Chỉ số Green trong nửa nhóm

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THANH TUẤN CHỈ SỐ GREEN TRONG NỬA NHÓM LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Nghệ An-2014 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THANH TUẤN CHỈ SỐ GREEN TRONG NỬA NHÓM LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. LÊ QUỐC HÁN Nghệ An – 2014 3 MỤC LỤC Trang I. Mở đầu: 2 II. Nội dung: 5 Chương 1. Các quan hệ Green trên nửa nhóm: 5 1.1. Các quan hệ Green trên nửa nhóm 5 1.2. D – lớp chính quy 9 1.3. Nhóm Schutzenberger của H – lớp 14 Chương 2. Chỉ số Green trong nửa nhóm 19 2.1. Chỉ số Green trong nửa nhóm 19 2.2. Các Bổ đề chép lại 21 2.3. Phần tử sinh của nửa nhóm con 25 2.4. Phần tử sinh của các nửa nhóm Schutzenberger 29 III. Kết luận 33 IV. Tài liệu tham khảo 34 4 MỞ ĐẦU Năm 1951, trong bài báo On the structure of semigroups đăng trên tạp chí Ann. Math. số 54, J. A. Green đã đưa ra một số quan hệ tương đương dựa trên một nửa nhóm mà chúng đã trở thành những công cụ được sử dụng rộng rãi để nghiên cứu cấu trúc của các nửa nhóm. Các quan hệ Green phân hoạch các phần tử của một nửa nhóm theo các iđêan chính mà chúng sinh ra, chẳng hạn hai phần tử x và y được gọi là có quan hệ R với nhau nếu chúng sinh ra cùng một iđêan chính phải, nghĩa là 1 1 xS yS= . Sau đó, năm 1962, A. D. Wallace nhận xét rằng mỗi quan hệ Green trên nửa nhóm S cảm sinh một quan hệ Green trên nửa nhóm con T của S mà ông gọi là quan hệ Green tương đối. Chẳng hạn hai phần tử ,x y S∈ có quan hệ R tương đối với T nếu các iđêan chính phải của T tương đối trùng nhau nghĩa là 1 1 xT yT= . Các khái niệm A. D. Wallace đưa ra được áp dụng rộng rãi trong lý thuyết nửa nhóm, đặc biệt là trong lý thuyết nửa nhóm tôpô. Mặt khác, khái niệm lớp ghép dẫn đến khái niệm chỉ số. Khái niệm chỉ số là một khái niệm cơ bản trong lý thuyết nhóm. Việc mở rộng khái niệm chỉ số của nhóm con trong nhóm sang lý thuyết nửa nhóm đã gặp khá nhiều khó khăn. Năm 1978, A. Jura quan niệm đơn giản mỗi phần tử trong phần bù của nửa nhóm như một lớp ghép gồm một phần tử và khái niệm chỉ số của nửa nhóm con T trong nửa nhóm S là số phần tử trong phần bù S\T. Chỉ số này được gọi là chỉ số Ress. Mặc dù chỉ số Ress cung cấp nhiều thông tin đối với một số lớp nửa nhóm, nhưng trong một số lớp nửa nhóm khác, chỉ số Ress lại không nói lên được điều gì, chẳng hạn trong lớp nhóm vô hạn (vì một nhóm vô hạn không có một nhóm con thực sự nào có chỉ số Ress hữu hạn). 5 Trong bài báo Green index in semigroup: generatore, presentation and automatic structures, đăng trên tạp chí Semigroup Forum năm 2012, các tác giả Alan J. Cain, Robert Gray, Nick Ruskuc đã đưa ra khái niệm chỉ số Green trong các nửa nhóm và khảo sát các tính chất đặc trưng của chúng. Luận văn chúng tôi dựa trên bài báo đó để bước đầu tìm hiểu về chỉ số Green trong nửa nhóm Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương Chương 1. Các quan hệ Green trong nửa nhóm. Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm các quan hệ Green trong nửa nhóm, D - lớp chính quy và nhóm Schutzenberger của H - lớp để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau. Chương 2. Chỉ số Green trong nửa nhóm. Đây là nội dung chính của luận văn. Trước hết chúng tôi trình khái niệm chỉ số Green trong nửa nhóm và các bổ đề chép lại. Từ đó xác định các phần tử sinh đối với nửa nhóm con và các phần tử sinh đối với các nhóm Schutzenberger. Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy PGS.TS Lê Quốc Hán. Nhân dịp này, tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Lê Quốc Hán, thầy đã đặt ra đề tài, chỉ dẫn đề cương nghiên cứu và đã tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong phòng Sau Đại học đã tạo điều kiện, giúp đỡ tôi trong quá trình công tác và học tập. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Vinh đã giảng dạy và hướng dẫn giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Cũng nhân dịp này, tôi xin chân thành cảm ơn 6 bạn bè đồng nghiệp và gia đình, đã động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn ! Vinh, tháng 09 năm 2014 Tác giả 7 Chương 1. CÁC QUAN HỆ GREEN TRÊN NỬA NHÓM 1.1. CÁC QUAN HỆ GREEN TRÊN NỬA NHÓM 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm. Ta định nghĩa các quan hệ L , R , J sau đây trên S: a L b 1 1 S a S b⇔ = a R b 1 1 aS bS ⇔ = a J b 1 1 1 1 S aS S bS ⇔ = trong đó 1 1 1 1 , ,S a aS S aS tương ứng là các iđêan chính trái, chính phải và iđêan chính của S được sinh ra bởi a. Rõ ràng L , R , J là các quan hệ tương đương trên S. Hơn nữa, L là một tương đẳng phải và R là một tương đẳng trái trên S. Với mỗi ,a S∈ ký hiệu , , a a a L R J tương ứng với các L - lớp, R - lớp, J - lớp tương đương chứa a. 1.1.2. Bổ đề. Các quan hệ L và R giao hoán với nhau và do đó quan hệ D = L o R = R o L là quan hệ tương đương bé nhất chứa L và R . Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh L o R ⊆ R o L . Giả sử (a,b) ∈ L o R . Khi đó, tồn tại c S ∈ sao cho a L c và c R b. Thế thì tồn tại 1 ,u v S∈ sao cho a uc= và b cv= , đặt d av ucv ub= = = . Vì L là tương đẳng phải nên ( ) ,a c ∈ L kéo theo ( ) ,av cv ∈ L nghĩa là ( ) ,d b ∈ L . Vì R là tương đẳng 8 trái nên ( ) ,c b ∈ R kéo theo ( ) ,uc ub ∈ R , nghĩa là ( ) ,a d ∈ R . Từ ( ) ,a d ∈ R và ( ) ,d b ∈ L kéo theo ( ) ,a b ∈ R o L và do đó L o R ⊆ R o L . D lớp chứa a được ký hiệu là a D . Chú ý rằng L ⊆ J và R ⊆ J nên D ⊆ J , và nói chung D ≠ J . Với mỗi a ∈ S, ta có hai ký hiệu thường dùng: J(a) là iđêan chính sinh bởi a, ( ) 1 1 J a S aS= và a J là tập tất cả các phần tử sinh của J(a), nghĩa là a J chính là D - lớp chứa a. 1.1.3. Định nghĩa. Quan hệ H trên S được xác định bởi H = L ∩ R , với mỗi a ∈ S, ký hiệu H – lớp chứa a là a H . 1.1.4. Chú ý. a) R - lớp R và L - lớp L của nửa nhóm S giao nhau khi và chỉ khi chúng được chứa trong một D – lớp của S. Thật vậy: giả sử a ∈ R và b ∈ L. Khi đó a D b khi và chỉ khi tồn tại c ∈ S sao cho (a, c) ∈ R và (c, b) ∈ L . Nhưng điều đó tương đương với điều kiện c ∈ R và c ∈ L, nghĩa là c ∈ L ∩ R. Do đó a D b khi và chỉ khi L ∩ R ≠ ∅ . Mặt khác, rõ ràng a D b khi và chỉ khi các D – lớp chứa R và L trùng nhau. W b) Để hình dung tốt hơn về các D - lớp của nửa nhóm S, ta dùng hình ảnh sau đây gọi là “ hộp trứng”. Hãy tưởng tượng các phần tử thuộc D được sắp thành một dãy hình chữ nhật giống các hộp dùng để sắp trứng, mà các dòng ứng với các R - lớp, còn các cột ứng với các L - lớp chứa trong D. Mỗi ô của hộp ứng với một H - lớp chứa trong D, và chú ý trên chứng tỏ trong hộp không có ô trống nào. Ta không giả thiết rằng các phần tử thuộc các H - lớp được sắp một cách đặc biệt nào đó. Ta sẽ thấy ngay các H - lớp chứa trong D có cùng cấp. Vậy có thể nói các ô của hộp trứng được sắp bởi một số giống nhau các phần tử thuộc nửa nhóm S. 9 c) Nếu a và b là các phần tử thuộc nửa nhóm S, thì ta có thể viết a b J J≤ trong trường hợp 1 1 1 1 S aS S bS⊆ , nghĩa là khi a ∈ J(b). Quan hệ ≤ là một thứ tự bộ phận trên tập J - lớp của S. d) Chú ý rằng một nửa nhóm là đơn trái (phải) khi và chỉ khi nó chỉ gồm một L – lớp ( R - lớp) và một nửa nhóm S là D - đơn hoặc song đơn nếu nó chỉ tồn tại gồm một D - lớp. Vì D ⊆ J nên mỗi nửa nhóm song đơn là một nửa nhóm đơn. Vì R ⊆ D và L ⊆ D nên mỗi nửa nhóm đơn phải hay đơn trái đều song đơn. 1.1.5. Bổ đề (Green). Giả sử a và b là các phần tử R – tương đương tùy ý thuộc nửa nhóm S và giả sử ' 1 ,s s S∈ sao cho as b = và ' bs a= . Khi đó các ánh xạ ( )∈a a x xs x L và (y )∈a b y ys L ngược nhau và bảo toàn các R – lớp và ánh xạ một - một từ a L lên b L và b L lên a L tương ứng. Chứng minh. Ta ký hiệu hai ánh xạ đó là σ và ' σ tương ứng. Chú ý rằng ' ( ) σ σ là cái thu hẹp của phép chuyển dịch trong bên phải ' ( ) s s ξ ξ trên tập a L ( b L ). Giả sử x ∈ a L .Vì L là tương đẳng phải nên (x, a) ∈ L kéo theo (xs,as) ∈ L từ đó xs ∈ b L . Vậy σ ánh xạ a L vào b L và tương tự ' σ ánh xạ b L vào a L . Giả sử x ∈ a L . Khi đó tồn tại phần tử t ∈ 1 S sao cho x ta = . Do đó, ' ' ' ' ss σσ = = = = = x xss ta tbs ta x . Vậy ' σσ là phép biến đổi đồng nhất của a L . Tương tự, ' σ σ là phép biến đổi đồng nhất của b L , nên σ và ' σ là các ánh xạ một - một ngược nhau từ a L lên b L và ngược lại. 10 Ta chứng tỏ σ bảo toàn các R - lớp. Thật vậy, nếu x ∈ a L và y x xs σ = = thì ' ys x= , nghĩa là ( ) ,y x ∈ R . Tương tự ta cũng chứng minh được ' σ bảo toàn các L - lớp. W 1.1.6. Định lý Giả sử a và c là các phần tử D - tương đương tùy ý thuộc nửa nhóm S. Khi đó tồn tại phần tử b ∈ S sao cho (a,b) ∈ R và ( ) ,b c ∈ L và do đó as b= , ' ' , ,bs a tb c t c b= = = với , ' , , ,s s t t nào đó thuộc 1 .S Các ánh xạ ( )∈a a x txs x H và ' ' ( )∈a c z t zs z H ngược nhau và ánh xạ một một các lớp a H và c H sang lẫn nhau. Đặc biệt, hai H - lớp nằm trong cùng một D – lớp thì có cấp như nhau. Chứng minh. Theo Bổ đề đối ngẫu với Bổ đề Green, các ánh xạ : ( ) τ ∈a b y ty y R và ' ' : ( ) ( ) τ ∈ ∈a c b z t z z R y R ngược nhau, bảo toàn các L - lớp và ánh xạ một – một từ b R lên c R và ngược lại. Giả sử σ và ' σ là các ánh xạ trong Bổ đề Green, nhưng thu hẹp trên a H và b H tương ứng. (Vì theo bổ đề Green các ánh xạ σ và ' σ bảo toàn các R – lớp nên cái thu hẹp của chúng ánh xạ một - một từ a H lên b H và ngược lại). Tương tự, giả sử τ và ' τ được thu hẹp trên b H và c H tương ứng. Khi đó στ và ' ' τ σ là các ánh xạ một – một ngược nhau từ a H lên b H và ngược lại. Nhưng chúng trùng với các ánh xạ nêu trong định lý. W 1.1.7. Định lý. Tích LR của L – lớp và R – lớp bất kỳ L và R tương ứng của nửa nhóm S được chứa hoàn toàn trong một D – lớp của S. Chứng minh. Định lý tương đương với điều khẳng định nếu ' ' , , ,a a b b là các phần tử thuộc S mà a L ' a , b R ' b thì ab D ' ' a b . Vì L là một tương đẳng phải nên ' ( , )a a ∈ L kéo theo ( ab , ' a b ) ∈ L . Vì R là một tương đẳng trái nên ' ( , )b b ∈ R kéo theo ' ' ' ( , )a b a b ∈ R . Do đó ' ' ( , )ab a b ∈ D . W [...]... nghĩa Giả sử T là một nửa nhóm con của nửa nhóm S Khi đó số H – lớp tương đối trong S \ T được gọi là chỉ số Green của T trong S Suốt trong chương này, S là một nửa nhóm và T là nửa nhóm con của S, và các quan hệ Green trong S ln ln được hiểu là các quan hệ Green tương đối đối với T, trừ trường hợp phát biểu ngược lại Nói cách khác, chúng ta sẽ viết xRy có nghĩa là xT1 = yT1 Trong trường hợp xS1= yS1... nào đó trong S \ T Vì T có chỉ số hữu hạn trong S nên tồn tại chỉ một số hữu hạn H – lớp T – tương đối trong R – lớp T – tương đối của H i W Như vậy, theo Định lý 2.4.2, nhóm Schutzenberger Γ hữu hạn sinh KẾT LUẬN Luận văn đã hồn thành được các việc sau: ( H i ) tương đối 34 1 Hệ thống các kiến thức liên quan đến các quan hệ Green trong nửa nhóm 2 Trình bày khái niệm chỉ số Green trong nửa nhóm 3... tùy ý thuộc chỉ khi ρ s H a = ρt H a T ( Ha ) đẳng thức ρ s Do đó ánh xạ ρt La = ρt La thỏa mãn khi và H a → ρt H c là một đẳng cấu từ Γ ( H a ) lên Γ ( H c ) Lập luận tương tự, có Γ' (Hc ) ≅ Γ' (H b ) Sử dụng Định lý 1.3.6 hai lần ta kết luận được rằng Γ ( H a ) ≅ Γ(Hb) W 20 Chương 2 CHỈ SỐ GREEN TRONG NỬA NHĨM 2.1 CHỈ SỐ GREEN TRONG NỬA NHĨM Giả sử S là một nửa nhóm Ta xây dựng vị nhóm S 1 như... tích được định nghĩa giống như trong T; nếu x, y ∈ U thì tích được định nghĩa giống như trong U ; nếu x ∈ T và y ∈U thì tích bằng φ (x) và y trong U; nếu x ∈ U và y ∈ T thì tích bằng x và φ (y) được lấy trong U Bây giờ chúng ta xét một cách khác mà nó có thể làm yếu các giả thiết trong Định lý 2.3.3 chăng? Giả sử S là một nửa nhóm và T là nửa nhóm con của S với chỉ số Green hữu hạn Giả sử C = { hi i... quả sau 33 2.4.3 Định lý Giả sử S là một nửa nhóm, T là nửa nhóm con của S với chỉ số Green hữu hạn và { H i i ∈ I } là các H – lớp T – tương đối trong phần bù S \ T Thế thì S hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu T hữu hạn sinh, khi đó tất cả các nhóm Schutzenberger tương đối Γ ( H i ) hữu hạn sinh Chứng minh Theo Định lý 2.3.1 và 2.3.3, S là hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu T hữu hạn sinh Giả thiết rằng S và... cách cố định một cách chọn đặc biệt của σ và τ trong Bổ đề 2.2.2 Kết quả sau đây đưa ra một sự tổng qt hóa kết quả cổ điển của Schreier đối với các nhóm và định lý tương tự đối với nửa nhóm chỉ số Ress hữu hạn của Jura (xem [ 6] ) 27 2.3.3 Định lý Giả sử S là một nửa nhóm được sinh bởi A ⊆ S , T là một nửa nhóm con của S và I , σ ,τ được xác định như trong Bổ đề 2.2.2 Thế thì T được sinh bởi tập hợp... đối với các nửa nhóm con và các nhóm Schutzenberger tương đối trong các nửa nhóm ( Định lý 2.3.1, Định lý 2.3.3, Định lý 2.4.2, Định lý 2.4.3) TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 35 [ 1] A H Cliphớt và G B Prestơn (1970), Lý thuyết nửa nhóm (tập 1), bản dịch của Trần Văn Hạo và Hồng Kỳ, NXB Đại học và Trung học chun nghiệp, Hà Nội [ 2] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm và lý thuyết nhóm, Trường... thuộc ' ' một D – lớp của S 1.2.4 Bổ đề (i) Nếu a là phần tử chính quy thuộc nửa nhóm S thì aS1 = aS và S1a = Sa (ii) Nếu b (aRb) a và b là các phần tử chính quy thuộc nửa nhóm S thì a L khi và chỉ khi Sa = Sb ( aS = bS ) 1.2.5 Bổ đề Mỗi lũy đẳng e thuộc nửa nhóm S là đơn vị phải trong Le , đơn vị trái trong Re và đơn vị trong He Chứng minh Nếu a ∈ Le thì a ∈ Se và do đó a = ae Nếu và do đó ea =... ) = ( 1, j , i ) (trong đó ( xi , yi , zi ) ≠ ( 1, j,1) ) kéo theo và z1 = x2 = 0 Nhưng khi đó ( x1 , y1 , z1 ) = ( 1, y1 , 0 ) ∉ T : mâu thuẫn x1 = 1, z2 = 1 Tóm lại, S là nửa nhóm hữu hạn sinh, S \ Tcó hữu hạn R – lớp tương đối nhưng T khơng phải là nửa nhóm hữu hạn sinh 2.3.6 Định nghĩa Giả sử T và U là các nửa nhóm và φ : T → U là một đồng cấu Từ bộ ba đó ta xây dựng nửa nhóm trong đó S = T ∪ U... W 1.2.10 Hệ quả (i) S là nửa nhóm ngược khi và chỉ khi mỗi L – lớp và mỗi R – lớp của S chỉ chứa một lũy đẳng (ii) Nếu D là một D – lớp của nửa nhóm ngược S, thì tồn tại tương ứng một – một giữa tập các L – lớp chứa trong D và tập các R – lớp chứa trong D sao cho L – lớp L ứng với R - lớp R khi và chỉ khi R ∩ L chứa lũy đẳng Chứng minh Theo Định lý 1.2.9, điều kiện nêu trong mệnh đề (i) có nghĩa . và khái niệm chỉ số của nửa nhóm con T trong nửa nhóm S là số phần tử trong phần bù ST. Chỉ số này được gọi là chỉ số Ress. Mặc dù chỉ số Ress cung cấp nhiều thông tin đối với một số lớp nửa nhóm, . 20 Chương 2. CHỈ SỐ GREEN TRONG NỬA NHÓM 2.1. CHỈ SỐ GREEN TRONG NỬA NHÓM Giả sử S là một nửa nhóm. Ta xây dựng vị nhóm 1 S như sau: 1 S S= nếu S là một vị nhóm; { } 1 1S S= ∪ trong đó 1. 5 1.1. Các quan hệ Green trên nửa nhóm 5 1.2. D – lớp chính quy 9 1.3. Nhóm Schutzenberger của H – lớp 14 Chương 2. Chỉ số Green trong nửa nhóm 19 2.1. Chỉ số Green trong nửa nhóm 19 2.2. Các