một số mở rộng của định lý giới hạn martingale của doob

Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương LI NểI ĐẦU Lí thuyết xác suất thống kê tốn học có tiền đề thực tiễn tốn học từ nhiều kỷ Tuy nhiên, thực trở thành chuyên ngành toán ứng dụng nhiều người quan tâm từ có tiền đề Kolmogow Từ kết ban đầu sâu sắc ấy, nhiều lý thuyết đời Lý thuyết trình ngẫu nhiên tiêu biểu, q trình Martingale Makrov coi xương sống ứng dụng to lớn chúng nhiều lĩnh vực Một ông tổ lý thuyết Doob Vì vậy, em chọn: “Một số mở rộng định lý giới hạn martingale Doob” làm đề tài Nội dung khố luận gồm có chương: Chương I: Giới thiệu sơ lược kiến thức liên quan: Sự hội tụ biến ngẫu nhiên ( hội tụ hầu chắn, hội tụ theo xác suất, hội tụ Lp) kỳ vọng có điều kiện, tính chất kỳ vọng có điều kiện Chương II: Trình bày martingale số định lý hội tụ quan trọng martingale, đặc biệt định lý Doob, định lý Neveu,… Chương III: Đây chương khoá luận Chương đề cập tới martingle L1 - tiệm cận, martingale tới hạn, trò chơi ngẫu nhiên công dần theo thời gian Giới thiệu số mơ hình trị chơi ngẫu nhiên tổng qt martingale mà với chúng, định lý giới hạn martingale Doob cịn Đó kết nghiên cứu gần Talagrand PGS – TSKH Đinh Quang Lưu Hồn thành khố luận này, em xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Hắc Hải, người tận tình hướng dẫn, đóng góp nhiu ý kin Ngun: http://baigiangtoanhoc.com Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương quý bỏu cho em Em cng xin chân thành cảm ơn thầy tổ Tốn ứng dụng tập thể sư phạm nhà trường dạy giúp đỡ em suốt bốn năm qua Trong suốt q trình làm khố luận, bảo chu đáo, ân cần song có nhiều hạn chế, sai sót Vì vậy, em mong thầy giáo bạn đóng góp ý kiến, giúp đỡ thông cảm cho em Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2006 Sinh viên Đỗ Thị Lan Hương Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương CHNG I CC KIẾN THỨC BỔ TRỢ I.1 Sự hội tụ biến ngẫu nhiên Giả sử X1, X2,… dãy biến ngẫu nhiên (b.n.n) xác định không gian xác suất cố định ( ,  ,P) Để cho gọn, ta dùng ký hiệu (Xn) để dãy b.n.n I.1.1 Định nghĩa (Hội tụ theo xác suất) Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) gọi hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên X với   bất kỳ, ta có:        lim P  : X n   X   n P Sự hội tụ theo xác suất ký hiệu Xn  X I.1.2 Định nghĩa (Hội tụ hầu chắn) Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) gọi hội tụ hầu chắn (h.c.c) đến biến ngẫu nhiên X tồn tập A có xác suất cho: X n    X    với   A h.c.c Sự hội tụ hầu chắn ký hiệu X n  X Chú ý (+) A tập có xác suất tồn tập B   , A  B cho P  B   h.c.c (+) Ta cịn định nghĩa: X n  X , nếu:   P   : lim X n   X   n  1     Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luËn tèt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương I.1.3 nh ngha (Hi t Lp ) Dãy b.n.n (X n) gọi hội tụ Lp (  p   ) đến b.n.n X, ký Lp hiệu X n  X , nếu: E Xn  X p  n  I.1.4 Định nghĩa Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) gọi dãy Cauchy theo xác suất (tương ứng hầu chắn, Lp ) với   bất kỳ: P  X n  X m    0, n, m      k ,l  n     (tương ứng: P sup X k  X l   ; E X n  X m  n, m   ) I.1.5 Mệnh đề (Tiêu chuẩn Cauchy hội tụ) Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) hội tụ theo xác suất dãy Cauchy theo xác suất Dãy biến ngẫu nhiên (X n) hội tụ hầu chắn dãy (Xn) dãy Cauchy theo nghĩa hầu chắn I.1.6 Mệnh đề   Cho dãy b.n.n (Xn) P X   điều kiện sau tương đương với nhau: h.c.c i) X n  X   ii) lim P   : sup X  n k n   X    k   0,  I.1.7 Định lý: Cho dãy b.n.n (xn) ta có: Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Khoá luận tốt nghiệp i) Đỗ Thị Lan Hương h.c.c P Nếu X n  X X n  X P ii) X n  X với dãy (nk )  tồn dãy h.c.c (nk ) cho: X n  X p Chứng minh  X  X      sup X  X      n   k n k   i) Vì:    k n   P  X n  X     P  sup X k  X      h.c.c Theo mệnh đề I.1.6 X n  X    k n   P  sup X k  X     n    P  Xn  X    0   n   P  Xn  X ii) Trước hết, ta chứng minh kết sau: Nếu (X n) dãy biến ngẫu nhiên, thoả mãn tiêu chuẩn Cauchy theo xác suất tức   , p   : m, n  p , ta có:         P  : X n   X m   tồn dãy hội tụ hầu chắn Thật vậy: Với dãy  k , k ,  k  2 k ta chọn dãy tăng   ngặt  nk   , cho: n, k  thoả mãn n  nk , ta có:      P : X n   X n   k k   2 k Ngun: http://baigiangtoanhoc.com Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan H­¬ng Với k  , ta đặt:  Ak   : X n    X n    2k k 1 k  Bk   Ai , i k   B   Bk k 1       ik   ik i k  i P  Bk   P   Ai    P  Ai     2k 1 P  B   Với   B dãy số X n   thoả mãn tiêu chuẩn Cauchy theo nghĩa thơng k thường Khi ta định nghĩa b.n.n Y :    sau:  lim X n    ,   B Y     k  k  ,   B 0  Thì P  X n Y k  h.c.c  hay dãy  Y Xn k Ta sử dụng kết để chứng minh (ii): P Khơng tính tổng qt ta giả thiết: X n  (  ) Giả sử (nk) dãy  Đặt: P Yk  X nk , k    Yk   Yk  dãy Cauchy theo xác suất Vậy theo chứng minh dãy Yk  chứa dãy  Yk  hội tụ hầu chắn, hay dãy    p  X  nk  p     X  hội tụ hầu chắn đến n k (  ) Chứng minh phản chứng Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương P Gi s X n  , có nghĩa   0: k , nk  k thoả mãn:    P X n    k h.c.c  Xn   k    n  Hơn nữa, từ bất đẳng thức ta có với dãy nk h.c.c p k P X n   X n 0  kp Vậy định lý chứng minh Chú ý P h.c.c Xn  X  Xn  X  Thật vậy: Giả sử lấy   0,1 ,   B   0,1  , P   a, b    b  a       Ta đặt  i  i 1 i  ,   An     n n  i  Xn 1 i An   Xét dãy b.n.n X , X , X 1 i  1,2, , n  n  1  2 , X , X , X , i i i Có P X n   P X n 1  P An  n       Mặt khác: i Xn  0 ,      1 ,  i   An i   An i i X n     với vơ hạn   An  Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương  i P X n 0   0  n h.c.c i Xn   I.1.8 Định nghĩa  X ,iI  khả tích : lim sup Họ b.n.n khả tích  i a  iI  X a   i  X i dP  I.1.9 Mệnh đề   Để họ b.n.n khả tích X i , iI khả tích điều kiện cần đủ là: i) sup E X i   ( L1 - bị chặn đều) iI ii) Với   ,    cho:  A  , P  A    , ta có: sup  X i dP   (Liên tục tuyệt đối đều) iI A I.1.10 Định lý LP P i) Nếu X n  X  X n  X (1  p  ) ii) Dãy b.n.n khả tích  X n  hội tụ trung bình đến X  L1 , P  X n  khả tích Xn  X Chứng minh i) Theo bất đẳng thức Markov,   :  P Xn  X     Lp Do X n  X  E X n  X p 0 E Xn  X p p n    P  X n  X     n   P  Xn  X Ngun: http://baigiangtoanhoc.com Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương P ii) (  ) Giả sử  X n  khả tích X n  X Khi theo I.1.7, tồn   dãy X n k Do X n h.c.c cho: X nk  X h.c.c  X k Theo bổ đề Fatou, ta có:     E X  lim E  X k nk   sup  n    X n   tức là: X  L1 L1 Bây ta phải chứng minh rằng: X n  X Thật vậy,  X n  khả tích đều, nên họ X n , X , n khả tích    tuỳ ý,    cho: Nếu A  P  A    , ta có:    max sup  X n dP,  X dP    A   A P Mặt khác, X n  X nên tồn p  cho: n  p , ta có: P  X n  X        P  Xn  X             Vậy với n  p , ta thu được: E  Xn  X       Xn X  3   X n  X dP      XnX 3   X n  X dP    X n dP  X dP        X n  X      X n X    3  3 Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luËn tèt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương L1 Hay X n X L1 (  ) Giả sử: X  L X n  X Rõ ràng (Xn) L1 - bị chặn L1 Mặt khác, X n  X P  X n  X Bây giờ, ta phải  X n  khả tích L1 Cho   , X n  X nên tồn p  cho:  sup E X n  X  n p   Mặt khác, họ hữu hạn  X n , n  p , X  dĩ nhiên khả tích đều, nên theo mệnh đề I.1.9,  , A   , P  A    , ta có: sup  Xn dP  sup  Xn dP  sup  X n dP  A n

cho: limsup X n ( )  b  n Với   A lim inf X ( )  a n  n  Trước tiên ta có: Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ ln tốt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương Vi n1   , n2  n1 cho với D  n , P ( D)  P ( A) với n  n2 tồn E  n mà P ( E )   , E  D  Ø thỏa mãn:  X n dP  E Thật vậy, ta giả thiết   (b  a ) P( A) 12 P ( A) Trước hết tìm k  n1 Al  k , cho:  P( A  Al )  Giả sử k đủ lớn để với n  k , ta có:   b  a   P   sup E p  X n   X p     k  pn  (1) Lập dãy  pi  : k  p1  p2   pl cho i  l Bi   X pi      b  Al \  X p  b j j i ta có:  P  Bi   il P ( A) ; Bi   p , i Đặt B   Bi Vì B  Al nên P  B \ A  il i l  Vì liminf X n  a tập A nên ta tìm dãy pl  q1  q2   qm cho n  j  m C j   X q  a  Bi \  X q  a  j i i j   Thì ta có:        PCj   P B  jm Đặt n2  qm Lấy n  n2 D  n với P  D   P  A Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luËn tèt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương Cho i l , đặt: b  a  p Hi   E i  Xn   X p   i      P  A P   Hi     i l  Từ (1) suy ra: Nếu đặt: Bil  Bi \  H i  D  ta có: Bil   p i  P  Bi   il l P  A l l l Đặt: B  Bi với Bi   p , i  l i i l ba  q K j   E j  Xn   Xq   j   Cho j  m đặt:    P  K j    j m    Theo (1), ta thấy   Đặt C lj  Bl  C j  K j Vậy C lj  q Cố định i  l , E  pi j  Xn   X p i   P  C j   P  Bl    j m l b  a 2b  a  tập Bil nên ta có: 3  pi l X dP  l E  Xn  dP   2b  a  P  Bil  n Bi Bi (2) Cho j  m đặt Li, j  Bil  C lj đặt M i  Bil \  Li , j j m Vì Li , j  q j Li , j ta có: E nên  q j Li , j  Xn   Xqj  X n dP   Li , j E q j b  a b  2a  3  X n  dP   b  2a  P  Li , j  Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương Tng tt với j  m ta X n dP    b  2a  P  Bil \ M i   b  2a  P  Bil   Bil \ M i (3) Cùng với (2) suy ra: X n dP    Mi  X n dP M i  Bil X dP  n Bi1 X n dP    b  a  P  Bil  Bil \ Mi (4) Đặt E  M i Vì M i  qi ta có E  q  n tất nhiên E  D  ø l i l Hơn ta có:  P  E   P  Bl \  l   Cj    j m  Cuối cùng, tổng (4) với tất i  l ta có:  X n dP  E b  a  P  A 12   Theo định lí xây dựng dãy tăng chặt n p với tính chất sau: Khi D  n p , P  D   P  A n  n p 1 tồn E  n với tính chất: p 1 P  E   2 p P  A  , E  D  ø  X n dP   b  a  P  A E 12 Lấy n  n p , cho i  p Ta có tập hợp rời nhau: Di  ni , Dl  ø, P  Di   i P  A   D i X n dP  b  a  P  A  12 Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương p  1 p  a  P  A  Suy E Xn  Vậy lim E X n   12 Định lí hồn tồn chứng minh III.3 Trị chơi ngẫu nhiên cơng dần theo thời gian III.3.1 Định nghĩa Quá trình ngẫu nhiên (Xn) tương thích với họ khơng giảm  - đại số  n , n   trị chơi ngẫu nhiên cơng dần theo thời gian, với   , tồn p  để với nm p , ta có: P  E  Xn / m   X m       II.3.2 Ví dụ Ví dụ1 Nếu (Xn) martingale L1 - tiệm cận (X n) trị chơi ngẫu nhiên cơng dần theo thời gian Thật vậy: Theo bất đẳng thức Trebưsep, với   , ta có: P  E  X n / m   X m      E E  X n / m   X m   Mặt khác, (Xn) martingale L1 - tiệm cận, nên với   , tồn p để với n  m  p , thỏa mãn: E  X n / m   X m   Do với n  m  p , ta có: P  E  X n / m   X m     E  X n / m   X m  2     Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương Vớ dụ2 Nếu (Xn) martingale tới hạn (Xn) trị chơi cơng dần theo thời gian Thật Theo định nghĩa, ta có với   , tồn p để với p  q  n thì:   P   sup E X n / q  X q          p  q n   Mặt khác ta có:     E X n / q  X     sup E X n / q  X q    q  p q  n      Suy     P E X n / q  X q    P  sup E X n /   X q      q  p q n      Vậy (Xn) trị chơi ngẫu nhiên cơng dần theo thời gian Ví dụ Ta có trị chơi khơng phải martingale tới hạn, khơng phải martingale L1 - tiệm cận Lấy (Ω, ,P) không gian xác suất Lebesgue đoạn (0,1] Với n   , n  , ta ký hiệu Qn phân hoạch đoạn (mở - đóng) (0,1] thành 2n đoạn (mở - đóng) Đặt : I n , 1 i i   2n có độ dài a0  , a1 = 1, n 1 an   2i n >1 i 1 Ta thành lập dãy  X k  , nh sau: Ngun: http://baigiangtoanhoc.com Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan H­¬ng Với k  1, k  tồn n cho: an1  k  an Lúc ta định nghĩa: 2n1   n   I 2i1 n 2n1   I 2i Xk   trường hợp khác (Với i  k  an 1 tức  i  2n1 ) Ta thấy k   E X k    Lấy k    X i , i  k , k   Nếu m  k E  X m / k   Do đó: E  X m / k   X k Nếu chọn    X k với p  , tìm n cho an1  p  an Sau lấy Rõ ràng  an  k  an1    an 1  m  E  X m / k   X k  X k   Vậy  X k , k   martingale L1 - tiệm cận   Mặt khác P    sup  a  k a n   n1 Nên chọn        X k  2n1    1 với q  tìm n cho : an 1  q  an        qk  p   Sau lấy p  an1 , lúc : P   sup X k  2n      Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luËn tốt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương P   sup X k        qk  p 2   Cũng có nghĩa Như vậy: (X n) khơng phải martingale tới hạn   Ta có m  k E X m /   k   Mặt khác: P X k   2n1 với an1  k  an nên an1  k  an m  k , suy P  E  X m / k   Xk    2 n1 Dẫn đến với   , tồn p để với m  k  p thì: P  E  X m / k   Xk     Vậy  X k  trò chơi III.3.3 Định lý S tập đồng vĩ  , dãy  Xs, sS   X n , n  martingale L1 - tiệm cận Lúc (Xn) trị chơi (X n) phân tích : X n  M n  Pn , đó: (+)  M n , n  (+)  Pn , n  (+) Dãy martingale hội tụ đến theo xác suất  Ps , s  S   Pn , n   hội tụ đến L1 Điều kiện cần  Xs, sS  martingale L1 - tiệm cận, nên theo III.1.3 ta có: X n  M n  Pn , đó:  M n , n  martingale  Ps , s  S  hội tụ đến L1 Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com l Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương P Ta phải chứng minh: Pn  Do (X n) trò chơi, nên với   cho trước, p0  , cho nếu: q , s  S với s  q  p0 , ta có:     P   E Xs / q  X q     (5)      L Mặt khác Ps  , nên tồn p  p0 cho : với s  S , với E  Ps   s  p , ta có: 2 (6) Kết hợp với (5) suy ra: n   , n  p ,ta có: P  Pn     P  X n  M n           P   E  X s / n   X n     P   E  X s /  n   M n           E  Xs / n   M n   E  Xs  M s     2   E  Ps          Vậy  Pn , n  hội tụ đến theo xác suất Điều kiện đủ Ngược lại, giả sử (Xn) có biểu diễn cho định L1 lý Lấy   cho trước, Ps  , tồn p  , cho với s  S , với s  p0 : E  Ps  2 P Mặt khác, Pn  , nên tồn p  , với p  p0 , cho với q  p có: Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Ta Kho¸ ln tốt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương P Pq      2  Điều với (6) chứng tỏ với mọi: q , s  S , s  q  p , ta có: P  E  X /    X s q q         P Xq  M q    2    E X s / q  M q   2    E  Xs  M s    E  Ps     2           P   E  X /    M  s  q q  Theo định nghĩa, (Xn) trị chơi ngẫu nhiên cơng dần theo thời gian Vậy định lý chứng minh III.3.4 Bổ đề: Nếu  X n , n trị chơi chứa dãy martingale tới hạn  Định lý III.3.3 bổ đề III.3.4 nhằm chứng minh cho định lý III.3.5 Tuy nhiên định lý III.3.5 giới thiệu kết mà không chứng minh III.3.5 Định lý Cho (X n) trị chơi cơng theo thời gian, thoả mãn điều kiện Doob, nghĩa là: sup E  X n    n Lúc (Xn) hội tụ theo xác suất đến b.n.n X khả tích Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ ln tốt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương KT LUN Tuy mi thức trở thành học thuyết tốn học (từ 1950) martingale nhanh chóng nhiều nhà tốn học hàng đầu Doob, Neveu, Chacon, Edgar, Sucheston, Shirayev, Talagrand… quan tâm nhiều Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luËn tèt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương ng dng to ln ca Vì mà việc nghiên cứu martingale số mơ hình martingale mở rộng cần thiết ln thời Do khố luận dừng việc giới thiệu số kết Doob, Neveu, Talagrand Đinh Quang Lưu Vì vậy, em rât mong có giúp đỡ, góp ý thầy để phát triển khoá luận theo hướng khác Một lần em xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Hắc Hải thầy cô giáo trường giúp đỡ em hồn thành khố luận TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Duy Tiến_Vũ Viết Yên Lý thuyết xác suất (2001) [2] Doob J.L Stochastic processes, Willey and Sons, New York (1953) Ngun: http://baigiangtoanhoc.com Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan H­¬ng [3] Luu.D.Q Convergence and lattice propertjes of a class of martingale like sequence Acta Math Hungary (1992) [4] Luu.D.Q On convergence in probability of martingale_like sequence, Studia Sci.Math, Hungary (1999) [5] Talagrand.M Some structure results for martingale in the limit and pramarts, Ann Probab (1985) [6] Doãn Đăng Thanh Luận văn thạc sĩ: Một số mơ hình martingale mở rộng (2000) Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com ... có (*)  Định lý chứng minh Ngun: http://baigiangtoanhoc.com Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan H­¬ng CHƯƠNG III MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ DOOB III.1 Martingale L1 - tiệm cận III.1.1 Định nghĩa:... nhằm chứng minh cho định lý III.3.5 Tuy nhiên định lý III.3.5 giới thiệu kết mà không chứng minh III.3.5 Định lý Cho (X n) trị chơi cơng theo thời gian, thoả mãn điều kiện Doob, nghĩa là: sup... Hương ng dng to ln ca nú Vỡ mà việc nghiên cứu martingale số mơ hình martingale mở rộng cần thiết ln thời Do khố luận dừng việc giới thiệu số kết Doob, Neveu, Talagrand Đinh Quang Lưu Vì vậy,