Tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN TUẤN TÚ TƯƠNG ĐẲNG NHÓM TRÊN MỘT NỬA NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN TUẤN TÚ TƯƠNG ĐẲNG NHÓM TRÊN MỘT NỬA NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. LÊ QUỐC HÁN Nghệ An – 2014 MỤC LỤC MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 2 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1. Nửa nhóm các quan hệ trên một tập 4 1.2. Tương đẳng. Nửa nhóm thương. 8 1.3. Băng và nửa dàn. Băng các nhóm. 13 Chương 2. TƯƠNG ĐẲNG NHÓM TRÊN MỘT NỬA NHÓM 18 2.1. Tóm tắt các kết quả của P. Dubreil và R. Croisot 18 2.2. Tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm. 21 2.3. Nửa nhóm con chuẩn tắc của một nửa nhóm. 27 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 2 MỞ ĐẦU Giả sử S là một nửa nhóm và  là một tương đẳng trên S . Khi đó  được gọi là một tương đẳng nhóm nếu nửa nhóm thương S  là một nhóm. Các tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm đã được P. Dubreil và R. Croisot nghiên cứu vào những năm giữa thế kỷ hai mươi. Các kết quả mà P. Dubreil và R. Croisot thu được đã được ứng dụng rộng rãi trong Lý thuyết ngôn ngữ và ôtômat. Tuy nhiên, các kết quả này khá phức tạp và trong nhiều trường hợp khó áp dụng trong việc mô tả cấu trúc của chúng trong một số lớp nửa nhóm cụ thể. Gần đây, nhiều tác giả đã tìm những phương pháp tiếp cận khác nhau với việc khảo sát các tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm và đã thu được nhiều kết quả đáng quan tâm. Bản luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo Congruences and group congruences on a semigroup của R. S. Gigon đăng trên tạp chí Semigroup Forum năm 2012 để tìm hiểu cấu trúc các tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm. Luận văn gồm hai chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi hệ thống các kiến thức liên quan đến nửa nhóm các quan hệ trên một tập, tương đẳng và nửa nhóm thương, băng và nửa dàn để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau. Chương 2. Tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm. Trong chương này, trước hết chúng tôi tóm tắt các kết quả của P. Dubreil và R. Croisot về tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm. Sau đó trình bày các kết quả của R. S. Gigon về tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm tùy 3 ý. Phần cuối luận văn trình bày khái niệm nửa nhóm con chuẩn tắc của một nửa nhóm và một số đặc trưng của nó. Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn khoa học và chỉ bảo tận tình của PGS.TS. Lê Quốc Hán - Khoa Toán của Trường Đại Học Vinh. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tôi xin chân thành cảm ơn các quý cơ quan đã tạo điệu kiện giúp đỡ về mọi mặt để luận văn này hoàn thành đúng kế hoạch. Tôi xin cảm ơn các Thầy Cô khoa Toán, Phòng Đào tạo sau Đại Học Trường Đại Học Vinh và Trường Đại Học Đồng Tháp, các Thầy Cô tham gia giảng dạy khóa Cao học toán 2012 - 2014 lời cảm ơn sâu sắc công ơn dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục, đào tạo của nhà trường. Đồng thời tôi cũng gửi lời cảm ơn đến tập thể lớp Cao học Toán Khóa 20 đã động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và thời gian học tập, nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý Thầy Cô và độc giả quan tâm đến luận văn này. Nghệ An, ngày tháng năm 2014 Tác giả 4 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Nửa nhóm các quan hệ trên một tập 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử X là một tập hợp tùy ý khác rỗng. Khi đó một tập con  của tích Descartes XX được gọi là một quan hệ trên tập X . Nếu   ,ab   , trong đó ,ab là các phần tử của tập X thì ta cũng có thể viết  ab và nói “ a nằm trong quan hệ  với b ”. Nếu  và  là các quan hệ trên X thì cái hợp thành  của chúng được định nghĩa như sau:   ,ab   nếu tồn tại phần tử x X sao cho   ,ax   và   ,xb   . Phép toán   là kết hợp. Thật vậy, nếu  ,  và  là các quan hệ trên X thì mỗi một trong các điều khẳng định     ,ab     và     ,ab     tương đương với điều khẳng định rằng tồn tại các phần tử x , y sao cho   ,ax   ,   ,xy   và   ,yb   . Do đó, tập B x tất cả các quan hệ hai ngôi trên X là một nửa nhóm đối với   . Nửa nhóm B x được gọi là nửa nhóm các quan hệ trên X 1.1.2. Một số quan hệ hai ngôi đặc biệt. Giả sử X là một tập tùy ý. Quan hệ i được gọi là quan hệ bằng nhau (hay quan hệ đường chéo) nếu   ,a b i khi và chỉ khi ab , với mọi ,a b X . Quan hệ  được gọi là quan hệ phổ dụng nếu   ,ab   với mọi ,ab X . Dễ thấy i là đơn vị và  là phần tử không của nửa nhóm B x . Giả sử   B x . Khi đó, quan hệ ngược 1   của  được định nghĩa như sau:   1 ,ab    khi và chỉ khi   ,ba   . 5 Thế thì:     1 1 1 1 1 , , ,                  B x . Giả sử ,   B x . Khi đó   nếu  là tập con của  , nghĩa là a  b kéo theo a  b. Vì B x bao gồm tất cả các tập con của XX nên ta có thể thực hiện trong B x các phép toán Boole: hợp, giao và phần bù. Giả sử  là một quan hệ trên X . Khi đó  được gọi là đối xứng nếu 1    (và do đó 1    ); quan hệ  được gọi là phản xạ nếu i   và được gọi là bắc cầu nếu     . Một quan hệ  trên X được gọi là tương đương nếu  phản xạ , đối xứng, bắc cầu. Khi đó  là một lũy đẳng của nửa nhóm B x . 1.1.3. Phân hoạch một tập hợp. Giả sử  là một quan hệ tùy ý trên X và aX . Khi đó, ta sẽ kí hiệu:   :|a x X x a   và   : | .  a x X a x Nếu  quan hệ tương đương, thì hai điều kiện sau đây được thỏa mãn: i) aa   với mọi aX . ii) ab     suy ra ab   . Như vậy, họ các tập a  , trong đó aX là một phân hoạch của tập X , tức là các tập đó không giao nhau và hợp của chúng bằng X ; ký hiệu họ đó là X  . Ta gọi a  là lớp tương đương của tập X theo mod  chứa a . Đảo lại, mọi phân hoạch P của tập X xác định một quan hệ tương đương  mà P   X , cụ thể ab  khi và chỉ khi a và b thuộc cùng một tập của phân hoạch P. Ta gọi ánh xạ aa  là ánh xạ tự nhiên hay ánh xạ chính tắc từ 6 tập X lên X  và ký hiệu ánh xạ đó là   . Chú ý rằng aa    với mỗi aX , nhưng để tránh nhầm lẫn ta dùng các kí hiệu khác nhau để chỉ quan hệ tương đương  trên tập X và ánh xạ tự nhiên từ X lên X  . 1.1.4. Quan hệ tương đương sinh bởi một quan hệ tùy ý cho trước. Giả sử  là một quan hệ tùy ý trên X . Ta định nghĩa bao đóng bắc cầu /  của quan hệ  bằng cách đặt:     / 1 n n                Hiển nhiên /  là bắc cầu và được chứa trong mỗi quan hệ bắc cầu trên X , chứa  . Nếu 0  là quan hệ tùy ý trên X , thì quan hệ 1 1 0 0 i        là quan hệ phản xạ và đối xứng bé nhất trên X , chứa 0  . Bao đóng bắc cầu 1 t   của quan hệ 1  là một quan hệ tương đương trên X chứa 0  . Ta gọi  là quan hệ tương đương trên X sinh bởi 0  . Giao của một họ tùy ý các quan hệ tương đương là một quan hệ tương đương. Khẳng định tương tự đối với hợp theo lý thuyết tập hợp không đúng ngay cả trong trường hợp hai quan hệ. Ta định nghĩa hợp   của hai quan hệ tương đương  và  là quan hệ tương đương sinh bởi   , tức là   là bao đóng bắc cầu của quann hệ   . 1.1.5. Bổ đề. Nếu  và  là các quan hệ tương đương trên X và      thì  cũng là một quan hệ tương đương trên X và      . 7 Chứng minh. Vì hiển nhiên  được chứa trong   , nên chỉ còn phải chứng tỏ rằng  là quan hệ tương đương. Từ i     suy ra rằng quan hệ  phản xạ, còn đẳng thức   1 11              , chứng tỏ  đối xứng. Cuối cùng:             ,                            do đó  là bắc cầu. 1.1.6. Chú ý. Giả sử  là một quan hệ trên X sao cho 1x   với mỗi xX , khi đó ta có thể đồng nhất các tập x  gồm một phần tử duy nhất của nó và xem  như phép biến đổi xx  của tập X . Nếu  là một quan hệ khác thuộc loại đó trên X thì  cũng có tính chất đã nêu, ngoài ra  trùng với cái hợp thành của  và  xem như các phép biến đổi của tập X . Bằng đối ngẫu, nếu 1x   với mọi xX thì ta có thể xem ánh xạ  xx như một phép biến đổi của tập X . Trong trường hợp đó  bằng cái hợp thành của  và  . Như vậy B x chứa  X như một nửa nhóm con, trong đó  X là vị nhóm con các ánh xạ từ X vào chính nó với phép nhân ánh xạ. Giả sử  là ánh xạ từ tập X vào tập / X . Thế thì  có thể xem như một quan hệ trên tập / XX . Với mỗi // xX , ta có       1 / / |x x X x x      Cái hợp thành 1   được chứa trong XX , thành thử nó có thể xem như một quan hệ trên X và   1 ,xy    khi và chỉ khi     xy   . Từ đó 1   là một quan hệ tương đương, và  cảm sinh ra một ánh xạ một - một từ 1 X   lên    X . Ta gọi 1   là quan hệ tương đương trên X được cảm sinh một cách tự nhiên bởi  . 8 1.2. Tương đẳng. Nửa nhóm thương 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử S là nửa nhóm và  là một quan hệ trên S . Khi đó  được gọi là ổn định bên phải (trái) nếu ab    ,a b S kéo theo   bc cb  ac ca , với mọi cS . Quan hệ  được gọi là tương đẳng phải (trái) nếu  là quan hệ tương đương và ổn định phải (trái). Quan hệ  được gọi là một tương đẳng trên S nếu  vừa là tương đẳng phải, vừa là tương đẳng trái. 1.2.2. Nửa nhóm thương. Giả sử  là một tương đẳng trên nửa nhóm S . Khi đó  là quan hệ tương đương trên S , do đó ta có thể xét tập thương S  , tức là tập các lớp tương đương của S theo mod  . Giả sử ,AB là hai phần tử tùy ý của S  . Nếu 2 1 ,a a A và 2 1 ,b b B . Khi đó 12 aa  suy ra 1 1 2 1 a b a b  (vì  ổn định bên phải). Từ 12 bb  suy ra 2 1 2 2 a b a b  (vì  ổn định bên trái). Theo tính chất bắc cầu của  ta suy ra 1 1 2 2  a b a b . Do đó, tích AB của các lớp A và B được chứa trong một lớp tương đương C nào đó. Ta định nghĩa phép nhân   trong S  bằng cách đặt A B C . Từ tính chất kết hợp trong S ta suy ra tính kết hợp trong S  , và do đó S  trở thành nửa nhóm. Nửa nhóm S  được gọi là nửa nhóm thương của S theo mod  . Nếu S là nửa nhóm giao hoán thì S  cũng là nửa nhóm giao hoán. Nếu S là vị nhóm với đơn vị e thì S  là vị nhóm với đơn vị e  . Ta ký hiệu    a a S là lớp tương đương theo mod  chứa a . Điều đã nói trong định nghĩa trên của phép toán   có nghĩa đơn giản là . 2.2. Tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm. 21 2.3. Nửa nhóm con chuẩn tắc của một nửa nhóm. 27 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 2 MỞ ĐẦU Giả sử S là một nửa nhóm và  là một tương đẳng. THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1. Nửa nhóm các quan hệ trên một tập 4 1.2. Tương đẳng. Nửa nhóm thương. 8 1.3. Băng và nửa dàn. Băng các nhóm. 13 Chương 2. TƯƠNG ĐẲNG NHÓM TRÊN MỘT NỬA NHÓM 18 2.1. Tóm tắt. nửa nhóm và  là một tương đẳng trên S . Khi đó  được gọi là một tương đẳng nhóm nếu nửa nhóm thương S  là một nhóm. Các tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm đã được P. Dubreil và R. Croisot