Sự phân tích nhóm

Mệnh đề 3.2.1

Cho G là một nhóm, A là nhóm con của G, B là nhóm con chuẩn tắc của G. Khi đó, AB = BA là một nhóm con của G. Hơn nữa, nếu A là nhóm con chuẩn tắc của G thì AB cũng là nhóm con chuẩn tắc của G.

Chứng minh

AB = {ab|a  A, bB }

+ Với mọi ab  AB suy ra abaB. Vì B là nhóm con chuẩn tắc của G nên aB = Ba ⊂ BA suy ra ab  BA. Do đó AB ⊂ BA (1)

Tương tự ta có BA ⊂ AB (2) Từ (1) và (2) suy ra AB=BA.

+ Ta chứng minh AB là nhóm con của G. Thật vậy, Ta có AB ⊂ G, AB ≠ ∅ vì ee = e  AB ∀x, y  AB, giả sử x = a1b1 ; y= a2b2, (a1, a2  A; b1, b2  B) Xét tích xy-1, ta có xy-1 = a1b1(a2b2)-1 = a1(b1b2 -1 )a1 -1 (a1a2 -1 )

Vì A là nhóm con của G nên a1a2

-1 G và B là nhóm con chuẩn tắc của G nên a1(b1b2-1)a1-1 B. Vậy ta có xy-1  BA =AB suy ra xy-1 AB

Do đó AB là nhóm con của G.

+ Nếu A là nhóm con chuẩn tắc của G, ta chứng minh AB là nhóm con chuẩn tắc của G. Thật vậy, mọi x  G, mọi a  AB: a= a1b1, (a1  A; b1  B)

Xét phần tử x-1ax ta có x-1ax = x-1(a1b1)= x-1a1b1x

= x-1a1x x-1b1x = (x-1a1x) (x-1b1x)  AB Vậy AB là nhóm con chuẩn tắc của G.

Định lí 3.2.2

Nếu nhóm G phân tích được thành tích trực tiếp của hai nhóm con chuẩn tắc A và B thì mọi phần tử của A giao hoán được với mọi phần tử của B và mỗi phần tử gG đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

g = ab, (a A; b B).

Chứng minh

+ Với ∀ a  A, b  B ta chứng minh ab = ba. Thật vậy:

Ta có (ab)(ba)-1 = (ab)(a-1b-1) =(aba-1 )b-1 B ( Vì B là nhóm con chuẩn tắc của G)

Suy ra (ab)(ba)-1 A ∩ B= {e} suy ra (ab)(ba)-1 = e hay ab=ba. + Với mọi g G , Do G = AB  g = ab, (a A; b B)

Ta chứng minh biểu diễn trên là duy nhất. Thật vậy:

Giả sử g = ab = a1b1. Ta chứng minh: a = a1; b = b1,( a, a1  A; b, b1 B) Ta có a-1a1 = a-1a1(b1b1-1) = a-1 (a1b1 )b1-1 = a-1 (ab)b1-1 = a-1 abb1 -1 = ebb1 -1 = bb1 -1B Suy ra a-1a1 B mà a-1a1A Suy ra a-1a1 A ∩ B = {e}  a-1a1 = e  a-1 = a1 Hoàn toàn tương tự ta có b-1

Định lí 3.2.3

Giả sử A,B là các nhóm con chuẩn tắc của G sao cho A∩B = {e} và G là nhóm sinh bởi A∪B. Khi đó G= AB

Chứng minh

Theo giả thiết ta có A∩B = {e} nên theo chứng minh của định lí 3.2.2 ta có ab=ba, ( với mọi a A; b B ). Ta chứng minh G=AB. Thật vậy,

Hiển nhiên AB  G , AB ≠ ∅ (vì e AB) suy ra với mọi xAB có x=ab, ( a A; b B) , suy ra xG .

Với mọi x,y AB: x=a1b1, y=a2b2, (∀a1, a2  A; b1, b2 B), ta có :

xy-1 =a1b1 (a2b2)-1 = a1b1 (b2-1a2-1) = a1 (b1 b2-1 )a2-1 = a1a2-1(b1 b2-1 )  AB suy ra xy-1 AB

Vậy AB là nhóm con của G.

Dễ thấy AB là nhóm con nhỏ nhất của G chứa A và B . Theo giả thiết G = <A∪B>. Do đó G = AB.

Mệnh đề 3.2.4

Nếu nhóm G phân tích được thành tích trực tiếp của các nhóm con chuẩn tắc A và B thì G ≅ A×B.

Chứng minh

Theo định lí 3.2.2 mỗi phần tử x G có một biểu diễn duy nhất dưới dạng

x =ab,(aA, bB) và ab = ba.

Xét ánh xạ f : G  A×B ab (a,b)

Khi đó f là một đẳng cấu nhóm. Thật vậy,

+) Với mọi x,y  G, x= ab, y = a’b’, (a,a’  A; b,b’  B) f(xy)= f((ab)(a’b’)) = f(aba’b’)= f(bab’a’)

= f(bb’aa’) = f((bb’)(aa’)) = f((aa’)(bb’))= (aa’,bb’)= (a,b)(a’,b’) = f(x)f(y)

Suy ra f là đồng cấu. +) f là đơn ánh. Thật vậy,

Với mọi x,y  G : x=ab, y=a’b’, (a,a’  A; b,b’  B).

f(x) =f(y) khi và chỉ khi (a,b)=(a’,b’) hay a=a’ và b=b’ tức là x=y. +) f là toàn ánh. Thật vậy,

Với mọi y  A×B, khi đó tồn tại aA, bB để y=(a,b). Đặt x=abG thì Suy ra f(x)= f(ab)=(a,b)=y.

Vậy G≅ A×B .