả sử hệ thập phân, n m có biểu diễn: (ak ak 1 a1a0 ) ; (bs bs 1 b1b0 ) Khi đó: nm  n(bk 10k  bk 110k 1   nbk 10k  nbk 110k 1   b110  b0 )  nb110  nb0 Do đó: S (nm)  S (nbk 10k  nbk 110k 1   S (nbk 10k )  S (nbk 110k 1 )   S (nbk )  S (nbk 1 )  bk bk 1 1  S ( n)   S ( n)   S (nb110)  S (nb0 )  S (nb1 )  S (nb0 ) b1 b0 1   S ( n)   S ( n)  bk S (n)  bk 1 S (n)   S (n)(bk  bk 1   nb110  nb0 )  b1 S (n)  b0 S (n)  b1  b0 )  S (n) S (m) Như vậy, mệnh đề 1.1.4 hoàn toàn chứng minh ■ -8- 1.1.5 Hàm T(n) Cho số nguyên dương Từ ta tạo thành số cách xố vài lần (ít lần) chữ số tận bên phải Khi ta gọi số gốc số Đặt tổng tất gốc 1.2 Một số toán giải phƣơng pháp biểu diễn số hệ số đếm thập phân Bài toán 1: Cho số tự nhiên n k thoả mãn điều kiện: n  ab với a  b  10, số thập phân (hữu hạn hay vô hạn) k  0, a1 , a , a3 , có n chữ số i  1,2,3,  khác Khi đó, hai chữ số thập phân kề , 1 Chứng minh: Giả sử k  0, a1 , a , a3 ,   i  1, 2, 3, Ta có: n n  ab  10a  b  1010  b  b  100  9b (1) Giả sử trái lại điều khẳng định tốn khơng đúng, tức tồn hai chữ số thập phân kề nhau Chỉ có hai khả xảy ra: 1) Nếu a1  a2  c  Khi đó: 100k  cc, a3 a n (2) Từ ta có (do c  ): 11c  11c  1n 100k 11cn  11c   k n 100 100 (3) Từ (1) suy ra: 11cn  11c100  9b  100c11  b  bc (4) Do đó: 11c  1n  100c11  b  bc  100  9b  100c11  b  100  b9  c suy ra: 11c  1n  100c11  b  100,  b, c  Thay (4) (5) vào (2) ta có: (5) -9- c11  b   Do  bc  k  c11  b   100 (6) bc  nên từ (6) suy điều vơ lí k số ngun dương nên 100  khơng thể nằm đoạn c11  b   ; c11  b   1 có độ dài nhỏ 100   bc Vậy suy mâu thuẫn, tức a1  a2 2) Nếu tồn chữ số i  mà  1 Khi ta có: k.10 i 1  a1 a 1 , ai 1 n Đặt h  k.10i 1  na1a2 1 , (7) h  0, ai 1 với số tự nhiên h  0, h  n Áp dụng kết phần 1) suy  1 Như trường hợp giả thiết phản chứng sai ■ Bài toán 2: Xác định tất số nguyên dương n cho n viết hệ thập phân, n lớn tổng bình phương chữ số đơn vị Giải: Giả sử hệ thập phân n có biểu diễn dạng sau: n  ak ak 1 a1a0 , a i nguyên   9, j  1, k Như vậy: n  a0  10a1  10 a2  10 k 1 ak 1  10 k ak (1) Theo giả thiết ta có:  a02  a12   ak21  ak2  a0  10a1  10 a2   10 k ak (2) suy ra:  a0 a0  1  a1 a1  10  a2 a2  100   ak ak  10 k   hay:   a1 a1  10  a2 a2  100  ak ak  10 k  1  a0 a0  1 (3) Do  a0  nên   a0 a0  1  1  9.8  73 Như từ (3) suy ra: (4) Do   i  1, k , nên ta có: -10- a1 a1  10  9a1 (5) Từ (5) suy a2  a3  a4   ak  Thật vậy, a j  ta có: a j  10 j   10 j   102  91 (6) Vì a2  a3  a4   ak  không xảy vế trái (4)  91 Điều mâu thuẫn với (5) Như từ (3) đến: a1 a1  10  1  a0 a0  1  a0 a0  1   a1 10  a1  (7) Cho a nhận giá trị từ đến vế trái (7) nhận giá trị tương ứng 1, 0, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73 Tương tự cho a1 giá trị từ đến vế trái (7) nhận giá trị tương ứng 0, 9, 16, 21, 24, 25, 24, 21, 16, 9, Từ đó: a0 a0  1   a1 10  a1   21, a0  a1  a1  Vậy n  35 n  75 2 Thử lại ta có: 35  32  52  1; 75    Vậy có hai số nguyên dương n thoả mãn yêu cầu đầu bài, n  35 n  75 ■ Bài tốn 3: Tìm số tự nhiên n cho n  S n  2003, S n  tổng chữ số số tự nhiên n Giải: Từ n  S n  2003 ta có n  2003  S n, suy ra: n  2002 (1) Chú ý số khơng vượt q 2002 số 1999 có tổng chữ số lớn Từ suy ra: Vì , nên thay vào (1) ta có: (2) Từ (1) (2) suy ra: (3) Rõ ràng Vậy: -29- (6) Từ (4) (5) ta thu được: (7) Theo (6), vế phải (7) Vì lẽ ta có: 3) Xét hệ thức Ta có: Do đó, , dựa vào phần 2), suy ra: Vì thế: (8) Từ (4) (5) ta có: (9) Dễ thấy (suy từ (8) vế phải (9) Chính thế, ta đến hệ thức sau: ■ -30- 2.4 Ứng dụng hệ đếm máy tính 2.4.1 Sử dụng máy tính để đổi biểu diễn số từ hệ đếm số sang hệ đếm số a) Sử dụng máy tính khoa học (hoặc loại máy tính khác có chức tương đương) Các máy tính khoa học (Scientific Caculator) trang bị bốn hệ đếm hệ đếm số 10 (decimal, viết tắt Dec), hệ đếm số (binary, viết tắt Bin), hệ đếm số (hexadecimal, viết tắt Hex) hệ đếm số 16 (hexadecimal system, viết tắt Hex) Do ta chuyển biểu diễn số nguyên dương (trong phạm vi 10 chữ số hệ đếm có số 2, 8, 10, 16) Mặc dù số hạn chế, máy tính khoa học tương đối thuận tiện cho việc đổi số Để chuyển đổi biểu diễn số máy tính khoa học ta bấm phím hình xuất chữ Dec tức ta hệ đếm số 10 Ta nhập số hệ đếm số 10 ấn phím Muốn chuyển số sang hệ đếm số ta ấn phím tương ứng kết hình Ví dụ 1: Chuyển số 1234567898 thành số hệ số Vào chương trình đổi số chuyển số 1234567898 từ số 10 sang số 8: Vậy (số ngoặc đáp số hình) Ví dụ 2: Chuyển số thành số hệ đếm số Vào chương trình làm việc với số 2: Khai báo chuyển sang số 8: -31- Vậy Ví dụ 3: Chuyển số sang hệ đếm số 16 Vào chương trình làm việc với số 8: Khai báo chuyển sang số 16: Vậy b) Sử dụng máy tính Calculator cài đặt Window Calculator cài đặt sẵn Window nên tiện sử dụng.Calculator trang bị bốn hệ đếm hệ đếm số 10, hệ đếm số 2, hệ đếm số hệ đếm số 16 Calculator cho phép đổi biểu diễn số nguyên dương hệ đếm có số 2, 8, 10, 16 với số lớn (trong phạm vi 33 chữ số) mà máy tính khoa học khơng làm Cách thực thao tác chuyển đổi giống với máy tính khoa học Ví dụ 1: Chuyển số 123456789098 thành số hệ đếm số Vào Calculator khai báo 123456789098 hệ đếm số 10: Chuyển sang hệ đếm số 2: Vậy: Ví dụ 2: Chuyển số Vào Calculator khai báo đếm số 8: thành hệ đếm số 16 hệ -32- chuyển sang hệ đếm Khai báo số 16: Vậy Các máy tính khoa học máy tính Calculator chuyển đổi số nguyên dương hệ đếm với số 2, 4, 8, 16 Muốn chuyển đổi số hệ đếm với số chuyển đổi số thập phân ta phải sử dụng chương trình cao cấp hơn, thí dụ phần mềm Maple 2.4.2 Sử dụng phần mềm Maple để chuyển đổi biểu diễn số Maple phần mềm tốn học với nhiều tiện ích Nó có khả tính tốn số lớn Maple cho ta công cụ tốt để triển khai thuật tốn có độ phức tạp cao mà khơng cần mẹo thủ cơng thay a) Sử dụng Maple để chuyển đổi biểu diễn số từ hệ đếm số 10 sang hệ đếm số 2, 8, 16 Khai báo câu lệnh: convert (a , binary); Hoặc convert (a , octal); Hoặc convert (a , hex); Và kết thúc việc bấm phím “Enter” a số số 10 Ví dụ 1: convert (1234567890989865431209876543 ,binary); 1111111101001101011110101101111001011111111001010010100011 10010010101111000001110000111111 -33- Vậy: Ví dụ 2: convert (123456789098986543120987654334567 ,octal); 302617463156210460560574311046424147 Vậy b) Sử dụng Maple để chuyển đổi biểu diễn số từ hệ đếm số 10 sang hệ đếm số Khai báo câu lệnh: convert (a, base, k) kết thúc cách bấm phím “Enter” để kết Trong trường hợp kết chữ số từ hàng thấp đến hàng cao, viết kết giấy ta phải viết theo kết ngược lại với thứ tự hình Ví dụ 1: convert (12345678987654321 ,base, 16); Vậy: 12345678987654321= Ví dụ 2: convert (12345678987654321456758 ,base, 9); Vậy: c) Sử dụng Maple để chuyển đổi biểu diễn số từ hệ đếm số hệ đếm số sang -34- Khai báo câu lệnh: convert (a, decimal, k) kết thúc cách bấm phím “Enter” để kết Chú ý: Nếu biểu diễn a có chữ số lớn 10 phải viết dấu „ ‟ “ ” Ví dụ: convert(„1234567890ABCD1234567890ADCBBBCCDDA‟, decimal, 14); Vậy: d) Sử dụng Maple để chuyển đổi biểu diễn số từ hệ đếm số sang hệ đếm số Khai báo câu lệnh: convert ( , base, ); kết thúc cách bấm phím “Enter” Ở viết ngoặc vuông với chữ số hàng thấp đến hàng cao; chữ số ngăn cách dấu phẩy Kết số viết từ hàng thấp đến hàng cao chữ số ngăn cách dấu phẩy, viết kết phải viết theo thứ tự ngược lại với kết hình Ví dụ 1: convert Vậy ; Ví dụ 2: convert ; -35- Vậy Ở ta đặt Ngồi ta sử dụng cách khác sau: Bƣớc 1: Chuyển từ hệ đếm số thành số Bƣớc 2: Chuyển từ hệ đếm số thành số hệ đếm số Ví dụ 1: hệ đếm số 10 convert (1234567876543210076, decimal, 9); 189963513971841669 Ví dụ 2: convert (189963513971841669, base, 12); Vậy , 2.5 Sử dụng lí thuyết hệ đếm để giải số toán thi quốc tế Trong phần đề cập tới số tốn phát biểu ngơn ngữ hệ đếm sử dụng kiến thức hệ đếm để giải Khi sử dụng hệ nhị nhân hệ tam phân ta có số tính chất sau: 1) Nếu thì: , , Tương tự hệ đếm số ta có: 2) Nếu thì: Bài tốn 1: (Vơ địch Trung Mỹ, 1989) Cho hàm số f : Tìm tất số *  * thỏa mãn cho tồn Giải: (Sử dụng hệ nhị phân) -36- với Vì tính theo tức nên ta nghĩ tới viết số hệ nhị phân Ta có Qui luật giá trị hàm số chữ số viết số có chữ số viết hệ đếm số 2, tức khi: thì: = Chứng minh: Giả sử công thức (1) với với Nếu Ta chứng minh lẻ Nếu Theo qui nạp ta có Vậy Nếu chẵn Vậy trường hợp ta có ta có -37- Từ chứng minh ta có: Tất số tự nhiên số tự nhiên cần tìm cho tồn tập số tự nhiên viết số mà khơng có chữ số ■ Bài tốn 2: (Vô địch Trung Quốc, 1995) Giả sử hai điều kiện sau thỏa mãn có với số nguyên dương n: 1) 2) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: Giải: Vì nguyên tố nên từ điều kiện 1) suy 1+ chia hết cho tức với số nguyên dương Từ điều kiện 2) suy hay với Từ điều kiện 1) suy Như ta trở tốn Suy số chữ số Bởi cách viết số viết số có chữ tức là: nên số nghiệm phương trình dạng tổng số hệ đếm số mà chữ số Nhận xét hệ đếm số cộng khơng có nhớ Vì hai phải vị trí thứ 2(từ bên trái) vị trí thứ tư thư sáu Tại vị trí thứ nhất, thứ ba, thứ năm số có chữ số số có chữ số Như ta có bốn khả sau: 1) 2) 3) -38- 4) Vậy phương trình cho xảy trường hợp sau: hay hay hay hay Như ta có cặp nghiệm sau: ■ = Nhận xét: Đây toán giải phương trình hàm thường hay gặp kì thi học sinh giỏi Ta nhận thấy phát biểu tốn khơng có liên quan tới hệ đếm, giải chúng phải sử dụng tới hệ đếm (cơ số 2, số 3, ) Do hệ đếm xem phương pháp để giải lớp toán phương trình hàm tập số tự nhiên Bài tốn 3: (Thi trắc nghiệm học sinh giỏi tốn tồn nước Mỹ, 1981) Trong hệ đếm số cho số phương Vậy (chọn năm đáp số sau) : a) b) c) d) e) Không xác định cách Giải: Ta có Nếu số chẵn, cho chia hết cho Do số dư chia -39- Nếu lẻ tức đó: ln chẵn nên Vì chia cho ln có số dư Như trường hợp, số 0, hay Nếu vơ lý khơng phải số phương Nếu vơ lý khơng có số phương lẻ có dạng Vậy suy nhận giá trị Bình phương số tương ứng Vậy ta chọn đáp án a) ■ Một số đề thi tốn vơ địch nƣớc Bài tốn 1: (Vơ địch Hàn Quốc, 1997) Một từ mã hóa chữ số, chữ số Gọi hai từ có ba vị trí chữ số khác Chứng minh tổng số tất từ khác với hai từ vị trí chữ số 38 Bài tốn 2: (Dự tuyển vơ địch quốc tế lần thứ 34,1993) Gọi có sáu số dãy cụm với phần tử khơng Ví dụ khơng chấp nhận có sáu cụm giống Chứng minh rằng: Bài tốn 3: (Vơ địch tốn tồn nước Mỹ, 1996; Vô địch Trung Quốc, 1997) Gọi số dãy nhị phân độ dài tiếp 0,1,1 dãy Gọi không chứa số hạng liên số dãy nhị phân độ dài không chứa số hạng liên tiếp 0,0,1,1 1,1,0,0 (theo thứ tự thế) dãy Chứng minh với số nguyên dương ta có -40- Bài tốn 4: (Vơ địch Nhật Bản, 1996) Cho số thực thỏa mãn hệ Với số viết nhị phân Ta định nghĩa sau: Chứng tỏ tồn vô hạn số ngun cho khơng có số ngun để Bài tốn 5: (Dự tuyển vơ địch quốc tế lần thứ 41, 2000) Hàm số xác định tập hợp số nguyên không âm nhận giá trị tập hợp số nguyên không âm, thõa mãn điều kiện sau 1) ; 2) ; 3) Chứng minh rằng, với số nguyên dương , số số nguyên dương -41- -42- KẾT LUẬN Với mục đích tìm hiểu lý thuyết hệ đếm ứng dụng, luận văn có nội dung chủ yếu sau đây: Trình bày kiến thức sở hệ thập phân; số tính chất hàm số số học S(n), T(n) liên quan đến biểu diễn số tự nhiên n tốn có sử dụng biểu diễn số hệ thập phân Giới thiệu lí thuyết biểu diễn số hệ đếm hệ thập phân Giới thiệu thuật toán chuyển đổi biểu diễn số từ hệ đếm số sang hệ đếm số khác Thực hành máy tính để chuyển đổi biểu diễn số qua hệ đếm số khác Tìm tịi số phương pháp giải tốn có sử dụng biểu diễn số hệ đếm hệ thập phân; giới thiệu số đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế có ứng dụng hệ đếm -43- TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] Phan Huy Kh¶i (2006), Các chuyên đề số học bồi d-ỡng học sinh giỏi toán trung học, NXB Giáo dục, Hà Nội Hà Huy Khoái (2004), Số học, NXB Giáo dục, Hà Nội Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Thành Quang (2003), Số học đại, Tr-ờng Đại học Vinh [5] Ngun Thµnh Quang (2011), Lý thut tr-êng vµ ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Đàm Văn Nhỉ, L-u Bá Thắng, Nguyễn Việt Hải (2006), Số học, Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội [7] Z I Borevic and R I Shafarevich (1966), Number Theory, Acamedic Press [8] D M Burton (2002), Elementary Number Theory, Tata McGrawHill Company, New Delhi [9] Sanchez, Julio; Canton, P Maria (2007), Microcontroller programming: the microchip PIC, Boca Raton, FL: CRC Press [10] S G Telang (2001), Number Theory, Tata McGraw - Hill Company, New Delhi ... biểu diễn số từ hệ đếm số sang hệ đếm số Để chuyển biểu diễn số hệ đếm số sang hệ đếm số ta sử dụng hệ đếm số 10 làm trung gian Bƣớc 1: Chuyển số từ hệ đếm số sang hệ đếm số 10 Bƣớc 2: Chuyển số. .. 2.2.4 Chuyển biểu diễn số từ hệ đếm số 10 sang hệ đếm số k 24 2.2.5 Chuyển biểu diễn số từ hệ đếm số k sang hệ đếm số 10 2.2.6 Chuyển biểu diễn số từ hệ đếm số hệ đếm số 25 sang ……………………………………... thập phân Trong chương chúng tơi trình bày lí thuyết biểu diễn số hệ đếm hệ thập phân; chuyển đổi biểu diễn số từ hệ đếm số sang hệ đếm số khác; số cách giải toán dụng cách biểu diễn số hệ đếm thập