2.3.1 Nhóm xyclic
a) Định nghĩa:
Một nhóm Xđược gọi là nhóm xyclic nếu Xđược sinh ra bởi một phần tử a ∈X. Phần tử a gọi là phần tử sinh của nhóm X, kí hiệu X = < a >.
Chú ý: ∈ . Do đó
-Nếu phép toán hai ngôi trong X là phép toán cộng thì ∀ ∈ . -Nếu phép toán hai ngôi trong X là phép toán nhân thì ∀ ∈ .
b) Ví dụ
i) Nhóm các số nguyên là nhóm xyclic sinh ra bởi phần tử 1 hoặc -1. Thật vậy, mọi m đều là bội nguyên của 1 hoặc -1. Cụ thể hơn,
.1 ( )( 1). m
mm m
ii) Nhóm các căn phức bậc n của đơn vị, xác định bởi số phức z thỏa mãnzn
=1 với phép nhân các số phức là nhóm xyclic.
Z0=1 Z1
Z2
Z3
Hình vẽ trên minh họa nhóm xyclic các căn phức bậc n = 6 của phần tử đơn vị 1 gồm 6 phần tử tương ứng được biểu diễn là 6 đỉnh của lục giác đều.
iii) Nhóm cộng các số hữu tỉ không là nhóm xyclic. Thật vậy, giả sử là nhóm xyclic sinh bởi a
b với ∈ , . Khi đó . Hơn nữa
2
a
b phải là bội của a
b , tức là tồn tại ∈ sao cho
2
2 2
a a na
n
b b b
Suy ra hay . Điều này vô lí.
b) Tính chất
i. Mọi nhóm xyclic cấp vô hạn đều đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên .
ii. Mọi nhóm xyclic hữu hạn cấp n đều đẳng cấu với nhóm cộng các lớp thặng dư theo module n.
iii. Giả sử X và Y là hai nhóm hữu hạn có cấp m, n tương ứng. Khi đó nhóm tích X Y là nhóm xyclic khi và chỉ khi m và n nguyên tố cùng nhau. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh Giả sử G = là nhóm Xyclic. Xét f Z: G xác định n n a + f là ánh xạ vì n m an am f n( ) f m( ),m n, Z. + f là đồng cấu vì f n m( )an m a an. m f n f m( ). ( ),n m, Z. + f là toàn cấu vì x G x a nn, Z x an f n( ). + K fer {k Z a| k e}. i) G là nhóm xyclic cấp vô hạn G or ( )d a k a e 0 er {0} k K f
f
là đơn cấu
Theo Định lí đồng cấu nhóm suy ra
ker
Z
f ≅ imf = G hay Z ≅ G.
ii) Nếu nhóm xyclic cấp
er { | k } K f k Z a e {k |k n}=n Theo định lí đồng cấu nhóm ta có ker n f imf = G hay ≅
iii) Giả sử X x có cấp là m , Y y có cấp là n , với m n, 1. Ta sẽ chứng minh rằng X Y là nhóm xyclic sinh bởi phần tử (x,y).
Vì X có m phần tử, Y có n phần tử nên XY có m.n phần tử hay cấp của
X Y bằng m.n. Ta có:
. . .n
,
, m n m n, m ( X Y)
x y x y e e
Nếu x y, k (e eX, Y)thì xk,yk(e eX, Y), do đó xk eX,yk eY.Khi đó k chia hết cho m đồng thời k chia hết cho n mà (m,n)=1 nên k chia hết cho m.n. Do đó cấp (x,y)=m.n=|X Y |
Vậy X Y là một nhóm xyclic sinh bởi phần tử (x,y).
Đảo lại, giải sử X Y là một nhóm xyclic sinh bởi xk,yk. Gọi t m n, ta có:
k, k t kt, kt ( , )
X Y
x y x y e e
Điều này chứng tỏ t chia hết cho cấp của xk,yk hay t chia hết cho m.n. Vậy(m,n)=1.
d) Hệ quả
m n là nhóm xyclic khi và chỉ khi (m,n) =1.
Trong đó m , ( ) n là hàm Ơle tương ứng của m và n.
Chứng minh
Áp dụng tính chất iii) cho trường hợp X m, Y n suy ra điều phải chứng minh.
Tìm số phần tử sinh của m n
Theo phần chứng minh tính chất iii), ta có nếu m x , n y thì m n có phần tử sinh là x y, . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
m có phần tử sinh là x m trong đó x < m, (x,m)=1 suy ra số phần tử sinh của m là m ( m là hàm Ơle của m)
Tương tự n có số phần tử sinh là n .
Suy ra số phần tử sinh của m n là m . n .
2.3.2. Nhóm xyclic nguyên sơ
Định nghĩa
Nhóm xyclic cấp ; p nguyên tố, m ∈ gọi là nhóm xyclicnguyên sơ.
CHƯƠNG 3
SỰ PHÂN TÍCH NHÓM