Aniximov suy rộng
A. Ngôn ngữ Aniximov
Giả sử L là ngôn ngữ trên bảng chữ cái X. Theo Mệnh đề 2.2.9 vị nhóm cú pháp à(L) đẳng cấu với vị nhóm S khi và chỉ khi tồn tại một toàn cấu ϕ: X* → S và một tập H ⊂ S sao cho L = ϕ-1(H), với ℘H là tơng đẳng đồng nhất. Nếu S là một nhóm và H chỉ gồm phần tử đơn vị của S thì L gọi là ngôn ngữ Aniximov.
2.3.1. Mệnh đề. Giả sử L là ngôn ngữ trên X và M = à(L) là vị nhóm cú pháp của nó, ϕ = γL là đồng cấu chính tắc từ X* lên M và e là đơn vị của M. Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:
i) L là ngôn ngữ nhóm. ii) ϕ-1(e) ∩ uX* ≠φ, ∀u ∈ X*. iii) ϕ-1(e) ∩ X*u ≠φ, ∀u ∈ X*.
Chứng minh. i) ⇒ ii). Giả sử M = à(L) là một nhóm và L1 = ϕ-1(e), với u ∈ X*. Khi đó ϕ(u) = a ∈ M. Vì M là một nhóm nên ∃a-1∈ M sao cho aa-1 = e. Lấy v là một tạo ảnh bất kỳ của a-1 ta có ϕ(v) = a-1 ⇒ϕ(uv) = ϕ(u)ϕ(v) = aa-1 = e
⇒ uv ∈ L1, nghĩa là uv ∈ϕ-1(e) ∩ uX*⇒ϕ-1(e) ∩ uX* ≠φ.
ii) ⇒ i). Lấy a ∈ M ⇒∃u ∈ X* sao cho ϕ(u) = a ⇒∃v ∈ X* sao cho
uv ∈ϕ-1(e) vì ϕ-1(e) ∩ uX* ≠φ ⇒ b = ϕ(v) là nghịch đảo của a trong M. Do đó mọi phần tử của M đều khả nghịch nên M là nhóm.
i) ⇔ iii). Chứng minh hoàn toàn tơng tự.
2.3.2. Chú ý. Nếu L là một ngôn ngữ trên X thì L ⊂ X*. Ký hiệu L= X*\L thì
các ngôn ngữ nhóm trên X, ta chỉ cần xét các ngôn ngữ chứa từ rỗng.
2.3.3. Mệnh đề. Mọi ngôn ngữ nhóm trên X chứa từ rỗng đều chứa một ngôn
ngữ nhóm Aniximov L1 có các tính chất sau: i) X*uX*∩ L1≠φ,∀u ∈ X*.
ii) Ta có xu, yv ∈ L1 kéo theo x, y ∈ L1, ∀u, v ∈ L1 và ∀x, y ∈ X*.
iii) ∀u, v ∈ X*, nếu ∃x, y ∈ X* sao cho xuy ∈ L1và xvy ∈ L1 thì∀ z, t ∈ X* ta có zut ∈ L1 ⇔ xvy ∈ L1.
iv) L1 là vị nhóm con tự do của X*. v) à(L1)≈à(L).
Chứng minh. Đặt L1 = ϕ-1(e). Khi đó: i) Suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 2.3.1.
ii) Giả sử u, v, xu, vy ∈ L1 = ϕ-1(e). Khi đó e = ϕ(xu) = ϕ(vy) = ϕ(u) = ϕ(v) =
ϕ(x)ϕ(u) = ϕ(v)ϕ(y) nên ϕ(x) = ϕ(y) = e ⇒ x ∈ϕ-1(e) = L1 và y ∈ϕ-1(e) = L1. iii) Giả sử zut ∈ L1. Ta chứng minh zvt ∈ L1. Thật vậy, ta có e = ϕ(xuy) =
ϕ(x)ϕ(u)ϕ(y) = ϕ(x)ϕ(v)ϕ(y), mà e là đơn vị của G nên e là tập con rời rạc của G (xem Mệnh đề 2.1.16), do đó từ (ϕ(u), ϕ(v)) ∈℘{e} ⇒ϕ(u) = ϕ(v). Khi đó e = ϕ(zvt) = ϕ(z)ϕ(v)ϕ(t) = ϕ(z)ϕ(u)ϕ(t) = ϕ(zut) ⇒ zvt ∈ L1.
iv) Lấy L’ = L\{∧}, khi đó L’ là nửa nhóm con tự do của X*. Thật vậy, vì L = ϕ-1(e) là nữa nhóm con của X* và không có hai từ nào khác từ ∧ nhân với nhau bằng từ ∧, nên L’ là nửa nhóm con của X*. Giả sử ∃u, v ∈ L’ và w ∈
X*\{∧} sao cho u = wv. Khi đó e = ϕ(u) = ϕ(wv) = ϕ(w)ϕ(v) = ϕ(w)e = ϕ(w) ⇒
w ∈ L’. Tơng tự, nếu u, v ∈ L’ và w ∈ X*\{∧} sao cho u = vw thì w ∈ L’, nếu L’ là nửa nhóm con tự do của X*\{∧} theo định lý Sytxenbecje suy ra L là vị nhóm con tự do của X*.
v) Đợc suy ra từ nhận xét {e} là tập con rời rạc của M = à(L) và từ Mệnh đề 2.2.9.
2.3.4. Định lý. Giả sử L là ngôn ngữ trên X khi đó các khẳng định sau là tơng
đơng: i) L là ngôn ngữ nhóm Aniximov. ii) Ngôn ngữ L có bốn tính chất: 1) ∀u ∈ X*, ∃v ∈ X* sao cho uv ∈ L 2) u, uv ∈ L kéo theo v ∈ L 3) uv ∈ L kéo theo vu ∈ L 4) u, v ∈ L kéo theo uv ∈ L.
iii) Ôtômát tối tiểu ω(L) = (A, X, ao, δ, A’) đoán nhận ngôn ngữ L là liên thông mạnh và cân bằng, trong đó A’ = {ao}.
Chứng minh. i) ⇒ ii). Vì L là ngôn ngữ nhóm Aniximov nên tồn tại một nhóm G và một toàn cấu ϕ: X* → G sao cho L = ϕ-1(e), với e là đơn vị của G. Ta kiểm tra các tính chất từ 1) đến 4) của ii):
1). Giả sử ∀u ∈ X* ta có ϕ(u) = a ∈ G. Vì G là nhóm nên ∃b ∈ G sao cho ab = e. Giả sử v là một phần tử bất kỳ thuộc X* sao cho ϕ(v) = b (v tồn tại vì ϕ là toàn cấu). Khi đó ϕ(uv) = ϕ(u)ϕ(v) = ab = e nên uv ∈ϕ-1(e) = L.
2). Giả sử u, uv ∈ L, khi đó ta có ϕ(u) = e và ϕ(uv) = e ⇒ϕ(u)ϕ(v) = e
⇒ϕ(v) = e ⇒ v ∈ϕ-1(e) = L.
3). Giả sử uv ∈ L, khi đó ϕ(uv) = e ⇒ ϕ(u)ϕ(v) = e. Vì vậy ϕ(v) là nghịch đảo của ϕ(u), mà G là nhóm nên ϕ(v)ϕ(u) = e hay ϕ(vu) = e ⇒ vu ∈ϕ-1(e) = L. 4). Nếu u, v ∈ L thì ϕ(u) = ϕ(v) = e nên ϕ(uv) = ϕ(vu) = ϕ(u)ϕ(v) = ee = e, suy ra uv ∈ϕ-1(e) = L.
ii) ⇒ i) Từ các tính chất 2) và 3) ta suy ra L là tập con cô lập của X và từ tính chất 1) ta suy ra thặng d của L khác rỗng. Ta chứng minh L là tập con mạnh kép của X*. Thật vậy, giả sử ax, bx, ay ∈ L khi đó từ 4) ⇒ bxay ∈ L
⇒ yb.xa ∈ L (theo 3), mà ax ∈ L nên xa ∈ L (theo 3), do đó yb ∈ L (theo 2). Suy ra by ∈ L (theo 3). Vậy L là tập con mạnh Đuybrây của X*.
Giả sử xay, xby, zat ∈ L ⇒ xay ∈ L ⇒ ayx ∈ L (theo 3), xby ∈ L ⇒ byx ∈ L (theo 3), zat ∈ L ⇒ atz ∈ L theo 3) ⇒ btz ∈ L (Vì L là tập con mạnh của X* theo chứng minh trên) suy ra zbt ∈ L (theo 3). Vậy L là tập con mạnh kép của X*. Ta chứng minh L là ngôn ngữ nhóm. Trớc hết ta chứng minh L chỉ gồm một phần tử à(L), nghĩa là chỉ gồm một lớp ℘L - tơng đẳng và vì L chứa ∧ của X*
nên L phải là phần tử đơn vị, từ đó suy ra L là ngôn ngữ nhóm Aniximov. Thật vậy, từ u, v ∈ L ⇒ uuv ∈ L và uvv ∈ L (theo 4), nên từ đó zut ∈ L ⇔ zvt ∈
L, ∀z, t ∈ X* (vì L là tập con mạnh kép của X*) suy ra (u, v) ∈℘L. Vậy L là đơn vị của à(L). Khi đó ∀A ∈ X*/℘L, ∃B ∈ X*/℘L để AB = L (do 1), nên B là nghịch đảo của A trong à(L) nên à(L) là nhóm nhận L làm đơn vị của nó.
i) ⇒ iii) Ký hiệu A = X*/ℜL với tác động ux=ux ta chứng minh ℘L = ℜL. Thât vậy, Ta luôn có ℘L⊂ℜL. (1)
Ngợc lại, giả sử (a, b) ∈ℜL⇒ (ax ∈ L ⇔ bx ∈ L, ∀x ∈ X*) mà L = ϕ-1(e) nên từ đó ϕ(a) = ϕ(b) ⇒ϕ(xay) = ϕ(x)ϕ(a)ϕ(y) = ϕ(x)ϕ(b)ϕ(y) = ϕ(xby). Do đó xay
∈ L ⇔ xby ∈ L, ∀x, y ∈ X* ⇒ (a, b) ∈℘L. Vậy ℜL⊂℘L. (2)
Từ (1) và (2) ta có ℜL = ℘L⇒ X*/ℜL trở thành một nhóm và lớp ℜL- tơng đẳng
u trở thành lớp ℘L- tơng đẳng [u].
Vì L = {u δ(ao, u) ∈ A’}, mà ∧ ∈ L nên A’ chứa ao, hơn nữa L chỉ gồm một
Ta chứng minh ôtômát tối tiểu đoán nhận ngôn ngữ L liên thông mạnh. Thật vậy, giả sử a, b ∈ A suy ra ∃x, y ∈ X sao cho a = x = [x], b = y = [y], mà
à(L) là một nhóm nên ∃u, v ∈ X* sao cho [x][u] = [y] và [y][v] = [x]
⇒ (xu, y) ∈℘L = ℜL, hay xu=y ⇒ δ(a, u) = b và (yv, x) ∈ ℘L⊂ ℜL, hay
x v
y = . Suy ra δ(b, v) = a. Vậy ôtômát ω(L) là liên thông mạnh.
Ta chứng minh ω(L) là cân bằng. Thật vậy, giả sử δ(a, u) = b, δ(b, v) = a và
δ(c, u) = d, trong đó a = x = [x], b = y = [y], c = z = [z] và d = t = [t]. Khi đó (xu, y) ∈℘L , (yv, x) ∈℘L ⇒ (yvu, xu) ∈℘L ⇒ (y, yvu) ∈℘L suy ra (∧, vu)
∈℘L, vì à(L) là một nhóm nên ℘L giản ớc đợc suy ra (∧, uv) ∈℘L, vì à(L) là một nhóm nên [v][u] = [vu] = [∧] kéo theo [u][v] = [uv] = [∧].
Mặt khác, từ δ(c, u) = d ta suy ra (zu, t) ∈ ℜL = ℘L suy ra (zuv, tv) ∈ ℜL. Mà (∧, uv) ∈℘L ⇒ (zuv, z) ∈℘L⇒ (tv, z) ∈℘L = ℜL, hay δ(d, v) = c.
Vậy ôtômát ω(L) là cân bằng.
iii) ⇒ ii) Giả sử với L = {u ∈ X*δ(ao, u) = ao} ta chứng minh L có các tính chất từ 1) đến 4) của ii).
1). ∀u ∈ X*, δ(ao, u) = a thì ∃v ∈ X* sao cho δ(a, v) = ao (vì ω(L) là ôtômát liên thông mạnh). Khi đó δ(ao, uv) = δ(δ(ao, u), v) = δ(a, v) = ao nên uv ∈ L.
2). Nếu u ∈ L và uv ∈ L thì δ(ao, u) = ao và δ(ao, uv) = ao ⇒δ(ao, v) = δ(δ(ao, u), v) = δ(ao, uv) = ao nên v ∈ L.
3). Giả sử uv ∈ L ⇒ δ(ao, uv) = ao. Giả sử δ(ao, u) = a ⇒ δ(a, v) = ao. Giả sử
δ(ao, v) = b thì δ(b, v) = ao vì ôtômát ω(L) cân bằng. Suy ra δ(δ(ao, v), u) = ao hay δ(ao, vu) = ao⇒ vu ∈ L.
4). Giả sử u, v ∈ L. Khi đó δ(ao, u) = ao và δ(ao, v) = ao nên δ(ao, uv) = δ(δ(ao, u), v) = δ(ao, v) = ao nên uv ∈ L.
Giả sử G là một nhóm và ϕ: X → G là toàn cấu, với mỗi g ∈ G, ta có {g} là tập con rời rạc của G nên theo Mệnh đề 2.2.9, L = ϕ-1({g}) là một ngôn ngữ nhóm (với vị nhóm cú pháp à(L) ≈ G). Ngôn ngữ L đó gọi là ngôn ngữ nhóm
Aniximov mở rộng. Dễ thấy L gồm chỉ một phần tử của à(L), hay L gồm chỉ một℘L - lớp tơng đẳng.
2.3.5. Định nghĩa. Ôtômát tối tiểu ω(L) = (A, X, ao, δ, A’) đoán nhận ngôn ngữ L gọi là ôtômát ổn định nếu thoả mãn hai điều kiện:
i) Từ δ(ao, u) = δ(ao, v) suy ra δ(a, u) = δ(a, v), ∀a ∈ A. ii) Chỉ có duy nhất một trang thái ra.
2.3.6. Định lý. Giả sử L là ngôn ngữ trên X. Khi đó L là ngôn ngữ nhóm Aniximov suy rộng khi và chỉ khi ôtômát tối tiểu đoán nhận ngôn ngữ L là liên thông mạnh và ổn định.
Chứng minh. +) Điều kiện cần. Giả sử L là ngôn ngữ nhóm Aniximov suy rộng. Khi đó ∀a, b ∈ A, a = u, b = v với u, v ∈ X*, ∃x, y ∈ X* sao cho [u][x] = [v] và [v][y] = [u], vì à(L) là một nhóm. Do đó ( u, v) ∈℘L ⊂ ℜL và (vy, u)
∈℘L ⊂ℜL ⇒ ux=v và vx =u ⇒δ(a, x) = b và δ(b, x) = a.
vậy ω(L) là ôtômát liên thông mạnh.
Giả sử (u, v) ∈ ℜL và u ∈ L. Khi đó ux ∈ L ⇔ vx ∈ L, mà u∧∈ L nên v∧ ∈ L hay v ∈ L. Hơn nữa, nếu u, v ∈ L mà ϕ(u) = ϕ(v) = g và ϕ là đồng cấu nên
ϕ(xuy) = ϕ(x)ϕ(u)ϕ(y) = ϕ(x)ϕ(v)ϕ(y) = ϕ(xvy), ∀x, y ∈ X*. Do đó ϕ(xuy) = g
⇔ ϕ(xvy) = g, ∀x, y ∈ X*, hay xuy ∈ L ⇔ xvy ∈ L, ∀x, y ∈X*. Suyra (u, v)
∈℘L ⊂ℜL. Vậy L chỉ gồm một lớp tơng đẳng ℜL và do đó A’ = 1.
Giả sử A’ = {w}, trong đó w ∈ L . Giả sử (u, v) ∈ ℜL ⇒ ∃x ∈ X* sao cho
δ(u, x) = {w}, vì ω(L) liên thông mạnh ⇒ ux ∈ L ⇒ vx ∈ L, vì (u, v) ∈ℜL. Do đó ϕ(ux) = g và ϕ(vx) = g ⇒ ϕ(ux) = ϕ(vx) ⇒ ϕ(u)ϕ(x) = ϕ(v)ϕ(x)
⇒ ϕ(u) = ϕ(v), vì G là nhóm nên có luật giản ớc suy ra (u, v) ∈ ℘L. Cho nên zut ∈ L ⇔ zvt ∈ L, ∀z, t ∈ X*. (1)
Đặt a = z thì từ (u, v) ∈ ℜL ⇒δ(ao, u) = δ(ao, v) và từ (1) suy ra δ(a, u) = δ(a, v). Vậy ω(L) là ôtômát ổn định.
+) Điều kiện đủ. Giả sử ω(L) là ôtômát liên thông mạnh và ổn định. Ta chứng minh L là ngôn ngữ nhóm Aniximov suy rộng. Thật vậy, vì ω(L) liên thông mạnh nên ∀u ∈ X*, ∃v ∈ X* sao cho δ(a, v) = ao, trong đó a = u ⇒ δ(ao, uv) = δ(ao, ∧), mà ω(L) ổn định nên δ(b, uv) = δ(b, v), ∀b = y. Từ đó yuvz ∈ L ⇔ yz ∈ L, ∀y, z ∈ X*, nên (uv, ∧) ∈℘L⇒ [v] là nghịch đảo của [u] suy ra à(L) là một nhóm.
Mặt khác, ta luôn có ℘L ⊂ ℜL và từ tính ổn định của ω(L) ta suy ra ℜL ⊂℘L. Thật vậy, giả sử (u, v) ∈ ℜL ⇒ δ(ao, u) = δ(ao, v). Khi đó δ(a, u) = δ(a, v),
∀a = x ∈ X nên (u, v) ∈℘L. Do đó ℜL ⊂ ℘L và từ đó suy ra ℜL = ℘L, mà
A’ = 1 (do ω(L) ổn định), nghĩa là L gồm chỉ một ℜL - lớp tơng đẳng. Suy ra L gồm chỉ một ℘L- lớp tơng đẳng và do đó L là ngôn ngữ nhóm Aniximov mở rộng.
Kết luận của luận văn
Luận văn đã giải quyết đợc các vấn đề chính sau đây:
Thứ nhất, chứng minh đợc: ảnh đồng cấu của một nhóm phải là một nhóm phải và một tơng đẳng trên nhóm phải đợc xác đinh duy nhất bởi một hệ hạt nhân chuẩn, tức là tập tất cả các lớp tơng đẳng chứa lũy đẳng (Mệnh đề 1.2.6, Định lý 1.2.16).
Thứ hai, mô tả đợc dáng điệu ngôn ngữ Aniximov, vị nhóm cú pháp và Ôtômát của nó trong trờng hợp tổng quát (Mệnh đề 2.3.1, Mệnh đề 2.3.3, Định lý 2.3.4).
Thứ ba, nêu khái niệm ngôn ngữ Aniximov mở rộng và bớc đầu đã tìm đợc đặc trng của Ôtômát cho lớp ngôn ngữ này (Định lý 2.3.6).
Mô tả văn phạm của hai lớp ngôn ngữ trên là bài toán mở mà chúng tôi sẽ tiếp tục giải quyết trong thời gian tới.
Tài liệu tham khảo
Tiếng việt
[1]. A. V. Aniximov (1971), Về ngôn ngữ nhóm (Bản dịch từ tiếng Nga), Điều khiển học N04, 18 - 24.
[2]. A. H. Cliphớt và G.B.Prestơn (1979), Lý thuyết nửa nhóm, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội.
[3]. Phan Đình Diệu (1977), Lý thuyết Ôtômát và thuật toán, NXB đại học và Trung học chuyên nghiệp , Hà Nội.
[4]. Lê Quốc Hán (2001), Ngôn ngữ nhóm Aben, Tạp chí tin học và Điều khiển học, Số 3, 65 - 69.
[5]. Lê Quốc Hán và Nguyễn Thị Bích (2003), Ngôn ngữ nhóm cô lập, Tạp chí Tin học và Điều khiển học, Số 2, 101 - 109.
[6]. Trần Văn Hạo và Lê Quốc Hán (1987), Về ngôn ngữ nhóm, Công trình hội thảo cơ sở tin học và bảo vệ tin, Viện Toán học Việt nam, 46 - 49. [7]. Đặng Huy Ruận (2002), Lý thuyết ngôn ngữ hình thức và ôtômát, NXB
Đại học Quốc gia Hà Nội.
Tiếng anh
[8]. S. Eilenberg (1976), Automata, Languages and Machines, Volume B, Academic Frees, NewYork.
[9]. B. Le Saec (1990), Saturating right congruences, Theoretical Informatics and Applications, Vol. 24, No-6.
[10]. B. Le Saec B, Dare V.R, Seromony R (1999), Strong recognition of
rational ω - languages, International conference on Mathematical
Foundation of Informatics, Ha Noi.
[11]. J.B. Pecuchet, On the complementation of Buchi automata, Theoretical Computer Science, Vol.47, 1986, p. 95 – 98.
[12]. A. Prasad Sistla, Y. Moshe, Pierre Wolper, The complementation
problem for Buchi automata with applications to temporal logic,