Phân tích phổ toán tử laplace đẳng biến trên nửa mặt phẳng poincaré

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRỊNH NGỌC TIẾN PHÂN TÍCH PHỔ TOÁN TỬ LAPLACE ĐẲNG BIẾN TRÊN NỬA MẶT PHẲNG POINCARÉ Chuyên nghành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS TSKH ĐỖ NGỌC DIỆP HÀ NỘI - NĂM 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hình học toán tử vi phân 1.2 Một nghiệm phương trình lϕ = s(1 − s)ϕ 1.3 Giải toán tử Laplace nửa mặt phẳng Poincaré với σ > 11 1.4 Sự đối xứng toán tử Laplace nửa mặt phẳng Poincaré Mô hình Whittaker cho phổ rời rạc 15 19 2.1 Hàm Green phương trình Whittaker 19 2.2 Phân tích giải nửa mặt phẳng Poincaré với σ > 2.3 Phương trình −ψ (y) = 2.4 Hàm riêng Laplacian không gian Hilbert E = L2 (Γ\H) s(1−s) y ψ(y) Chuỗi Eisenstein phổ liên tục 23 [a, ∞) 28 31 37 3.1 Phương trình giải khoảng < σ < 37 3.2 Toán tử Eisenstein hàm Eisenstein 40 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 Mở đầu Trong luận văn này, việc phân tích phổ toán tử Laplace đẳng biến nửa mặt phẳng Poincaré sử dụng theo phương pháp phân tích từ lý thuyết nhiễu lý thuyết tán xạ,lý thuyết phân tích phổ chứng minh biết hàm Eisenstein tương ứng có loại với thác triển giải tích,và liên quan với SL(2, Z).Thác triển giải tích họ toán tử thực đồng thời với thác triển nhân chúng Nguồn gốc phương trình hàm thác triển giải tích nằm phương trình giải R(s) − R(s ) = [s(1 − s) − s (1 − s )]R(s)R(s ), với R(s) giải toán tử Laplace Thay nghiên cứu R(s) ta có công thức R(s) = Q(s) + (I + ωQ(s)) C(s) (I + ωQ(s)) , công thức tìm giải cho toán tử C(s) Toán tử Laplace L mở rộng thành toán tử tự liên hợp A không gian Hilbert E = L2 (Γ\H) Chúng ta muốn mô tả phân tích phổ A cách mô tả không gian riêng tìm nhân η(z, s) gọi hàm Eisentein.Hàm Eisentein thỏa mãn phương trình hàm định gắn với lý thuyết phổ Cấu trúc luận văn gồm chương: Chương trình bày tóm tắt kiến thức chuẩn bị toán tử Laplace diện Riemann; Chương trình bày mô hình Whittaker cho phổ rời rạc; Chương trình bày chuỗi Eisenstein phổ liên tục Mặc dù cố gắng kiến thức hạn chế nên làm luận văn không tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2015 Học viên Trịnh Ngọc Tiến Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành nỗ lực thân có hướng dẫn tận tình GS TSKH Đỗ Ngọc Diệp Thầy dành nhiều thời gian quý báu để kiên trì hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người thầy Tôi muốn gửi tới toàn thể thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô đảm nhận giảng dạy khóa Cao học 2012 - 2014, đặc biệt thầy cô tham gia tham gia giảng dạy nhóm giải tích 2012 - 2014 lời cảm ơn chân thành công lao dạy dỗ suốt thời gian khóa học Tôi xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, anh chị em nhóm Cao học Toán 2012-2014, đặc biệt anh chị em nhóm Giải tích quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện động viên tinh thần để hoàn thành khóa học Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hình học toán tử vi phân Hình học Kí hiệu G = SL(2, R) nhóm ma trận vuông cấp có định thức trường số thực R G = SL(2, R) = a b c d | a, b, c, d ∈ R, ad − bc = Kí hiệu H nửa mặt phẳng phức (còn gọi nửa mặt phẳng Poincaré) H = {x + iy, x, y ∈ R, y > 0} Nhóm G tác động lên H phép biến đổi phân tuyến tính: z → gz = Xét hàm az + b a b , với g = c d ∈ G, z ∈ H cz + d |z − z |2 u(z, z ) = , 4yy với z = x + iy, z = x + iy Rõ ràng u(z, z ) bất biến G tức u(z, z ) = u(gz, gz ), với ∀g ∈ G Trên nửa mặt phẳng H , metric Poincaré định nghĩa ds2 = dzdz dx2 + dy = y2 y2 Dễ dàng ta có d(gz) = dz , (cz + d)2 Im(gz) = Imz |cz + d|2 Định nghĩa 1.1 Nếu z(t) = x(t) + iy(t), t ∈ [a, b] đường cong H chiều dài b x (t)2 + y (t)2 dt s= y(t) a Định nghĩa 1.2 Hàm khoảng cách ς(z, z ) chiều dài đường cong trắc địa nối hai điểm z z Để x(t) + iy(t) đường cong nối i iy0 chiều dài y(b) y (t) dt y(t) ς(i, iy0 ) = y(a) t Khoảng cách i it (t > 1) ς(i, it) = dy y = ln t * D = {z : |z| < 1} đĩa đơn vị với 4(dx2 + dy ) 4(dx2 + dy ) ds = = , (1 − x2 − y )2 (1 − r2 )2 với r2 = x2 + y Khi khoảng cách cho r dρ 1+r = ln 1−ρ 1−r ς(r) = * Diện tích đĩa bán kính r cho r 2π A(r) = 4ρdρdθ 4πr2 = (1 − ρ2 ) − r2 Toán tử vi phân Định nghĩa 1.3 Cho g đại số Lie G với g tập ma trận có vết Cho X ∈ g, toán tử vi phân LX C ∞ (H) cho LX f (z) = d f (etX z) |t=0 dt Với X1 = 0 , X2 = 0 , X3 = 0 −1 , kí hiệu L1 = LX1 , L2 = LX2 , L3 = LX3 Theo tọa độ z = (x, y) đó,dễ dàng ta chứng minh L1 = ∂ , ∂x ∂ ∂ − 2xy , ∂x ∂y ∂ ∂ + 2y , L3 = 2x ∂x ∂y ∂2 ∂ L = −y ( + ) = −L23 − (L2 L3 + L3 L2 ) ∂x ∂y L2 = (y − x2 ) Định nghĩa 1.4 Toán tử L = −y H ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y gọi toán tử Laplace Định nghĩa 1.5 Cho f, g ∈ Cc∞ (H) ta định nghĩa tích vô hướng f, g = f (z).g(z)dµ(z), H với dµ(z) = dxdy y2 độ đo G-bất biến H • Cho ϕ, ψ ∈ Cc∞ (H) hàm thực Lϕ, ψ = Lϕ.ψ dxdy y2 H • Cho ϕ ∈ C ∞ hàm thực dương z0 ∈ H Đặt f (z) = ϕ(u(z, z0 )) ta dễ dàng chứng minh Lf = lϕ, với lϕ(u) = −(u2 + u)ϕ (u) − (1 + 2u)ϕ (u) 1.2 Một nghiệm phương trình lϕ = s(1 − s)ϕ Ta trình bày nghiệm phương trình vi phân cho toán tử Laplace hàm khoảng cách Cho 1 ϕs (u) = ϕ(u, s) = 4π [t(1 − t)]s−1 (t + u)−s dt, tích phân hội tụ tuyệt s = σ + iτ, σ > u > Định nghĩa 1.6 Cho hai hàm f, g g ≥ ta định nghĩa f số c cho |f (z)| ≤ c.g(z), ∀z ∈ H, hay ta viết f = O(g) Để nói hàm f bị chặn ta viết f = O(1) Định lí 1.1 Hàm ϕ(u, s) hàm giải tích theo s, C ∞ theo u i) lϕ = s(1 − s)ϕ ; ii) ϕ(u, s) = −1 4π ln u + O(1) s,u → ; g tồn iii) ϕ (u, s) = −1 4πu + O(1) u,s → 0; iv) ϕ(u, s) = O(u−σ ) u → ∞ Chứng minh u → ∞ suy ϕ(u, s) = O(u−σ ) hiển nhiên Bằng tính toán trực tiếp ta thấy Mu = (u2 + u)( d d ) + (1 + 2u) + s(1 − s), du du Mu [t(1 − t)]s−1 (t + u)−s = s d [t(1 − t)]s−1 (t + u)−s−1 dt Nên 1 d [t(1 − t)]s−1 (t + u)−s−1 dt dt [t(1 − t)]s−1 (t + u)−s dt = s Mu 0 = s [t(1 − t)]s−1 (t + u)−s−1 = Vậy Mu ϕ = ⇒ lϕ − s(1 − s)ϕ = Tiếp theo ta chứng minh [t(1 − t)]s−1 (t + u)−s dt = − ln u + O(1) = Thật vậy, ta có + , cho u → ta có = O(1) 2 Xét tích phân: I = r s−1 t (1 − t)s−1 (t+u) s dt A(r, u) = r u Đổi biến t = uτ ta có A(r, u) = −s dτ τ (1 + τ1 ) = B( ur ); ts−1 s dt (t+u) Tài liệu tham khảo [1] S Lang, SL(2, R), Springer – Verlag, New York – Berlin – Heidelberg – Tokyo,1974 [2] T.Kubota, Elementary Theory of Eisenstein Series, Kodansha LTD Tokyo John Wiley & Sons, New York - London - Sydney - Toronto, 1973 43