Phương pháp ổn định lyapunov nghiên cứu sự ổn định toàn cục của một số mô hình dịch tễ học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN HỮU THẮNG PHƯƠNG PHÁP ỔN ĐỊNH LYAPUNOV NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH TỒN CỤC CỦA MỘT SỐ MƠ HÌNH DỊCH TỄ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN HỮU THẮNG PHƢƠNG PHÁP ỔN ĐỊNH LYAPUNOV NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH TỒN CỤC CỦA MỘT SỐ MƠ HÌNH DỊCH TỄ HỌC Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS Trần Đình Hùng THÁI NGUYÊN-2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng 11 năm 2020 Người viết luận văn Nguyễn Hữu Thắng i LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, TS Trần Đình Hùng Tơi vơ biết ơn giúp đỡ tận tình, q báu mà Thầy dành cho suốt trình thực luận văn Thầy dành cho tơi nhiều quan tâm, dẫn động viên giúp tơi hồn thành đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại họ c Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy, giáo Bộ mơn Giải tích Tốn ứng dụng nói riêng thầy, giáo Khoa Tốn nói chung tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu Mặc dù cố gắng để luận văn đượ c hoàn thiện cách tốt điều kiện thời gian lực thân cịn hạn chế, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn để luận văn hoàn thiện ii MỤC LỤC Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Mục lục iii Danh sách hình vẽ iv Mở đầu 1 Kiến thức chu ẩn bị 1.1 Bài toán giá trị ban đầu 1.2 Định lý ổn định Lyapunov 1.3 Phương pháp Ru nge-Kutta bốn nấc kinh điển 1.4 Một số mơ hình dịch tễ học cổ điển 10 Tính chất ổn định tồn cục mơ hình dịch tễ SIR, SIRS, SIS S I với biến điều khiển phản hồi 13 2.1 Các mô hình SIR SIRS 13 2.1.1 Phân tích ổn định 14 2.1.2 Các mô số 17 2.2 Mơ hình SIS cổ điển 19 2.2.1 Phân tích ổn định 19 2.2.2 Các mô số 20 2.3 Mơ hình SIS với tỷ lệ mắc bệnh chuẩn 22 2.3.1 Mơ hình tốn học 22 2.3.2 Phân tích ổn định 24 2.3.3 Các mô số 25 2.4 Các mơ hình SI với biến điều khiển phản hồi 27 2.4.1 Mô hình tốn học 27 2.4.2 Phân tích ổn định 28 2.4.3 Các mô số 31 Kết luận chung 33 Tài liệu tham khảo 34 DANH SÁCH HÌNH VẼ 1.1 Sơ đồ lan truyền mơ hình SIS đơn giản 11 2.1 Sơ đồ lan truyền mơ hình SIS đơn giản 14 2.2 Nghiệm mơ hình Ví dụ 2.1 18 2.3 Nghiệm mô hình Ví dụ 2.2 18 2.4 Sơ đồ lan truyền mơ hình SIS (2.14) 19 2.5 Nghiệm mơ hình Ví dụ 2.3 21 2.6 Nghiệm mơ hình Ví dụ 2.4 22 2.7 Nghiệm mơ hình (2.19) Ví dụ 2.5 26 2.8 Nghiệm mơ hình (2.19) Ví dụ 2.6 26 2.9 Nghiệm mơ hình (2.34) với tham số cho (2.42) 31 2.10 Nghiệm (S, I) mơ hình với điều khiển phản hồi 32 2.11 Nghiệm (u 1, u 2) mơ hình với điều khiển phản hồi 32 MÐ Đ†U Các phương trình vi phõn Ôo hm thớng cú mởt vai trũ nời bêt cÊ lý thuyát lăn ựng dửng Chỳng thớng ủc sû dưng đº mơ hình hóa mët cách hi»u qu£ nhi·u hi»n tưđng q trình quan trång n£y sinh thá giợi thỹc Mởt cỏch tờng quỏt, mởt phng trỡnh vi phõn thớng cú th viát dợi dÔng y(t) = f (t, y(t)) (1) ho°c ngn gån y˙ = f (t, y), (2) y˙ ký hi»u cho Ôo hm theo bián t (bián thới gian) cừa hm y(t), I ⊂ R, U ⊂ Rn tªp m, hm vá phÊi f : I ì U Rn đưđc gi£ thi¸t hàm trơn, tùc kh£ vi liên tưc Vi»c nghiên cùu phương trình vi phân thưíng n£y sinh lĩnh vüc ùng dưng có mët vai trị đ°c bi»t quan trång Chõ đ· thu hút đưñc sü quan tâm cõa nhi·u nhà nghiên cùu ð nhi·u lĩnh vüc khác suốt nhiÃu nm qua, chng hÔn, thiát lêp mụ hỡnh, nghiên cùu đành tính líi gi£i sè Mët nhỳng ựng dửng nời bêt v rĐt quan trồng cõa phương trình vi phân thưíng đº mơ hình tốn håc b»nh truy·n nhi¹m dàch t¹ håc (epidemic models) Nh chỳng ta ó biát, dch tạ hồc l mởt mụn khoa hồc nghiờn cựu tỡnh trÔng sực khọe, bằnh têt v cỏc yáu tố liờn quan cĐp dõn số Dch tạ hồc l khoa hồc nÃn tÊng cừa y tá cụng cởng vợi vai trò b£n nâng cao sùc khäe cëng ỗng Mởt số thnh tỹu quan trồng cừa dch tạ hồc cú th k án nh toỏn bằnh mùa, đi·u trà nhi¹m đëc Methyl thõy ngân, đi·u trà b»nh sèt th§p tim b»nh th§p tim, kiºm sốt lây truy·n phịng ngøa b»nh truy·n nhi¹m, Trong toán håc, sü lan truy·n cõa nhi·u b»nh truy·n nhi¹m, tiêu biºu sði, quai bà, rubella, thõy đªu, có thº đưđc mơ hình thơng qua h» phương trình vi phân thưíng Vi»c thiát lêp mụ hỡnh toỏn hồc v nghiờn cựu cỏc tính ch§t cõa chúng giúp hiºu rõ ch¸ lây lan cõa b»nh dàch, tø đ· xu§t sách hi»u qu£ đº phịng ngøa, kiºm sốt đi·u trà b»nh tªt Nói riêng, vi»c nghiên cựu tớnh chĐt ờn nh tiằm cên ton cửc cừa mơ hình dàch t¹ håc có vai trị đ°c bi»t quan trång thüc t¸ Bài tốn thu hút đưđc sü quan tâm cõa nhi·u nhà tốn hồc, k thuêt, sinh hồc, dch tạ hồc suốt nhiÃu thêp k qua Mởt nhỳng cỏch tiáp cên thnh cụng nhĐt tợi bi toỏn ny l phng phỏp ên đành Lyapunov Phương pháp nghiên cùu sü ên đành cõa h» đëng lüc düa vi»c xác đành mët hàm sè phù hñp, đưñc gåi hàm Lyapunov Cho tợi nay, sỹ ờn nh cừa rĐt nhiÃu h» phương trình vi phân quan trång n£y sinh lĩnh vüc ùng dưng nói chung mụ hỡnh dch tạ hồc núi riờng ó ủc thiát lªp thành cơng düa phương pháp ên đành Lyapunov Cỏc kát quÊ thu ủc l rĐt quan trồng c£ lý thuy¸t đành tính cõa phương trình vi phân cng nh khớa cÔnh ựng dửng Chớnh vỡ nhỳng lý trên, đ· tài "Phương pháp ên đành Lyapunov nghiên cùu sü ên đành tồn cưc cõa mët sè mụ hỡnh dch tạ hồc" ủc thỹc hiằn vợi mửc tiêu tìm hiºu vi»c sû dưng phương pháp ên đành Lyapunov cho mët sè mơ hình dàch t¹ håc Các ý ngha thỹc tá thu ủc tứ viằc thiát lêp ên đành cho mơ hình đưđc nghiên cùu tìm hiºu Ngồi vi»c tìm hiºu v· m°t lý thuy¸t, mơ phäng sè đưđc trình bày đº minh håa cho k¸t qu£ lý thuy¸t Ngoi phƯn "M Ưu", "Kát luên" v "Ti liằu tham khÊo", cỏc kát quÊ chớnh cừa luên ủc trỡnh by chng: Chng 1: Kián thực chuân b Chương 2: Tính ch§t ên đành tồn cưc cõa mụ hỡnh dch tạ SIR, SIRS, SIS v SI vợi cỏc bián iÃu khin phÊn hỗi Tớnh toỏn Ôo hm cừa hm V dồc qu Ôo nghiằm cừa (2.19) ta nhên ủc ( + 2à)(S + I ) I − I ∗ dI (S + S ∗ )(I + I ∗ ) d(S + V = I) + , S+I dt βI I dt ∗ ∗ ∗ h (S + S )(I + I ) i (2.31) Λ − µ(S + I ) − = S+I αI ∗ (α + 2µ)(S + I ∗ ) I − I ∗ − (α + µ + φ)I + βSI βI ∗ I S+I Sû döng (2.30) ta thu đưñc V = I ∗) h (S + S ∗ )(I + ∗ ∗ − µ(S − S ) − (α + µ)(I − I ) S+I (α + 2µ)(S ∗ + (I − I ∗) + ∗ I ∗) βI i S∗ − S S∗ + I S+I Sỷ dửng cỏc phộp bián ời Ôi sè ta nhªn đưđc (S − S ∗ (I − I ∗ )2 ∗ S ) − α + µ + (α + 2µ)∗ V = −µ I S+I S+I (2.32) (2.33) Rõ ràng V < vợi mồi S, I > ngoÔi trứ tÔi im cõn bơng E , tÔi ú V (E ∗ ) = Do đó, theo đành lý ờn nh Lyapunov ta kát luên ủc E l ên đành ti»m cªn tồn cưc 2.3.3 Các mơ phäng sè Trong mưc này, chúng tơi trình bày mët sè mơ phäng sè đº kh¯ng đành tính đn cõa k¸t qu£ lý thuy¸t Ví dư 2.5 Xét mơ hình (2.19) vỵi tham sè Λ = 0.25, β = 0.2, α = 0.25, µ = 0.3, φ = 0.25 Trong trưíng hđp R0 = 0.25 < nên điºm cân b¬ng E0 = (3, 0) ên đành ti»m cªn tồn cưc Nghi»m cõa mơ hình đưđc biºu di¹n Hình 2.7 Rõ ràng, E0 ên đành ti»m cªn tồn cưc 30 25 I 20 15 10 E0 0 10 20 60 30 40 50 S Hình 2.7: Nghi»m cõa mơ hình (2.19) Ví dư 2.5 Ví dư 2.6 Xét mơ hình (2.19) vỵi tham sè Λ = 0.25, β = 0.9, α = 0.25, 0.25 µ = 0.3, φ= Trong trưíng hđp R0 = 1.1250 > nên điºm cân b¬ng E ∗ = (2.4358, 0.3072) ên đành ti»m cªn tồn cưc Nghi»m cõa mơ hình đưđc biºu di¹n Hình 2.8 Rõ ràng, E ∗ ên đành ti»m cªn tồn cưc 30 25 I 20 15 10 E* 10 20 60 30 40 50 S Hình 2.8: Nghi»m cõa mơ hình (2.19) Ví dư 2.6 2.4 Các mơ hình SI vợi cỏc bián iÃu khin phÊn hỗi Trong phƯn ny, chỳng tụi trỡnh by mởt dch tạ SI vợi cỏc bián iÃu khin phÊn hỗi ủc à xuĐt bi Chen Sun [6] tính ch§t ên đành tồn cưc cõa mơ hình Cùng vỵi đó, mơ phäng sè đưđc trình bày đº trđ cho k¸t qu£ lý thuy¸t 2.4.1 Mơ hình tốn håc Xét mơ hình dàch t¸ SI sau: S˙ (t) = S(t) r − aS(t) − bI(t) , I˙(t) = I(t) bS(t) − µ − (2.34) f I(t) , dân sè ủc chia thnh hai nhúm: nhúm nhỳng ngới khọe mÔnh có thº bà nhi¹m b»nh bði tác nhân gây b»nh S nhóm nhúng ngưíi bà nhi¹m b»nh có thº truy·n b»nh I , tham sè mơ hình đ·u dương Chi ti¸t cõa mơ hình đưđc trình bày [6] Đº tìm điºm cân b¬ng dương cõa (2.34), ta gi£i h» aS − bI = rbS − f I = µ (2.35) Khi điºm cân b¬ng đưđc xác đành bði E ∗ = (S ∗ , I ∗ ) = bµ + f r −aµ + br , , af + b2 af + b2 (2.36) đi·u ki»n đº điºm cân bơng dng tỗn tÔi l br > aà nh lý 2.8 Điºm cân b¬ng dương E ∗ cõa h» (2.34) ên đành ti»m cªn tồn cưc − Chùng minh Xét hàm Lyapunov S − S V (S, I ) = S ∗ ln P ∗∗ S I + I∗ I∗ I ln I∗ − − Sû dửng (2.35) cựng mởt số phộp bián ời Ôi số ta thu đưñc V˙ (S, I) = (S − S ∗ ) − a(S − S ∗ ) − b(I − I ∗ ) + (I − I ∗ ) b(S − S ∗ ) − f (I − I ∗) = a(S − S ∗ )2 − f (I − I ∗ )2 Vì th¸ nhí đành lý ờn nh Lyapunov chỳng ta kát luên ủc rơng E ∗ ên đành ti»m cªn tồn cưc Đành lý đưñc chùng minh Tø Đành lý (2.34) ta suy rơng br > aà thỡ limt (S(t), I(t)) = (S ∗ , I ∗ ), tùc luôn cú nhỳng ngới b nhiạm bằnh cởng ỗng Do đó, Chen Sun [6] đ· xu§t mët cách tiáp cên hiằu quÊ hÔn chá v ngn chn tác nhân gây b»nh, mơ hình vỵi iÃu khin phÊn hỗi S (t) = S(t) r − aS(t) − bI(t) − c1 u1 (t) , I (t) = I(t) bS(t) − µ − f I (t) − c2 u2 (t) , u10 (t) = −e1 u1 (t) + d1 S(t), (2.37) u20 (t) = −e2 u2 (t) + d2 I(t), u1 u2 l cỏc bián iÃu khin phÊn hỗi v cỏc tham sè e1 , e2 , d1 d2 đ·u dương Trong mưc ti¸p theo s³ trình bày tính ch§t ên đành tồn cưc cõa mơ hình (2.37) đº chựng minh rơng mụ hỡnh l hiằu quÊ hÔn ch¸ ngăn ch°n tác nhân gây b»nh 2.4.2 Phân tích ên đành Trưỵc tiên ta đành nghĩa sè (br − aµ)e1 Υ0 = c1 d1µ (2.38) Đº tìm điºm cân b¬ng có thº cõa mơ hình (2.37) ta xét h» S r − aS − bI − c1 u1 = (2.39) 0, I bS − µ − f I − c2 u2 = 0, − e1 u1 + d1 S = 0, − e2 u2 + d2 I = M»nh đ· 2.1 ([6]) Mơ hình (2.37) ln ln có mët điºm cân b¬ng biên r e1 (disease-free equilibrium) E S , 0, u10 , , S = ae1 + c1 d1 r d1 u10 = vỵi måi giá trà cõa tham sè N¸u Υ > 1, mơ hình ae1 + c1 d1 có điºm cân b¬ng dương nh§t E S ∗ , I ∗ ,1u∗2, u∗ cho bði c2 d2 bµ + r f + S∗ = ∆ ∗ u ∗ = ∗ , u2 d1 S = e1 cd br − aµ − µ 1 e2 e1 , I∗ = ∆ ∗ c1 d1 d2 I , ∆ = b2 + a + e1 e2 , f+ (2.40) c2 d2 e2 Nhí cỏc hm Lyapunov, chỳng ta thiát lêp tớnh chĐt ờn đành tồn cưc cõa E E dưỵi Đành lý 2.9 (i) N¸u Υ0 ≤ 1, E S , 0, u0 , l ờn nh tiằm cên ton cửc (ii) Náu > 1, E S ∗ , I ∗ ,1u∗2, u∗ ên đành ti»m cªn tồn cưc Chùng minh (a) Chùng minh (i) Xét hàm Lyapunov V (S, I, u1 , u2 ) = S − S S ln − S + I S + c1 c2 (u1 − u10 )2 + u2 2d1 2d2 Ta có V˙ (S, I, u1 , u2 ) = (S − S ) r − aS − bI − c1 u1 + I bS − µ − f I − c2 u2 c + (u1 − u10 )(−e1 u1 + d1 S) d1 c2 + u (−e2 u2 + d2 I) d2 Sû döng (2.40) phép bi¸n đêi ta thu đưđc bre1 ce c2 e2 µ− I − 1 (u − u )2 − V˙ = −a(S − S )2 u − 1 ae1 + c1 d1 d1 d2 Do n¸u Υ0 < hàm V thäa mãn đành lý ên đành Lyapunov Tø ta kát luên ủc rơng E l ờn nh tiằm cªn tồn cưc (b) Chùng minh (ii) Xét hàm Lyapunov V (S, I, u1 , u2 ) = S − S ∗ ln S∗ − S S∗ c1 + u1 − u1∗ 2d1 + + I I − I ∗ ln ∗ − I∗ I c2 u2 − u2∗ 2d2 (2.41) Mët cách tương tü ta có ˙ = −a(S − S ∗ )2 − f (I − I ∗ )2 − V c1 e1 (u d1 − u∗ )2 − (u c2 e2 d2 − u∗ )2 2 Rõ ràng hàm V thäa mãn đành lý ên đành Lyapunov Tø ta kát luên ủc rơng E l ờn nh tiằm cªn tồn cưc Chú ý 2.2 Tø đành lý 2.9 ta thĐy cỏc bián iÃu khin phÊn hỗi l hiằu quÊ viằc hÔn chá v ngn chn bằnh dch bði ta có thº lüa chån giá trà cõa bi¸n đi·u khiºn cho Υ0 < Khi limt→∞ I(t) = 0, có nghĩa sè ngới b nhiạm bằnh s giÊm dƯn và 2.4.3 sè Các mơ phäng Цu tiên xét mơ hình SI gèc (2.34) vỵi tham sè r = 0.75, a = 0.025, b = 0.25, mu = 0.5, f = 0.02 (2.42) Vỵi tham sè trên, điºm cân b¬ng cõa mơ hình E ∗ = (2.2222, 2.7778) ên đành ti»m cªn tồn cưc Nghi»m sè thu đưđc tø phương pháp RungeKutta vỵi h = 10−5 t ∈ [0, 500] trưíng hđp đưđc biºu di¹n Hình 2.9 Rõ ràng E ∗ ên đành ti»m cªn tồn cưc 18 16 14 12 I 10 0 10 12 S Hình 2.9: Nghi»m cõa mơ hình (2.34) vỵi tham sè cho bði (2.42) Vợi mụ hỡnh vợi iÃu khin phÊn hỗi (2.37) ta lüa chån c1 = 5, d1 = 5, e1 = 200, c2 = d2 = e2 = (2.43) Vỵi tham sè Υ = 0.4 < Do điºm cân b¬ng biên (1.6, 0, 0.4, 0) ên đành ti»m cªn tồn cưc Nghi»m sè thu đưđc tø phương pháp RungeKutta vỵi h = 10−5 t ∈ [0, 50] đưđc biºu di¹n trưíng hđp đưđc biºu di¹n Hình 2.10 , 2.11 Rõ ràng im cõn bơng biờn l ờn nh tiằm cên ton cöc 4.5 3.5 I 2.5 1.5 (S , 0) 0.5 S 10 Hình 2.10: Nghi»m (S, I) cõa mơ hình vỵi đi·u khiºn ph£n hỗi 2.5 I 1.5 0.5 (u0, 0) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 S 1.2 1.4 1.6 1.8 Hình 2.11: Nghi»m (u1 , u2 ) cừa mụ hỡnh vợi iÃu khin phÊn hỗi Qua vớ dư ta th§y sü đưđc hi»u qu£ cõa bián iÃu khin phÊn hỗi hÔn chá v ngn ch°n tác nhân gây b»nh Düa mơ hình vỵi cỏc iÃu khin phÊn hỗi, chỳng ta cú th à xu§t sách phương pháp hi»u qu£ ngăn ch°n tác nhân gây b»nh 32 K˜T LUŠN CHUNG Luên trỡnh by mởt hợng nghiờn cựu lnh vüc gi£i tích tốn håc ùng dưng Nëi dung cõa luªn văn tªp trung vào vi»c tìm hiºu trình bày mët cách h» thèng mët sè ùng dưng quan trång cõa lý thuy¸t ên đành Lyapunov nghiên cùu ên đành cõa mơ hình dàch t¹ SIR, SIRS, SIS v SI vợi cỏc bián iÃu khin phÊn hỗi Cỏc kát quÊ thu ủc cú ý ngha quan trồng cÊ lý thuyát lăn ựng dửng Cỏc chựng minh lý thuy¸t đưđc trđ bði mơ phäng sè Mð rëng k¸t qu£ đưđc trình bày cho cỏc mụ hỡnh dch tạ cú tớnh chĐt tng tỹ l hợng nghiờn cựu tiáp theo cừa chỳng tụi 33 Tài li»u tham kh£o [1] L J.S Allen (2006), An Introduction to Mathematical Biology, Pearson [2] R.M Anderson, R.M May (1991), Injectious Diseases in Humans: Dynamics and Control, Oxford University Press Oxford [3] U M Ascher, L R Petzold (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, Society for Industrial and Applied Mathematics [4] N T J Bailey (1975), The Mathematical Theory of Infectious Diseases and Its Applications, Griffin, London [5] S Busenberg, K Cooke (1993), Vertically Tmnsmitted Diseases: Models and Dynamics, Springer, Berlin [6] L Chen, J Sun (2014), Global stability of an SI epidemic model with feedback controls, Applied Mathematics Letters 28, 53-55 [7] J K Hale (2009), Ordinary differential equations, Courier Corporation [8] A Korobeinikov, G C Wake (2002), Lyapunov functions and global stability for SIR, SIRS, and SIS epidemiological models, Applied Mathematics Letters, Volume 15, Issue 8, Pages 955-960 [9] J La Salle, S Lefschetz (1961), Stability by Liapunov’s Direct Method, Academic Press, New York 34 [10] M Martcheva (2015), An Introduction to Mathematical Epidemiology, Springer Science+Business Media, New York [11] A Stuart, A R Humphries (1998), Dynamical Systems and Numerical Analysis, Cambridge University Press [12] C Vargas-De-Leon (2011), On the global stability of SIS, SIR and SIRS epidemic models with standard incidence, Chaos, Solitons & Fractals 44 1106-1110 35 ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN HỮU THẮNG PHƢƠNG PHÁP ỔN ĐỊNH LYAPUNOV NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH TỒN CỤC CỦA MỘT SỐ MƠ HÌNH DỊCH TỄ HỌC Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02... kinh điển 1.4 Một số mơ hình dịch tễ học cổ điển 10 Tính chất ổn định tồn cục mơ hình dịch tễ SIR, SIRS, SIS S I với biến điều khiển phản hồi 13 2.1 Các mô hình SIR SIRS ... 2.1.1 Phân tích ổn định 14 2.1.2 Các mô số 17 2.2 Mơ hình SIS cổ điển 19 2.2.1 Phân tích ổn định 19 2.2.2 Các mô số 20 2.3 Mơ hình SIS với tỷ