nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát trên vành chính quy giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LÊ THANH PHÚC NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT TRÊN VÀNH CHÍNH QUY GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành Phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LÊ THANH PHÚC NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT TRÊN VÀNH CHÍNH QUY GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS BÙI XUÂN HẢI Thành Phố Hồ Chí Minh - 2011 Mục lục Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Danh mục kí hiệu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sơ lược lý thuyết vành, môđun nhóm 1.1.1 Vành 1.1.2 Môđun 1.1.3 Nhóm 11 1.2 Nhóm tuyến tính phép biến đổi tuyến tính 12 1.2.1 Nhóm tuyến tính tổng quát GL(M) nhóm liên quan 12 1.2.2 Định nghĩa phép co 14 1.2.3 Các phép co sơ cấp E B (M) nhóm E n (R) 16 1.2.4 Các nhóm GL n (R) 19 Chương NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT TRÊN VÀNH CHÍNH QUY GIAO HOÁN 21 2.1 Một vài kết vành quy giao hoán 21 2.2 Lưới nhóm lưới vành quy giao hoán 30 2.3 Các bổ đề phép co 41 2.4 Các kết luận chuẩn hóa tử 52 Kết luận kiến nghị 60 Tài liệu tham khảo 62 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Bùi Xuân Hải TS Trần Ngọc Hội, người thầy tận tình hướng dẫn để hoàn thành tốt luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể Thầy cô khoa Toán -Tin học, trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, người Thầy, người Cô tận tình giảng dạy suốt trình học tập khoa Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp TP Hồ Chí Minh, ngày 03 tháng 10 năm 2011 Học viên Lê Thanh Phúc Lời nói đầu Sự mô tả cấu trúc dàn nhóm nhóm tuyến tính đóng vai trò quan trọng lý thuyết nhóm cổ điển Đã có định lý Tits mô tả tất nhóm nhóm GL n (K) ma trận khả nghịch thể K chứa nhóm B n (K) ma trận tam giác Năm 1976, Z.I Borevich nghiên cứu dàn nhóm nhóm tuyến tính tổng quát GL n (K) trường K chứa nhóm D n (K) ma trận đường chéo Một điều thú vị trường K thỏa card(K) ≥ 7, dàn hữu hạn không phụ thuộc vào trường K Hơn nữa, tất trường hợp nhóm B n (K), D n (K) thỏa tính chất chung là: nhóm nhóm GL n (K) nằm nhóm chuẩn hóa tử Trong [4], Borevich đề cập: "Cho K trường, card(K) ≥ Khi đó, với nhóm trung gian H, D= D n (K) ≤ H ≤ G = GL n (K), tồn D-lưới σ cho G( σ ) ≤ H ≤ N( σ )" Kết Borevich mở rộng cho nhiều lớp vành khác nhau, chẳng hạn [5] Liệu vành quy giao hoán theo nghĩa von Neumann kết không? Trong [2], Bùi Xuân Hải Trần Ngọc Hội xét R vành quy giao hoán thỏa điều kiện gọi điều kiện ( Φ ) , H nhóm nhóm tuyến tính tổng quát GL n (R) với n ≥ nhóm D n (R) nhóm GL n (R) nhóm ma trận đường chéo Khi đó, tác giả chứng tỏ rằng: "Với nhóm trung gian H D G tồn D-lưới cấp n iđêan R cho G( σ ) ≤ H ≤ N( σ )" Vậy vấn đề giải nào?Điều kiện ( Φ ) điều kiện gì? Lưới iđêan gì? Cho R vành kết hợp có đơn vị 1, G = GL n (R) nhóm tuyến tính cấp n ≥ R, D = D n (R) nhóm ma trận chéo khả nghịch G Ta quan tâm đến nhóm trung gian H D G Nếu R trường có bảy phần tử dàn nhóm H G mô tả [4] Sau kết mở rộng cho vành nửa địa phương [5] Trong luận văn này, xem xét vài kết tổng quát khác kết [4] Cụ thể, ta nghiên cứu vấn đề tương tự cho vành quy giao hoán Rõ ràng cấu trúc dàn nhóm trung gian H phụ thuộc chủ yếu vào tính chất vành R Do đó, luận văn thiết lập vài tính chất đặc biệt vành quy giao hoán Trong [4] - [6], phân loại nhóm trung gian H nằm D G liên quan đến khái niệm gọi lưới nhóm lưới Nghĩa là, với nhóm trung gian H nằm D G, tồn D−lưới σ iđêan cấp n thỏa G( σ ) ≤ H ≤ N( σ ), N( σ ) chuẩn hóa tử nhóm D−lưới G( σ ) G Luận văn gồm hai chương Chương chủ yếu trình bày kiến thức mở đầu cần thiết cho ta sử dụng sau Chương phần luận văn, trình bày "mô tả chuẩn" nhóm trung gian nhóm GL n (R) chứa nhóm ma trận đường chéo D n (R) mà hai tác giả đề cập Danh mục kí hiệu BẢNG KÍ HIỆU H ≤G: H nhóm G = {1}: Nhóm có phần tử đơn vị cúa nhóm G CG ( X ) : Tâm hóa tử tập X nhóm G CenR : Tâm vành R R* : Nhóm phần tử khả nghịch vành R R* = R \{0}: Tập phần tử khác vành R x a = a −1 xa : Phần tử liên hợp với phần tử x nhóm H x = x −1 Hx : Nhóm liên hợp với H NG ( H ) : Chuẩn hóa tử H G [a, b] = aba −1b −1 : Giao hoán tử a b [ H , K ]: Nhóm G sinh giao hoán tử dạng [h, k]với h∈ H,k ∈ K GL( M ) : Nhóm tự đồng cấu khả nghịch R -môđun M M n ( R) : Vành ma trận vuông cấp n R GLn ( R) : Nhóm tuyến tính tổng quát bậc n R En ( R) : Nhóm tuyến tính sơ cấp bậc n vành R Dn ( R ) : Nhóm ma trận đường chéo bậc n vành R SLn ( R ) : Nhóm tuyến tính đặc biệt bậc n vành giao hoán R PGLn ( R) : Nhóm tuyến xạ ảnh tính tổng quát bậc n R PSLn ( R ) : Nhóm tuyến tính xạ ảnh đặc biệt bậc n vành giao hoán R δ ij : Kí hiệu Kronecker eij : Ma trận với vị trí (i, j ) vị trí khác [ε1 , ε , …, ε n ] : Ma trận đường chéo với ε1 , ε , …, ε n nằm đường chéo di (ε ) : Ma trận đường chéo với ε vị trí (i, i ) vị trí lạitrên đường chéo dij (ε ) : Ma trận đường chéo với ε vị trí (i, i ),ε −1 vị trí ( j , j ) vị trí lại đường chéo tij (r )= I + reij : Ma trận sơ cấp σ = (σ ij ) : Lưới iđêan bậc n vành R M (σ ) : Tập ma trận vuông với hệ tử aij ∈ σ ij G (σ ) : Nhóm lưới GLn ( R) chứa e + M (σ ) N (σ ) : Chuẩn hóa tử G (σ ) GLn ( R) Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sơ lược lý thuyết vành, môđun nhóm Trong suốt luận văn này, ta xét R vành kết hợp có đơn vị ≠ M R−môđun phải (những cần xét R−môđun trái ta nói rõ) Các định nghĩa trình bày sau chủ yếu tham khảo từ [1] 1.1.1 Vành Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành, ta kí hiệu R* nhóm nhân tất phần tử khả nghịch R R ∗ = R\{0} Nếu R* = R ∗ R gọi thể hay vành chia Một vành chia giao hoán gọi trường Định nghĩa 1.1.2 Tâm vành R kí hiệu CenR định nghĩa sau: CenR = {s ∈ R|sr = rs, ∀r ∈ R} CenR vành giao hoán R Nếu CenR = R R vành giao hoán Định nghĩa 1.1.3 Vành R gọi vành đơn iđêan thực khác Định nghĩa 1.1.4 Giao J(R) tất iđêan phải (hoặc trái) tối đại R gọi Jacobson R Nếu J(R) = R gọi J−nửa đơn Chú ý vành đơn J−nửa đơn vành thương R/J(R) vành J−nửa đơn Định nghĩa 1.1.5 Ta nói miền nguyên R miền nguyên Dedekind iđêan thực R viết dạng tích iđêan nguyên tố Định nghĩa 1.1.6 Vành R gọi vành Noether phải (trái) iđêan phải (trái) R thỏa điều kiện ACC (Ascending Chain Condition), nghĩa I ⊆ I1 ⊆ … ⊆ I i ⊆ … dây chuyền iđêan phải (trái) R tồn số nguyên dương n cho I i = I n ,∀i ≥ n Vành R gọi vành Artin phải (trái) iđêan phải (trái) R thỏa điều kiện DCC (Descending Chain Condition), nghĩa I ⊇ I1 ⊇ … ⊇ I i ⊇ … dây chuyền iđêan phải (trái) R tồn số nguyên dương n cho I i = I n ,∀i ≥ n Như vậy, vành chia vành Artin Định nghĩa 1.1.7 Vành R gọi vành địa phương R\R∗ iđêan R Định nghĩa 1.1.8 Vành R gọi vành nửa địa phương R/J(R) vành Artin phải 1.1.2 Môđun Giả sử M R−môđun (trong phạm vi ta xét R−môđun phải, cần xét R−môđun trái ta nói rõ) Ta giả thiết môđun M đơn nguyên, nghĩa x.1 = x, ∀x ∈ M Nếu S tập khác rỗng M kí hiệu S môđun M sinh tập S Nếu tồn tập S hữu hạn cho M = < S > ta nói M môđun hữu hạn sinh Một tập sinh độc lập M gọi sở M Định nghĩa 1.1.9 Môđun M có sở gọi môđun tự Môđun M hữu hạn sinh tự M có sở hữu hạn Nếu hai sở môđun M có lực lượng ta gọi lực lượng hạng M kí hiệu rankM Thật vậy, áp dụng Bổ đề 2.2.1 với phần tử z xzy, ta tìm u′ ∈ R* cho u′ + z , u′ + xzy ∈ R* Đặt u = (u′) −1 ta nhận phần tử (\ref{eqn:3}) khả nghịch.Một cách hoàn toàn tương tự, ta áp dụng Bổ đề 2.2.1với phần tử z , xzy, −u −1 , z − xzy , ta tìm v′ ∈ R * cho v′ + z , v′ + xzy, v′ − u −1 , v′ + z − xzy phần tử khả nghịch R Đặt v = (v′) −1 , phần tử (2.3.17)là khả nghịch Mặt khác, vì: − xvz (1 + vz ) −1 y =(1 + vz ) −1 (1 + vz ) − v(1 + vz ) −1 xzy = v(1 + vz ) −1 (v −1 + z ) − v(1 + vz ) −1 xzy = v(1 + vz ) −1 (v′ + z − xzy ) nên phần tử (2.3.18) khả nghịch Cuối cùng, theo Bổ đề 2.2.1, tồn phần tử w′ ∈ R* cho phần tử sau khả nghịch: w′ + z , w′ + xzy, w′ − 1, w′ + xzy − uv −1 (1 + uxzy ) −1 (1 + xzy )(1 + vxzy ) Đặt w = ( w′) −1 , phần tử (2.3.19) khả nghịch Bởi phần tử (2.3.20) biểu diễn dạng tích phần tử khả nghịch R, tức v − uw(1 + uxzy ) −1 (1 + xzy )(1 + wxzy ) −1 (1 + vxzy ) = vw(1 + wxzy ) −1[w′ + xzy − uv −1 (1 + uxzy ) −1 (1 + xzy )(1 + vxzy )] nên khả nghịch uz , z2 = z= −vz (1 + vz ) −1 ε = Bây đặt z1 = uv −1 (1 + uxzy ) −1 (1 + vxzy ) Với giá trị z1 , z2 chọn + z1 ,1 + z2 = − vz (1 + vz ) −1 = (1 + vz − vz )(1 + vz ) −1 = (1 + vz ) −1 phần tử khả nghịch Khi ma trận b xác định (2.3.15) có brj = 0, ∀j ≠ r Ta kiểm chứng điều Thật vậy, với j ≠ r , ta có brj= x( z1 + z1 z2 + z2 ) y j + (1 + xz1 y )(ε − 1)( xz2 y j ) =x( z1 + z1 z2 + z2 ) y j + (ε xz2 y j − xz2 y j + xz1 y.ε xz2 y j − xz1 yxz2 y j ) = xy j ( z1 + z1 z2 + z2 + ε z2 − z2 + ε xyz1 z2 − xyz1 z2 ) = xy j ( z1 + z1 z2 + ε z2 + ε xyz1 z2 − xyz1 z2 ) = xy j [uz − uz.vz (1 + vz ) −1 − ε vz (1 + vz ) −1 − ε xy.uz.vz (1 + vz ) −1 + xy.uz.vz (1 + vz ) −1 ] = xy j (1 + vz ) −1[uz (1 + vz ) − uz.vz − ε vz − ε xy.uz.vz + xy.uz.vz ] = xy j (1 + vz ) −1 (uz − ε vz − ε xy.uz.vz + xy.uz.vz ) = xy j (1 + vz ) −1[uz + xy.uz.vz − ε vz (1 + xyuz )] = xy j (1 + vz ) −1[uz + xy.uz.vz − uv −1 (1 + uxzy ) −1 (1 + vxzy ).vz (1 + xyuz )] = xy j (1 + vz ) −1[uz + xy.uz.vz − uz (1 + vxzy )] = xy j (1 + vz ) −1 (uz + xy.uz.vz − uz − uz.vxzy= ) Do theo Bổ đề 2.3.1, ta tir (bir ) ∈ H ∀i ≠ r bir ∈ σ ir Suy bir v(u − v) −1 ∈ σ ir Hơn nữa, với i ≠ r , ta lại có bir v.(u − v) −1= [x ( z i + z1 z2 + z2 ) y + ( xi z1 y )(ε − 1)(1 + xz2 y )].v(u − v) −1 = xi yv( z1 + z1 z2 + z2 )(u − v) −1 + vxi uzy.(ε − 1)(1 + xzy )(u − v) −1 = xi yv[uz − uz.vz (1 + vz ) −1 − vz (1 + vz ) −1 ](u − v ) −1 + vxi uzy[uv −1 (1 + uxzy ) −1 (1 + vxzy ) − 1](1 + xzy )(u − v) −1 = xi yv(1 + vz ) −1[uz (1 + vz ) − uz.vz − vz ](u − v) −1 + xi uzy (1 + uxzy ) −1[u (1 + vxzy ) − v(1 + uxzy )](1 + xzy )(u − v) −1 = xi yv(1 + vz ) −1 (uz − vz )(u − v) −1 + xi uzy (1 + uxzy ) −1 (u − v)(1 + xzy )(u − v) −1 = xi yvz (1 + vz ) −1 + xi yz.u (1 + uxzy ) −1 (1 + xzy ) = − xi yz + xi yz.µ , µ =u (1 + uxzy ) −1 (1 + xzy ) ∈ R* Suy xi yz − xi yz.µ ∈ σ ir (2.3.21) Bây ta thay ba ( z , u, v) ba ( z , w,1) đặt − z (1 + z ) −1 , ε = z1 = wz , z2 = w(1 + wxzy ) −1 (1 + xzy ) ta ma trận b = (bij ) có phần tử brj = 0, ∀j ≠ r (2.3.21) trở thành xi yz (1 + z ) −1 + xi zy µ ∈ σ ir , (2.3.22) µ =w(1 + wxzy )[1 − xz (1 + z ) −1 y]∈ R* Vì z= −vz (1 + vz ) −1 ⇔ z (1 + vz ) = −vz ⇔ z + z vz = −vz ⇔ ( z + 1)vz = −z ⇔ z ( z + 1) −1 = −vz nên(2.3.22) trở thành vxi zy − xi zy.µ ∈ σ ir , (2.3.23) µ =w(1 + wxzy )(1 + xvzy ) ∈ R* Từ (2.3.21), ta suy xi yz µ − xi yz.µµ ∈ σ ir (2.3.24) Kết hợp (2.3.23) (2.3.24) , ta vxi zy − xi yz.µµ ∈ σ ir ⇔ xi zy (v − µµ ) ∈ σ ir ⇔ xi zy ∈ σ ir (vì v − µµ ∈ R* ) ⇔ tir ( xi zyr ) ∈ H Bổ đề chứng minh  2.4 Các kết luận chuẩn hóa tử Định lý 2.4.1 (Định lý [11]) Nếu R B -vành ma trận x ∈ GLn ( R) biểu diễn dạng x = uvwd , (2.4.25) u, w ma trận tam giác có phần tử đường chéo 1, v ma trận tam giác có phần tử đường chéo d ma trận chéo Hơn x ∈ G (σ ) với lưới σ tất nhân tử (2.3.25) chọn G (σ ) x ( xij ) ∈ G (σ ) Giả sử r + số nhỏ cho từ cột thứ Chứng minh Lấy= r + trở đi, cột ma trận x có dạng            , với  x j +1, j        xnj    j ≥ r + (2.4.26) Nếu cột xem r = n Nói cách khác, ma trận x có dạng:  x 0 x=   * x (2.4.27) Khi ma trận nghịch đảo x có dạng (2.4.27)  x −1  x =  *′  −1 = Do n xri xir' ∑=   ∈ G (σ ) −1 x  r ∑x =i =i ' ri ir x nên ta có  r   r −1   r −1  R =  ∑ xri xir'  R ⊆  ∑ xri xir'  R + xrr ( xr' r R) ⊆  ∑ xri xir'  R + xrr R = =  i 1=  i1  i1   r −1  Suy R =  ∑ xri xir'  R + xrr R  i =1   r −1  Do R B -vành nên tồn t ∈ R cho  ∑ xri xir'  t + xrr =ε ∈ R*  i =1  t α i ,1 ≤ i ≤ r − Vì xir' ∈ σ ir nên α i ∈ σ ir Đặt x ir' = Vì ta có  r −1  *  ∑ xriα i  + xrr =ε ∈ R  i =1  (2.4.28), 1 …    r −1 0 … (aij ) = e + ∑ α i eir = Đặt a =  i =1 0 …    0 … 1   0 (bij ) = e + (ε −1 − 1)err = b =  0   0 α1   α r −1   0 …    … …  … 0 ε −1   … 0    … 0  … 0    …  … 0    … 0  … 0    …  Dễ thấy a ∈ G (σ ) , xa ∈ G (σ ) ) rr Hơn nữa, ta có ( xa= n air ∑ xri= r −1 ∑x a =i =i Suy ε − = y ∈ σ rr Hay ε −1 − =−ε −1 y ∈ σ rr (vì ε ∈ R* ) Do b ∈ G (σ ) Xét ma trận xab= z= ( zij ) ∈ G (σ ) ri ir += xrr ε 1 …    r −1 0 … (cij ) = e + ∑ zir eir = Đặt c =  i =1 0 …    0 …  z1r  zr −1,r   0 … 0    … 0  ∈ G (σ ) … 0    …  Khi cxab ∈ G (σ ) ma trận mà từ cột thứ r trở có dạng (2.4.26), a, c ∈ U n ( R) ∩ G (σ ) b ∈ Dn ( R) ∩ G (σ ) Tiếp tục trình sau hữu hạn bước ta nhận ma trận tam giác có phần tử đường chéo 1, nghĩa ck (… (c1 (cxab)a1b1 …)ak bk = v ∈ U n− ( R ) ∩ G (σ ) Mặt khác, ta có ab = b(b −1ab)  b1′  b2′ = b     0 …   a12  …         … bn′   0  b1′ b1′.a12  b2′ = b     0 … b1′.a1n   … b2′ a2 n      … bn′  … a1n   b1  … a2 n   b2      …  0  b1   b2    0  b1′.a12 b2 … b1′.a1n bn    … b2′ a2 n bn  = b=  b.a ,        …  0 a ∈ U n ( R) ∩ G (σ ) … 0  … 0    … bn  … …  0  0   … bn  Suy ck … c1.cxab.a1b1 ….ak bk = (ck …c1c) x(b.b1 …bk −1bk )(a a1.a2 … ak ) = v Đặt ck …c1c = u −1 ∈ U n ( R) ∩ G (σ ) a a1.a2 … ak = w−1 ∈ U n ( R) ∩ G (σ ) b.b1 …bk −1bk = d −1 ∈ Dn ( R) ∩ G (σ ) Khi x = uvwd nhân tử u, v, w, d chọn G (σ )  Hệ 2.4.1 Trong B − vành nhóm lưới G (σ ) sinh phép co sơ cấp tij (α ),i ≠ j ,α ∈ σ ij matrận chéo di (ε ),ε ∈ R* ,ε ≡ 1(mod σ ii ) Chứng minh Lấy α ∈ σ ij , ε ∈ R* , ε ≡ 1(mod σ ii ) rõ ràng tij (α ), di (ε ) ∈ G (σ ) Do 〈tij (α ), di (ε )/α ∈ σ ij , i ≠ j , ε ∈ R* ,ε ≡ 1(mod σ ii )〉 ⊆ G (σ ) Ngược lại, lấy x ∈ G (σ ) Khi theo Định lý 2.4.1, phần tử x biểu diễn dạng x = uvwd , u, w ∈ U n ( R) ∩ G (σ ), v ∈ U n− ( R) ∩ G (σ ), d ∈ Dn ( R) ∩ G (σ ) Mặt khác phép biến đổi sơ cấp ta phân tích ma trận tam giác tam giác với phần tử đường chéo thành tích phép co sơ cấp phân tích ma trận chéo= d [ε1 , ε ,…, ε n ] , với ε i ∈ R* ,ε i ≡ 1(mod σ ii ) thành tích ma trận di (ε ) , với ε ∈ R* ,ε ≡ 1(mod σ ii ) công thức d= [ε1 , ε , …, ε n ]= d1 (ε1 ).d (ε ) … d n (ε n ) Từ dẫn đến x ∈ tij (α ), di (ε )/α ∈ σ ij , i ≠ j , ε ∈ R* ,ε ≡ 1(mod σ ii ) Suy G (σ ) ⊆ 〈tij (α ), di (ε )/α ∈ σ ij , i ≠ j , ε ∈ R* ,ε ≡ 1(mod σ ii )〉 Do G (σ ) = 〈tij (α ), di (ε )/α ∈ σ ij , i ≠ j , ε ∈ R* ,ε ≡ 1(mod σ ii )〉 Hệ chứng minh  Bây ta phát biểu kết luận văn Định lý 2.4.2 Cho R vành quy giao hoán thỏa điều kiện (Φ) H nhóm GLn ( R), n ≥ , chứa nhóm ma trận đường chéo Dn ( R) Nếu σ D lưới liên kết với H G (σ ) ≤ H ≤ N (σ ), (2.4.29) N (σ ) chuẩn hóa tử nhóm D -lưới G (σ ) GLn ( R) Ngược lại, nếu(2.4.29) thỏa mãn với D -lưới σ σ D -lưới liên kết với H Chứng minh Đối với chiều thuận, ta cần chứng minh ý sau: Chứng minh G (σ ) ≤ H Do R vành quy giao hoán nên theo Định lý 2.1.2 R u -chính quy R B -vành Áp dụng Hệ 2.4.1 ta có điều cần chứng minh Chứng minh H ≤ N (σ ) a (aij ) ∈ H Theo Bổ đề 2.2.1, ta phải kiểm tra điều sau Lấy= airσ rs asj′ ⊂ σ ij , với r, s i ≠ j Trước hết, ta xét trường hợp r = s Lấy z ∈ R mà + z ∈ R* thìma trận = b ad r (1 + z )a −1 chứa H theo phần chứng minh Bổ đề 2.2.1 phần δ ij + air zarj′ Theo Định lý 2.1.2 tử ma trận b xác định công thức b= ij R vành u -chính quy, ta áp dụng Bổ đề 2.3.2 với xi = air n = xk yk y= ari′ ,1 ≤ i ≤ n, có ∑ i n air ari′ 1, ta tij (air zarj′ ) ∈ H Suy air zarj′ ∈ σ ij ∑= = k 1= k Bây xét r ≠ s z phần tử σ rs Khi ma trận n = b (b = atrs ( z )a −1 = (∑ aik [trs ( z )]kl alj′ ) ij ) k ,l = n ( ∑ a [t k= l= = n (∑ a k =1 ik ik n ′ ′ rs ( z )]kk akj + ∑ aik [t rs ( z )]kl alj ) akj′ + air zasj′= ) k ≠l (δ ij + air zasj′ ) −1 ′ (δ ij − air zasj′ ) Bởi theo trên, ta chứa H nghịch đảo b= (b= ij ) có bij wb′jj ∈ σ ij , với w ∈ R mà + w ∈ R* nên bij b′jj ∈ σ ij (vì ∈ R* nên ta chọn w = ) Suy air zasj′ (1 − a jr zasj′ ) ∈ σ ij (2.4.30) Thay z − z ta −air zasj′ (1 + a jr zasj′ ) ∈ σ ij (2.4.31), Từ (2.4.30) (2.4.31), ta có 2air zasj′ ∈ σ ij Suy air zasj′ ∈ σ ij Đối với chiều đảo, σ D − lưới nên ta cần chứng minh với i ≠ j {r ∈ R|tij (r ) ∈ H} ta có σ ij = ) G(σ ) ⊆ H Suy Thật vậy, lấy r ∈ σ ij , tij (r ) ∈ G ∩ (e + M (σ )= σ ij ⊆ {r ∈ R|tij (r ) ∈ H} Ngược lại, lấy r ∈ R cho tij (r ) ∈ H ⊆ N (σ ) Suy tij (r ).a.tij (−r ) ∈ G (σ ), với mọi= a (akl ) ∈ G (σ ) Từ dẫn đến aij + jj + (aii + ji )(−r ) ∈ σ ij Suy aij + r (a jj − aii ) − r a ji ∈ σ ij Mặt khác ta chọn a jj − aii = 1, a ji = ta có a ∈ G (σ ) Khi aij + r ∈ σ ij , hay r ∈ σ ij Suy {r ∈ R|tij (r ) ∈ H} ⊆ σ ij Vậy σ D − lưới liên kết với H  Kết luận kiến nghị Bài toán thực luận văn mô tả nhóm nhóm tuyến tính tổng quát chứa nhóm ma trận đường chéo vành quy giao hoán Các kết luận văn là: Trình bày khái niệm tính chất vành quy, vành quy giao hoán vành u -chính quy Đưa khái niệm lưới nhóm lưới Mô tả nhóm nhóm tuyến tính tổng quát chứa nhóm ma trận đường chéo vành quy giao hoán Sau hoàn thành luận văn, nhận thấy toán mở rộng theo ba hướng sau: Thay vành quy giao hoán vành u -chính quy Bỏ điều kiện (Φ) vành quy giao hoán R Xét toán vành quy (không thiết giao hoán) Hi vọng vần đề giải thời gian tới Như vậy, với nội dung gồm hai chương, luận văn trình bày vấn đề lý thuyết nhóm tuyến tính vành, qua giúp ta có khái niệm gọi "sự mô tả chuẩn" nhóm nhóm tuyến tính tổng quát chứa nhóm ma trận đường chéo vành quy giao hoán Tuy vấn đề mang tính cổ điển đề tài thú vị, có nhiều ứng dụng thực tế mà ứng dụng Hóa học, Sinh học, Lý thuyết mật mã Âm nhạc, … ví dụ điển hình (đã đề cập luận văn Nguyễn Linh Chi- Đại số lý thuyết số K12, ĐH Cần Thơ) Chính lẽ đó, đề tài nhiều nhà Toán học nghiên cứu.Hơn nữa, việc nghiên cứu đề tài có ý nghĩa sâu sắc với thân tôi, giúp trưởng thành tư Toán học, tính nhẫn nại tự tin trình nghiên cứu khoa học.Nếu có điều kiện tiếp tục nghiên cứu thêm vấn đề Do thời gian lực hạn hẹp nên luận văn chắn nhiều thiếu sót Tôi mong nhận nhiều ý kiến đóng góp từ qúi Thầy cô bạn Tài liệu tham khảo [1]Bùi Xuân Hải, Nhóm tuyến tính (chuyên đề cao học), NXB Đại học Quốc Gia Tp HCM 2007 [2] Bui Xuan Hai and Tran Ngoc Hoi, On subgroups of the general linear group over a commutative von Neumann regular ring, Acta Mathematica Vietnamica, V 19, No 2, 1994, pp 19-30 [3] H Bass, Algebraic K - Theory, Benjamin, New York 1968 [4] Z I Borevich, A description of the subgroups of the complete linear group that contain the group of diagonal matrices, Zap Nauc Sem Leningrad Otdel Mat Inst Steklov (LOMI) 64 (1976), pp 12-29 English translation in J Soviet Math.17 (1981), No [5] Z I Borevich and N A Vavilov, Subgroups of the general linear group over a semilocal ring, containing the group of the diagonal matrices, Trud Mat Inst Steklov.vol 148 (1978), pp 43-57 (English, Translated by K A HIRSCH) [6] Z I Borevich and N A Vavilov, The distribution of subgroups in the full linear group over a commutative ring, Trud Mat Inst Steklov.vol 165 (1983), pp 24-42 (English, Translated by D GILDENHUYS) [7] G Ehrlich, Unit-regular ring, Portugalie Mathematica 27 (1968), 209-212 [8] K R Goodearl, Von Neumann regular rings, Malabars, Florida 1991 [9] M Henriksen, On a class of regular rings that are elementary divisor rings, Arch Math 24 (1973), 133-141 [10] L N Vaserstein, Bass's first stable range condition, J Pure Appl Algebra 34 (1984), 319-330 [11] Z I Borevich, On parabolic subgroups in linear groups over a semilocal ring, Mat Zametki (1971), 699-708; English transl in Math.Notes (1971) [12] Z I Borevich and N A Vavilov, Definition of a net subgroup, Plenum publishing corporation, UDC 519.46 (1985), 1810-1816 [...]... = [K, H] Nhóm [G, G] được gọi là nhóm con hốn tử của G và kí hiệu là DG 1.2 Nhóm tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính 1.2.1 Nhóm tuyến tính tổng qt GL(M) và các nhóm liên quan Cho M là R−mơđun (phải) Mỗi phần tử của End R M được gọi là một phép biến đổi tuyến tính trên M Định nghĩa 1.2.1 Nhóm tuyến tính tổng qt GL(M) của mơđun M là nhóm tất cả các phép biến đổi tuyến tính khả nghịch của M Với... R/I là vành u -chính quy  Với vành chính quy von Neumann ta có những kết quả sau: Định lý 2.1.2 Nếu R là vành chính quy giao hốn thì R là vành u -chính quy Chứng minh Giả sử R là vành chính quy giao hốn Lấy x ∈ R, theo tính chính quy của vành R tồn tại y ∈ R sao cho xyx = x Đặt u = yxy + 1 − yx Khi đó ta có: xux = x(yxy + 1 − yx)x = xyxyx + xx − xyxx = xyx + xx − xx = x và do tính giao hốn của vành R... thiệu vành u -chính quy Ta cho một điều kiện cần và đủ cho vành con của tích trực tiếp các trường là chính quy Ta cũng giới thiệu một lớp vành chính quy von Neumann giao hốn mà chúng ta cần sử dụng về sau Định nghĩa 2.1.1 Vành R được gọi là vành chính quy von Neumann (hay nói vắn tắt là chính quy) nếu với mọi x ∈ R, tồn tại y ∈ R sao cho xyx = x Định nghĩa 2.1.2 Vành R được gọi là vành u -chính quy nếu... R* và e lũy đẳng Ngược lại, lấy x ∈ R thì x = ye với y ∈ R* và e là phần tử lũy đẳng của R Ta có xy−1x = x y−1ye = xe = yee = ye2 = ye = x Vậy R là vành u -chính quy  Định lý 2.1.1 Vành thương của vành u -chính quy là vành u -chính quy Chứng minh Lấy x ∈ R và I là iđêan của vành u -chính quy R Theo tính u -chính quy của R, tồn tại y ∈ R* sao cho xyx = x Ta có (x + I)(y + I)(x + I) = xyx + I = x + I Hơn...   * Nhóm ma trận tam giác trên (dưới) có các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 trong đó U n (R) = và U n− ( R ) = , 1 0  1 * *  * 1  0 1  * −   và u =  u=          * *  0 0  1    0 0    1 Chương 2 NHĨM CON CỦA NHĨM TUYẾN TÍNH TỔNG QT TRÊN VÀNH CHÍNH QUY GIAO HỐN 2.1 Một vài kết quả trên vành chính quy giao hốn Mục đích của phần... là các nhóm con của G Ta nói H chuẩn hóa K hay K được chuẩn hóa bởi H, nếu ∀h ∈ H, hKh−1 = K Nếu X là tập con khác rỗng và H là nhóm con của G thì H = {hxh−1 | h ∈ H, x ∈X } là nhóm con nhỏ nhất của G chứa X và được chuẩn hóa bởi H Đặc biệt, G là nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất của G chứa X Nó được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G sinh bởi tập X Định nghĩa 1.1.13 Tâm hóa tử của tập X trong nhóm G... 1.1.3 Nhóm Cho nhóm G là một nhóm nhân với phần tử đơn vị 1 Nhóm con H của G là nhóm con thật sự nếu H ≠ G Định nghĩa 1.1.11 Nhóm G gọi là nhóm đơn nếu G khơng có nhóm con chuẩn tắc thực sự khác 1 Nếu H 1 , H 2 , , H n là các nhóm con của G thì ta kí hiệu H 1 H 2 H n là tập hợp H 1 H 2 H n = {h 1 h 2 h n } Nếu X là tập con khác rỗng của G thì kí hiệu X là nhóm con của G sinh bởi tập X Nếu... x − x = 0 nên ux = ax = 1 vì thế u khả nghịch phải Như vậy u khả nghịch và a, x cũng thế  Định lý 2.1.4 Vành chính quy R là u -chính quy khi và chỉ khi R là một B -vành Chứng minh Giả sử vành chính quy R là một B -vành Ta chứng minh R là vành u -chính quy Thật vậy, lấy a ∈ R, do tính chính quy của vành R, tồn tại x ∈ R sao cho axa = a Với mọi y ∈ R ta có, y = axy +y −axy = a(xy) + (1 −ax)y ∈ aR +(1 −ax)R,... tối đại của vành R nên đồng cấu f : R  → ∏ ( R / Iα ) α x | → ( x + Iα ) có hạt nhân kerf = {x ∈ R | (x + I) = 0} = {x ∈ R : x ∈ I α ,∀ α } = {x ∈ R : x ∈  I α = 0} = 0 α và do đó f là một đơn cấu Vậy vành chính quy giao hốn R là vành con của tích trực tiếp các trường Sau đây ta sẽ xem xét một vài tính chất của những vành là vành con của tích trực tiếp các trường như thế Cho R là vành con của tích... xα = 0 Do đó, e là phần tử lũy đẳng của R và x = ye là tích của phần tử đơn vị và phần tử lũy đẳng của R Điều này chứng tỏ R là vành chính quy von Neumann  Tiếp theo, ta phát biểu một hệ quả thú vị của Định lý 2.1.5, trong đó trình bày một tính chất quan trọng của Mệnh đề 2.1.3 và Bổ đề 2.1.1 Hệ quả 2.1.1 Cho R là vành chính quy von Neumann giao hốn và là vành con của tích trực tiếp các trường P = ∏ ... 1 Chương NHĨM CON CỦA NHĨM TUYẾN TÍNH TỔNG QT TRÊN VÀNH CHÍNH QUY GIAO HỐN 2.1 Một vài kết vành quy giao hốn Mục đích phần giới thiệu vành u -chính quy Ta cho điều kiện cần đủ cho vành tích trực... Vậy R/I vành u -chính quy  Với vành quy von Neumann ta có kết sau: Định lý 2.1.2 Nếu R vành quy giao hốn R vành u -chính quy Chứng minh Giả sử R vành quy giao hốn Lấy x ∈ R, theo tính quy vành R... yee = ye2 = ye = x Vậy R vành u -chính quy  Định lý 2.1.1 Vành thương vành u -chính quy vành u -chính quy Chứng minh Lấy x ∈ R I iđêan vành u -chính quy R Theo tính u -chính quy R, tồn y ∈ R* cho xyx