Toán tử chiếu và áp dụng giải bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM - PHẠM HÙNG KHÁNH TOÁN TỬ CHIẾU VÀ ÁP DỤNG GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2013 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––––– PHẠM HÙNG KHÁNH TOÁN TỬ CHIẾU VÀ ÁP DỤNG GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG Chuyên nghành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH LÊ DŨNG MƢU Thái Nguyên – 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tôi, kết trình bày luận văn hoàn toàn trung thực, tác giả cho phép sử dụng luận văn hoàn toàn không trùng lặp với tài liệu khác Tác giả Phạm Hùng Khánh Mục Lục Mục lục i Lời cảm ơn ii Mở đầu Chƣơng Tập lồi hàm lồi không gian Hilbert 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian tiền Hilbert 1.1.2 Không gian Hilbert 1.1.3 Các ví dụ 1.1.4 Một số tính chất 1.2 Tập lồi hàm lồi không gian Hilbert 10 1.2.1 Tập lồi 10 1.2.2 Hàm lồi 14 Chƣơng Phép chiếu không gian Hibert 19 2.1 Định nghĩa ví dụ 19 2.2 Các tính chất 26 2.3 Một số trƣờng hợp cụ thể 28 Chƣơng Áp dụng giải toán cân 32 3.1 Bài toán cân 32 3.1.1 Phát biểu toán cân 32 3.1.2 Những trường hợp đặc biệt toán cân 35 3.2 Phƣơng pháp chiếu giải toán cân 48 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS.TSKH Lê Dũng Mưu người thầy tận tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ tác giả trình làm khóa luận để tác giả hoàn thành khóa luận Tác giả xin gửi lời cảm ơn trân thành sâu sắc tới thầy, cô khoa Toán – Trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Thái Nguyên giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học tập trường Qua tác giả xin trân thành cảm ơn tới người thân gia đình động viên tạo điều kiện giúp đỡ mặt suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Mặc dù có nhiều cố gắng, nhiên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong đóng góp ý kiến quý thầy, cô để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 03 năm 2013 Tác giả Phạm Hùng Khánh MỞ ĐẦU Giải tích lồi môn học giải tích đại, nghiên cứu tập lồi, hàm lồi vấn đề liên quan Bộ môn có vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học ứng dụng, đặc biệt tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, toán cân bằng, v.v nói giải tích lồi môn quan trọng làm sở toán học tối ưu hóa Sau kết H.Minkowski (1910) tập lồi hàm lồi, lý thuyết giải tích lồi thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học, lý thuyết giải tích lồi quan tâm nghiên cứu nhiều khoảng bốn mươi năm trở lại công trình tiếng H.Minkowski, C.Caratheodory, W.Fenchel, J.J.Moreau, R.T.Rockafellar, L.klee, A.Brondsted, W.V.Jensen, G.Choquet nhiều tác giả khác Trong không gian Hilbert, phép chiếu xuống tập lồi đóng có nhiều tính chất quan trọng Việc tồn tính hình chiếu xuống tập lồi đóng sở để chứng minh tồn nhiều toán khác giải tích ứng dụng lý thuyết xấp xỉ, tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân vấn đề khác Trong toán học tính toán nhiều phương pháp giải dựa việc tìm hình chiếu điểm xuống tập lồi Trong trường hợp tổng quát, toán khó giải Tuy nhiên tập lồi có cấu trúc riêng toán giải cách hiệu chương trình phần mềm có sẵn Thậm chí trường hợp đặc biệt, tập lồi hình cầu, siêu hộp, đơn hình, nửa không gian v.v hình chiếu xuống tập tính theo công thức tường minh Mục đích luận văn để nghiên cứu toán tử chiếu không gian Hilbert việc giải toán cân dựa vào phương pháp chiếu Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày khái niệm tính chất không gian Hilbert, tập lồi hàm lồi không gian Hilbert, định lí tách, tính liên tục, vi phân Các kiến thức sử dụng chương sau Chương 2: Xét phép chiếu không gian Hilbert định nghĩa, ví dụ, tính chất số trường hợp cụ thể Chương 3: Giới thiệu toán cân số vấn đề liên quan đến toán như: Các trường hợp riêng quan trọng; tồn nghiệm; dạng tương đương; v v Cuối trình bày thuật toán chiếu gradient xấp xỉ để giải lớp toán cân Chƣơng TẬP LỒI VÀ HÀM LỒI TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Trong chương này, ta trình bày lại số kết dùng cho chương sau Đó kiến thức không gian Hilbert giải tích lồi Nội dung chương trích dẫn chủ yếu từ tài liệu tham khảo 1; 2 ; 3  4 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian tiền Hilbert Định nghĩa 1.1 Cho H không gian trường  Tích vô hướng xác định H ánh xạ xác định sau: .,. : H  H  K , thỏa mãn điều kiện sau đây: ( x, y )   x, y a,  x, y  y, x với x, y  H b,  x  y, z    x, z   y, z với x, y, z  H c,   x, y    x, y với x, y  H ;   K d,  x, x  với x  H  x, x  x  Số  x, y gọi tích vô hướng hai vectơ x y Cặp  H , .,.  gọi không gian tiền Hilbert ( Hay gọi không gian Unita ) Từ định nghĩa ta thấy tích vô hướng .,. dạng song tuyến tính xác định dương H Khi H gọi không gian tiền Hilbert thực Định lí 1.1 Cho H không gian tiền Hilbert với x, y  H , ta có bất đẳng thức sau  x, y   x, x y, y Chú ý 1.1 Bất đẳng thức định lí 1.1 gọi bất đẳng thức Schwarz, bất đẳng thức Schwarz dấu xảy x, y phụ thuộc tuyến tính Định lí 1.2 Cho H không gian tiền Hilbert Khi x   x, x1/2 , x  H xác định chuẩn H 1.1.2 Không gian Hilbert Một không gian tiền Hilbert, xem không gian định chuẩn, đầy đủ không đầy đủ Định nghĩa 1.2 Nếu H không gian tiền Hilbert đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng gọi không gian Hilbert Cũng tương tự trường hợp không gian tiền Hibert, với trường  ta có không gian Hilbert thực 1.1.3 Các ví dụ n 1)  n không gian Hilbert thực với tích vô hướng  x, y  xi yi , i 1 đó: x   x1 , x2 , , xn  , y   y1, y2 , , yn   n 2) Xét không gian:    l  x  ( xn )n  K  xn   2 n 1  Ta biết l không gian Banach với chuẩn x   xn n 1 (1.1) Với x  ( xn )n , y  ( yn )n  l , nhờ bất đẳng thức Buniakowski ta có:   xn yn  x n 1 y    Dễ kiểm tra rằng:  x, y   xn yn xác định tích vô hướng l n 1 cảm sinh (1.1) Vậy l không gian Hilbert 3) Cho ( X , A,  ) không gian độ đo E  A Xét không gian  L2 ( E,  )  f : E    E  f d   ta biết L2 ( E,  ) không gian Banach với chuẩn: f   E f d  Hơn nữa, với f , g  L2 ( E,  ) , từ bất đẳng thức Holder tích phân, ta có:  E fg d    f d E   g d E    Ta dễ dàng kiểm tra f , g   fgd  , E xác định tích vô hướng L2 ( E,  ) L2 ( E,  ) không gian Hilbert thực 1.1.4 Một số tính chất Định lí 1.3: Cho H không gian Hilbert Khi đó: .,. : H  H   hàm liên tục Chứng minh: Cho xn , yn  hai dãy không gian tiền Hilbert H hội tụ x0 , y0 Khi đó, ta có:  xn , yn    x0 , y0    xn , yn    xn , y0    xn , y0    x0 , y0    xn , yn  y0    xn  x0 , y0  (1.2)  xn yn  y0  xn  x0 y0 Theo giả thiết ( xn ) hội tụ H nên bị chặn, nghĩa tồn số M>0 cho: xn  M với n   Vì vậy, ta có:  xn , yn    x0 , y0   M yn  y0  xn  x0 y0 Cho n  , theo giả thiết ta có: lim  xn , yn    x0 , y0   hay lim xn , yn    x0 , y0  n Suy tích vô hướng hàm liên tục n  Định lí 1.4: Với x, y thuộc không gian tiền Hilbert H ta có đẳng thức hình bình hành sau đây: x  y  x  y  2( x  y ) 2 2 (1.3) Chứng minh: Với x, y  H , ta có: x  y   x  y, x  y  x   x, y   y, x  y , (1.4) x  y   x  y, x  y  x   x, y   y, x  y (1.5) 2 2 2 Cộng (1.4) (1.5) ta thu đẳng thức (1.3) Suy điều phải chứng minh  Hệ 1.1: Giả sử H không gian tiền Hilbert x, y , z  H Khi ta có đẳng thức Apollonius: yz 2( x  y  x  z )  x  2 2  yz Chứng minh Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai vectơ x – y x – z ta có điều phải chứng minh Định lí 1.5 Giả sử ( H ,  ) không gian định chuẩn trường  đẳng thức hình bình hành nghiệm với x, y  H :  x y  x y 2 x  y 2 2  Khi đó, với trường  ta đặt  x, y   p ( x, y )   x y  x y , .,. tích vô hướng H ta có  x, x  x , x  H Định lí 1.6 Với không gian tiền Hilbert H tồn không gian Hilbert H chứa H cho H không gian trù mật H Định nghĩa 1.3 Cho D  0 y vec tơ bất kì, đặt: d D ( y ) : inf x  y xD [...]... y  x   x, y   y, x  y (1.5) 2 2 2 2 2 2 Cộng (1.4) và (1.5) ta thu được đẳng thức (1.3) Suy ra điều phải chứng minh  Hệ quả 1.1: Giả sử H là một không gian tiền Hilbert và x, y , z  H Khi đó ta có đẳng thức Apollonius: yz 2( x  y  x  z )  4 x  2 2 2 2  yz 2 Chứng minh Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai vectơ x – y và x – z ta có điều phải chứng minh Định lí 1.5 Giả sử ( H... trường  ta đặt  x, y   p ( x, y )   1 2 x y  x y 4 2 , thì .,. là một tích vô hướng trên H và ta có  x, x  x , x  H 2 Định lí 1.6 Với mọi không gian tiền Hilbert H đều tồn tại một không gian Hilbert H chứa H sao cho H là một không gian con trù mật trong H Định nghĩa 1.3 Cho D  0 và y là một vec tơ bất kì, đặt: d D ( y ) : inf x  y xD