Tính catenary trong các đại số hữu hạn sinh như môđun

I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM PHM VN CHUYN TNH CATENARY TRONG CC I S HU HN SINH NH MễUN LUN VN THC S TON HC THI NGUYấN - 2015 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM PHM VN CHUYN TNH CATENARY TRONG CC I S HU HN SINH NH MễUN Chuyờn ngnh: i s v Lý thuyt s Mó s: 62.46.01.04 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS NGUYN TH DUNG THI NGUYấN - 2015 r ết q trì tr ị trù trớ t ệ sử ụ ệ t t ệ t t t ệ tr ợ rõ ố ọ P ề tỏ ò ết t s s tớ P ễ ị t tì t t t t tr ệ ọ ệt tr ộ t ọ rờ ọ t tì t ọ ề ệ ú ỡ t tr q trì ọ t t ữ t tr ì tr ọ ộ ú ỡ t tr sốt q trì ọ t tể tr ỏ ữ tế sót rt ợ ỉ t tì ủ t ệ t P ề ụ ụ số ữ s ột R Pụ tộ tr số ữ s ột R í tr tr R ữ s í tr tr ổ ụ í tr ủ R ữ s ết ệ t R tr p q tố ủ R ột t t tố p = p0 p1 pn = q ợ ọ ột í tố ò ữ tồ t ột tố p q ế ọ i p s pi p pi+1 ó n ợ ọ ộ ủ í tố ò tr R ợ ọ tr ế ọ tố p R tồ t í tố ò q ủ p = p0 p1 pn = q ữ p q ọ í tố ữ ọ tr ổ ụ ế ọ p q ề ó ộ R ợ R số ữ s ề tr í tr ủ ợ ứ t r r ó t trì ủ t ọ t t t r tí t ó ột trò q trọ tr ệ ứ trú ủ r r r ứ tỏ r ọ số ữ s tr ột trờ tr ế t ứ ọ ị ủ ề tr ết q tế t tộ ề t ó r ọ ề ị tự trộ tr r ữ t ó tể ứ ế ỉ ế R/I R s dim R tr tr ọ I ủ R tr R ị ó ủ tr ũ tr ết ợ ết ế tr tự tế tr ữ ứ ụ ủ ì ọ số ề tr ì ột ỏ t r ệ r tí tr ó ợ t q rộ í ụ ế ữ s tì ệ r tí tr ủ ột R R ệ tế t s tr tr t í Prs t r tt t tr ỏ tr ết q í ủ ị ý s ị ý sử R tr R số ữ s ột R t tết ó tr ế R tr ổ ụ t ị ý ế R ề ị tì tí tr ổ ụ t tí tự trộ ì tế ề ợ ủ ị ý tr ũ ú ế R ề ị ệ q ì tr ổ ụ từ ị ý tr t ó ột ệ q ế R tì ữ tr trờ ợ tr ệ q (R, m) ị tr R tì tr ệ q ụ í ủ trì ứ tết ột số ết q ề R ữ s tí t tr tr ổ ụ ủ ết q ủ t s ề tí tr ủ R ữ s tr tr ộ í ủ ể trì ệ tí t q ế rộ tr ột ị ý s s ợ ị ý tr ị ý ệ í ụ ột số tí t ủ R ữ s ũ ợ trì tr ứ ột số ết q ề tí tr tr ổ ụ ết q í ủ ủ t s P ết ủ tổ ết ết q t ợ số ữ s ột R ộ ủ ột r ệ ề rộ ệ tố ột số ết q sở ủ rộ ị ý s s ợ rt ị ý tr r ị ý P r ệ í ụ ệ tố ột số ết q í ề í ệ R S R ữ s r M ột R ột R số ữ s ột R ết q tt ữ ợ t tr ố s ủ r t ủ t s Pụ tộ tr ị ĩ S tử r0 , , rh1 R ỉ tr S ị ĩ s S R ủ ợ ọ tr s sh R ế tồ t h N + rh1 sh1 + + r0 = 0, ó s ệ ủ ột tứ tr R[X] ợ ọ tr R ế ọ tử s S ề R ột f :RR ữ ợ ọ ỉ R tr r ột R M Im(f ) ủ ó ợ ọ t ế (0 :R M ) = ó t ó ết q s ệ ề ệ ề R ột ủ S s S ữ ị s t s tr R R[s] ủ S ữ s ột R t T ủ S ứ R[s] T ữ s ột R t ột R[s] t M ế M R é t ẹ tì M ữ s ứ ứ (i) (ii) R t ì s R[s] tr R s {si : i N0 } tồ t h N r0 , , rh1 R tỏ sh + rh1 sh1 + + r0 = ó ọ n N0 t ó sh+n = rh1 sh+n1 r0 sn q t n t ó tể ễ ứ ợ sh+n R1 + Rs + + Rsh1 ề ó ĩ ọ tử ủ R[s] ề ó tể ể ễ q 1, s, , sh1 ứ tỏ R[s] ữ s R (ii) (iii) ỉ ọ T = R[s] (iii) (iv) M = T ó T tết t (iii) ột t t ì tử a1R = s r a = ì tế M = T (iv) (i) M s tồ t R ữ s t a (0 :R[s] T ), từ aT = é R[s]t ột R[s] t M ữ s R u1 , u2 , , un ó ì sui M ỗ i = 1, , n aij R tỏ n suj = aij ui t tr ủ A A = (aij ) t ứ s ệ ủ tứ tr tứ s ệ ủ f (t) = det(tIn A) t từ tứ t ó tể ết (u1 , , un )sIn = (u1 , , un )A (u1 , , un )(sIn A) = (0, , 0) í ệ (sIn A)ad tr ợ ủ tr (sIn A) ệ q t ó tí t (sIn A)(sIn A)ad = det(sIn A)In ế ủ (sIn A)ad rồ ụ tí t tr t ợ (u1 , , un )(sIn A)(sIn A)ad = (0, , 0)(sIn A)ad r (u1 , , un ) det(sIn A)In = (0, , 0) (u1 , , un )f (s)In = (f (s)u1 , , f (s)un )In = (0, , 0) ọ 0i ht p + t t ht m/P = d ét tr R/p t ó tể ỉ r r tồ t số P Spec R tỏ p P ht(P /p) = ht(m/P ) = d tế ữ t tết ht(m/P ) + ht P = n ó ht P = n d = ht P > ht p + t t ị ý ỉ ó ữ ó t ó t P tế R tr ữ ết q tr ợ t rộ tt ị ề r R ợ ọ ề ế dim R/p = dim R ọ p Min Ass R ị ý ó sử R ị tr ề R tr ỉ ỗ tố p ủ R t ó ht p + dim R/p = dim R ế t ú t tì ể ề ột ệt ủ tr tr ổ ụ ợ ị ĩ s ị ĩ R ợ ọ tr ổ ụ ế ọ R số ữ s ề tr ệ ề R tr ổ ụ ế ỉ ế ọ tứ ữ ế ệ số tr R tr R tr ổ ụ ế ỉ ế R/p tr ổ ụ ọ p Spec R ị ó ủ tr ổ ụ ũ tr ổ ụ ứ sử a1 , , an S s S ột R số ữ s tứ tồ t S = R[a1 , , an ] f : R[X1 , , Xn ] R[a1 , , an ] ó tồ t ột t f (Xi ) = , i = n ì tế S ột t ủ tứ R[X1 , , Xn ] t ủ tr tr t s r r R ì tr ổ ụ ế ỉ ế ọ tứ ữ ế ệ số tr R tr ễ s r từ tí t ủ tr ột số tr ủ tr ổ ụ rớ ết ú t ệ tự trộ trộ t tt ữ ủ t ị ĩ ị ế ủ t ọ (R, m) ợ ọ tự trộ m R ủ ó ề tứ dim R/p = dim R p Min Ass R ợ ọ trộ ế dim R/p = dim R ọ p Ass R ệ ề ị í sử R, m tự trộ ó Rp tự trộ ọ p Spec(R) ế I ủ R tì R/I ề ỉ R/I tự trộ R tr ổ ụ ứ S tr Rp P Spec R s P R = p t S = (R)P S tr í q ị S Rp ó S ì t ủ ột ề t ị ý t t ết t ủ ột í q ị ề tì ủ t ó S trộ m ủ ó ũ ề ệ q tr ũ ề é t Rp ũ ề Rp tự t từ I ủ R/I R/I R R/I ề ét ế í ột ị ì tr R/I R/I R/I ề tì R/I ề t ị ý t ế R/I ề ì dim R/I = dim R/I p tố tể ủ R/I tì p ũ tố tể ủ R/I dim(R/I)/p ó R/I ề ề ỉ sử R/I R/I = dim R/I/p tự trộ R/I tự trộ R tự trộ ị í ọ ề ị ốt ế ể ữ tr R ề tự trộ ó ề tr ì ọ ề ữ s tr R ề tr R tr ổ ụ ết q s ú t ề ệ ể ột tr ổ ụ ệ ề ị í ề ệ s t R tr ổ ụ tứ ột ế R[x] tr R/p tự trộ ọ p Spec(R) ứ (i) (ii) ể t ị ĩ ủ tr ổ ụ (ii) (iii) ổ ề ổ ề tr (iii) (i) sử R/p tự trộ ọ p t ợ R tự trộ p Spec R ọ ụ ệ ề t ó R tr ổ ụ ệ q ế dim R tì R tr ổ ụ ứ ệ ề t ó ọ ó ề ỏ tr ế dim R tì dim R[x] ó R[x] tr t ệ ề tì tì R tr ổ ụ ì ế dim R R tr ổ ụ (R, m) tr ị ột R M s ợ ọ ế ữ M = depth M = dim M ế R R tì R ợ ọ ị ó ết q s ổ ề R ó Rp ũ R[X1 , , Xn ] ũ ệ ề tự ủ (R, m) ột ị I R ó ht I = depth(I, R) ó ht I + dim R/I = dim R R tr ổ ụ ứ ó Rp ht I = inf{dim Rp |p V (I)} ì ũ ó R dim Rp = depth Rp ht I = inf {depth Rp |p V (I)} = depth(I, R) = dim R dim R/I ht I + dim R/I = dim R ết tứ tr ột ó t ỉ ỉ r s R tr t p, q Spec R p q ó Rq ũ t ụ t ó ht q = dim Rq = ht pRq + dim(Rq /pRq ) = ht p + ht q/p ó R tr ệ ề ị í sử r R ề ị ó ị s t R tr ổ ụ R tự trộ r trờ ợ R/p ũ tự trộ t ó tứ dim R/p + dim Rp = dim R ọ p Spec(R) ứ ệ ứ ệ ề ết q ủ ệ ề ệ ề í tr ủ R ữ s ụ ể trì ết q ủ t s r ó r ế R tr tr ổ ụ tì ọ số ữ s ột R t tết tr ề ợ ũ ú ế R ề tr ị r ổ t tết R số ó ị rớ ết t ệ tố ột số ết q ề í t R, m ột ị ộ ủ M M R í ệ R (M ) im (M ) ố ề ị i ột R í t K m ủ M ó ột í t ợ ị ĩ s ị ĩ K R, m ị ó ề ợ ọ í t ủ d R ế K R R = Hom(dm (R), R (R/m)) (R, m) ột ị ó ề d s ột số ết q ề í t ợ trí tr ệ ề ị ý ệ q ổ ề K t s ột ột R ữ s ó ề d ế R ủ ị rst S tì t ó K = ExtrS (R, S) tr ó r = dim S dim R số ỏ t tỏ ExtrS (R, S) = ì tế ọ p SuppR K t ó Kp í t ủ Rp R ị T ột R S ột R số t ó í t ó ế t ủ T R S í S tì T í t ủ R sử r R ủ ị rst S t KR = ExtnS (R, S); (n = dim S dim R) ó K(Rp ) = (KR )p ọ p SuppR KR sử r dim R a1 , a2 ột ệ t số ủ R ó a1 , a2 KR í q ổ ề sử r (R, m) ột ị R ủ ị rst ột R ữ s P Spec() t p = P R, = /P ó ế dim tì tồ t ột X Y ữ s ột tử t m\p tỏ ữ ề ệ s depthR (X) t X í q tY = (0) ứ K = KR/p í t ủ R/p t X = HomR/p HomR/p (, K) , K í ệ :X í t ủ s t ệ ề ó t ó dim R/p = dim ữ ó t ổ ề depthR X ì t ổ ề t ó tể R/p ó X Rp R Kp = K(Rp /pRp ) = Rp /pRp ột ó tự ó t Y = Coker t ó ột ì t ó ột X Y t t ó ề t ó Yp = (0) tồ t t m\p s tY = (0) ó t ổ t R/pí q é t tử t X í q r R t tết ợ ọ tố ế tố r ổ tết ó ị ột tố ỉ ó ột ề ệ ề s ết q ốt ể ứ ị ý í ủ ệ ề sử r (R, m) ột ị tr ổ ụ ột tố ó ế ứ ột ự Q ht Q = tì dim = ứ ó tể sử r t ó R ột ề ị t ét trờ ợ sử r R dim ữ f :R ệ ề dim R = dim t ủ ị rst ó t ổ ề t ó ột é ú X ữ s ột tử = t m tỏ ữ ề ệ depthR X t X í q tX t ó IX Z = X/tX = Z I = ((0) : Z) ề ệ tX t tết ó Q Max I I X t Q t I Q t / P R Q/I Min /I t ó ì t í t ì ó q P Min t ủ t tết Q/I Min /I Max /I t ổ ề ht Q = ì tế ụ ổ ề depthR /I = t từ í t : Z s é ú /I Z depthR Z = depthR X > ó depthR /I > t ú t ứ tr trờ ợ tổ qt ủ t t Q = R R Q R m ủ R ì Q ự ủ ự ủ = R R ệ q t ó ht Q = ht Q = ó P Min tì ht/P Q/P = ì R ủ ột rst ị t dim /P = p = P R t ứ ị s P = p Min R t t ó P tố ủ Q ự ủ Q = Q Q P (0) t ht Q = ht/P Q/P = ó ế ó s r ó t QP f :R p R = (0) í ệ Q(R) trờ t ủ R ó ì P p Max p Min p ề ó Q = P P = (0) Rp R = Rp Q(R) (Q(R) R ) P = (0) tì í tố t ó p ột Rp tự t ệ ề ó t ổ dim Rp = ị t ệ ề t ó dim R = dim R/p = dim /P = dim = dim R dim = ị ý ụ sử r R ột ị tr ổ ột tố ó t ó tứ dim = dim /Q + ht Q ọ Q Spec ứ ó tể sử Q Max t f : R rớ ết ét trờ ợ h = ht Q ị ú ế h ệ ề t ó tể sử (0) = P0 P1 P2 Ph = Q ột í tố ủ ó t ệ ề ủ p h dim /Ph1 = t t ì htp (Ph1 p ) = ht Ph1 = h p = Ph1 R Ph1 p ự t ệ ề t tết q p ó ề r h ệ ề ệ ề t ó dim = dim R = dim R/p + dim Rp = dim /Ph1 + dim p = + (h 1) = h Q Spec t dim q = htq Qq = ht Q q = Q R ì Qq Max q ó dim Rq = ht Q t ì dim /Q = dim R/q t ệ ề t ó dim = dim R = dim R/q + dim Rq dim = dim /Q + ht Q ết q í ủ t ố ệ ữ tí tr ủ ột R số ữ s R ị ý ị ý sử R tr R số ữ s R t tết ó tr ế R tr ổ ụ ứ P Q tố ủ ọ í tố ữ q ét /P t P t ó tể sử ứ Q ó ù ộ ể P = (0) t q = Q R ị q t ó tể sử t R ị Q Max (0) = P0 P1 Pn = Q tố ủ ỉ r r ột í n = dim q t n tết R ú n = ó từ tr ổ ụ t ệ ề t ó ị ó tể sử dim /P1 = n n2 ị ú ế ht P1 = ụ ị ý t ó n = dim /P1 + = dim /P1 + ht P1 = dim n ị ú n tr ệ q sử ữ s R ột ột R số R ó tr ứ ệ q trự tế ủ ị ý í ì ột tr ổ ụ ệ q ột sử (R, m) ột ị tr R ó tr t ó tứ dim = dim /Q + ht Q ọ Q Spec() tứ n = ht Q ht P ú ọ P Q ủ ọ í tố P = P0 P1 Pn = Q ữ P ứ ó tể sử ó ú R f :R ủ t R ì d = dim R ũ R dimR AssR R AssR dim R/p = d ọ = d ó p AssR R tr R/p ị tự trộ ì tế R/p tự trộ ó t ệ ề t ó R/p tr ổ ụ é t R tr ổ ụ ị ý t ó tr Q Min ệ ề t q = Q R ỉ r dim /Q = d q ủ tr ó q pAssR p tr ị ý tr tố tồ t ột tố p AssR s q p ì dim R/p = d dimR = d q = p p Min R ó dim R/q = d /Q R/q t ệ ề t ó dim /Q = d ọ Q Min tí tr ổ ụ ủ R ụ ị ý ị ý t ó tể ễ t ợ r t ì ột tố tr ữ tứ P P Min Q Max í tố ó ù ộ Q dim = dim /Q + ht Q n = ht Q ht P d = dim ú ọ ú ọ P Q ó t ó Q Spec ũ ó P Q ọ í tố P = P0 P1 Pn = Q ữ P tr ó ổ ề ợ ứ ết q s ệ q trự tế ủ ị ý ị ý ệ ề ệ q R ột ề ị tr ó ề ệ s t R tr ổ ụ R tự trộ ọ ọ R số tố ữ s tr Q Spec t ó tứ dim = dim /Q + ht Q ết ó trì ết q s ệ tờ ứ tết tí t q ế rộ tr ột ị ý s s ợ ị ý tr ị ý rì ệ í ụ ột số tí t ủ R ữ s ệ ứ ột số ết q ề tí tr tr ổ ụ ủ rì ứ tết ột số ết q í tr tr t í Prs t r tt tủ t s ề tí tr ủ R ữ s tr tr ệ t ế s rsts s t t t trt t tt r ss Ps ss s t rs r rs r ts tts r rst Prss r t strtr tr t rsrs r t t r s r t t s trt t rs Prs t r tt st r r s s s tr ts t rrr r r r s tt rs st r r ssr r tr t tsr tt r tr r ts tts r rst Prss r rst r t s tsr tt r s t t ts tr t rs s Ps ss t tt rs t s tt tr rs Pr tts r s t str t t rt trs Pt t t r r s t t rs trs rts Pr tts t qs s rs t tt r r t t qs s t tt r t t r r s r t t rtrts tr rs r t r t tt r tt t tt ts r rst Prss r ... t ó ột số ột trờ ột ó ứ ột ét õ r r t ệ ề t ó ữ s ỉ ột R R số ữ s tr R í ụ s t ó ữ ữ s ữ s tứ í ụ = K x số tì K[x] ế K số R K[x] ệ số tr trờ K... pRp = dim Rp số ữ s ột ỗ f : R ột ữ tr aR b t ị ĩ tí ó trú ột số ột ị ĩ R ab = f (a)b R ó é ợ ọ R số ù ột f : R ột f : R ợ ọ ữ ợ ọ số ữ s ột R...I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM PHM VN CHUYN TNH CATENARY TRONG CC I S HU HN SINH NH MễUN Chuyờn ngnh: i s v Lý thuyt s Mó s: 62.46.01.04 LUN VN THC S TON HC Ngi