Định lý cơ sở của hilbert

Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Trong thời gian học tập khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy dỗ, bảo tận tình thầy cô giáo em tiếp thu nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể thầy cô khoa Toán - người dạy dỗ chúng em trưởng thành ngày hôm Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo ThS Nguyễn Huy Hưng người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình đóng góp nhiều ý kiến quý báu thời gian thực khoá luận Với điều kiện hạn chế thời gian kiến thức thân nên khoá luận khó tránh khỏi thiếu sót, kính mong bảo thầy cô bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2010 Sinh viên Vũ Thị Huyền Vũ Thị Huyền K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lời cam đoan Khoá luận em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo Nguyễn Huy Hưng cố gắng thân Trong trình nghiên cứu thực khoá luận, em có tham khảo tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khoá luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2010 Sinh viên Vũ Thị Huyền Vũ Thị Huyền K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp Mục lục Mở đầu Chương 1:Các kiến thức chuẩn bị 1.1: Vành số tính chất 1.2: Miền nguyên trường 1.3 Iđêan 1.4 Một số lớp vành đặc biệt 1.5 Vành đa thức 1.6 Tập đại số 10 Chương 2: Tập bất khả quy 11 2.1 Tập bất khả quy 11 2.2 Vành nhân tử hoá 14 2.3 Tiêu chuẩn để siêu mặt bất khả quy 19 Chương :Định lý sở Hilbert 21 3.1 Iđêan hữu hạn sinh, iđêan nguyên sơ, iđêan bất khả quy 21 3.2 Vành Noether 22 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Vũ Thị Huyền K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp Mở Đầu Ngày tư tưởng, phương pháp kết đại số thâm nhập vào hầu hết lĩnh vực toán học Đề tài Định lý sở Hilbert đề tài hay có nhiều ứng dụng đại số đại Hơn nữa, việc nghiên cứu đề tài giúp cho người học phát triển tư có tầm nhìn sâu rộng toán học Thấy tầm quan trọng đề tài giúp đỡ tận tình thầy Nguyễn Huy Hưng em mạnh dạn thực khoá luận tốt nghiệp với đề tài Định lý sở Hilbert Đề tài nghiên cứu tính chất đặc biệt vành đa thức tính Noether tính nhân tử hoá Dùng tính Noether vành đa thức để nghiên cứu tập đại số Nội dung khoá luận gồm chương : Chương Các kiến thức chuẩn bị Chương Tập bất khả quy Chương Định lý sở Hilbert Do khuôn khổ thời gian trình độ thân hạn chế nên khoá luận tránh khỏi thiếu sót Kính mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện phát triển Vũ Thị Huyền K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành số tính chất 1.1.1 Định nghĩa Cho X , X tập hợp tuỳ ý Trên X , ta trang bị phép toán hai (+) (.) X , , gọi vành + X , nhóm Abel + Phép . có tính chất kết hợp tức x, y, z X : xy z x yz + Phép nhân phân phối phép cộng: x, y, z X : x y z xy xz x y z xz yz Nếu phép nhân có tính chất giao hoán X gọi vành giao hoán Nếu phép nhân có phần tử đơn vị X gọi vành có đơn vị Nếu phép nhân có tính chất giao hoán có đơn vị X gọi vành giao hoán có đơn vị Phần tử đơn vị phép cộng vành gọi phần tử Phần tử đơn vị phép nhân vành thường kí hiệu 1.1.2 Ví dụ a , , , vành giao hoán có đơn vị với phép cộng phép nhân số thông thường b Cho X vành giao hoán, có đơn vị n số tự nhiên c Tập ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc X phép (+), (.) ma trận lập thành vành có đơn vị không giao hoán Vũ Thị Huyền K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội d Tập hợp /n Khóa luận tốt nghiệp số nguyên mod n với hai phép toán (+),(.) số nguyên mod n xác định bởi: x n y n x y n x n y n xy n x, y vành giao hoán, có đơn vị gọi vành số nguyên mod n 1.1.3 Tính chất vành Cho X vành Khi đó: i/ x.0 0.x x X ii/ x y z xy xz x, y , z X iii/ n xy nx y x ny x, y X , n iv/ Nếu X có đơn vị có phần tử v/ Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh y yn x y1 x yn x ( y1 yn )( x1 xn ) yi x j i 1, n j 1, m 1.1.4 Khái niệm ước phần tử Cho X vành giao hoán, a, b X Ta nói a ước b tồn phần tử c X : a.c b Kí hiệu a | b Khi đó, b gọi bội a 1.1.5 Một số tính chất số học miền nguyên - a|a , a X , a - a | b , b | c a | c - u |1 u | a a X x, x / X x x / u , u khả nghịch phần tử x, x / gọi liên kết với Vũ Thị Huyền K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp 1.2 Miền nguyên trường 1.2.1 Ước không X vành giao hoán, a X , a Ta gọi a ước không tồn phần tử b X , b : ab Khi đó, b gọi ước không Nhận xét: Vành giao hoán X gọi ước không a, b ; a, b X : a.b a, b X ; a.b a b Ví dụ : + + , , , ước ước không: 2, 4, 1.2.2 Miền nguyên a Khái niệm : Miền nguyên vành giao hoán, có đơn vị, có phần tử ước không b Ví dụ : + + , , , p miền nguyên miền nguyên p số nguyên tố + Vành ma trận Matn X không miền nguyên với n 1.2.3 Trường + Trường miền nguyên mà phần tử khác tồn phần tử nghịch đảo + Hoặc: Một vành X có phần tử trường X * X \ nhóm giao hoán với phép nhân 1.2.4 Mệnh đề Một vành giao hoán X có đơn vị miền nguyên phép nhân X có luật giản ước tức : Vũ Thị Huyền K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp xa xb, x a b ax bx , x a b 1.3 Iđêan 1.3.1 Định nghĩa : Cho X vành + Một iđêan trái A X vành A X thoả mãn x X , a A : xa A ( XA A) + Một iđêan phải A X vành A X thoả mãn : x X , a A : ax A ( AX A) + Một iđêan X vành A X vừa iđêan trái vừa iđêan phải X Ví dụ : + Mọi vành X có iđêan tầm thường X +n ( n số tự nhiên ) iđêan vành +Tập hàm số liên tục đoạn a, b triệt tiêu x0 a, b iđêan vành Ca ,b 1.3.2 Điều kiện tương đương Cho X vành , A , A X Các điều kiện sau tương đương a/ A iđêan X b/ x, y A: x y A , x X , a A : xa A, ax A 1.3.3 Tính chất a/ Giao họ vành X vành X b/ Cho X vành U X Khi giao tất vành X chứa U vành X chứa U Đó vành bé X chứa U gọi vành sinh U Kí hiệu U U Vũ Thị Huyền K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp 1.3.4 Iđêan sinh n phần tử Định nghĩa : Cho X vành giao hoán có đơn vị U a1 , , an Iđêan sinh n phần tử a1 , , an iđêan a x | x X n A a1 , , an i i i i Đặc biệt : Nếu A a A gọi iđêan Iđêan a ax | x X aX Xa 1.4 Một số lớp vành đặc biệt 1.4.1 Một số khái niệm a Phần tử bất khả quy phần tử nguyên tố + Ước thực : Cho X miền nguyên, a, b X , a gọi ước thực b a | b, a khác khả nghịch, a không liên kết với b Ví dụ : Trong vành 12 có ước thực 2, 3, 4, + Phần tử bất khả quy: X miền nguyên p X , p gọi bất khả quy p ước thực Ví dụ : Trong phần tử bất khả quy số nguyên tố p ( p số nguyên tố) + Phần tử nguyên tố: X miền nguyên, p X , p , p khác khả nghịch, p phần tử nguyên tố p | ab p | a p | b * Nhận xét: Mọi phần tử nguyên tố phần tử bất khả quy điều ngược lại chưa Trong vành phần tử bất khả quy phần tử nguyên tố ngược lại b Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ Cho X - miền nguyên Vũ Thị Huyền K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp +Ước chung lớn nhất: Phần tử d gọi ước chung lớn d | , i 1, n m|d a1 , a2 , an m | a , i 1, n i Nhận xét : Có thể tồn nhiều ước chung lớn a1 , a2 , , an ước chung lớn liên kết với + Bội chung nhỏ nhất: Phần tử m gọi bội chung nhỏ m i 1, n a1 , a2 , , an k i 1, n k m 1.4.2 Vành a Định nghĩa: Một miền nguyên iđêan iđêan gọi vành b Ví dụ + vành + Trường vành c Định lý Cho A - vành , a1 , , an A , n i/ a1 , , an có ước chung lớn ii/ a1 , , an có bội chung nhỏ Hệ quả: + Nếu a b ước chung lớn bội chung nhỏ n a1 , , an a1 , , an aA a A bA i i + Các phần tử a1 , an A gọi nguyên tố nhận làm ước chung lớn Vũ Thị Huyền 10 K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp Chương Định lý sở Hilbert Theo định nghĩa tập đại số tập nghiệm hệ phương trình đa thức Một hệ gồm số vô hạn phương trình Tuy nhiên, ta thấy tập đại số xác định hệ hữu hạn phương trình đa thức Cho S hệ đa thức K X Nếu S T với hệ đa thức T khác Z S Z T Vì ta iđêan S K X sinh hệ hữu hạn T Điều dẫn ta đến khái niệm đại số sau 3.1 Iđêan hữu hạn sinh , iđêan nguyên sơ, iđêan bất khả quy 3.1.1 Iđêan hữu hạn sinh a Định nghĩa : Cho I iđêan tuỳ ý vành A Tập S A gọi hệ sinh I I S Iđêan I gọi hữu hạn sinh I có hệ sinh hữu hạn b Định lý : Cho X vành giao hoán có đơn vị Khi đó: I a1 , , an a1 x1 an xn | xi X 3.1.2 Iđêan nguyên sơ, iđêan bất khả quy a Iđêan nguyên sơ Định nghĩa : Cho X vành giao hoán Iđêan thực A X gọi iđêan nguyên sơ xy A, y A n A X để x n A b Iđêan bất khả quy Định nghĩa: Một iđêan gọi bất khả quy iđêan không giao hai iđêan lớn thực Vũ Thị Huyền 25 K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp 3.1.3 Một số tính chất a Các phép toán iđêan Cho I , J iđêan X I J a b | a I , b J iđêan X I J a X | a I , a J iđêan X I J aibi | I , b j J iđêan X I : J x X | xJ I , xJ xa | a J iđêan gọi iđêan I chia J Nhận xét: IJ I J I J b Định lý R vành giao hoán ,căn luỹ linh R giao tất iđêan nguyên tố c Mệnh đề Cho A iđêan vành giao hoán X Ta có phát biểu sau (a) A iđêan nguyên tố X / A miền nguyên ; (b) A iđêan cực đại X / A trường; (c) A iđêan nguyên sơ RadA iđêan nguyên tố; (d) Một iđêan cực đại iđêan nguyên tố; Một iđêan nguyên tố iđêan nguyên sơ 3.2 Vành Noether Có vấn đề mà ta cần xem xét: Phải hệ tuỳ ý phương trình đa thức trường K cho trước rút hệ phương trình tương đương gồm hữu hạn phương trình Vấn đề tương đương với tính hữu hạn iđêan vành đa thức nhiều biến K Đó nguồn gốc đời lý thuyết vành Noether, loại vành mà đêan hữu hạn sinh Vũ Thị Huyền 26 K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp 3.2.1 Định nghĩa: Vành A gọi vành Noether iđêan A hữu hạn sinh 3.2.2 Ví dụ X - trường vành Noether X có iđêan X iđêan sinh phần tử iđêan X sinh phần tử đơn vị Và có dãy tăng X 3.2.3 Định lý ( Điều kiện tương đương) Cho A vành giao hoán có đơn vị điều kiện sau tương đương: (a) A vành Noether (b) Mọi chuỗi tăng iđêan A : I1 I I j dừng nghĩa tồn j để I j I j (c) Mọi tập hợp không rỗng iđêan A có iđêan cực đại (không chứa iđêan khác tập hợp đó) Chứng minh: (a) (b) Đặt I I j Ta thấy I iđêan A Do A vành jI Noether suy I hữu hạn sinh Gọi S hệ sinh hữu hạn I , S a1 , , an Các phần tử S phải nằm iđêan I j Suy I a1 , , an I j I I j Mặt khác I j I Vậy I I j dẫn đến I j I I j (b) (c) Giả sử S tập hợp không rỗng iđêan A iđêan cực đại Với iđêan I S tồn iđêan J S cho I J Suy , tồn chuỗi tăng iđêan không dừng S (mâu thuẫn (b)) Vậy điều giả sử sai suy điều phải chứng minh Vũ Thị Huyền 27 K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp (c) (a) Giả sử A có iđêan không hữu hạn sinh Khi f1 , f , , f j I với hệ hữu hạn phần tử f1 , f , , f j I f j I \ f1 , , f j Do ta xây dựng chuỗi tăng iđêan không dừng: f f , f f , , f 1 j Chuỗi iđêan cực đại (mâu thuẫn (c)) Vậy điều giả sử sai suy điều phải chứng minh 3.2.4 Hệ Cho A vành Noether I iđêan tuỳ ý A Mọi hệ sinh S I chứa hệ sinh hữu hạn I Chứng minh Ta giả thiết I Cho f1 , , f j hệ phần tử tuỳ ý S Nếu f , , f I S f1 , , f j , S f1` , , f j Vì ta chọn j phần tử f j S cho f j f1 , , f j Tóm lại, ta tìm thấy hệ hữu hạn S hệ sinh I ta xây dựng chuỗi tăng iđêan không dừng f f , f f , , f 1 j Điều mâu thuẫn giả thiết A vành Noether Vậy hệ sinh S chứa hệ sinh hữu hạn I * Trong vành Noether người ta quy việc nghiên cứu iđêan việc nghiên cứu số hữu hạn iđêan nguyên tố 3.2.5 Iđêan nguyên tố cực tiểu a Khái niệm: Cho I iđêan tùy ý Một iđêan nguyên tố P I gọi iđêan nguyên tố cực tiểu I P không chứa iđêan nguyên tố chứa I khác Vũ Thị Huyền 28 K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp Ta kí hiệu Min I tập iđêan nguyên tố cực tiểu I Dễ thấy Min I Min I b Định lý: Cho A vành Noether Mọi iđêan I A phân tích thành giao số hữu hạn iđêan nguyên tố không bao hàm Các iđêan xác định cách chúng iđêan nguyên tố cực tiểu I Chứng minh: Gọi S tập hợp tất iđêan không giao số hữu hạn iđêan nguyên tố Giả sử S Khi S có iđêan cực đại I Do I iđêan nguyên tố nên ta viết I I1 I (với I1 , I iđêan lớn I thực sự) Từ tính chất lớn I ta thấy I1 , I giao số hữu hạn iđêan nguyên tố Suy I giao số hữu hạn iđêan nguyên tố ( mâu thuẫn giả thiết I S ) Vậy điều giả sử sai nghĩa S Suy iđêan giao số hữu hạn iđêan nguyên tố Bây ta phân tích I thành giao iđêan nguyên tố không bao hàm xác định cách Giả sử I I1 I I r J1 J J s hai phân tích I thành giao iđêan nguyên tố không bao hàm Do I1 I r J1 I t J1 J1 J s I t J i I t ( t số đó) (i số đó) Từ suy Tương tự J i J1 Với i I t J1 Mà I t I1 , I , , I r J1 I1 , I , , I r Tương tự, ta J i I1 , , I r i 1, , s I t J1 , , J s , t 1, , r Vì I , , I J , , J r Vũ Thị Huyền s 29 K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp Cuối ta chứng minh Min I I1 , , I r Cho P Min I tuỳ ý Do I1 I r P I j P , j số Do I I1 I I r I j iđêan nguyên tố chứa I Suy P I j Bây giờ, ta cần iđêan I j iđêan nguyên tố cực tiểu I Giả sử Q I iđêan nguyên tố nằm I j Ta có I I1 I j Q I j I r Giản ước iđêan nguyên tố chứa iđêan nguyên tố khác ta nhận phân tích I thành giao iđêan nguyên tố không bao hàm Từ tính phân tích vậy, ta thấy tập iđêan nguyên tố phải tập I1 , , I r Vì vậy, ta phải có Q I j Từ suy I j iđêan nguyên tố cực tiểu c Hệ Cho A vành Noether Mọi iđêan I A có số hữu hạn iđêan I giao iđêan nguyên tố nguyên tố cực tiểu Ví dụ: Cho f đa thức bậc dương K X f g1m g rm r phân tích f thành tích đa thức bất khả quy Dễ thấy f g , , g g g r r Vì g1 , , g r iđêan nguyên tố cực tiểu f 3.2.6 Tính Noether vành đa thức a Định lý Hilbert Nếu A vành Noether vành đa thức A x vành Noether Chứng minh: Giả sử I iđêan A x + Trường hợp 1: Nếu I I Suy I hữu hạn sinh Vũ Thị Huyền 30 K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp + Trường hợp 2: Nếu I ta cần I hữu hạn sinh Ta chứng minh phản chứng Giả sử I không hữu hạn sinh Gọi f1 đa thức khác bậc thấp I Xuất phát từ đa thức f1 ta chọn dãy vô hạn đa thức f1 , , f n I có bậc tăng dần cho f j I \ f1 , , f j (1) có bậc thấp tất đa thức thuộc I \ f1 , , f j Gọi hệ tử cao f i Do A vành Noether nên iđêan J a1 , , , hữu mi deg f i n hạn sinh Tức tồn đủ lớn để J a1 , , an Kí hiệu i 1, , n Xét f n x, y bx d , b A, b có bậc d n Do b J b i (*) , i A i Xét đa thức g f n f1 x d m f x d m n f n x d m n Do f1 có hạng tử cao a1 x m nên hạng tử cao f1 x d m 1 1a1 x m x d m 1a1 x d Tương tự hạng tử cao f x d m a2 x d 1 Hạng tử cao n f n x d m n an x d n n Suy hạng tử cao n f x i d mi i i deg g deg f n Mặt khác x d i x d b ( theo (*) ) Suy i n f x i i d mi f1 , , f n Và theo (1) ta có i f n I \ f1 , , f n g I \ f1 , , f n Điều mâu thuẫn với f n đa thức có bậc thấp thuộc I \ f1 , , f n Vậy điều giả sử sai Suy I hữu hạn sinh tức A x vành Noether b Định lý sở Hilbert Vành đa thức nhiều biến R x1 , , xn có hệ số vành Noether R vành Noether Vũ Thị Huyền 31 K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp Chứng minh R vành Noether.Theo định lý R x vành Noether Mở rộng phương pháp quy nạp có R x1 , , xn vành Noether c Hệ + Nếu K trường vành đa thức nhiều ẩn vành Noether + Mọi iđêan vành đa thức K x trường K hữu hạn sinh * Nhận xét : R vành Noether iđêan bất khả quy iđêan nguyên sơ d Mệnh đề Mọi iđêan vành Noether R phân tích thành giao hữu hạn iđêan bất khả quy giao hữu hạn iđêan nguyên sơ Chứng minh : Xét tập F tất iđêan R không giao hữu hạn iđêan bất khả quy giả sử F Do R vành Noether nên tồn F phần tử cực đại iđêan I Khi đó, I phải iđêan bất khả quy tức tồn iđêan I1 , I cho I I1 , I I1 , I I , I I I I1 I Do I1 , I F nên I1 , I giao hữu hạn iđêan bất khả quy Suy I biểu diễn thành giao hữu hạn iđêan bất khả quy ( mâu thuẫn giả thiết I F ) Suy điều phải chứng minh e Mệnh đề Cho I iđêan R Khi R vành Noether I R / I vành Noether *NX: Bây ta dùng tính Noether vành đa thức để nghiên cứu tập đại số 3.2.7 Định lý (a) Mọi tập đại số giao số hữu hạn tập dạng Z f Vũ Thị Huyền 32 K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp (b) Mọi chuỗi giảm tập đại số V1 V2 V j dừng (có nghĩa V j V j từ số j trở đi) (c) Mọi tập hợp không rỗng tập đại số có tập đại số cực tiểu (không nằm tập đại số tập hợp đó) Chứng minh (a) Cho V tập đại số tuỳ ý Khi IV có hệ sinh hữu han S Vì V Z IV Z S Z f f S (b) Gọi I j iđêan V j Ta thấy : I1 I I j chuỗi tăng iđêan K X Theo định lý điều kiện tương đương vành Noether ta có I j I j V j V j từ số j trở (c) Cho V j tập hợp không rỗng tập đại số Ta thấy tập iđêan I có iđêan cực đại I Vj V Khi V V IV tập đại số cực tiểu tập V j Nhận xét: Mệnh đề (a) phát biểu dạng : Mọi tập mở U k n hợp hệ hữu hạn tập mở dạng D f k n \ Z f Định nghĩa: Cho T điểm tuỳ ý k n Ta gọi hệ tập U i k n phủ T T U i a Hệ Mọi hệ tập mở U i phủ T chứa hệ hữu hạn phủ T Vũ Thị Huyền 33 K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp Chứng minh Theo nhận xét ta giả thiết U i D f i i Gọi I iđêan sinh đa thức f i Trong hệ đa thức fi ta tìm thấy hệ hữu hạn f1 , , f s cho I f1 , , f s Khi đó: T D fi k n \ Z fi k n \ Z I = k n \ Z f1 Z f s = D f1 D f s Chú ý : Người ta gọi tính chất tô pô Zariski tựa compact Sau đây, ta thấy việc nghiên cứu tập đại số quy việc nghiên cứu số hữu hạn tập bất khả quy Định nghĩa: Cho V tập đại số Một tập bất khả quy W V gọi cực đại V W không nằm tập bất khả quy khác V b Định lý ( định lý phân tích ) Mọi tập đại số V phân tích thành hợp số hữu hạn tập bất khả quy không bao hàm Các tập bất khả quy xác định cách chúng tập bất khả quy cực đại V Chứng minh Ta có IV I1 I r I1 , , I r iđêan nguyên tố cực tiểu IV Đặt V j Z I j Theo mối liên hệ iđêan tập đại số V V1 Vr IV IV IV Do IV IV I1 nên tồn iđêan r 1 r IV I1 Khi I j I1 Từ tính cực tiểu I1 ta suy j IV I1 j Tương tự , ta có IV I j , j 2, , r Vì V1 , ,Vr tập bất j khả quy Do iđêan I1 , , I r không bao hàm iđêan nguyên tố Vũ Thị Huyền 34 K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp cực tiểu IV nên tập V1 , ,Vr không bao hàm tập bất khả quy cực đại V Bây ta phải chứng minh phân tích V xác định mộtcách Nếu ta có phân tích khác V thành hợp tập bất khả quy không bao hàm V W1 Ws IV IW IW s phân tích IV thành giao iđêan nguyên tố không bao hàm Các iđêan nguyên tố phải I1 , , I r tập bất khả quy W1 , ,Ws phải V1 , ,Vr (đây điều phải chứng minh) Định nghĩa: Các tập bất khả quy xuất phân tích tập đại số V thành hợp tập bất khả quy không bao hàm gọi thành phần bất khả quy củaV c Bổ đề Tập iđêan thành phần bất khả quy V tập iđêan nguyên tố chứa IV tối tiểu +Ví dụ : Cho f đa thức bậc dương K X f g1m g rm r phân tích f thành tích đa thức bất khả quy Nếu K trường đóng đại số I Z f f g g Do g , , g 1 r r iđêan nguyên tố chứa I Z f tối tiểu nên siêu mặt Z g1 , , Z g r thành phần bất khả quy siêu mặt Z f Vũ Thị Huyền 35 K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp Bài tập Bài 1: Cho A vành Noether I iđêan A Chứng minh I bất khả quy I nguyên sơ có nghĩa ab I b I ta phải có luỹ thừa a n I Chứng minh Giả sử I bất khả quy Theo định nghĩa iđêan nguyên sơ I R Giả sử a, b R thoả mãn ab I , b I Khi đó: I : a I : a I : a i dãy tăng iđêan R Do R vành Noether nên n I :a I :a , n n I I an Ta chứng minh Rõ ràng I I an Cho I b (1) r I a I b Suy ra, I b cho n tồn g , h I c, d R cho: r g ca n h db ga ca n1 dba Do ab, g , h I ca n dba ga I c I : a n I : a n Suy r g ca n I Do I Từ (1) (2) I I a n an I b I (2) I b Do I bất khả quy , I I b ( b I ) nên I I a n a n I Như ab I , b I n : a n I Vậy I bất khả quy I nguyên sơ Bài 2: Chứng minh vành vành Noether Chứng minh Trước hết ta chứng minh : Trong vành iđêan nguyên tố khác cực đại Giả sử P iđêan nguyên tố khác Do X vành nên Vũ Thị Huyền 36 K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp P p Mà P iđêan nguyên tố khác suy p phần tử nguyên tố.Mặt khác, phần tử nguyên tố bất khả quy suy p phần tử bất khả quy Giả sử I iđêan X , p I Do X vành nên I a a |1 p a p ab Mà p bất khả quy nên b |1 Suy I p I X Vậy iđêan P p cực đại Theo định lý điều kiện tương đương vành Noether, ta suy X vành Noether Vũ Thị Huyền 37 K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp Kết luận Khoá luận Định lý sở Hilbert phần tiếp cận số vấn đề Đại số đại Đó phần cấu trúc quan trọng đại số Toán học Khoá luận có ý nghĩa quan trọng việc nghiên cứu sâu số vấn đề Đại số, làm tài liệu tham khảo Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu , thời gian lực thân hạn chế nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong góp ý thầy cô, bạn sinh viên bạn đọc để khoá luận hoàn thiện Cuối em xin chân thành cảm ơn hướng dẫn tận tình thầy giáo Nguyễn Huy Hưng thầy cô giáo giúp đỡ em thời gian thực khóa luận Hà Nội , ngày 06 tháng 05 năm 2010 Sinh viên Vũ Thị Huyền Vũ Thị Huyền 38 K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp Tài liệu tham khảo 1.Nguyễn Tự Cường (2003), Đại số đại, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2.Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính sở Grobner, NXB ĐHQG Hà Nội 3.Nguyễn Trọng Huệ (2001), Đại số đại cương, NXB Đại học quốc gia, HàNội 4.Nguyễn Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo dục, Hà Nội 5.Nguyễn Tiến Quang (2001), Cơ sở lý thuyết mô đun vành, NXB Giáo dục, Hà Nội Vũ Thị Huyền 39 K32B - SP Toán [...]... f và I , g là những iđêan căn lớn hơn I nên chúng là giao của các iđêan nguyên tố chứa chúng Từ đây, ta suy ra I là giao của các iđêan nguyên tố chứa I (mâu thuẫn với cách chọn I S ) Vũ Thị Huyền 24 K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Chương 3 Định lý cơ sở của Hilbert Theo định nghĩa thì tập đại số là tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức Một hệ như vậy có thể gồm một... hơn I Nhận xét: Từ định lý cho thấy mọi iđêan lớn nhất trong tập các iđêan thực sự của A đều là iđêan nguyên tố và các iđêan này là các iđêan cực đại của A Từ đó ta có thể phát biểu thành định lý sau: Vũ Thị Huyền 16 K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp b Định lý : Trong vành giao hoán X luôn tồn tại ít nhất một iđêan cực đại Chứng minh Đặt B { A | A là iđêan của X , A X } thì... f1 , , f n Vậy điều giả sử là sai Suy ra I hữu hạn sinh tức A x là vành Noether b Định lý cơ sở của Hilbert Vành đa thức nhiều biến R x1 , , xn có hệ số trong một vành Noether R luôn là vành Noether Vũ Thị Huyền 31 K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Chứng minh R là vành Noether.Theo định lý trên thì R x là vành Noether Mở rộng bằng phương pháp quy nạp có R x1 , , xn là... thực sự của X đều nằm trong một iđêan cực đại Chứng minh Giả sử A là iđêan của X, A X Tồn tại vành thương X / A x A | x X X / A là vành giao hoán ( do A là vành giao hoán) X / A tồn tại ít nhất một iđêan cực đại I A là iđêan của X / A ( A là phần tử không của X / A mà iđêan không là iđêan của X / A ) Vũ Thị Huyền A I 17 K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp d Định lý Tập... biệt căn của iđêan 0 được Khóa luận tốt nghiệp gọi là căn luỹ linh của X và kí hiệu Rad X Rad X x X | n : x n 0 Một phần tử của Rad X được gọi là phần tử luỹ linh của X Ví dụ: Phần tử 0 là luỹ linh của X vì 0 Rad X 2.1.4 Tiêu chuẩn để iđêan căn là iđêan nguyên tố Ta thấy rằng : Mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan căn Ta có tiêu chuẩn sau để iđêan căn là iđêan nguyên tố a Định lý: Cho I... các iđêan nguyên tố cực tiểu của I Dễ thấy rằng Min I Min I b Định lý: Cho A là vành Noether Mọi iđêan căn I A đều có thể phân tích được thành giao của một số hữu hạn các iđêan nguyên tố không bao hàm nhau Các iđêan này được xác định một cách duy nhất và chúng chính là các iđêan nguyên tố cực tiểu của I Chứng minh: Gọi S là tập hợp tất cả các iđêan căn không là giao của một số hữu hạn các iđêan... iđêan của X , 0 X 0 B Giả sử B/ là một xích của B , B / Ai | i 1,2, A1 A2 A3 , Ai B ( tức là Ai là iđêan của X , Ai X ) Đặt A/ Ai thì A/ là iđêan của X ( quan hệ " " là quan hệ bao hàm) i 1 A/ X vì nếu A/ X A/ chứa 1 hay 1 A/ Ai i 1, để i 1 1 Ai Ai X ( mâu thuẫn với cách định nghĩa tập hợp B ) A/ là chặn ( vì Ai Ai ) Vậy mọi xích bất kì của B đều có cận trên trên của xích... trên của tô pô Zariski là tựa compact Sau đây, ta sẽ thấy việc nghiên cứu các tập đại số có thể quy về việc nghiên cứu một số hữu hạn các tập bất khả quy Định nghĩa: Cho V là một tập đại số Một tập bất khả quy W V được gọi là cực đại trong V nếu W không nằm trong bất kì một tập bất khả quy nào khác trong V b Định lý ( định lý phân tích ) Mọi tập đại số V đều có thể phân tích được thành hợp của một... phương trình Vấn đề này tương đương với tính hữu hạn của các iđêan trong vành đa thức nhiều biến trên K Đó chính là nguồn gốc ra đời của lý thuyết về vành Noether, một loại vành mà mọi đêan của nó đều hữu hạn sinh Vũ Thị Huyền 26 K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 3.2.1 Định nghĩa: Vành A được gọi là vành Noether nếu mọi iđêan của A đều hữu hạn sinh 3.2.2 Ví dụ X - trường là vành... đại Iđêan thực sự A của X được gọi là iđêan cực đại nếu tồn tại iđêan B của X mà A B thì B X Nhận xét : Trong một trường thì iđêan nguyên tố cũng là iđêan cực đại Ví dụ : Iđêan nZ của Z (với n là nguyên tố) vừa là iđêan nguyên tố vừa là iđêan cực đại c Khái niệm iđêan căn: Cho A là iđêan của X tập Rad ( A) là tập hợp x X | n : x n A được gọi là căn của A ( RadA là iđêan của X ) Vũ Thị Huyền ... luận tốt nghiệp Chương Định lý sở Hilbert Theo định nghĩa tập đại số tập nghiệm hệ phương trình đa thức Một hệ gồm số vô hạn phương trình Tuy nhiên, ta thấy tập đại số xác định hệ hữu hạn phương... cực đại Theo định lý điều kiện tương đương vành Noether, ta suy X vành Noether Vũ Thị Huyền 37 K32B - SP Toán Trường ĐHSPHà Nội Khóa luận tốt nghiệp Kết luận Khoá luận Định lý sở Hilbert phần... nghiên cứu số hữu hạn tập bất khả quy Định nghĩa: Cho V tập đại số Một tập bất khả quy W V gọi cực đại V W không nằm tập bất khả quy khác V b Định lý ( định lý phân tích ) Mọi tập đại số V phân