Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 34 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
34
Dung lượng
658,96 KB
Nội dung
ào Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p L ic m n Trong th i gian h c t p t i khoa Toán - Tr N i 2, đ thu đ b ng i h c s ph m Hà c s d y d , ch b o t n tình c a th y giáo, cô giáo, em ti p c nhi u tri th c khoa h c, kinh nghi m ph ng pháp h c t p m i, c đ u làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c Qua đây, em xin g i l i c m n sâu s c t i tồn th th y, khoa Tốn – nh ng ng tr i ln ch m lo, dìu d t cho chúng em ng thành nh hôm c bi t, em xin chân thành c m n th y NCS Nguy n Huy H ng, ng i tr c ti p h ng d n, ch b o đóng góp nhi u ý ki n quý báu th i gian em th c hi n khoá lu n Sinh viên Xuân Ti m Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p L i cam đoan Khố lu n c a em đ c hồn thành d is h ng d n c a th y NCS Nguy n Huy H ng v i s c g ng c a b n thân Trong trình nghiên c u, em có tham kh o m t s tài li u c a m t s tác gi (đã nêu m c tài li u tham kh o) Em xin cam đoan nh ng k t qu khoá lu n k t qu nghiên c u c a b n thân, không trùng v i k t qu c a tác gi khác N u sai em xin hoàn toàn ch u trách nhi m Sinh viên Xuân Ti m Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p M cl c Trang M đ u…………………………………………………………………… Ch Ch ng nh ng Ki n th c b tr ……………………………… 1.1 a th c………………………………………………………… 1.2 Hàm h u t …………………………………………………… 1.3 S đ i s ……………………………………………………… ng nh lí siêu vi t Hermite - Lindemann………… 13 2.1 M t s b đ ………………………………………………… 13 2.2 nh lí siêu vi t Hermite - Lindemann……………………… 17 2.3 M t s h qu ………………………………………………… 28 K t lu n………………………………………………………………… 31 Tài li u tham kh o…………………………………………………… 32 Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p M đ u Vào kho ng 287 - 212 tr c CN, nhà toán h c c Hi L p Archimède tìm s , d a vào nh ng cơng trình hình h c c a ơng nh m tìm t quan gi a đ dài đ ng tròn đ th k XVIII, Euler nhà toán h c ng ng kính c a ng n cu i th k XVII đ u i Th y S đ a s e Khi s s e đ i, có vai trị quan tr ng Toán h c, V t lý h c c m t s l nh v c k thu t Ta bi t s s e nh ng s siêu vi t, nh ng th c s đ ch tính siêu vi t c a hai s không ph i đ n gi n Vào n m 1882, nhà Toán h c ng i c Lindemann ch ng minh đ nh lí siêu vi t Hermite – Lindemann k t qu th t đáng ng c nhiên vi c ch s s e s siêu vi t th t d dàng d a vào đ nh lí V i mong mu n đ s s e, b ch n đ tài “ c nghiên c u tìm hi u sâu h n tính siêu vi t c a c đ u làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c, em nh lí siêu vi t Hermite – Lindemann ” N i dung c a lu n v n g m hai ch ng: Ch ng Nh ng ki n th c b tr Ch ng Trong ch nh lí siêu vi t Hermite – Lindemann ng 1, tơi trình bày m t s ki n th c c b n v đa th c, nghi m c a đa th c; hàm h u t đ c bi t khái ni m s đ i s , s siêu vi t Trong ch ng 2, đ a b đ đ s d ng vi c ch ng minh đ nh lí siêu vi t Hermite-Lindemann đ a m t s h qu c a Ph ng pháp nghiên c u c a đ tài đ c tài li u trao đ i nghiên c u Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p Ch ng Nh ng ki n th c b tr 1.1 a th c nh ngh a 1.1.1 M t hàm s d ng f(x) = axn g i m t đ n th c, v i a m t s b t kì (tr ng h p chung nh t s ph c), x bi n đ c l p n m t s nguyên không âm, a đ c g i h s c a đ n th c, n đ c g i b c c a đ n th c nh ngh a 1.1.2 M t hàm s P x g i m t đa th c, n u có th bi u di n nh t ng h u h n nh ng đ n th c, ngh a là: P x a1 xn1 a xn2 a k xnk , a1, a2 , , a k nh ng s b t k , n1, n2,…,nk nh ng s nguyên không âm nh ngh a 1.1.3 N u đa th c P(x) vi t d i d ng: P(x) = a0 xn + a1xn-1 + …+an-1x + an, a0 0, ta nói r ng đ d c vi t theo b c c a x ho c bi u di n i d ng chu n t c Các s a0, a1,…, an g i h s c a đa th c S a0 h s b c cao nh t s an g i h s t S n g i b c c a đa th c kí hi u là: deg P(x) = n Ví d 1.1.1 Hãy vi t d ng chu n t c c a đa th c sau: a, P(x) = (x - 1)4 - x3, b, P(x) = (x - 2) (x2 + 1), c, P(x) = (2 - ix2)2+ (2 + i )x3 + i x2 L i gi i a, P(x) = x4 - 4x3 + 6x2 - 4x + - x3 = x4 - 5x3 + 6x2 - 4x +1, b, P(x) = x3+ x - 2x2 - Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p = x3 - 2x2 + x - 2, c, P(x) = - i x2 - x4 + (2 + i ) x3 + ix2 = - x4 + (2 + i )x3 - 3ix2 + 0.x + M t s tính ch t Cho P(x) Q(x) nh ng đa th c Khi đó, ta có m t s tính ch t sau: 1, Tính c a hai đa th c P(x) Q(x) m t đa th c R(x), ta có: degR(x)= degP(x) + degQ(x) 2, T ng (hi u) c a hai đa th c P(x) Q(x) m t đa th c R(x), ta có: degR(x) = Max{degP(x); degQ(x)} nh ngh a1.1.4 Cho đa th c P(x) có b c l n h n ho c b ng Khi đó, m t s g i nghi m c a đa th c n u P( ) = Ví d 1.1.2 Hãy tìm nghi m c a đa th c : a, P(x) = x3 - 3x + 2, b, P(x) = x2 - 2x + L i gi i a,Ta có P(x) = x3 -3x + = (x - 1)2 (x + 2) x 1 P(x) = x 2 V y nghi m c a đa th c trùng nhau, nh ng giá tr : x = x = -2 b, Ta có P(x) = x2 – 2x +2 ' = - = -1 < a th c khơng có nghi m th c Nh ng ta l i có -1 = i2 nên đa th c có hai nghi m ph c là: x= + i x = – i nh lí 1.1.1 M i đa th c P(x) = a0xn +a1xn-1 + …+an-1x+an có th bi u di n d i d ng : 10 Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p P(x) = a0 (x - ) (x - ) … (x - n ), , , …, n nh ng nghi m c a đa th c nh lí 1.1.2 M i đa th c b c n ( n * ) đ u có khơng q n nghi m nh lí 1.1.3 M i đa th c b c n ( n * ) đ u có n nghi m ph c Công th c Viéte Cho P ( x) a0 xn a1 xn1 an1 x a n m t đa th c b t k P ( x) a x 1 x x n , 1 , , , n nh ng nghi m c a đa th c Khi đó, ta có cơng th c Viéte: 1 + + … + n = - a1 a0 + + … + n + + … + n 1 n = … k + …+ n k 1 nk … n = (-1)k a2 a0 ak a0 ……………………… … n = (-1)n an a0 nh ngh a 1.1.5 M t hàm s d ng x1 , x2 , , xk ax1n x2n xkn , a m t s ( tr k ng h p chung nh t m t s ph c), x1 , x2 , , xk nh ng bi n s , n1, n2 ,…,nk nh ng s nguyên không âm, đ c g i m t đ n th c c a nh ng bi n x1 , x2 , , xk S a g i h s c a đ n th c, s n = n1+ n2 + …+ nk g i b c c a đ n th c Kí hi u : deg x1 , x2 , , xk n1 n2 nk Nh ng s n1, n2,…, nk g i b c c a đ n th c ng v i nh ng bi n x1 , x2 , , xk nh ngh a 1.1.6 Hai đ n th c g i đ ng d ng, n u chúng ch khác v h s 11 Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p nh ngh a 1.1.7 M t hàm s P x1 , x2 , , xk g i m t đa th c nhi u bi n, n u có th bi u di n nh t ng c a h u h n nh ng đ n th c, ngh a là: P x1 , x2 , , xk = a1 x1n x2n … xkn + … + an x1l x2l … xkl , k k a x1n x2n … xkn ,…, a n x1l x2l … xkl đ n th c c a nh ng bi n k k x1, x2,…, xk nh ngh a 1.1.8 Cho m t đa th c nhi u bi n P x1 , x2 , , xk a th c g i đa th c đ i x ng, n u v i m i hoán v s i1, i2, … ik c a s 1,2, …, k đ u tho mãn đ ng th c sau: P xi1 , xi2 , , xik P x1 , x2 , , xk Nói cách khác, m t đa th c đ i x ng n u khơng thay đ i thay đ i vai trò c a bi n cho d ng khai tri n c a Ví d 1.1.3 a th c sau đ i x ng P(x1,x2,x3) = x12 + x12 + x32 - x1x2x3 d dàng ki m tra nh ng đ ng th c sau đúng: P(x1,x2,x3) = P(x1,x2,x3) = P(x2,x1,x3) = P(x2,x3,x1) = P(x3,x1,x2) = P(x3,x2,x1) nh ngh a 1.1.9 Nh ng đa th c sau g i nh ng đa th c đ i x ng c s : 1 = x1 + x2 + … + xk, = x1x2 + x1x3 + … + x1xk + … + xk-1xk, ………… m = x1x2…xm +…+ xk-m+1 xk-m+2…xk, k = x1x2…xk nh lí 1.1.4 ( nh lí c b n cho nh ng đa th c đ i x ng) M i đa th c đ i x ng có th bi u di n nh đa th c c a nh ng đa th c đ i x ng c s s bi u di n nh t 12 Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p H qu 1.1.1 N u 1 , ,…, k k nghi m c a đa th c v i h s h u t P(x1,x2,…,xk) m t đa th c đ i x ng v i h s s h u t , ta có: P( 1 , ,…, k ) m t s h u t 1.2 Hàm h u t nh ngh a 1.2.1 Hàm h u t hàm d ng R x = P ( x) , P ( x) Q ( x) Q ( x) nh ng đa th c: P ( x) = a0 xn a1xn1 a n1x a n Q( x) b0 xm b1xm1 bm1x bm , v i a , a1 ,…, a n ; b0 , b1 ,…, bm nh ng h ng s (tr ng h p chung nh t s ph c), g i h s c a hàm h u t , a , b0 , n m nh ng s nguyên không âm Hàm h u t R( x) xác đ nh v i m i x mà làm cho Q( x) nh ngh a 1.2.2 Hàm h u t g i hàm h u t chu n n u b c c a đa th c t nh h n b c c a đa th c m u Ví d 1.2.1 Các hàm sau hàm h u t a) R( x) x3 x , x2 x b) R( x) x 1 x 2x 2 nh ngh a 1.2.3 Hàm h u t nguyên tên g i khác c a đa th c Ta th y hàm h u t nguyên tr ng h p riêng c a hàm h u t (v i đa th c m u đa th c b c 0) 13 Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p áp d ng H qu 1.1.1 Ta suy k nh ng s h u t = 1, 2, … Theo đó, n u g(x) m t hàm h u t c a x có h s s nguyên h u t , t ng C1g( ) + C2g( ) +….+ Cng( n ) bao g m h s k m t s h u t ng v i (3) tr thành: Be Bme , s r r , , s m thành ph n b t kì 1 ,…, M Khi đó, bi u th c có ch a bi u th c: B1 e 1 + …+ BM e m , (2) nên ta có tích ng v i b ng 0, hay ta có: C1 e + C2 e + …+Cn e n = (6) H n n a, v i m i hàm h u t nguyên g(x) có h s s nguyên h u t , ta ln có: C1g( ) + C2g( )+ + C ng( n ) m t s h ut (7) + Do s ,…, n s đ i s đơi m t khác nên ta có th xem s nh nghi m c a ph ng trình: xN + r1xN-1 + r2xN-2+…+ rN-1x + rN = 0, (8) h s r1, r2,…,rN-1, rN s h u t , N n khơng có nghi m b i Ta nhân ph ng trình v i HN , H m u s chung nh nh t c a h s r1,…,rN thu đ c ph ng trình m i t ng đ ng: (Hx)N + Hr 1(Hx)N-1 + …+ HN-1rN-1(Hx) + HNr N = Thay Hx ta vi t X g i s nguyên Hr1, H2r2,…,HNrN g1, g2,…,gN ta đ c ph ng trình: XN + g1 XN-1 + g2XN-2 + …+ gN-1X + gN = t f X = XN + g1XN-1 + g XN-2 +…+ gN-1X + gN Khi ta có f X đa th c v i h s nguyên 23 Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p N u 1 , 2 , , N nghi m c a ph ng trình f X , lúc theo nh lí 1.1.1 Ta có : f ( X ) X 1 ( X 2 ) ( X N ) Do , ,…, n nghi m c a ph nghi m c a ph ng trình (8) nên H , H ,…,H n ng trình f X = Khơng m t tính t ng qt ta có th coi 1 = H , =H ,…, n = H n Vì 1 , ,…, n nghi m c a đa th c v i h s nguyên, nên 1, 2 , , n bi u di n s đ i s nguyên Khi áp d ng k t qu c a (7), ta có: C1g(1 ) + C2g(2 ) + + C ng( n ) m t s nguyên h u t (9) Ngoài f X ra, ta s xem xét hàm: ( X) f ( X) f ( X) f ( X) X 1 X X N ( X )( X 3 ) ( X N ) ( X 1 )( X 3 ) ( X N ) ( X 1 )( X ) ( X N 1 ) NX N 1 N1 X N 2 N2 X N 3 NN 2 X NN 1 Khi đó, ta có (1 ) , (2 ) , , ( N ) h s N, N1, N2 , , NN 2 , NN 1 đa th c đ i x ng c a bi n 1 , ,…, N áp d ng H qu 1.1.1 ta suy N, N1 , N2 , , NN 2 , NN 1 s h u t Xét t ng: C1 (1 ) C2 (2 ) Cn (n ) , n u t ng b ng áp d ng B đ 2.1.3 Ta ch n đ c s nguyên d ng h (h< n ) cho t ng (nguyên) C11h (1 ) C22h (2 ) C1nh (n ) t G = C11h (1 ) C2h2 (2 ) C1hn (n ) G Ti p t c d a vào khai tri n: 24 Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p ex x x2 xv 2! v! Chúng ta nhân H ! vào hai v c a khai tri n ta có: e x H ! H ! H 1 ( 1)!Hx ( 1) 2! H 2 ( 2)!( Hx) x x2 ( Hx) ( Hx) , ( 1)( 2) ti p t c thay Hx b i X ta đ c: e x H ! H ! H 1 ( 1)! X ( 1) H 2 ( 2)! X 2! x2 x X X ( 1)( 2) vi t công th c thu n l i h n, đ a kí hi u mà s đ xác đ nh theo h ng sau: Theo gi đ nh m t s , th chu i lu th a c a đ c thay b ng v!H ng bi n đ i thành cu i s khai tri n Ti p đó, cơng th c c a ta có th vi t theo d ng đ n gi n: x x2 e ( X ) X v (v 1)(v 2) x Ti p đó, n u ta kí hi u x ta có đánh giá sau: x x x x2 v (v 1)(v 2) v (v 1)(v 2) 2 v (v 1)(v 2) 2 2! 1 2 2! 25 c Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p e N u phân s mà e g n v i x x2 v (v 1)(v 2) nh t, ta thu đ c ph ng trình: ex ( X ) e X (10) Chúng ta s khai tri n ti p u t i m c đ có ph n xa h n cho hàm: V( X) X k K1 X k1 K2 X k2 Kk Bi u di n m t hàm h u t nguyên c a X v i h s K1, K2,…,Kk s nguyên h u t Chúng ta thi t l p (10) v i k, k 1, ,1,0 nhân ph ng trình k t qu v i 1, K1, K2,…,Kk ta đ c: ex k ( X )k e X k , K1ex k1 K1 ( X )k1 K1e 1 X k1, K2ex k2 K2 ( X )k2 K2e X k2 , Kkex Kk Kke k , , 1 , , k có vai trị nh mà ta xác đ nh t tr ng v i tr c, nh ng chúng ng h p c th c a k, k 1, , C ng v v i v c a k+ ph ng trình l i v i ta đ c: e x ( k K1 k 1 K2 k 2 Kk ) X K1 X K2 X k k 1 k 2 Kk e X k K11 X k 1 K2 X k 2 Kk k , hay: exV V X e V( X) , (11) V X X k K11 X k1 K2 X k2 Kk k 26 (12) Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p Ta th y v i m i giá tr X c th V X V X N u 1 , , , k nghi m c a ph ng trình V(X) = 0, áp d ng nh lí 1.1.1 ta có: V X X 1 X X k G i d = Ma x X j Khi đó, ta có: j 1,2, , k V X X 1 X X k X 1 X X k dk Suy ra: V X dk (13) Chúng ta áp d ng k t qu (11), (12), (13) vào hàm: V X F X X , q F X X h f X , X X h X , q = p–1, p m t s nguyên t ch n b t kì Ta có: deg f X N deg F X N h , deg X N 1 deg X N h 1 , degV X k N h q N h 1 Bây gi , ph ng trình (11) đ c chuy n thành: e xV V X e d k , d Ma x X j , v i 1 , , , k k nghi m c a ph j 1,2, , k ng trình V X 0, V X F X X m t phân s mà d k q g n v i V X nh t 27 Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p Bây gi , ta cho x giá tr X giá tr ( s b t kì t t i n), ng v i d d giá tr l n nh t c a k t ng: j , j 1, k Khi đó, n u D bi u th giá tr l n nh t c a 2n s d N h d 2( N h)1 , phân s D d N h e d N h 1 Th t v y: e d 2( N h )1 D D 2( N h ) 1 D e d N h e d N h 1 N h N h d d d D d N h 1 q D N h e d N h1 d q D N h e d N h1 d hay Dq e d k , 1,2, , n Khi đó, ta thu đ c công th c ph n đ n gi n h n: e V V D q , (14) 1,2, , n, ( phân s ) S khai tri n V theo lu th a c a cho ta: V q q 1 , (15) h s , , hàm h u t nguyên c a bi n có h s s nguyên h u t c bi t: , 1,2, , n p Th t v y, ch ng h n v i , ta có: h F 1 1 1 2 1 3 28 Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p 1 1 2 1 3 h 1h 1 2 1 3 1 N 1h 1 , 1 1 h 1 h 1 1 1 3 1 1 2 1 3 h 1h 1 Do đó: V 1 1h 1 1h 1 q q q 1 1h 1 q 1h 1 q p 1 q p V y ng v i ta có: 1 1 p T ng t , ta c ng ch đ c p a s khai tri n (15) vào (14) cu i ta thu đ , 1,2, , n c e V q p p 1 Dq Ti p t c, ta nhân v c a công th c v i C , ti p ta thi t l p v i t t c t đ n n c ng n ph C e 1 ng trình k t qu , ta thu đ c: Cne V C1 1 Cn n q n C1 k 1 Cn k n q k C11 Cnn Dq Theo (6) lúc ta thu đ c: G0 q G1 p G2 p1 Gk qk Dq , 29 (16) Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p G j C1 j 1 Cn j n , j 0, k C11 Cnn Suy ra: n jMax C j Gj s nguyên h u t , j 0, k 1,2, , n Bây gi , thay r b i H r r ! Khi đó, (16) tr thành: G0 H q q! G1H p p! G2 H p 1 p 1! Gk H q k q k ! D q q D G0 q ! G1Hp ! G2 H p 1! Gk H q k ! H k K t h p h ng t ch a p! ta thu đ c ph ng trình: G0q! Gp! AE q, G m t s nguyên, A , E (17) D H Ta tìm m i liên h gi a G0 G Ta có: G0 C1 1 C2 2 Cn n C1 1 C2 2 Cn n , p p p G C11h 1 C22h 2 Cn hn n C1 1 C2 2 Cn n Theo cách ch n s nguyên d ng h ta có G Ta có: G p C1 1 C22 2 Cn n p hay G p C1p 1 C2p 2 Cnp n p, p p p (18) m t s đ i s nguyên Bây gi áp d ng đ nh lí Fermat “ V i m i s nguyên g m i s nguyên t p, ta ln có g p g p ” Ta có: G p – G = gp, g , 30 Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p C1p C1 c1 p , c1 , …………………………… Cnp Cn cn p , cn Do đó, (18) đ c chuy n thành: G gp C1 c1 p 1 C2 c2 p 2 Cn cn p n p p p C1 1 C2 2 Cn n p p p p c1 1 c2 2 cn n p p p p t c1 1 c2 cn n , suy m t s p p p nguyên Khi đó, ta có: G gp G0 p G0 G g p t g g suy g m t nguyên c ng m t s nguyên h u t Khi đó, ta có: G0 G gp Thay (19) vào (17) ta đ (19) c: G g p q! Gp! AE hay q , Gq ! g G p ! AE q, hay n u s nguyên g G đ c kí hi u G ta có: Gq! Gp! AE q hay G Gp A Eq q! (20) Do cách ch n s p nên ta ph i có (20) v i m i s nguyên t p Bây gi , E p 1 Khi đó, ph p 1! ta l y s nguyên t p đ l n cho p G A 31 ng Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p trình (20) ch a mâu thu n là: V trái c a (20) m t s nguyên không chia h t cho p G Gp M t khác theo cách ch n s nguyên t p v ph i c a (20) có giá tr t đ i nh h n hay A sai Suy “ Eq Do u gi s c a ta q! nh lí siêu vi t Hermite – Lindemann ” đ c ch ng minh 2.3 M t s h qu H qu 2.3.1 S e s siêu vi t Th t v y, gi s e không ph i s siêu vi t, suy e ph i s đ i s Ta th y rõ ràng e2 1.e.e e2 c ng s đ i s Khi theo “ nh lí siêu vi t Hermite – Lindemann ”, ta ph i có: e.e3 e2 e2 , (*) ta có: A1 e, A2 e2 , 1 3, 2 Nh ng theo tính ch t c a lu th a v i s m nguyên ta l i có: e.e3 e2 e2 (**) Ta th y (*) (**) mâu thu n v i Do e khơng ph i s đ i s hay nói cách khác e s siêu vi t H qu 2.3.2 S s siêu vi t Th t v y, Euler tìm m i quan h gi a s e s là: ei N u ta gi s s đ i s , ta có i c ng s đ i s Và ta có: 1.ei 1.e0 Ta coi: A1 1, 1 i , A2 1, Khi đó, đ ng th c theo “ nh lí siêu vi t Hermite – Lindemann ” không th t n t i Suy ra, không ph i s đ i s hay nói cách khác s siêu vi t H qu 2.3.3 Không th v b ng compa êke m t hình vng có di n tích b ng di n tích hình trịn 32 Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p Th t v y, gi s hình trịn cho có bán kính b ng 1(đ n v đ dài), suy di n tích hình trịn c n d ng (đ n v di n tích) N u g i c nh c a hình vuông c n d ng x (đ n v đ dài), ta ph i có x= Tuy nhiên, không th d ng đ c b ng compa êke Suy u ph i ch ng minh * Trong h tr c to đ R.Descartes m A = (x0; y0) g i m đ i s n u nh x0 y0 nh ng s đ i s H qu 2.3.4 th hàm s y = ex không qua m đ i s c a m t ph ng tr m A = (0;1) Th t v y, e0 = hai s hai s đ i s , nên đ th hàm s y = ex qua m đ i s A = (0;1) Bây gi ta c n ch A m đ i s nh t mà đ th hàm s y = ex qua Th t v y, gi s B a ; b A 0;1 B m đ i s mà đ th hàm s y = ex qua T đó, suy b = ea hay 1.ea+(-b).e0 = Theo “ vi t Hermite – Lindemann ” u khơng th đ nh lí siêu c Suy u ph i ch ng minh * Nh n xét: Vì m đ i s hi n di n kh p n i theo s l ph ng, đ u nl ng t p trung trù m t m t ng hàm s m hồn thành kì cơng khó kh n phi th ng c a vi c n gi a t t c nh ng m mà không ch m vào b t kì m đ i s tr m (0;1) H qu 2.3.5 th hàm s y = lnx không qua m đ i s c a m t ph ng tr m A = (1;0) Th t v y, A = (1;0) m đ i s có ln1= suy đ th hàm s y= lnx qua m đ i s A = (1;0) Bây gi ta c n ch đ th hàm s y=lnx không qua m đ i s khác m A Gi s B a ; b A 1;0 B m đ i s mà đ th hàm s y = lnx qua suy b = lna, hay 33 Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p a eb 1.eb a e0 Theo “ nh lí siêu vi t Hermite – Lindemann ” u không th Suy u ph i ch ng minh *Nh n xét: Ta có th lí gi i u d a vào đ th hàm s y = ex nh sau: Ta th y đ th c a hàm s y = ex y = lnx đ i x ng qua đ ng phân giác y = x (Theo đ nh ngh a hàm s lôgarit theo đ nh lí v hàm s ng c nhau) Do đ th y = ex ch qua di m đ i s nh t (0;1) nên đ th hàm s y=lnx ch qua m t m đ i s nh t (1;0) H qu 2.3.6 th hàm s y = sinx không qua m đ i s c a m t ph ng tr m nút (0;0) Th t v y, (0;0) m đ i s có = sin0, suy đ th hàm s y = sinx qua m đ i s (0;0) Bây gi ta c n ch m nút (0;0) m đ i s nh t mà đ th hàm s y=sinx qua Th t v y, gi s đ th hàm s y = sinx qua m đ i s ; 0;0 Khi đó, ta có sin M t khác, ta l i có: i cos i sin e 2i sin ei ei i cos i sin e V y, ta có: 2i 2iei 2iei 2iei 2i ei 2i e0 Theo “ nh lí siêu vi t Hermite – Lindemann ” u không th Suy u ph i ch ng minh 34 Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p K t lu n Nghiên c u đ tài d a ki n th c c b n v i s , lu n v n đ a h th ng nh ng ki n th c b tr phù h p đ gi i quy t đ c n i dung ch ng minh đinh lí siêu vi t Hermite - Lindemann rút đ c nh ng h qu r t quan tr ng i s Nh v y, đ tài “ Lindemann” hoàn thành n i dung đ t đ B nh lí siêu vi t Hermite – c m c đích nghiên c u c đ u làm quen v i nghiên c u khoa h c h n ch v th i gian ki n th c nên lu n v n kh i nh ng sai sót Em r t mong th y giáo, giáo, b n sinh viên đóng góp ý ki n, trao đ i đ lu n v n hoàn thành t t h n Hà N i, Ngày 10 tháng 05 n m 2007 Sinh viên Xuân Ti m 35 Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p Tài li u tham kh o Nguy n H u i n (2003), a th c ng d ng, Nxb Giáo d c, Hà N i Ngô Thúc Lanh (1987), i s s h c-t p3, Nxb Giáo d c, Hà N i Hồng Xn Sính (2003), S đ i s -t p1,2, Nxb i h c s ph m, Hà N i V ng Thông (2004), Lý thuy t Galoa ng d ng, i h c s ph m Hà N i 2, V nh Phúc Trung tâm t v n xu t b n (1999), 100 toán quan tr ng nh t toán s c p, Nxb Giao thông v n t i, Hà N i 36 Xuân Ti m Khoá lu n t t nghi p 37 ... P(x) = (x - 1)4 - x3, b, P(x) = (x - 2) (x2 + 1), c, P(x) = (2 - ix2)2+ (2 + i )x3 + i x2 L i gi i a, P(x) = x4 - 4x3 + 6x2 - 4x + - x3 = x4 - 5x3 + 6x2 - 4x +1, b, P(x) = x3+ x - 2x2 - Xuân Ti... 1(Hx)N-1 + …+ HN-1rN-1(Hx) + HNr N = Thay Hx ta vi t X g i s nguyên Hr1, H2r2,…,HNrN g1, g2,…,gN ta đ c ph ng trình: XN + g1 XN-1 + g2XN-2 + …+ gN-1X + gN = t f X = XN + g1XN-1 + g XN-2 +…+ gN-1X... 1.3 S đ i s ……………………………………………………… ng nh lí siêu vi t Hermite - Lindemann? ??……… 13 2.1 M t s b đ ………………………………………………… 13 2.2 nh lí siêu vi t Hermite - Lindemann? ??…………………… 17 2.3 M t s h qu …………………………………………………