Một số mở rộng của khái niệm khả tích đều

Mở đầu Trong xác suất, luật số lớn đóng một vai trò quan trọng. Gần đây, nhiều tác giả quan tâm đến việc mở rộng luật số lớn cho dãy và mảng đại lợng ngẫu nhiên khả tích đều. Wang và Rao đã mở rộng luật yếu số lớn Rohatgi cổ điển cho tổng có trọng lợng các biến ngẫu nhiên trong trờng hợp các biến ngẫu nhiên khả tích đều. Chandra thu đợc một vài mở rộng luật yếu số lớn Khinchin nhờ tính khả tích đều theo nghĩa Cesaro. Gut thu đợc luật yếu số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên { } 1,1, nkj n nj X với << 20, p nj X p là khả tích đều theo nghĩa Cesaro. OrdonezCabrera nghiên cứu sự hội tụ của tổng có trọng lợng = j nj njn X aS và mảng { } X nj là { } a nj - khả tích đều. Theo hớng này chúng tôi nghiên cứu đề tài Một số mở rộng của khái niệm khả tích đều . Mục đích chính của đề tài này là hệ thống hoá và chỉ ra mối liên hệ giữa các khái niệm khả tích đều; nghiên cứu các đặc trng giải tích của các khái niệm này. Ngoài ra, khoá luận cũng nghiên cứu luật giới hạn cho tổng ngẫu nhiên có trọng lợng của mảng các phần tử ngẫu nhiên Khoá luận gồm 2 chơng Chơng I. Kiến thức chuẩn bị. Trong chơng này chúng tôi nhắc lại khái niệm về khả tích đều của dãy các biến ngẫu nhiên, các mệnh đề, tính chất có liên quan. Đồng thời, chúng tôi cũng nhắc lại một số khái niệm và tính chất của kì vọng có điều kiện, martingale, sự hội tụ của các phần tử ngẫu nhiên. 1 Chơng II. Một số mở rộng của khái niệm khả tích đều. Đây là phần nội dung chính của khoá luận, bao gồm 3 tiết 2.1 Các khái niệm 2.2 Đặc trng giải tích 2.3 Luật giới hạn có điều kiện cho tổng ngẫu nhiên có trọng lợng của mảng các phần tử ngẫu nhiên Khoá luận đợc thực hiện dới sự hớng dẫn trực tiếp của PGS.TS Nguyễn Văn Quảng . Tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự quan tâm và nhiệt tình hớng dẫn mà thầy đã dành cho tác giả trong suốt quá trình hoàn thành khoá luận. Nhân dịp này tác giả xin trân trọng cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo trong khoa Toán trờng đại học Vinh, gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả đợc học tập và hoàn thành khoá luận. Trong quá trình hoàn thành khoá luận, mặc dù rất cố gắng, song tác giả không thể tránh khỏi những hạn chế. Tác giả rất mong những ý kiến đóng góp từ các thầy cô giáo, các bạn sinh viên cũng nh tất cả các bạn đọc khác. Vinh, tháng 5 năm 2008 Tác giả 2 CHƯƠNG1 KIếN THứC CHUẩN Bị 1.1 Khả tích đều Tập các biến ngẫu nhiên khả tích trên ( ,F , P) kí hiệu là 1 L . 1.1.1 Mệnh đề. 1 LX nếu và chỉ nếu với mọi 0 > tồn tại 0 > sao cho 1 , << XEdPX A với mọi A F ( ) < AP, . Chứng minh. Giả sử 1 LX . Đặt [ ] nX n IXX = . Khi đó [ ] ( ) 0;; > nX nn IXEXEXEXX , nên tìm đợc 0 n sao cho [ ] ( ) 2 0 < > nX IXE . Lấy = XEn 1 , 2 min 0 . Lúc đó, nếu ( ) < AP thì = dPX A [ ] + > dPIX A nX 0 [ ] =+ 0 0 22 0 n ndPIX nX A . Bất đẳng thức 1 XE đúng do cách chọn Điều ngợc lại là hiển nhiên . 1.1.2 Định nghĩa. Giả sử H 11 LL = (( ,F, P). Họ H đợc gọi là khả tích đều nếu H X Sup [ ] 0 > cX dPX khi c . 1.1.3 Mệnh đề a. Nếu YX (h.c.c) đối với mọi HX và 1 LY thì H khả tích đều. b. Mỗi họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên khả tích là khả tích đều. Chứng minh. a. Ta cần chứng minh H X Sup [ ] 0 > cX IXE khi c . Thật vậy, theo giả thiết ta có: YX , HX . Suy ra với c R ta có : [ ] [ ] ,cYcX >> HX . 3 Từ đó ta có : [ ] [ ] [ ] cYcY cX IEYIXEIXE >> > , HX . Mặt khác: 1 LY nên với mọi 0 > thì tồn tại 0 > sao cho với: <>= )()( cYPAP thì < A IYE hay [ ] < > cY IYE khi c . Do đó [ ] < > cX IXE , HX , khi c . Tức là H X Sup [ ] 0 > cX IXE khi c . b. Xét họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên khả tích H = { } niX i ,1, = . Ta cần chứng minh H khả tích đều, tức là chứng minh: n,1i = Sup [ ] 0 > cX i i IXE khi c . Thật vậy: Do niLX i ,1, 1 = nên với mọi 0 > thì tồn tại i sao cho < Ai IXE với mọi A F niAP i ,1,)(, =< . Do H hữu hạn nên tồn tại [ ] ni ,1 0 sao cho : n,1i = Sup [ ] [ ] cXi i cX i IXEIXE i >> = 0 0 Ta lại có 1 0 LX i nên với mọi 0 > luôn tồn tại 0 sao cho với [ ] 0 0 <> cXP i khi c thì [ ] < > cXi i IXE 0 0 . Điều này có nghĩa là n1,i = Sup [ ] 0 > cX i i IXE khi c 1.1.4 Mệnh đề. Giả sử 1 LH . H khả tích đều khi và chỉ khi hai điều kiện sau đợc thoả mãn: (i) Bị chặn trong L 1 , tức là H X Sup < XE ; (ii) Liên tục tuyệt đối đều, tức là với mọi 0 > thì tồn tại 0 > sao cho A F )(, AP thì: H X Sup < dPX A Chứng minh. * Điều kiện cần. Giả sử H khả tích đều. Đặt = 0 )( )( X X c cX cX > )( )( 4 nếu nếu Và c c XXX = . Ta có [ ] ( ) c A c A cXA XEAPcdPXdPXdPX ++ (1) Lấy = A trong (1) ta có: HXXEcXE c <+ , hay H X Sup < XE Nếu chọn cc = đủ lớn để , 2 H < c XESup lấy c2 = thì =+ A dPXSup 22 H * Điều kiện đủ. Giả sử họ 1 LH thoả mãn (i) và (ii). Cho 0 > và giả sử )( = thoả mãn (ii). Đặt <= XE c HX sup nên [ ] <> c XE cXP với mọi HX . Từ đó theo ii) [ ] < > dPX cX với mọi HX . Mệnh đề đợc chứng minh. 1.1.5 Định lí (Mở rộng của định lí Lebesgue ). Giả sử ( ) n X là dãy biến ngẫu nhiên khả tích, hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên X. Khi đó, để X khả tích và 0 XXE n cần và đủ là ( ) n X khả tích đều. Nếu ( ) n X không âm hội tụ hầu chắc chắn tới X thì < XEXE n khi và chỉ khi ( ) n X khả tích đều. Chứng minh. a) Giả sử 1 LX và 0 XXE n . Khi đó 5 + A n A n XXEdPXdPX ( 2 ). Chọn 0 n đủ lớn để 2 < XXE n với 0 nn , chọn A F sao cho ( ) < AP để < A dPX 2 và < A i dPX 2 với 0 , .2,1 ni = . Khi đó =+ 22 sup dPX A n n . Mặt khác, do { } .2,1, = nXXE n bị chặn nên trong (2) thay = A ta có +<+ XXEXEXE n n n n supsup . Vậy ( ) n X khả tích đều. Ngợc lại, giả sử ( ) n X khả tích đều. Khi đó < n n XEsup và từ bổ đề Fatou <= n n n n n n XEXEXE suplimlim . Suy ra : < XE Tacó : cnc cc nn XEXEXXEXXE ++ (3). Cho 0 > , chọn c đủ lớn để 3 2 sup <+ nc n c XEXE . (4). Mặt khác ( ) cchXX cc n và cXX cc n 2 nên theo định lí Lebesgue, tồn tại 0 n sao cho 3 < cc n XXE với 0 nn (5). Từ (3), (4),(5) ta có < XXE n với 0 nn . b) Ta cần chứng minh nếu ( ) n X không âm và XEXE n thì 0 XXE n (Do đó ( ) n X khả tích đều ). Ta có nnn XXXXXX +=+ , 6 XXX n 0 , XXX n . Theo định lí Lebesgue, ( ) XEXXE n . Mặt khác, từ giả thiết: ( ) XEXXE n 2 + . Từ đó ( ) XEXXE n và do đó ( ) ( ) 0 = XXEXXEXXE nnn Định lí đợc chứng minh. 1.1.6 Định lí Walle-Poussen. Giả sử 1 LH . Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng: a) H khả tích đều. b) Tồn tại một hàm ( ) tG xác định trên [ ) + ,0 , lồi dới, tăng và không âm sao cho ( ) ,lim += + t tG t và ( ) [ ] +< XGE HX sup . Chứng minh . b) a). Đặt ( ) [ ] <= XGEM HX sup . Cho 0 > , đặt M a = . Chọn c đủ lớn để ( ) a t tG với ct . Khi đó [ ] ( ) a XG XcX Và nh vậy [ ] ( ) [ ] = a M dPXG a dPX cXcX 1 , với mọi HX . a) b). Từ sự khả tích đều của H suy ra sự tồn tại dãy số nguyên dơng ( ) n c tăng thực sự và + n c sao cho [ ] , 2,1,2sup = ndPX n cX HX n Đặt { } kcng nk = :max , , 2,1 = k Rõ ràng + k g . Đặt ( ) k gtg = nếu [ ) 1, + kkt . Khi đó + t g . Hàm ( ) tG cần tìm là ( ) t udug 0 . 7 Thật vậy, hiển nhiên hàm ( ) tG xác định trên [ ) + ,0 , lồi dới, tăng và không âm. ( ) ( ) ( ) +=== tg t duug t tG t t tt limlimlim 0 ( ) [ ] ( ) ( ) ( )( ) [ ] = +< = +< === 0 1 0 1 k kXk k kXk IXGEdPXGdPXGXGE Ta lại có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = + +=+== t k i k i i t k k i i t k i i gduuggduugduugduugtG 0 1 0 0 1 0 1 với mọi [ ) 1, + kkt Suy ra ( ) [ ] [ ] = = +< k i i k kXk gIEXGE 00 1 [ ] = = +< = 0 1 0 k kXk i i IgE ( ) ( ) = = == n cini i iXPiXPg 0 Mà ( ) ( ) = = +< n nn cX cici dPXiXiPiiXP 1 Do vậy ( ) [ ] [ ] 1 2 1 n n cX n XX n dPXSupXGESup Vậy ( ) [ ] < XGESup HX . Nhận xét. Nếu lấy ( ) ttG = , [ ) 1,,0 >+ t thì từ điều kiện < XESup HX suy ra H khả tích đều. Đặc biệt, nếu XX n ( h.c.c) và < n n XESup với 0 > nào đó thì ( ) n X khả tích đều và 0 XXE n với mọi << 0 . (Suy ra từ định lí Walle Poussen và định lí 1.1.4 ). 1.2 Kì vọng điều kiện 8 1.2.1 Định nghĩa. Giả sử ( ,F, P) là không gian xác suất. G là - đại số con của F , X là biến ngẫu nhiên khả tích. Kì vọng điều kiện của biến ngẫu nhiên X với G đã cho là biến ngẫu nhiên M thoả mãn các điều kiện sau: a) M là G - đo đợc. b) M thoả mãn đẳng thức ( ) ( ) ( ) ( ) GAdPXdPM AA = , M còn đợc kí hiệu là ( ) GXE | hoặc XE G . 1.2.2 Các tính chất của kì vọng điều kiện Ta luôn giả thiết ( ,F, P) là không gian xác suất cố định các biến ngẫu nhiên đều có kì vọng ( khả tích hoặc nửa khả tích ). G F là - đại số con nào đó. a) Nếu c là hằng số thì ( ) cGcE = | ( h.c.c ). b) Nếu YX ( h.c.c ) thì ( ) GXE | ( ) GYE | ( h.c.c ). c) ( ) ( ) GXEGXE || ( h.c.c ). d) a , b là hằng số và bEYaEX + xác định thì ( ) ( ) ( ) GYbEGXaEGbYaXE ||| +=+ ( h.c.c ). e) E ( |X {& , }) = XE ( h.c.c ). g) |( XE F ) = X ( h.c.c ) . h) ( )( ) EXGXEE = | ( h.c.c ). i) ( )( ) ( ) ( )( ) 21112 ||||| GGXEEGXEGGXEE == ( h.c.c ), nếu 21 GG . k) Nếu X độc lập với G ( nghĩa là ( ) X và G độc lập ) thì ( ) EXGXE = | ( h.c.c ) l) Nếu Y G - đo đợc, và << XYEYE , thì ( ) ( ) GXYEGXYE || = ( h.c.c ). 1.3 Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên 1.3.1 Sự hội tụ theo xác suất. Dãy các biến ngẫu nhiên { } 1, nX n đợc gọi là hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên X nếu với 0 > bất kì ta đều có 9 [ ] 0lim > XXP n n Kí hiệu XX P n 1.3.2 Sự hội tụ hầu chắc chắn. Dãy các biến ngẫu nhiên { } 1, nX n đợc gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X nếu ( ) ( ){ } 1,: = nXXP n Kí hiệu XX cch n 1.3.3 Sự hội tụ theo trung bình. Dãy các biến ngẫu nhiên { } 1, nX n đợc gọi là hội tụ theo trung bình bậc p ( ) << p0 đến biến ngẫu nhiên X , kí hiệu XX P L n , nếu nXXE p n ,0 . Nhận xét: Từ các định nghĩa trên ta thấy sự hôi tụ h.c.c ( hoặc hội tụ theo trung bình bậc p ) suy ra hội tụ theo xác suất. Tuy nhiên các điều ngợc lại nói chung không đúng. 1.3.4 Định lí a)Nếu dãy biến ngẫu nhiên ( ) p n X khả tích với p > 0 nào đó và XX P n thì p LX và XX P L n . b) Ngợc lại, nếu ( ) pn LX , XX P L n thì p LX , XX P n và ( ) p n X khả tích đều. Chứng minh. a) Nếu XX P n thì tồn tại một dãy con ( ) k n X hội tụ hầu chắc chắn đến X . Theo bổ đề Fatou ( ) <= p n k p n p n p kkk XESupXEXEXE limlim Từ bất đẳng thức ( ) A p A p n p A p n IXEIXEIXXE + 2 và giả thiết trong a) suy ra ( ) p n XX khả tích đều. 10 . II Một số mở rộng của khái niệm khả tích đều 2.1 Các khái niệm 2.1.1 Định nghĩa. Dãy các biến ngẫu nhiên khả tích { } 1, nX n đợc gọi là khả tích đều. đề tài Một số mở rộng của khái niệm khả tích đều . Mục đích chính của đề tài này là hệ thống hoá và chỉ ra mối liên hệ giữa các khái niệm khả tích đều; nghiên