Các phạm trù con serre của phạm trù module hữu hạn sinh trên vành noether

ệ ì ì P P P ề ế P ề ệ ì ì P P P ề ế P ề số ỵ tt số số ữớ ữợ ử P tr ữỡ õ P t sỡ õ ỳ P trũ rr ởt trũ P trũ rr tr tr t t ỡ ữủ trũ P trũ rr ởt số trũ rr ỵ r ỵ s P ỵ t A ởt trũ ởt trũ C A ữủ ởt trũ rr C õ ố ợ t t tữỡ rở ợ õ ỳ tr ởt R ởt trũ rr trũ R trũ rr õ trỏ q trồ tr số ỗ ỗ ỵ tt ỵ tt số số ổ q t t s õ ỡ tự ữợ q ợ ự t ự trũ rr trũ mod R ỳ s tr tr R ỗ trũ rr ú ởt số ố tữủ ự P trũ rr trũ mod R ỵ r trữ trũ rr t q rở s Pữỡ ự t q t s s tờ ủ ự ỵ tt trú t t t ỗ ữỡ s ữỡ tr tr ởt số tự ỡ s ữ ữỡ õ t sỡ õ ỳ ởt số t q ử ữỡ ữỡ ữỡ P trũ rr ởt trũ tr ởt số tự ỡ s trũ ợ trũ rr t t trũ rr ởt số trũ rr trũ R ữỡ P trũ rr tr tr tr ự ỵ rr ỵ s ởt số t ỷ ỡ tợ t ổ tr rữớ ữ õ t ổ ổ số õ r t t tr sốt tớ q t t tọ ỏ trồ t ỡ s s tợ t t t ữợ ú ù t tr sốt q tr ỡ ỗ tt ữớ q t ú ù t õ t t ũ õ ố s tớ tr ỏ õ tr ọ ỳ t sõt t rt ữủ ỵ õ õ qỵ ữủ t ỡ ổ t ỡ t P ữỡ tr r t ổ õ t t R ữủ ởt õ ỡ = Spec R t ủ tt tố tr R t r Spec R ởt ổ tổổ ợ tổổ rs tr õ t õ õ V (I) = {p Spec R | p I} ợ I ởt tũ ỵ R ữỡ õ ởt t S R ữủ ởt t õ R S ợ a, b S t ab S M ởt R S ởt t õ R r t M ì S t q tữỡ ữỡ ữ s (x, s) (y, t) tỗ t r S s r(tx sy) = ợ tữỡ ữỡ M ì S t q ữủ x S M ợ tữỡ ữỡ tỷ (x, s) ữủ r s trữớ ủ t M = R t õ t S 1R ữớ t õ t ỹ ởt trú S 1R t tr õ ữ s a b ta + sb + = , s t st a b ab ã = , s t st ợ as , bt S 1R ỗ tớ t õ t tr S 1M trú ởt S 1R ợ tx + sy x y + = , s t st a x ax ã = , u s us ua S 1R ú ỵ r t ụ õ t ợ xs , yt S 1M S M ởt R ợ aã x ax = s s sỷ M ởt R S ởt t õ R õ S 1R ữủ ữỡ õ R t õ S ỏ S 1M ữủ ữỡ õ M S t p ởt tố R t S = R\p ởt t õ tr R õ ữớ t t S 1R = Rp S 1M = Mp ú tữỡ ự ữỡ õ R M t tố p M ởt R S ởt t õ R õ t tữỡ ự : M S M x x ởt ỗ R õ ữủ tỹ tứ M S M ỵ M ởt R S ởt t õ R : M S 1M tỹ õ t õ s N ởt M t tữỡ ự : S N S M x x s s ởt ỡ S 1R õ S 1N ởt S 1M ỡ ỳ C ởt s N t t (C) = { x | x C} ởt s S 1N t N ỳ s t S 1N ụ ỳ s ộ S 1R S 1M õ S 1N ợ N ởt M ự sỷ x, y N õ ợ s, t S t õ xs = yt xs , yt tỷ S 1M S 1N tữỡ ữỡ ợ tỗ t r S s r(tx sy) = xs yt tr S 1M ú tr S 1N ự tọ ởt ỗ tớ ụ ự tọ õ ởt ỡ ởt ỗ S 1R õ õ t S 1N ởt x S M sỷ C ởt s N ởt tỷ s n S 1N x N tỗ t x1, , xn C s x = aixi ợ i=1 R, i = 1, , n õ n x = s xi i=1 s n = i=1 x i = s n i=1 x i s ứ õ s r (C) ởt s S 1N sỷ N1 ởt S 1M õ N = 1(N1) ởt M ự N1 = S 1N t x x S N t x N t õ N1 t s ữủ xs N1 t ữủ x x = ã N1 s s x s x = ( )( ) N1 õ x N 1 s xs S 1N I ởt R S ởt t õ R õ S 1I ởt tỹ sỹ S 1R I S = ự sỷ I S = s I S õ ss = 11 S 1I S 1I = S 1R M mod R | I nM = ợ n õ = Supp1(V (I)) ợ ố I R {M mod R | dim M n} = Supp1({p Spec R | dim R/p n}) ợ số ữỡ n trữợ {M mod R | ht Ann M n} = Supp1({p Spec R | ht p n}) ợ số tỹ n trữợ ự Max R t tố ỹ R õ Supp1 (Max R) = {M mod R | Supp M Max R} ỵ t M mod R õ ỳ tỷ Supp(M ) ỹ õ t ữủ ự õ V (I) = {p Spec R | p I} () M mod R tọ I n M = tữỡ ữỡ ợ Ann(M ) I n ợ p Supp(M ) õ p Ann(M ) I n p tố p = p ụ õ I n = I r p I p V (I) õ Supp(M ) V (I) M Supp1 V (I) () ợ t ý M Supp1 V (I) t õ Supp(M ) V (I) õ ợ p Supp(M ) t p I t s r p= Ann(M ) I pAss(M ) õ tỗ t n I n Ann(M ) I nM = ữủ ự ợ ộ M mod R t õ dim M = sup {dim(R/p) | p Supp M } õ dim M n tữỡ ữỡ ợ dim(R/p) n ợ p Supp M ữủ ự () sỷ M mod R tọ ht Ann(M ) n õ ht Ann(M ) = inf{ht p | p Spec R, p Ann(M )} = inf{ht p | p Supp(M )} õ ợ p Supp(M ) t ht p n () sỷ ợ ộ p Spec(R) tọ ht p n õ t õ p V (Ann(R/p)) = Supp(R/p) ht Ann(R/p) n ữ tỗ t M = R/p mod R tọ ht Ann(M ) n ợ p Supp(M ) ỵ s rở t q r s tt trũ mod R õ ợ rở ứ t q tờ qt s ụ õ t ữủ ỵ r rữợ t tr ự ỵ s t ự ởt số s M N ỳ R ỳ s õ HomR(M, N ) ởt R ỳ s ự tr r HomR(M, N ) ởt R ợ (f + g)(x) = f (x) + g(x), (af )(x) = af (x), ợ f, g HomR(M, N ), a R x M sỷ M N õ s ữủt {xi}mi=1 {yj }nj=1 õ tr r HomR(M, N ) õ ởt s {ij | i = 1, , m; j = 1, , n} tr õ ij : M N ữủ ij (xk ) = yj k = i k = i, ợ k = 1, , m HomR(M, N ) ởt R ỳ s R ởt ữỡ ợ ỹ m K = R/m M ởt R õ ỳ n õ HomR(M, K) = t M = ự ự n = t n > t t õ ởt ủ t M = Mn Mn1 M0 = õ r N = M/Mn1 ởt R ỡ õ ợ = x N t x tỷ s N tự N = {ax | a R} r ỗ f : R N, a ax ởt t t N ỡ Ker f ỹ R Ker f = m ứ õ t õ N = R/m = K ữ õ ỗ = M M/Mn1 = N K ổ t ợ tt HomR(M, K) = n = tự M = sỷ R ởt tr õ ỡ mod R trũ R ỳ s r ợ ộ R M t Ass(M ) = {p Spec R | R/p M } ự ỵ s t ởt t q tữỡ tỹ õ M, N ợ Ass(M ) Ass(N ) t M subext(N ) tr õ subext(N ) trũ ọ t mod R ự N õ ợ rở mod R ự t X = subextN sỷ Ass(M ) = {p1, , pn} õ t ỵ t õ = M1 Mn ởt t sỡ t tr õ Mi ởt pi sỡ M (1 i n) r ỗ tỹ : M M/M1 M/Mn x (x + M1 , , x + Mn ) ởt ỡ Ker = M1 Mn = q t ụ õ Ass(M/Mi) = {pi} Ass(M ) Ass(N ) ó r t ự M/Mi X ợ i = 1, , n t õ M/M1 M/Mn X X õ ố ợ rở õ ỡ : M M/M1 M/Mn X õ ợ tứ s r M X ữ t M M/Mi t t ự ợ tt r M õ t ởt tố t p {p} Ass(N ) t tỗ t ởt ỡ R/p N õ R/p X sỷ ự r M / X t M = M0 M0 R/p R ỳ s t t õ HomR(M0, R/p) R ỳ s sỷ HomR (M0 , R/p) = f0,1 , , f0,m õ tỗ t ợ f = f0,1 f0,m0 M1 M0 (R/p)m0 , tr õ M1 = Ker f R/p X X õ ợ rở (R/p)m X t M0 / X t õ M1 / X t sỷ M1 X õ t õ ợ f = f0,1 f0,m0 M1 M0 Im f Im f (R/p)m X M1 X tứ õ s r M0 X t ợ tt ự ỡ ỳ M1 = Ass(M1) Ass(M0) Ass(M1) = {p} t sỷ HomR(M1, R/p) = f1,1, , f1,m õ t õ ợ tr õ f1,1 f1,m1 M2 M1 (R/p)m1 , f 1,1 M2 = Ker (R/p)m1 X M1 / X f1,m1 tữỡ tỹ ữ tr t s r M2 / X Ass(M2) = {p} ự t tử ữ t t ữủ ởt R M = M0 M1 M2 , tr õ Ass(Mi) = {p} ợ i M ỳ s tr tr R M õ ỳ õ t tữỡ ự M : [HomR (M, R/p)]p HomRp (Mp , (p)) ởt tr õ (p) = (R/p)p = (R/p)(0) trữớ tữỡ R/p õ [HomR (M, R/p)]p = HomRp (Mp , (p)) õ HomR (Mp, (p)) = Rp p (f1 )p , , (fm )p t ữủ ởt Mp = (M0 )p (M1 )p (M2 )p Ass(M ) = {p} t q t Rp (Mi)p õ ỳ ợ i õ tỗ t số t s (Mt)p = (Mt+1)p = (Mt+2 )p = õ ợ (ft,1 )p gp = (ft,mt )p = (Mt )p (p)mt (Mt+1 )p ự tọ r gp = tứ õ HomRp ((Mt )p , (p)) = Rp (ft,1 )p + + Rp (ft,mt )p = õ t (Mt)p = ổ ỵ p Ass(Mt) Supp(Mt) sỷ s t õ M X X mod R W Spec R t Ass(X ) = Ass(M ) M X Ass1 (W ) = {M mod R | Ass(M ) W } t õ t t tr ự t q s ỵ s R ởt tr õ ỡ õ õ ởt s trũ mod R õ ợ rở O Ass Ass1  t Spec R ỡ ỳ Ass Ass1 tr trũ rr mod R tr t õ ợ t õ Spec R t t ữủ ỵ r ự X ởt trũ mod R õ ợ rở W ởt t tũ ỵ Spec R Ass(X ) t Spec R Ass X = M X Ass(M ) Ass1(W ) trũ mod R õ ợ rở t L ởt M M Ass1(W ) t Ass(L) Ass(M ) W r L Ass1 (W ) Ass1 (W ) õ ợ t ợ L M N ợ L, N Ass1(W ) ứ s r Ass(M ) Ass(L) Ass(N ) t õ Ass(M ) W M Ass1(W ) Ass1(W ) õ ố ợ rở Ass(Ass1(W )) = W t () ợ p Ass(Ass1 (W )) t õ p Ass(M ) ợ M Ass1 (W ) õ tỗ t ỡ R/p M tứ õ {p} = Ass(R/p) Ass(M ) W, s r p W () ợ p W t ý t õ Ass(R/p) = {p} W tứ s r R/p Ass1 (W ) õ p Ass(Ass1 (W )) Ass1(Ass(X )) = X t () ợ M X t õ Ass(M ) Ass X õ M Ass1 (Ass(X () ợ M Ass1 (Ass(X )) t õ Ass(M ) Ass X = Ass(N ) N X M ỳ s tr tr R Ass(M ) t ỳ sỷ Ass(M ) = {p1, , pn} õ tỗ t Ni X s pi Ass(Ni ) ợ i = 1, , n t N := N1 Nn q t s r Ass(M ) = {p1 , , pn } Ass(N1 ) Ass(N2 ) Ass(Nn ) n = Ass( Ni ) = Ass(N ) i=1 Ass(M ) Ass(N ) t ữủ M X t ự r Ass Ass1 tr trũ rr mod R tr t õ ợ t õ Spec R t ữủ ỵ r õ t s ự r Ass |{ trũ rr mod R} = Supp Ass1 |{ t õ ợ t õ Spec R} = Supp1 t X ởt trũ rr mod R t õ Ass(M ) Ass(X ) = M X Supp(M ) = Supp(X ) M X M X p Supp(M ) tũ ỵ õ tỗ t ởt tố q Min(M ) Ass(M ) s q p t õ t tỹ R/q R/p, a + q a + p q Ass(M ) õ ởt ỡ R/q M X õ ợ tữỡ R/q X tứ õ R/p X õ {p} = Ass(R/p) Ass(X ) Ass(X ) = Supp(X ) ữủ W ởt t Spec R õ ợ t õ M mod R tọ Supp(M ) W t ỵ t Ass(M ) Supp(M ) W sỷ M mod R tọ Ass(M ) W p Supp(M ) tũ ỵ õ tỗ t ởt tố q Min(M ) Ass(M ) s q p q W W õ ợ t õ p W õ Supp(M ) W t ữủ Ass1 (W ) = {M mod R | Ass(M ) W } = {M mod R | Supp(M ) W } = Supp1 (W ) ỵ ữủ ự ỵ s ởt số s R ởt tr õ p sỡ M = Ass1({p}) ợ p Spec R trữợ {M mod R | l(M ) < } = Ass1(Max R) M mod R | I nM = ợ n õ = Ass1(V (I)) ợ ố I R {M mod R | dim M n} = Ass1({p Spec R | dim R/p n}) ợ số tỹ n trữợ {M mod R | ht Ann M n} = Ass1({p Spec R | ht p n}) ợ số tỹ n trữợ {M mod R | grade(X, M ) > 0} = Ass1(Spec R\ Supp X) ợ X ởt R ỳ s M mod R | ự ứ q t s r p sỡ M mod R Ass(M ) = {p} ỵ t õ l(M ) < tỷ Ass(M ) ởt ỹ () M mod R tọ I nM = t Ann(M ) I n õ ợ p Ass(M ) Supp(M ) = V (Ann(M )) t õ p Ann(M ) I n r p I p V (I) õ Ass(M ) V (I) M Ass1 V (I) () ợ t ý M Ass1 V (I) t õ Ass(M ) V (I) õ ợ p Ass(M ) t p I ứ s r p= Ann(M ) I pAss(M ) õ tỗ t n I n Ann(M ) I nM = t ữủ tự ữủ Ass(M ) Supp(M ) õ ũ t tỷ ỹ t ỵ t õ dim M = dim R/ Ann(M ) = suppAnn M dim R/p = suppSupp M dim R/p = suppAss M dim R/p õ dim M n tữỡ ữỡ ợ dim R/p n ợ p Ass M () sỷ M mod R tọ ht Ann(M ) n õ ht Ann(M ) = inf{ht p | p Spec R, p Ann(M )} = inf{ht p | p Supp(M )} õ ợ p Ass(M ) Supp(M ) t ht p n () sỷ ợ ộ p Spec(R) tọ ht p n õ t õ p Ass(R/p) ht Ann(R/p) n ữ tỗ t M = R/p mod R tọ ht Ann(M ) n ợ p Ass(M ) t õ grade(X, M ) = inf{i N | ExtiR (X, M ) = 0} õ Ass(M ) Spec R\ Supp X Ass(M ) Supp(X) = tỷ ỹ t tr t Ass(M ) Supp(M ) ữ t ỵ Ass(M ) Supp(X) = Supp(M ) Supp(X) = tữỡ ữỡ ợ Supp(HomR (X, M )) = Ext0R (X, M ) = HomR (X, M ) = tự õ grade(X, M ) > ữủ ự t t t trũ rr trũ ỳ s tr tr t ữủ ỳ t q s r ởt số tự ỡ s tr õ ỡ r ởt số tự ỡ s trũ trũ rr ởt số t t trũ rr trũ R r trũ rr tr tr q ỵ r ỵ s rở ỵ r tr ởt số ỳ t q t ữủ tr t ỏ rt tố ú t õ ỡ t s ỡ số ỵ tt trũ t t t ữỡ ố t ỡ s ỵ tt t ữ ữỡ ố t t ỵ tt t ữ ữỡ ố t ỵ tt t ữ ỵ tt trũ t ữ t ss strs s rs r t s sst strs s r tt tr r t s sst rs strs P trs