Bổ đề 3.3.1
Nhóm cộng các số nguyên là không phân tích được.
Chứng minh
Ta chứng minh bằng phản chứng
Giả sử tồn tại các nhóm con không tầm thường A,B của nhóm cộng sao cho: = A+B, A∩B = {0}. Do là nhóm Abel nên mọi nhóm con của là nhóm con chuẩn tắc. Vì nhóm con của Z có dạng n , (n ) nên giả sử A=n
, B=m với m,n Z* , ta có:
nm A mn B
suy ra nm A∩B. Mặt khác mn≠0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy nhóm cộng các số nguyên Z là không phân tích được.
Định lí 3.3.2
Một nhóm xyclic không phân tích được khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau xảy ra
i) |G| =∞
ii) |G| là lũy thừa của một số nguyên tố
Chứng minh
Vì G là nhóm xyclic nên nếu |G| = ∞ thì G đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên Z. Nếu |G| = m < ∞ thì G đẳng cấu với nhóm cộng Zm các lớp thặng dư theo mô đun m. Nên có thể giả thiết nhóm xyclic G là một trong các nhóm Z hoặc Zm.
*Điều kiện cần:
Chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử nhóm G là không phân tích được và không thỏa mãn cả hai điều kiện i), ii). Suy ra tồn tại hai số tự nhiên m,n là nguyên tố cùng nhau sao cho |G|=nm, khi đó trong nhóm Znm có hai nhóm con xyclic là:
A = <n> = {0, n, 2n, …, (m-1)n} B = <m> = {0, m,2m,…, (n-1)m}
Rõ ràng A∩B = {0}. Mặt khác, vì (n,m) =1 nên tồn tại hai số nguyên x,y sao cho xn+ym = 1 1A+B.
Mà Znm = < 1 > Znm A+B. Hiển nhiên A+B Znm .
Từ đó suy ra Znm =A B mâu thuẫn với tính không phân tích được của G Vậy điều giả sử là sai
*Điều kiện đủ
Có hai trường hợp xảy ra: +) Trường hợp 1
Nếu |G| =∞, vì nhóm xyclic cấp vô hạn đều đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên, mà theo bổ đề 3.1.1 ta đã chứng minh được nhóm Z là không phân tích được.
+) Trường hợp 2 Nếu |G|= p
, Với p là một số nguyên tố và là một số tự nhiên nào đó.
Nếu |G|= p thì theo định lí Lagrange G không có nhóm con thực sự nào. Do đó G không phân tích được.
Giả sử >1 và Zp∝phân tích được thành tổng trực tiếp của hai nhóm con thực sự A và B. Khi đó phải tồn tại hai số tự nhiên n và m thực sự bé hơn ∝ sao cho A và B có các phần tử sinh tương ứng pn và pm.
Đặt 0≠ k=max(n,m) suy ra {0}≠<pk>⊂(A∩B) Điều này mâu thuẫn với điều kiện A ∩ B = {0}
Vậy G là không phân tích được. Định lí chứng minh. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hệ quả: Giả sử p là một số nguyên tố, m>0. Khi đó nhóm cộng Zpm các số nguyên module m
p là không phân tích được.
Bổ đề 3.3.3
Nếu n= ts, trong đó t và s nguyên tố cùng nhau thì Zn Zt Zs .
Chứng minh
+) Ta có Zn = {0, 1 ,…,n1 } Vì n= ts nên t , s Zn, 1≤t, s≤n
Đặt A= t ,vì t Zn suy ra A là nhóm con của Zn
Do n = ts suy ra n =ts =st =0 (vì n =0) Suy ra cấp t = s
Do đó A= t = {0, 1.s,…,(t-1)s }
Đặt B= s . Tương tự như trên ta cũng suy ra B là nhóm con của Zn và cấp
s = t
Suy ra B ={0, 1.s,…,(t-1)s }. Ta có A∩B ={0} vì (t,s)=1 Mặt khác do (t,s)=1 suy ra tồn tại k,m Z sao cho kt+ms=1
Với mọi Zn: = k’. = k’.( ) =k’.( + )
=k’. + k’. ∈ A+B Suy ra Zn ⊂ A+B (1) Hiển nhiên A+B (2) Từ (1) và (2) suy ra Zn=A+B +) Mặt khác A∩B={0}
Suy ra Zn=AB mà A ≅ Zs ; B ≅ Zt
Vậy Zn≅ Zt Zs (điều phải chứng minh).
Định lí 3.3.4
Nếu số tự nhiên n có phân tích n = , trong đó pi (∀i=1,r ) là các số nguyên tố khác nhau thì
Zn = 1 2
1m 2m ... mr r
p p p
Z Z Z , với miN* với mọi i=
Chứng minh
Chứng minh bằng quy nạp theo r. Nếu r=1 thì n = , Zn = 1
1
m
p
Z , do đó định lí đúng.
Giả sử r>1 và định lí đúng với một tích lũy thừa của r-1 số nguyên tố . Ta chứng minh định lí đúng với tích lũy thừa của r số nguyên tố.Thật vậy:
Đặt t = ; s = . Ta có (t,s) nguyên tố cùng nhau. Theo bổ đề 3.3.3 ta có Zn≅ Zt Zs ≅ Zt m r (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
r
p
Z .
Theo giả thiết quy nạp ta có Zt = 1 2 1
1 2 1 ... m m mr r p p p Z Z Z Vậy Zn = 1 2 1m 2m ... mr r p p p
Z Z Z , tức định lí đúng với tích lũy thừa của r số nguyên tố.
Hệ quả 3.3.5
Mỗi nhóm xyclic không tầm thường là không phân tích được khi và chỉ khi hoặc nó là nhóm xyclic vô hạn hoặc nó là nguyên sơ.
Hệ quả 3.3.6
Mọi nhóm xyclic cấp hữu hạn,không tầm thường đều phân tích được thành tổng trực tiếp của các nhóm xyclic nguyên sơ.
Ví dụ: 6 2 3 ; 15 3 5; 18 2 32