Tương đẳng nhóm trên nửa nhóm e ngược và e nửa nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM VĂN CÔNG TƯƠNG ĐẲNG NHÓM TRÊN NỬA NHÓM E - NGƯỢC VÀ E - NỬA NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ Mã số : 60.46.01.04 Cán bộ hướng dẫn khoa học PGS.TS. LÊ QUỐC HÁN NGHỆ AN - 2014 Mục lục MỞ ĐẦU 3 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1 Tương đẳng. Nửa nhóm thương . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Băng và nửa dàn. Băng các nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 TƯƠNG ĐẲNG NHÓM TRÊN NỬA NHÓM E - NGƯỢC VÀ E - NỬA NHÓM. 15 2.1 Một số lớp nửa nhóm chính quy suy rộng. . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Nửa nhóm chính quy. Nửa nhóm chính quy suy rộng . 15 2.1.2 Nửa nhóm E - ngược. E - nửa nhóm . . . . . . . . . . 16 2.2 Tương đẳng nhóm trên nửa nhóm E - ngược . . . . . . . . . . 18 2.3 Tương đẳng nhóm trên một E - nửa nhóm . . . . . . . . . . . 23 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 MỞ ĐẦU Bài toán mô tả tương đẳng trên một nửa nhóm là một trong những bài toán trung tâm của lý thuyết nửa nhóm. Trong trường hợp đặc biệt nếu S là một nhóm thì mỗi tương đẳng trên S hoàn toàn được xác định bởi lớp tương đẳng chứa đơn vị. Tuy nhiên, nếu S là nửa nhóm tuỳ ý, bài toán mô tả cấu trúc tương đẳng trên S nói chung rất phức tạp. Độc lập với nhau, Vacne (1953) và Preston (1954) đã mô tả được cấu trúc của một tương đẳng trên một nửa nhóm ngược dựa vào hệ hạt nhân chuẩn của nó. Hơn 30 năm sau (1986), Francis Pastijn và Mario Petrich mới mô tả được cấu trúc tương đẳng trên nửa nhóm chính quy dựa vào hạt nhân và vết của nó. Dựa trên ý tưởng đó, cấu trúc của nhiều nửa nhóm liên quan với nửa nhóm chính quy( Nửa nhóm E- ngược, E - nửa nhóm, nửa nhóm orthodox, nửa nhóm chính quy suy rộng ) được mô tả một cách khá tường minh. Những năm đầu thế kỷ này, các tác giả chuyển sang quan tâm đến bài toán: tìm điều kiện của một tương đẳng ρ trên nửa nhóm S sao cho nửa nhóm thương S/ρ có tính chất nào đó ( nói riêng, S/ρ là một nhóm). Trong trường hợp S là nửa nhóm tùy ý, cấu trúc của ρ khá phức tạp. Tuy nhiên, đối với một số lớp nửa nhóm đặc biệt, cấu trúc ρ được xác định tường minh hơn. Bản luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo Congruences and group congruences on a semigroup của Roman S. Gigo ´ n đăng trên tạp chí Semigroup Forum năm 2013 để tìm hiểu về tương đẳng nhóm trên nửa nhóm E - ngược và E - nửa nhóm. 4 Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chương này trước hết chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về tương đẳng của nửa nhóm như tương đẳng, tương đẳng cú pháp, nửa nhóm thương, đồng cấu tự nhiên. Sau đó trình bày về băng, nửa dàn để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau. Chương 2. Tương đẳng nhóm trên nửa nhóm E - ngược và E - nửa nhóm Đây là nội dung chính của luận văn Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày các khái niệm và một số tính chất của nửa nhóm E - ngược và E - nửa nhóm. Sau đó trình bày những tính chất đặc trưng của tương đẳng nhóm trên nửa nhóm E - ngược và E - nửa nhóm Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo PGS. TS. Lê Quốc Hán. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Qua đây tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Sư phạm Toán học cùng các bạn học viên cao học 20 - Đại số đã quan tâm giúp đỡ và hướng dẫn tận tình tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những sai sót. Kính mong quý thầy cô và bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn. Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tương đẳng. Nửa nhóm thương 1.1.1 Định nghĩa. Giả sử ρ là một quan hệ tương đương trên nửa nhóm S. Khi đó (i) ρ được gọi là tương đẳng phải nếu ρ ổn định bên phải, nghĩa là với mọi x,y,z ∈ S,xρy ⇒ xzρyz. (ii) ρ được gọi là tương đẳng trái nếu ρ ổn định bên trái, nghĩa là với mọi x,y,z ∈ S,xρy ⇒ zxρzy. (iii) ρ được gọi là tương đẳng nếu nó vừa là tương đẳng trái vừa là tương đẳng phải. Chúng ta nhắc lại rằng một quan hệ tương đương ρ phân hoạch miền xác định S thành các lớp tương đương xρ (x ∈ S). Một lớp tương đương của một tương đẳng được gọi là một lớp tương đẳng. Nếu ρ là một tương đẳng thì nó bảo toàn tích của S, nghĩa là nếu các phần tử x 1 ,y 1 và x 2 ,y 2 thuộc cùng những lớp tương đẳng (x 1 ρ = y 1 ρ,x 2 ρ = y 2 ρ) thì tích x 1 x 2 ,y 1 y 2 cũng thuộc cùng một lớp tương đẳng. 1.1.2 Bổ đề. Một quan hệ tương đương ρ trên nửa nhóm S là một tương đẳng nếu và chỉ nếu với mọi x 1 ,x 2 ,y 1 ,y 2 có: x 1 ρy 1 , x 2 ρy 2 ⇒ x 1 x 2 ρy 1 y 2 . 6 Chứng minh. Giả sử ρ là một tương đẳng. Nếu x 1 ρy 1 và x 2 ρy 2 thì theo định nghĩa, x 1 x 2 ρx 1 y 2 và x 1 y 2 ρy 1 y 2 , do tính chất bắc cầu của ρ suy ra x 1 y 1 ρx 2 y 2 . Khẳng định ngược lại là hiển nhiên. 1.1.3 Định nghĩa. Giả sử X là một tập con của nửa nhóm S. Xác định một quan hệ Γ X như sau: (x,y ∈ Γ X ) ⇔ ∀u,v ∈ S 1 ,uxv ∈ X,uyv ∈ X. Khi đó Γ X là một tương đẳng trên S và được gọi là tương đẳng cú pháp của X trong S. Chúng ta nói rằng một tương đẳng ρ bão hoà một tập con X của nửa nhóm S nếu X là hợp của các lớp tương đẳng của ρ. 1.1.4 Bổ đề. Một tương đẳng ρ bão hoà X ⊆ S nếu và chỉ nếu X =  x∈X xρ Chứng minh. Vì x ∈ xρ nên X luôn luôn được chứa trong  x∈X xρ. Hơn nữa, nếu ρ bão hòa X, thì X =  x∈X xρ. Khẳng định ngược lại là hiển nhiên. 1.1.5 Bổ đề. Đối với mọi tập con X ⊆ S, quan hệ Γ X là tương đẳng lớn nhất bão hòa X Chứng minh. Khẳng định Γ X là tương đẳng trên S được suy ra trực tiếp từ cách xác định Γ X . Rõ ràng, X được chứa trong hợp của tất cả xΓ X (x ∈ X). Hơn nữa, nếu y ∈ xΓ X thì bằng cách chọn u = v = λ trong định nghĩa của Γ X , chúng ta nhận được x ∈ X kéo theo y ∈ X. Từ đó xΓ X ⊆ X với mọi x ∈ X và do đó X =  x∈X xΓ X . Suy ra Γ X bão hòa X Giả sử ρ là một tương đẳng bảo hòa X. Theo Bổ đề 1.1.4 có X =  x∈X xρ. Giả thiết rằng xρy và u,v ∈ S 1 là các phần tử tùy ý. Thế thì uxρuy và uxvρuyv. Từ đó uxv ∈ X nếu uyv ∈ X, vì ρ bão hòa X. Như vậy (xy) ∈ Γ X và do đó ρ ⊆ Γ X . Vậy Γ X là tương đẳng lớn nhất trên S bão hòa X. 1.1.6 Định nghĩa. Giả sử ρ là một tương đẳng trên S, và giả sử S/ρ = {xρ|x ∈ S} là tập hợp tất cả các lớp tương đẳng của S. Khi đó tương ứng (xρ,yρ) −→ xyρ 7 là một phép toán hai ngôi trên S/ρ và với phép toán đó, S/ρ trở thành một nửa nhóm được gọi là nửa nhóm thương (của S modul ρ). Để chứng tỏ Định nghĩa 1.1.6 hợp lý, ta chỉ cần chứng tỏ phép toán hai ngôi xác định trong S/ρ như trên có tính chất kết hợp. Thật vậy, với mọi x,y,z ∈ S, ta có xρ.(yρ.zρ) = xρ.(yzρ) = (x(yz))ρ = ((xy)z)ρ = (xy)ρ.zρ = (xρ.yρ).zρ. 1.1.7 Ví dụ. a) Xét nửa nhóm S = {a,b,e, f } với bảng nhân dưới đây e a f b e e a f b a a e b f f f b f b b b f b f Khi đó e và f là các lũy đẳng, e là đơn vị của S Giả sử ρ là một quan hệ trên S khác quan hệ đồng nhất. Thế thì chỉ có f ρb và bρ f , và ρ là một tương đẳng trên S với các lớp tương đẳng x = {c}, y = {a} và z = { f ,b}. Bảng nhân của nửa nhóm thương S/ρ được cho bởi bảng sau x y z x x y z y y x z z x z z Tương tự, quan hệ đối xứng ρ 1 (với i s ⊆ ρ 1 ) sao cho eρ 1 a và f ρ 1 b là một tương đẳng. Nó chỉ có hai lớp tương đẳng là {e,a} và { f ,b}, do đó nửa nhóm thương S/ρ 1 là một nửa nhóm có hai phần tử. Quan hệ đối xứng ρ 2 sao cho aρ 2 b không phải là một tương đẳng vì a.a = e và a.b = f trong S nhưng (e, f ) /∈ ρ 2 . Trong trường hợp này, ρ 2 không tương thích với tích của S : (a,b) ∈ ρ 2 nhưng (aa,ab) /∈ ρ 2 . b) Nếu ρ là một tương đẳng của S = (Z,+), thì nρm kéo theo (n + k)ρ(m + k), ∀k ∈ Z. Giả thiết rằng k là số nguyên không âm nhỏ nhất sao cho nρ(n + k) với n nào đó thuộc Z. Nói riêng, 0ρk. Ký hiệu m là số dư còn lại của của m được 8 chia bởi k: 0 ≤ m ≤ m và m = m( mod k). Khi đó mρm. Điều ngược lại cũng đúng, và như vậy các tương đẳng của (Z,+) thực chất là các tương đẳng đã xét trong Lý thuyết số, ρ bằng mod k (k >0). Bây giờ, ta chứng minh các tương đẳng của một nửa nhóm S đóng dưới phép lấy giao. 1.1.8 Mệnh đề. (i) Nếu {ρ i |i ∈ I} là một họ các tương đẳng của S, thì ρ =  i∈I ρ i cũng là một tương đẳng của S. (ii) Giả sử δ ⊆ S.S là một quan hệ trên S. Thế thì: δ c = ∩{ρ|ρ là một tương đẳng trên S, ρ ⊇ δ} là tương đẳng bé nhất của S chứa δ . Chứng minh. (i) Giả sử xρy và z ∈ S. Khi đó xρ i y, với mọi i ∈ I và do đó zxρ i zy, xzρ i yz, với mọi i ∈ I, vì ρ i là tương đẳng, với mọi i ∈ I. Từ đó zxρzy và xzρyz. Do đó ρ là một tương đẳng trên S. (ii) Khẳng định thứ hai được suy ra trực tiếp từ khẳng định thứ nhất và định nghĩa giao của các tập hợp. 1.1.9 Định nghĩa. Giả sử ρ là một tương đẳng trên S. Khi đó ánh xạ ρ : S −→ S/ρ,ρ (x) = xρ là một toàn cấu và được gọi là đồng cấu tự nhiên. Vì ρ là một toàn ánh, nên để chứng tỏ định nghĩa trên hợp lý, ta chỉ cần chứng minh ρ là đồng cấu. Thật vậy, ∀x , y ∈ S có ρ (xy) = xyρ = xρ.yρ = ρ (x).ρ (y). 1.1.10 Định nghĩa. Giả sử α : S −→ P là một đồng cấu nửa nhóm. Khi đó quan hệ {(x,y) ∈ S.S|α(x) = α(y)} là một tương đẳng trên S, được gọi là hạt nhân của α và được ký hiệu là ker(α). 9 Người ta cũng viết ker(α) = αα −1 , trong đó α −1 (y) = {x ∈ S|α(x) = y} và αα −1 được hình dung như là tích các quan hệ (thực hiện từ trái qua phải). Sự kiện ker(α) là một tương đẳng được suy ra trực tiếp từ định nghĩa đồng cấu nửa nhóm và cách xác định ker(α). Hơn nữa, nếu ρ là một tương đẳng trên S, thì ρ = ker (ρ ). Thật vậy, xρy ⇔ xρ = yρ ⇔ ρ (x) = ρ (y) ⇔ (x,y) ∈ Ker(ρ ). Gộp các kết quả trên, ta nhận được 1.1.11 Hệ quả. Mỗi tương đẳng là một hạt nhân của đồng cấu nào đó. Bây giờ ta chuyển sang chứng minh các Định lý về đồng cấu và đẳng cấu nửa nhóm. 1.1.12 Định lí. Giả sử α : S −→ P là một đồng cấu tùy ý. Tồn tại duy nhất một phép nhúng β : S/ker(α) −→ P sao cho biểu đồ sau đây giao hoán: S α // ker(α) $$ P :: β S/ker(α) nghĩa là α = β .ker(α) . Chứng minh. Giả sử ρ = ker(α) và ρ : S −→ S/ρ là đồng cấu tự nhiên. Tương ứng β : S/ρ −→ P xác định bởi β (xρ) = α(x) với mọi x ∈ S là một ánh xạ. Thật vậy, xρ = yρ ⇔ (x,y) ∈ ker(α) ⇔ α(x) = α(y) ⇔ β (xα) = β (yα). Từ đây cũng trực tiếp suy ra α là đơn ánh. Hơn nữa, β là đồng cấu, vì β (xρ.yρ) = β(xyρ) = α(xy) = α(x ).α(y) = β (xρ).β (yρ) Cuối cùng, β là duy nhất vì nếu γ : S/ρ −→ P là một phép nhúng thỏa mãn α = γ.ρ thì α(x) = γ(xρ),∀x ∈ S nên β (xρ) = γ(xρ),∀xρ ∈ S/ρ. Do đó γ = β . 10 1.1.13 Định lí. (Định lý đồng cấu nửa nhóm).Giả sử α : S −→ P là đồng cấu nửa nhóm và ρ ⊆ ker(α) là một tương đẳng của S. Thế thì tồn tại một đồng cấu duy nhất β : S/ρ −→ P sao cho α = β.ρ , trong đó ρ : S −→ S/ρ là đồng cấu tự nhiên. Chứng minh. Chứng minh hoàn toàn tương tự như chứng minh Định lý 1.1.12. Ở đây chúng ta chú ý rằng ánh xạ β cho bởi β (xρ) = α(x) là hoàn toàn xác định, vì xρ = yρ ⇒ xρy ⇒ (x,y) ∈ ρ ⇒ (x,y) ∈ ker(α) ⇒ α(x) = α(y), do ρ ∈ ker(α) Định lý đồng cấu cũng như Định lý đẳng cấu tiếp theo là những kết quả đại số phổ dụng tiêu biểu, nghĩa là chúng được thỏa mãn trong tất cả các cấu trúc đại số (nhóm, vành, đại số Bool ) 1.1.14 Định lí. (Định lý đẳng cấu nửa nhóm). Giả sử α : S −→ P là một đẳng cấu. Thế thì α(S)  S/ker(α) Chứng minh. Vì α : S −→ P là một đồng cấu nên α : S −→ α(S) là một toàn cấu. Theo Định lý 1.1.12, chúng ta nhận được một phép nhúng duy nhất β : S/ker(α) −→ α(S). Hơn nữa, β là toàn ánh vì α là toàn ánh từ S vào α(S ) và α = β γ với γ = ker(α). Do đó β là một đẳng cấu, từ đó S/ker(α)  α(S). 1.2 Băng và nửa dàn. Băng các nhóm 1.2.1 Định nghĩa. Một quan hệ ≤ trên một tập hợp X được gọi là một thứ tự bộ phận nếu nó có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Ta sẽ dùng kí hiệu a < b để chỉ a ≤ b và a = b. 1.2.2 Bổ đề. Giả sử E là tập hợp tất cả các lũy đẳng của nửa nhóm S. Khi đó quan hệ ≤ xác định trên E bởi: e ≤ f (e, f ∈ E) nếu e f = f e = e là một thứ tự bộ phận trên E [...]... e e e e f g e a e e e e e e e e e e f g Thế thì S là một nửa nhóm nhưng không phải là nửa nhóm E - ngược Thật vậy, Reg(S) = {a, c, d, e, f , g} nên Reg(S) = S Do đó S không phải là nửa nhóm chính quy nên S không phải là nửa nhóm E - ngược 2.2 Tương đẳng nhóm trên nửa nhóm E - ngược Giả sử T là một tính chất nào đó của nửa nhóm Khi đó tương đẳng ρ trên nửa nhóm S được gọi là một T -tương đẳng nếu nửa. .. d, e, f , g, h} Với phép nhân cho bởi bảng sau: a b c d e f g h a b a d c b c c f d g e f h g b a h c d f d c e g e f h g b a h c b a d e h e b h b d e d f g f a g g g c a a c c a f c g f f h h b b d e d e h Khi đó S là một nửa nhóm E - ngược 18 c) Giả sử S = {a, b, c, d, e, f , g} Với phép nhân cho bởi bảng sau: a b c d e f g a b e e g d a e e d e e g e e f c e f e e e f e d e e e d e e e d e e e e... ∈ W (a), e, f ∈ ES Vì e ∈ W (e) và f ∈ W ( f ) nên ea∗ ∈ W (e) W (a) ⊆ W (ae) Từ đó ea∗ = ea∗ aea∗ = (ea∗ )a(ea∗ ) Do đó ea∗ ∈ W (a) Tương tự, a∗ e ∈ W (a) Cuối cùng, ea∗ f ∈ W (e) W (a)W ( f ) ⊆ W ( f ae) nên ea∗ f = ea∗ f f aeea∗ f = (ea∗ f )a(ea∗ f ) Từ đó ea∗ f ∈ W (a) 2.3.3 Mệnh đề Giả sử S là một E - nửa nhóm E - ngược Thế thì ρ1 ,E = ρ2 ,E = ρ3 ,E = ρ4 ,E Chứng minh Giả sử (a, b) ∈ ρ2 ,E và a∗ ∈ W... ∈ E Như vậy E là một tương đẳng trái trên S Tương tự ta chứng minh được E là tương đẳng phải trên S Ta lại có, nếu e, f ∈ ES , thế thì ee, e f ∈ ES Do đó (e, f ) ∈ E đối với tất cả các e, f ∈ ES Bổ đề 2.2.4 (i) nói rằng mỗi E -lớp của S chứa một phần tử chính quy Điều này kéo theo S/ E là một nhóm Hơn nữa x ∈ Ker E ⇔ e ∈ ES [(x, e) ∈ E ] ⇔ e, f ∈ ES [ f x = eg] ⇔ x ∈ ES ω, do đó Kerδ = ES... Vì e ∈ E nên e2 = e, do đó e ≤ e nên ≤ phản xạ Hơn nửa, nếu e ≤ f , f ≤ e thì e f = f e = e và f e = e f = f nên e = f , do đó ≤ phản đối xứng Ta lại có: nếu e ≤ f và f ≤ g thì e f = f e = e và f g = g f = f nên: eg = (e f )g = e( f g) = e f = e, ge = g( f e) = (g f )e = f e = e Do đó, e ≤ g nên ≤ bắc cầu 1.2.3 Định nghĩa Quan hệ ≤ xác định trong Bổ đề 1.2.2 được gọi là thứ tự bộ phận tự nhiên trên E. .. Semigroup Theory , Academic Press, London [5] H Mitsch, Petrich M (2000), Basic properties on E- inversive semigroups, Comm Algebra, 28, 5169-5182 [6] Mitsch H., Petrich M (2001), Restricting idempotents in E- inversive semigroups Acta Sci Math (Szeged) 67, 555–570 [7] M Petrich (1984), Inverse Semigroups Wiley, New York [8] Y Yang, Z Tian (2011), The group congruences on E- inversive semigroups Int J Contemp... toàn cấu và các nửa nhóm con Sα là các lớp của tương đẳng hạt nhân Kerϕ Đảo lại, nếu ϕ là một toàn cấu từ một nửa nhóm S lên một băng I thì ảnh ngược Sα = ϕ −1 (α) của mỗi phần tử α ∈ I là một nửa nhóm con của S và S là hợp của nửa dàn I các nửa nhóm Sα , α ∈ I Chương 2 TƯƠNG ĐẲNG NHÓM TRÊN NỬA NHÓM E - NGƯỢC VÀ E - NỬA NHÓM 2.1 Một số lớp nửa nhóm chính quy suy rộng 2.1.1 Nửa nhóm chính quy Nửa nhóm. .. tích trên KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày các vấn đề sau đây: 1 Hệ thống các kiến thức liên quan đến tương đẳng và nửa nhóm thương, băng và nửa dàn 2 Định nghĩa và tính chất của một số nửa nhóm chính quy suy rộng như E nửa nhóm, nửa nhóm E - ngược, I - S nửa nhóm 3 Các tính chất đặc trưng của tương đẳng trên nửa nhóm E - ngược (Mệnh đề 2.2.8, Định lý 2.2.11) và trên E - nửa nhóm. .. Kerδ = ES ω Như vậy ES ω S (theo Định lý 2.4 [6]) Cuối cùng, E ⊆ ρN đối với mỗi N S Thật vậy, ES ⊆ N Từ đó ES ω ⊆ Nω = N Như vậy, E = ρES ω ⊆ ρN (theo Định lý 2.4 [6]) Do đó δ = E 2.3.6 Hệ quả Tương đẳng nhóm nhỏ nhất δ trên một E - nửa nhóm E - ngược được cho bởi δ = {(a, b) ∈ S × S : e ∈ ES [eae = ebe]} 26 2.3.7 Chú ý Chú ý rằng điều kiện ” e ∈ ES [eae = ebe]” từ hệ quả trên tương đương với điều... một nửa nhóm E - ngược Chứng minh Giả sử a ∈ S Từ định nghĩa tương đẳng Rixơ (Rees) trên S suy ra iđêan SaS có ít nhất một luỹ đẳng, nghĩa là xay = e ∈ S, trong đó x, y ∈ S Từ đó suy ra exaye = e Như vậy yex = (yex)a(yex), do đó yex ∈ W (a) 2.1.4 Ví dụ a) Nửa nhóm nhân các số tự nhiên (N, ·) là nửa nhóm E - ngược nhưng nửa nhóm nhân các số tự nhiên khác không (N∗ , ·) không phải là nửa nhóm E - ngược . e e e e e e e e e f e e e e e e f g a e e e e e g Thế thì S là một nửa nhóm nhưng không phải là nửa nhóm E - ngược. Thật vậy, Reg(S) = {a, c,d ,e, f ,g} nên Reg(S) = S. Do đó S không phải là nửa. e d e h Khi đó S là một nửa nhóm E - ngược. 18 c) Giả sử S = {a,b,c,d ,e, f ,g}. Với phép nhân cho bởi bảng sau: a b c d e f g a e g a e e g e b e d e d e e f c e f e e e f e d e d e d e e e e. rộng . 15 2.1.2 Nửa nhóm E - ngược. E - nửa nhóm . . . . . . . . . . 16 2.2 Tương đẳng nhóm trên nửa nhóm E - ngược . . . . . . . . . . 18 2.3 Tương đẳng nhóm trên một E - nửa nhóm . . . . . . .