Bài giảng Toán rời rạc - PGS.TS. Nguyễn Văn Lộc - TS. Trần Ngọc Việt

Bài giảng Toán rời rạc cung cấp cho người học những kiến thức như: cơ sở lôgic; các phương pháp chứng minh- tập hợp; ánh xạ - quy nạp Toán học; phép đếm; quan hệ; đại số Bool;...Mời các bạn cùng tham khảo!

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VĂN LANG KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN CÁC BÀI GIẢNG TOÁN RỜI RẠC Biên soạn: PGS.TS NGUYỄN VĂN LỘC- TS TRẦN NGỌC VIỆT TP.HỒ CHÍ MINH THÁNG NĂM 2020 Trang Chương CƠ SỞ LÔGIC Bài Mệnh đề- logic- vị từ lượng từ Mệnh đề 1.1 Định nghĩa Mệnh đề khẳng định có giá trị sai (nhưng khơng thể vừa vừa sai) Kí hiệu mệnh đề: P, Q, R,…… Chú ý: Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh mệnh đề 1.2 Các phép toán mệnh đề 1.2.1 Phép phủ định Phủ định mện đề P mệnh đề ký hiệu: P (đọc “khơng P”) mệnh đề có giá trị xác định bảng sau: P P 1 Ví dụ 1: Cho p: “5+2 = 9”, P mệnh đề “khơng phải + = 9” Nghĩa "5 +  9" Ở đây, p sai P Luyện tập Cho mệnh đề P: 2+3 > Tìm mệnh đề P xác định tính sai mệnh đề đó? 1.2.2.Phép hội Hội hai mệnh đề P, Q ký hiệu P  Q (đọc “P Q” mệnh đề có giá trị xác định bảng sau: Trang P Q PQ 0 0 1 0 1 Vậy mệnh đề P  Q P Q đúng, sai trường hợp cịn lại Ví dụ 2: Cho mệnh đề: P: “2 số nguyên tố” Q: “2 số chẵn” P  Q : “2 số nguên tố số chẵn” Ta có: P = Q = 1, đó: P  Q = Luyện tập Cho mệnh đề P: “14 số nguyên” Q: “14 chia hết cho 5” Hãy lập mệnh đề P  Q xác định tính sai mệnh đề 1.2.3 Phép tuyển (không loại) Tuyển hai mệnh đề P, Q ký hiệu P  Q (đọc: “P Q” mệnh đề có giá trị xác định bảng sau: P Q PQ 0 0 1 1 1 Vậy mệnh đề P  Q sai P Q sai, trường hợp lại Ví dụ Cho mệnh đề P: “12 số nguyên”và Q: “12 chia hết cho 5” Thì mệnh đề P  Q mệnh đề “12 số nguyên 12 chia hết cho 5” mệnh đề Ở đây, mệnh đề p nên P  Q Trang Luyện tập Cho mệnh đề P: “7 số chẵn” Q: “7 > 10” Hãy lập mệnh đề P  Q xác định tính sai mệnh đề Chú ý + Phép tuyển nêu gọi tuyển không loại: Với phép tuyển từ “hoặc” hiểu theo nghĩa: P Q P Q + Phép tuyển loại: P Q P Q Kí hiệu:  + Trong giáo trình ta dùng phép tuyển không loại Phép tuyển loại, xác định bảng giá trị sau: P Q P Q 0 0 1 1 1 Ví dụ Hồng sinh Hà Nội TP Hồ Chí Minh 1.2.4 Phép kéo theo (cịn gọi mệnh đề có điều kiện hay phép suy diễn) Mệnh đề P kéo theo mệnh đề Q ký hiệu P  Q mệnh đề có giá trị xác định bảng sau: P Q PQ 0 1 1 0 1 Vậy mệnh đề P  Q sai P Q sai, cịn trường hợp cịn lại Ví dụ Cho mệnh đề p: “2 < 3” mệnh đề q: “4 < 9” P  Q mệnh đề “nếu < < 9” Do p đúng, q nên P  Q mệnh đề Trang Luyện tập Cho mệnh đề p: “3 + = 6” mệnh đề q: “4 x = 8” Hãy lập mệnh đề P  Q xác định tính sai mệnh đề 1.2.5 Phép tương đương Mệnh đề P tương đương với mệnh đề Q, ký hiệu P  Q mệnh đề xác định ( P  Q )  ( Q  P ) Từ ta có bảng chân trị sau: P Q PQ 0 1 0 1 Như vậy, mệnh đề P  Q hai mệnh đề P Q sai sai trường hợp lại Chú ý Mệnh đề P  Q đọc là:”P Q”; “P Q” ;”P cần đủ Q”; “Nếu P Q ngược lại” Ví dụ Cho mệnh đề p:” +2 = 7” mệnh đề “3 x = 9” mệnh để P  Q : “5 +2 = x = 9” mệnh đề sai p , q sai Luyện tập Cho mệnh đề p: “3 > 6” mệnh đề q: “4 + = 10” Hãy lập mệnh đề P  Q xác định tính sai mệnh đề 1.3 Cơng thức tương đương lôgic 1.3.1 Các định nghĩa Định nghĩa Công thức (hay mệnh đề phức hợp) mệnh đề xây dựng từ số mệnh đề ban đầu nhờ liên kết chúng lại phép tốn lơgic (hội, tuyển, phủ định, kéo theo, tương đương) Trang Các mệnh đề không xây dựng từ mệnh đề khác qua phép tốn lơgic gọi mệnh đề sơ cấp Ví dụ Giải thích cơng thức p q p q mệnh đề phức hợp Định nghĩa a) Một công thức ln có giá trị gọi hay định lí (Hay cịn gọi luật) b) Một cơng thức ln có giá trị sai gọi sai hay mâu thuẫn Ví dụ Chứng tỏ : Công thức p q p q định lý Định nghĩa a) Hai mệnh đề A B gọi tương đương logic chúng có chân trị Khi ta viết: A  B hay A=B b) Mệnh đề B gọi hệ logic mệnh đề A A  B mệnh đề Ví dụ Hai mệnh đề sau tương đương lơgic: P (Vì biểu thức Q (Q R) R tương đương lôgic với Q P (Q R) R ) Luyện tập Chứng tỏ rằng: Hai mệnh đề E F sau tương đương lôgic E P Q, F Q P Chú ý Mệnh đề phức hợp A B tương đương lô gic A  B mệnh đề 1.3.2 Độ ưu tiên thuật toán Cấp ưu tiên Thực Trang Các phép toán ngoặc Phép phủ định (-),phép hội (  ) Phép tuyển (  ) Phép kéo theo (  ) Phép tương đương (  ) 1.3.3 Các qui luật lôgic 1) Định lí Với P, Q, R mệnh đề Khi ta có: ( ) Luật phủ định phủ định: P =P Các luật De Morgan: P  Q = P  Q; P  Q = P  Q Luật giao hoán: P  Q = Q  P; P  Q = Q  P Luật kết hợp: P  ( Q  R ) = ( P  Q )  R; P  ( Q  R ) = ( P  Q )  R Luật phân bố: P  (Q  R ) = ( P  Q )  ( P  R ); P  ( Q  R ) = ( P  Q )  ( P  R ) Luật lũy đẳng: P  P = P; P  P = P Luật phần tử bù: P  P = 0; P  P = Luật thống trị: P  = 0; P  = Luật hấp thụ: P  ( P  Q ) = P; P  ( P  Q ) = P 10 Luật chứng minh phản chứng thứ nhất: P  Q = Q  P 11 Luật chứng minh phản chứng thứ hai: P  Q = P  Q Chứng minh 11 luật kiểm tra cách lập bảng chân trị vế tương đương lơgic Trang Ví dụ 10 Chứng minh: ((P Q) R) (P (Q R)) Giải (P  Q )  R = P  Q  R ( ) = PQ  R ( = P Q R ) = P  (Q  R ) = P  (Q  R ) Luyện tập 10 Chứng minh mệnh đề sau mệnh đề ((P  Q )  P )  Q Hàm mệnh đề 2.1.Định nghĩa Hàm mệnh đề khẳng định P(x, y, …) có chứa số biến x,y,…lấy giá trị tập hợp cho trước A, B,…sao cho: + Bản thân P(x,y, ) mệnh đề + Nếu thay x,y,…bởi giá trị cụ thể a  A, b  B …ta mệnh đề Ví dụ 11 P (n) = “n số nguyên tố” hàm mệnh đề theo biến n Với n = 2, n = ta mệnh đề P(2), P(7); n = 4, n = 6, n = ta mệnh đề sai P(4), P(6), P(9) Luyện tập 11 Cho Q(x, y) = “x = y + 3” hàm mệnh đề theo biến x, y Xác định chân trị mệnh đề Q(1,2) Q(3,0) 2.2 Vị từ lượng tử 2.2.1.Định nghĩa Giả sử P(x) mệnh đề theo biến x  A • x  A, P ( x ) mệnh đề, nhận giá trị với phần tử a  A ta có: P(a) = • x  A, P ( x ) mệnh đề, nhận giá trị tồn a  A để P(a) = Trang Các toán tử ,  gọi lượng tử,  gọi lượng tử lượng tử chung (hay lượng tử với mọi),  gọi lượng tử riêng (hay lượng tử tồn tại) Mệnh đề có chứa lượng tử gọi vị từ Ví dụ 12 Mệnh đề” với số nguyên n ta có 2n + số lẻ” viết: n , 2n lẻ Và mệnh đề có giá trị Luyện tập 12 Sử dụng lượng từ để viết mệnh đề sau xác định giá trị mệnh đề này: “Tồn số thực x để ln(x 3) ” 2.2.2 Phủ định vị từ Định lí Nếu P(x) hàm mệnh đề xác định tập A, ta có: a) x A, P(x ) x A, P(x ) b) x A, P(x ) x A, P(x ) Hệ Nếu P(x) hàm mệnh đề xác định tập A, ta có: a) x, (P(x ) Q(x )) x, (P(x ) Q(x )) b) x, (P(x ) Q(x )) x, (P(x ) Q(x )) ,x2 Ví dụ 13 Phủ định mệnh đề “ x ” mệnh đề “ x ,x2 Luyện tập 13 Lấy phủ định định nghĩa hàm thực liên tục x công thức sau: 0, 0, x ,( x x0 Trang ) ( f (x ) f (x ) ) ” cho Bài Các phương pháp chứng minh- tập hợp Suy luận Toán học 3.1 Suy luận quy tắc suy diễn Suy luận rút mệnh đề từ hay nhiều mệnh có Mệnh đề có gọi giả thiết hay tiền đề, mệnh đề gọi kết luận Các quy tắc suy diễn thường dùng 1) Qui tắc Modus Ponens (Phương pháp khẳng định) Công thức: ( P  Q )  P   Q Dạng sơ đồ: PQ P Q Ví dụ Nếu số có tổng chữ số chia hết cho , số chia hết cho Số 31257 có tổng chữ số + 1+2 +5 +7 = 18 chia hết cho Số 31257 chia hết cho Luyện tập Lập dạng sơ đồ câu phát biểu sau: “Số 23418 chia hết cho có tổng chữ số chia hết cho 9” 2) Qui tắc Modus Tollens (phương pháp phủ định) Công thức: ( P  Q )  Q   P Dạng sơ đồ: PQ Q P Ví dụ Nếu số có tổng chữ số chia hết cho số chia hết cho Trang 10 1.8.2.Định nghĩa ( Định nghĩa có hướng ) Cho G = (X, U) đồ thị có hướng G gọi có hướng thỏa mãn hai tính chất: a) G khơng có chu trình b) G có gốc Ví dụ 12 Chứng tỏ hai có hướng T1 T2 hình sau tương đương A (T1) B D C E A (T2) B C F E F D Bài 15 Thuật tốn tìm đường ngắn Dijkstra-Ôn tập cuối kỳ 1.7 Đường ngắn đồ thị Trong thực tiễn ứng dụng, toán đường ngắn hai đỉnh đồ thị liên thơng có ý nghĩa quan trọng, chẳng hạn : tốn lập lịch thi cơng cơng đoạn cơng trình thi cơng lớn, tốn lựa chọn đường truyền tin với chi phí truyền tin nhỏ mạng, tốn chọn hành trình tiết kiệm mạng giao thông đường bộ…Dựa sở lý thuyết đồ thị có nhiều phương pháp giải toán Ở đây, trình bày thuật tốn : Thuật tốn tìm đường ngắn hai đỉnh đồ thị trọng số thuật tốn Dijkstra tìm đương ngắn hai đỉnh đồ thị có trọng số không âm 1.7.1.Đường ngắn đồ thị khơng có trọng số a) Định nghĩa Trang 38 Đồ thị khơng có trọng số đồ thị cạnh không gán trọng số a, b  X b) Bài tốn Cho đồ thị khơng có trọng số G = hai đỉnh đường ngắn từ đỉnh a đến đỉnh b , tức đường từ a đến b có số cạnh ( cung ) Thuật tốn Bước Ghi số đỉnh quy nạp theo số bước : + Đỉnh a ghi nhãn 0: A(0) = {a }, + Các đỉnh có cạnh từ a đến ghi số +Giả sử ghi nhãn tới bước thứ i : A(0), A(1), …, A(i) Khi tập nhãn thứ x  X , x  A(k ), (0  k  i y  A(i ) i +1 xác định sau: A( i +1 ) = { x: cho y có cạnh ( cung ) tới x}, đây, bước dừng lại xác định tập A(m) đỉnh , có đỉnh b gán nhãn m ( đồ thị hữu han ) Bước Tìm đường ngắn từ a đến b Bước xuất phát từ đỉnh b ngược đỉnh a theo nguyên tắc sau: + Tìm tất cạnh ( cung) tới b gán nhãn m - 1, tức Với tìm tất đỉnh có cạnh ( cung) tới x ghi nhãn m - Thủ tục sau số bước gặp đỉnh có nhãn 0, đỉnh a + Tất đường xác định bước bước đường ngắn từ a đến b có độ dài m Ví dụụ11 Cho đồ thị có hướng hình đây: x2 x1 x3 a x6 x7 x4 b x5 x8 Trang 39 x9 x 10 a) Tìm đường ngắn từ a đến b b) Tìm đường ngắn từ x8 đến x10 Giải a) Tìm đường ngắn từ a đến b Bước 1: Đỉnh a đánh số có A(0) = {a } A(1) = x1 , x6 , x7 ; A(2) = x2 , x5 , x8 ; A(3) = x3 , b, x9  Bước Từ bước ta có b  A(3) nên từ a đến b đường ngắn có cung Tiếp theo ta xác định tất đường ngắn có độ dài 3: + Đỉnh có cung tới b đánh số x5 + Đỉnh có cung tới x5 đánh số x6 + Đỉnh có cung tới x6 đánh số a Đường cần tìm ax6 x5b b) Tìm đường ngắn từ x8 đến x10 Bước Đánh số đỉnh A(0) = x8  A(1) = x5 , x9  A(2) = x3 , b, x10  Bước Từ bước ta có x10  A(2) , chứng tỏ đường từ đỉnh x8 đến đỉnh x10 có độ dài đường ngắn Ta xác định đường đó: Trang 40 + Đỉnh có cung tới x10 đánh số x9 + Đỉnh có cung tới x9 đánh số x8 Đường cần tìm x8 x9 x10 Luyện tập Cho đồ thị vô hướng không trọng số x1 1 x2 x3 x4 x5 2 x6 x7 x8 x10 x11 x12 x9 Áp dụng thuật toán tìm đường ngắn hai cặp đỉnh đây: a) Từ đỉnh x1 đến đỉnh x4 b) Từ đỉnh x1 đến đỉnh x10 Giải a) Bước 1: Gán nhãn đỉnh, đỉnh xuất phát x1 Đến đỉnh kết thúc x4: A(0) = x1, A(1) = x2 , x8 , A(2) = x3 , x7 , x9 , A(3) = x4 , x6 , x10  Dừng lại đỉnh x4  A(3) Bước 2: Xác định đường ngắn độ dài từ đỉnh x1 đến đỉnh x4 : Chỉ có đường độ dài từ đỉnh x1 đến đỉnh x4 : x1 x2 x3 x4 Trang 41 b) Bước 1: A(0) = x1, A(1) = x2 , x8 , A(2) = x3 , x7 , x9 , A(3) = x4 , x6 , x10 , Bước 2: dừng lại x10  A(3) có đường ngắn độ dài từ đỉnh x1 đến đỉnh x10 : x1 x2 x7 x10 ; x1 x8 x9 x10 ; x1 x8 x7 x10 ; 1.7.2 Đường ngắn đồ thị có trọng số Định nghĩa Đồ thị G = < X, U > gọi đồ thị có trọng số cạnh ( cung ) u  U gán số thực l(u), l(u) gọi trọng số cạnh ( cung ) u Trọng l (G ) :=  l (u ) l (u )  với u  U uU số đồ thị G ta ký hiệu Nếu nói đồ thị G đồ thị có trọng số không âm Giả sử a = x1u1 x2u2 xk uk xk +1 = b ta đường từ a đến b đồ thị có trọng số k l (a, b ) :=  l (ui ) i =1 G Độ dài đường gọi trọng số đường từ đỉnh a đến đỉnh b Ký hiệu D(a, b) tập tất đường từ đỉnh a đến đỉnh b đồ thị có trọng số G Đường ngắn từ đỉnh a đến đỉnh b đường thỏa mãn l (a, b ) l ( ) /   D(a, b ) Ý tưởng thuật toán tìm đường ngắn từ đỉnh a đến đỉnh b đồ thị G Lần lượt gán ( thay đổi ) đỉnh i giá trị v(i) sau : Nếu có (i, j) mà i gán j chưa gán j gán v(i )  v( j ) gán ( thay đổi lại) v(j) = v(i) +l(i,,j) Khi không gán không thay đổi dừng Ví dụ Chứng tỏ đồ thị sau đồ thị có trọng số: a b d 6Trang 42 c e Luyện tập Chứng tỏ đồ thị sau đồ thị có trọng số: a 2 3 f b d c e Ký hiệu trọng số: Ký hiệu D(a, b) tập tất đường nối đỉnh a với đỉnh b đồ thị G =, gọi  đường G giả sử  = xi1ui1 xi 2ui xin −1uin −1 xin , xij  X , uij  U ( j = 1,2, n ) n −1 Khi ta ký hiệu l ( ) =  l (uij ) j =1 gọi trọng số đường  Bài toán Cho đồ thị đơn liên thơng có trọng số G = < X, U> a, b  X hai đỉnh đồ thị Tìm đường  từ đỉnh a đến đỉnh b đồ thị G = < X, U > có trọng số bé , tức tìm  phải thỏa mãn : l ( ) = l ( ) :   D(a, b ) Sau đây, ta trình bày thuật tốn Dijkstra giải toán 1.7.1 Thuật toán Dijkstra.(do E Dijkstra , nhà toán học người Hà Lan, đề xuất năm 1959) Bài tốn Trang 43 Cho đồ thị đơn liên thơng G = < X, U> a,b X hai đỉnh đồ thị Tìm đường từ đỉnh a đến đỉnh b đồ thị G = có trọng số bé nhất, tức phải thỏa mãn l ( ) = l ( ) :   D(a, b ) Sau ta trình bày thuật tốn Dijkstra giải tốn Mơ tả thuật tốn Dijkstra Thuật toán Dijkstra áp dụng trường hợp trọng số khơng âm Thuật tốn xây dựng sở gán cho đỉnh nhãn tạm thời Nhãn đỉnh cho biết cận độ dài đường từ đỉnh a (đỉnh xuất phát) đến Các nhãn biến đổi theo thủ tục lặp, mà bước lặp có nhãn tạm thời trở thành nhãn cố định Nếu nhãn đỉnh trở thành nhãn cố định cho ta độ dài đường ngắn từ đỉnh a đến Thuật tốn gồm bước sau: Bước Đánh trọng số đỉnh + Trọng số đỉnh xuất phát a  (a ) = + Tại đỉnh lại ta ghi trọng số dương  đủ lớn cho lớn trọng số đỉnh từ a tới Bước Thực việc giảm trọng số đỉnh Giả sử đỉnh x ghi trọng số  ( x) Nếu tồn đỉnh y có trọng số  ( y ) từ y sang x mà  ( x)   ( y ) + l ( y, x) ta thay trọng số  ( x) trọng số  ( x)   ( y) + l ( y, x) Trong trường hợp ngược lại giữ nguyên trọng số  ( x) Quá trình thực trọng số tất đỉnh G = đạt cực tiểu, tức x  X không tồn y  X kề với x mà  ( x)   ( y ) + l ( y, x) Bước Xác định đường từ a đến b có trọng số bé + Từ bước ta xác định trọng số đỉnh b Xuất phát từ b đỉnh kề với b, chẳng hạn đỉnh xin có tính chất  (b) =  ( xin ) + l ( xin , b) Nếu khơng có đỉnh kề xin ta đỉnh kề với b có trọng số cạnh (cung) từ đỉnh b bé Trang 44 + Từ đỉnh xin ta ngược đỉnh xin−1 có tính chất  (xin ) =  (xin −1 ) + l (xin −1 , xin ) Nếu không đỉnh kề với xin mà trọng số cạnh (cung) chúng bé Bằng cách ta đỉnh xi1 mà đỉnh kề a cho  ( xi1 ) =  (a) + l (a, xi1 ) = l (a, xi1 ) với  (a) = Đường  = axi1xi xin−1xinb đường từ a đến b có trọng số bé tất đường từ a đến b Thật l ( ) = l (a, xi1 ) + l (xi1 , xi ) + + l (xin −1 , xin ) + l (xin , b ) =  (xi1 ) −  (a ) +  (xi ) −  (xi1 ) + +  (xin ) −  (xin −1 ) +  (b ) −  (xin ) =  (b ) Giả sử   D(a, b) đường từ a đến b có dạng  = ax j1x j x jk −1x jk b Theo bước ta có bất đẳng thức sau: l (a, x j1 )   (x j1 ) −  (a ) =  (x j1 ) l (x j1 , x j )   (x j ) −  (x j1 ) l (x jk −1 , x jk )   (x jk ) −  (x jk −1 ) l (x jk , b )   (b ) −  (x jk )  l ( ) = l (a, x j1 ) + l (x j1 , x j ) + + l (x jk −1 , x jk ) + l (x jk , b )   (b )  l ( ) = l ( ) :   D(a, b ) Ví dụ Dùng thuật tốn Dijkstra tìm đường độ dài ngắn từ đỉnh a đến đỉnh z đồ thị G = có trọng số cho dạng: d a b Trang 45 z c 10 e Giải Các bước dùng thuật tốn Dijkstra tìm độ dài đường ngắn đỉnh a đỉnh z thể hình đây: b d a z c 4(a,c ) b e 10 d a z c 3(a,c ) d a 10(a,c ) b e 10 z c 2(a) 10 e Trang 12(a, 46 c) 3(a,c ) d b a 8(a,c ) z c 2(a) 8(a,c,b ) d b a 12(a, c) 3(a,c ) e 10 2 z 14(a,b,c,d,e ) e 10 2(a) 10(a,b,c,d) 3(a,c ) 8(a,c,b ) d b a 14(a,b,c,d ) c z 2 c 2(a) e 10 10(a,b,c,d) Trang 47 3(a,c ) d b 8(a,c,b ) a 13(a,b,c,d,e ) z c e 10 2(a) 10(a,b,c,d) Tại bước lặp thuật toán, đỉnh S khoanh thành hình vng Đường ngắn chứa đỉnh thuộc vào tập Sk Thuật toán kết thúc y khoanh thành hình vng, ta nhận đường ngắn từ x đến y : xcbdey với độ dài 13 Luyện tập 3.1 Dùng thuật tốn Dijkstra tìm đường ngắn hai đỉnh a z đồ thị có trọng số sau b d 2 a (*) z c e ÔN TẬP CHƯƠNG Bài Cho đồ thị đầy đủ K n ( n số đỉnh ) với  n  K1: K3: a K2: K4 : a a : b a b d c Trang 48 b c K6 : K5: a a c b b c d h h d e a) Hãy biểu diễn K n ma trận kề b) Tìm số cạnh đồ thị đầy đủ K n Bài Chứng tỏ : Đồ thị G5 X 5,U : Trang 49 Bài Cho đồ thị vô hướng G1 G1 a e h c b d f g Tìm bậc đồ thị G2 kiểm tra tính đắn định lý định lý 2.Chỉ đỉnh cô lập đỉnh treo đồ thị , đồng thời kiểm tra bậc vào có bậc G2 không Bài Đồ thị phân đôi đầy đủ K3,3 sau có đỉnh, cạnh? K3,3= Bài a) Có cạnh đồ thị 10 đỉnh, đỉnh có bậc 6? b) Có thể tồn đồ thị đơn đỉnh, đỉnh có bậc khơng? c) Chỉ đồ thị có đỉnh với bậc : 3, 3, 3, 3, tồn Bài Tìm số cạnh, số đỉnh, số bậc đồ thị Kn với m, n đồ thị Kn quy? Bài 7.Trong họp, có hai đại biểu khơng quen đại biểu hai đại biểu có số lẻ người quen đến dự Chứng minh ln Trang 50 xếp số đại biểu ngồi chen hai đại biểu nói trên, để đại biểu ngồi hai người mà họ quen Bài Dùng thuật tốn Dijkstra tìm đường ngắn hai đỉnh a z đồ thị có trọng số sau h O b e j q t g n z d 1 m 2 f p c s i 3 a l k r Trang 51 Trang 52 ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC VĂN LANG KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN CÁC BÀI GIẢNG TOÁN RỜI RẠC Biên soạn: PGS.TS NGUYỄN VĂN LỘC- TS TRẦN NGỌC VIỆT TP.HỒ CHÍ MINH THÁNG NĂM 2020 Trang 31 Chương PHÉP ĐẾM Bài Các nguyên... TRƯỜNG ĐẠI HỌC VĂN LANG KHOA CÔNG NGHỆ THƠNG TIN CÁC BÀI GIẢNG TỐN RỜI RẠC Biên soạn: PGS.TS NGUYỄN VĂN LỘC- TS TRẦN NGỌC VIỆT TP.HỒ CHÍ MINH THÁNG NĂM 2020 Trang Chương QUAN HỆ Bài 1).Quan hệ... chơi Bình khơng học Tốn rời rạc Bình khơng học Tốn rời rạc Bình thi trượt Tốn rời rạc Mà Bình thích chơi Vậy Bình thi trượt Tốn rời rạc? ?? 3.2 Một số phương pháp chứng minh Toán học 1) Phương pháp