Hệ hạt nhân chuẩn trong nửa nhóm và ngôn ngữ aniximov suy rộng

Mục lục Trang Mở đầu Chơng 1. Hệ hạt nhân trong nửa nhóm 1.1. Hệ hạt nhân chuẩn trong nửa nhóm ngợc . 1.2. Hệ hạt nhân chuẩn trong nhóm phải . Chơng 2. Ngôn ngữ nhóm Aniximov và ngôn ngữ nhóm Aniximov suy rộng . 2.1. Tơng đẳng chính phải Đuybrây và tơng đẳng chính hai phía Kroadô . 2.2. Ôtômát, vị nhóm cú pháp và văn phạm của ngôn ngữ . 2.3. Ngôn ngữ nhóm Aniximov và ngôn ngữ nhóm Aniximov suy rộng . Kết luận cuả luận văn . Tài liệu tham khảo . 1 Mở đầu Việc nghiên cứu ngôn ngữ hình thức trong vài chục năm gần đây đã thực sự hấp dẫn nhiều tác giả trong và ngoài nớc. Nhiều công trình liên quan đến Ôtômát, vị nhóm cú pháp và văn phạm của các ngôn ngữ đã đợc công bố với nhiều kết quả sâu sắc và có nhiều ứng dụng trong toán học và trong lĩnh vực máy tính. Có thể khảo sát các ngôn ngữ hình thức theo nhiều hớng khác nhau tùy theo sự quan tâm và tính riêng biệt của ngời nghiên cứu. ở đây chúng tôi quan tâm nhiều đến vị nhóm cú pháp của các ngôn ngữ vì đó là cấu trúc cơ sở của đại số hiện đại. Nh ta đã biết, mỗi tơng đẳng trên một nhóm đợc xác định duy nhất bởi lớp tơng đẳng chứa đơn vị của nhóm. Điều này không đúng cho một nửa nhóm tuỳ ý. Tuy nhiên, trong " Lý thuyết nửa nhóm", Cliphơt và Prestơn đã chứng minh đợc rằng: Mỗi tơng đẳng trên nửa nhóm ngợc xác định bởi một hệ hạt nhân chuẩn ứng với tơng đẳng đã cho. Cliphơt và Prestơn cũng đã đa ra kết quả: ảnh đồng cấu của một nửa nhóm ngợc cũng là nửa nhóm ngợc và đã chứng tỏ một tơng đẳng tuỳ ý trên một nửa nhóm ngợc đợc xác định một cách duy nhất bởi việc cho các lớp tơng đơng của nó chứa các lũy đẳng. Từ các kết quả trên, chúng tôi xét bài toán tơng tự: Mô tả tơng đẳng trên các nhóm phải, một lớp nửa nhóm khá gần với các nhóm. Từ đó khảo sát một số lớp ngôn ngữ hình thức liên quan. Luận văn đợc chia thành các chơng mục nh sau: Phần mở đầu, chơng 1, chơng 2 và phần kết luận. Chơng 1. Hệ hạt nhân trong nửa nhóm Chơng này gồm hai tiết: 1.1. Hệ hạt nhân chuẩn trong nửa nhóm ngợc. Trong tiết này chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản về tơng đẳng trên 2 nửa nhóm; tóm tắt các kết quả chính về tơng đẳng trên nửa nhóm ngợc để làm cơ sở cho việc trình bày các phần sau. 1.2. Hệ hạt nhân chuẩn trong nhóm phải. Đây là một trong hai nội dung chính của luận văn. Trong tiết này, chúng tôi đã thu đợc những kết quả tơng tự về tơng đẳng trong nhóm phải, cụ thể đã chứng minh đợc: ảnh đồng cấu của một nhóm phải là một nhóm phải (Mệnh đề 1.2.6); một tơng đẳng tuỳ ý trên một nhóm phải đợc xác định một cách duy nhất bởi việc cho các lớp tơng đơng chứa các lũy đẳng (Định lý 1.2.16). Tuy nhiên, kỹ thuật chứng minh của chúng tôi chủ yếu khác với kỹ thuật mà Cliphơt và Prestơn đã dùng khi khảo sát tơng đẳng trên các nửa nhóm ngợc. Chơng 2. Ngôn ngữ Aniximov và ngôn ngữ Aniximov suy rộng. Chơng này gồm ba tiết: 2.1. Tơng đẳng chính phải Đuybrây và tơng đẳng hai phía Kroarô. Trong tiết này chúng tôi xét các tơng đẳng chính liên quan đến các ngôn ngữ hình thức và Ôtômát. 2.2. Ôtômát, vị nhóm cú pháp và văn phạm của ngôn ngữ. Trong tiết này chúng tôi trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản liên quan đến ngôn ngữ hình thức để làm cơ sở cho việc trình bày tiết sau. 2.3. Ngôn ngữ nhóm Aniximov và ngôn ngữ Aniximov suy rộng. Tiết này là một trong những nội dung chính của luận văn. Thực ra một số tác giả đã khảo sát ngôn ngữ Aniximov nhng chỉ trong trờng hợp ngôn ngữ chính quy, nghĩa là vị nhóm cú pháp của nó là một nhóm hữu hạn. ở đây, chúng tôi xét các lớp ngôn ngữ này trong trờng hợp vị nhóm cú pháp là một nhóm tuỳ ý và bớc đầu đã thu đợc một số kết quả: mô tả dáng điệu ngôn ngữ, vị nhóm cú pháp và Ôtômát của các ngôn ngữ Aniximov và Aniximov mở rộng (Mệnh đề 2.3.1, Mệnh đề 2.3.3, Định lý 2.3.4, Định lý 2.3.6). Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tâm, nhiệt tình của thầy giáo 3 PGS.TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này, tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy- ngời đã đặt cho tác giả một bài toán thú vị và đã giúp tác giả giải quyết trọn vẹn bài toán này một cách tận tình chu đáo. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS.TS. Nguyễn Quốc Thi, PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, PGS.TS. Nguyễn Quý Dy, TS. Mai Văn T, TS. Chu Trọng Thanh, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan và các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số - Lý thuyết số đã giúp đỡ động viên, chỉ bảo tác giả trong suốt thời gian học tập cũng nh việc hoàn thành luận văn này. Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu Trờng Đại học Vinh, Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học và các phòng ban có liên quan; xin cảm ơn Sở Giáo Dục và Đào Tạo Thanh Hoá, trờng THPT Yên Định 3 đã tạo điều kiện về tinh thần cũng nh về vật chất cho tác giả trong thời gian học tập và nghiên cứu tại trờng Đại học Vinh. Một lần nữa, tác giả rất mong nhận đợc sự góp ý chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên lớp Cao học 12 Đại Số - Lý thuyết số. Vinh, tháng 12/2006 Thiều Thanh Hải 4 Chơng 1. Hệ hạt nhân trong nửa nhóm Tơng đẳng trong nửa nhóm là một trong những vấn đề trung tâm của lý thuyết nửa nhóm và có liên quan chặt chẽ với lý thuyết ngôn ngữ hình thức. Trong chơng này, chúng tôi trình bày việc xây dựng hệ hạt nhân chuẩn trong một số lớp nửa nhóm và ứng dụng chúng để mô tả các tơng đẳng trên các lớp nửa nhóm đó. Các kết quả về nửa nhóm ngợc thuộc về Vácne (1953) và Preston (1954). 1.1. hệ hạt nhân chuẩn trong nửa nhóm ngợc Nh ta đã biết, mỗi tơng đẳng trên nửa nhóm đợc xác định duy nhất bởi lớp t- ơng đẳng chứa đơn vị của nhóm. Điều này không đúng cho một nửa nhóm tuỳ ý. Tuy nhiên, đối với nửa nhóm ngợc, lớp nửa nhóm khá gần với nhóm- mỗi t- ơng đẳng có thể đợc xác định bởi một số lớp tơng đẳng chứa lũy đẳng của nửa nhóm ngợc đó. Tập hợp các lớp tơng đẳng đó gọi là hệ hạt nhân chuẩn ứng với tơng đẳng đã cho. Phần chứng minh của các kết quả trong phần này xem [2]. a. Tơng đẳng trên nửa nhóm 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử X là một tập hợp tuỳ ý khác rỗng. Khi đó mỗi tập con của tích Đềcác XxX = {(a, b) a, b X} đợc gọi là một quan hệ trên tập X. Nếu (a, b) , trong đó a, b X thì nói a nằm trong quan hệ với b và viết ab. Giả sử X là một tập hợp và B X là tập tất cả các quan hệ trên X. Ta đa vào B X phép toán hợp thành ( ) xác định nh sau: Giả sử , B X . Khi đó (a, b) nếu x X sao cho (a, x) và (x, b) . Tập hợp B X tất cả các 5 quan hệ hai ngôi trên X là một nửa nhóm đối với phép toán hợp thành ( ). Nửa nhóm B X đợc gọi là nửa nhóm các quan hệ trên tập X. 1.1.2. Định nghĩa. Giả sử X là một tập hợp, là một bộ phận của XxX. Thế thì gọi là một quan hệ tơng đơng trên X nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây đợc thoả mãn: i) (Phản xạ) aa, a X. ii) (Đối xứng) Nếu ab thì ba, a, b X. iii) (Bắc cầu) Nếu ab và bc thì ac, a, b, c X. 1.1.3. Định nghĩa. Giả sử S là nửa nhóm và là một quan hệ trên S. Khi đó đợc gọi là ổn định bên phải (trái) nếu ab, a, b S thì acbc (cacb), c S. Quan hệ đợc gọi là tơng đẳng phải (trái) nếu là quan hệ tơng đơng và ổn định phải (trái). Quan hệ đợc gọi là một tơng đẳng trên S nếu vừa là tơng đẳng phải, vừa là tơng đẳng trái. 1.1.4. Định nghĩa. Giả sử : S S là ánh xạ từ nửa nhóm S vào nửa nhóm S ' . Khi đó đợc gọi là đồng cấu nửa nhóm nếu (ab) = (a)(b), a, b S. B. Phần tử chính quy. Nửa nhóm ngợc 1.1.5. Định nghĩa. Cho S là nửa nhóm. Khi đó: i) Phần tử a S đợc gọi là chính quy, nếu a aSa, hay axa = a, x S. ii) Nửa nhóm S đợc gọi là nửa nhóm chính quy, nếu mỗi phần tử của S đều là phần tử chính quy. 1.1.6. Mệnh đề. Nửa nhóm S là nửa nhóm chính quy khi và chỉ khi mọi iđêan chính phải (trái) của S sinh bởi một lũy đẳng e nào đó. 6 1.1.7. Định nghĩa. Cho S là nửa nhóm. Khi đó: i) Hai phần tử a và b S đợc gọi là ngợc nhau, nếu aba = a và bab = b. ii) Nửa nhóm S đợc gọi là nửa nhóm ngợc, nếu mỗi phần tử của S có một phần tử ngợc duy nhất. 1.1.8. Ví dụ. Từ định nghĩa ta có nhóm là một nửa nhóm ngợc. Tuy nhiên có những nửa nhóm ngợc mà không phải là một nhóm. Chẳng hạn nửa nhóm là hợp của các nhóm. Định lý sau đây mô tả cấu trúc của một nửa nhóm ngợc. 1.1.9. Định lý. Ba điều sau đây đối với một nửa nhóm S là tơng đơng: i) S chính quy và hai lũy đẳng bất kỳ của nó giao hoán đợc với nhau. ii) Mỗi iđêan chính phải và mỗi iđêan chính trái của S có một phần tử sinh lũy đẳng duy nhất. iii) S là nửa nhóm ngợc. C. Hệ hạt nhân chuẩn của nửa nhóm ngợc 1.1.10. Mệnh đề. Giả sử : S S ' là một toàn cấu từ nửa nhóm chính quy S lên nửa nhóm S ' . Khi đó S ' là nửa nhóm chính quy. 1.1.11. Định lý. ảnh đồng cấu của một nửa nhóm ngợc cũng là một nửa nhóm ngợc. Ngoài ra, qua một đồng cấu tuỳ ý thì phần tử ngợc với phần tử đã cho sẽ ánh xạ thành phần tử ngợc với ảnh của phần tử đã cho. 1.1.12. Định nghĩa. Giả sử S là nửa nhóm tuỳ ý và A = {A i i I} là tập con đôi một không giao nhau của S. Ta nói A là một tập thừa nhận đợc (bên trái, bên phải) trong S nếu tồn tại một tơng đẳng (trái, phải) trên S sao cho mỗi tập A i (i I) là một - lớp. Khi đó, ta gọi mỗi tơng đẳng nh vậy là tơng đẳng thừa nhận A. 7 Nếu A thừa nhận đợc (bên trái, bên phải) và tồn tại đúng một tơng đẳng (trái, phải) trên S thừa nhận A thì A là một tập chuẩn (bên trái, bên phải) trong S. 1.1.13. Mệnh đề. Giả sử S là một nửa nhóm chính quy (đặc biệt là nửa nhóm ngợc), là một tơng đẳng trên nó và A là các - lớp chứa lũy đẳng. Khi đó A là một tập chuẩn trong S. 1.1.14. Định nghĩa. Tập A = {A i i I} đợc gọi là một hệ hạt nhân chuẩn của nửa nhóm ngợc S nếu: K 1 ) Mỗi A i là một nửa nhóm con ngựơc của S. K 2 ) A i A j = , với i j. K 3 ) Mỗi lũy đẳng của S đợc chứa trong một A i nào đó. K 4 ) a S và i I thì j I sao cho a -1 A i a A j (ta viết j = ia, nghĩa là a - 1 A i a A ia ). K 5 ) Nếu a, ab, bb -1 A i thì b A i . 1.1.15. Định nghĩa. Giả sử là một đồng cấu của nửa nhóm ngợc S. Tập các lũy đẳng của nửa nhóm S/ -1 đợc gọi là hạt nhân của đồng cấu và của t- ơng đẳng -1 . 1.1.16. Định lý. Giả sử A = {A i i I} là một hệ hạt nhân chuẩn của một nửa nhóm ngợc S. Khi đó quan hệ A = {(a, b) SxS aa -1 , bb -1 , ab -1 A i , với i I} là một tơng đẳng trên S và A là hạt nhân của tơng đẳng đó. Đảo lại, giả sử : S S ' là một đồng cấu của nửa nhóm ngợc S lên nửa nhóm S và A là hạt nhân của . Khi đó A là hệ hạt nhân chuẩn của S và A = -1 . 8 1.2. hệ hạt nhân chuẩn trong nhóm phải Nửa nhóm ngợc và nhóm phải là những lớp nửa nhóm đặc biệt của lớp nửa nhóm chính quy và có những tính chất gần với nhóm. Trong 1.1 đã nêu lên kết quả: ảnh đồng cấu của một nửa nhóm ngợc là nửa nhóm ngợc; Một tơng đẳng tuỳ ý trên một nửa nhóm ngợc đợc xác định một cách duy nhất bởi việc cho các lớp tơng đơng của nó chứa các lũy đẳng. Vấn đề đặt ra một cách tự nhiên là đối với các nhóm phải ta có thể đạt đợc kết quả tơng tự nh vậy không. Tiết này đợc xây dựng nhằm giải đáp vấn đề đó. a. Định nghĩa và các tính chất đặc trng của nhóm phải 1.2.1. Định nghĩa. i) Nửa nhóm S gọi là đơn phải nếu nó không chứa iđêan phải thực sự. ii) Nửa nhóm S gọi là nhóm phải nếu nó đơn phải và giản ớc trái, nghĩa là với hai phần tử bất kỳ a, b S, phơng trình ax = b có nghiệm duy nhất trong S. Ví dụ. +) Nửa nhóm E đợc gọi là nửa nhóm các phần tử không bên phải nếu mỗi phần tử của nó là phần tử không bên phải, tức là xy = y, x, y E. Rõ ràng E là một nhóm phải. +)Tích trực tiếp của hai nửa nhóm S và T là tập SxT = {(s, t) s S, t T} với phép nhân định nghĩa nh sau: (s, t).(s ' , t ' ) = (ss ' , tt ' ), s, s ' S; t, t ' T. Rõ ràng tích trực tiếp của hai nửa nhóm đơn phải là nửa nhóm đơn phải. Thật vậy, việc giải phơng trình (a, b)(x, y) = (c, d) dẫn tới việc giải phơng trình ax = c và by = d. Cũng hiển nhiên là tích trực tiếp của hai nửa nhóm với luật giản ớc trái là một nửa nhóm với luật giản ớc trái. Do đó, tích trực tiếp của hai nhóm phải là một nhóm phải. 1.2.2. Bổ đề. Mỗi lũy đẳng của một nửa nhóm đơn phải S là một đơn vị trái của nó. Chứng minh. Giả sử e là lũy đẳng và a là phần tử tuỳ ý thuộc nửa nhóm S. Vì S đơn phải suy ra x S sao cho ex = a. Khi đó ea = e 2 x = ex = a. 9 1.2.3. Định lý. Cho S là nửa nhóm. Các điều kiện sau là tơng đơng: i) S là một nhóm phải. ii) S đơn phải và chứa lũy đẳng. iii) S là tích trực tiếp GxE của nhóm G và nửa nhóm E các phần tử không bên phải. Chứng minh. i) ii). Vì S là nhóm phải nên S đơn phải (theo định nghĩa). Giả sử a S, vì S đơn phải suy ra e S sao cho ae = a. Khi đó ae 2 = ae e 2 = e (vì S là nhóm phải nên có thể giản ớc trái). ii) iii). Giả sử E là tập các lũy đẳng của S. Theo điều kiện ii) thì E . Theo Bổ đề 1.2.2 mỗi phần tử thuộc E là đơn vị trái trong S, đặc biệt ef = f, e, f E. Vậy E là nửa nhóm con các phần tử không bên phải của S. Ta chứng minh S là nửa nhóm với luật giản ớc trái, điều đó cũng chứng minh đợc ii) i). Giả sử ca = cb (a, b, c S) và f S x S sao cho cx = f. Giả sử e = xc. Thế thì e 2 = xcxc = xfc = xc = e e = ea = xca = xcb = eb = b. Nếu e E thì Se là nửa nhóm con của S trong đó e là đơn vị phải (và cũng là đơn vị trái). Nếu a Se thì ta có thể giải phơng trình ax = e trong S. Nhng khi đó a(xe) = e 2 = e, tức là phần tử a khả ngịch bên phải trong nửa nhóm Se với đơn vị e. Do đó Se là một nhóm con của S. Giả sử một phần tử cố định g E. Ta ký hiệu nhóm Sg bởi G. Gọi : GxE S (a, e) ae, với a G, e E. Khi đó a, b G và e, f E, ta có: [(a, e)(b, f)] = (ab, ef) = (ab)(ef)=abf (a, e)(b, f) = (ae)(bf) = a(eb)f = abf. 10 . nhóm phải S thì hạt nhân A = {A i i I} của là hệ hạt nhân chuẩn của S và = A . 18 Chơng 2. Ngôn ngữ nhóm Aniximov và ngôn ngữ nhóm aniximov suy rộng. nhân chuẩn của S và A = -1 . 8 1.2. hệ hạt nhân chuẩn trong nhóm phải Nửa nhóm ngợc và nhóm phải là những lớp nửa nhóm đặc biệt của lớp nửa nhóm chính