Nội suy toán tử

Lời cảm ơn Để hồn thành khố luận này, em nhận giúp đỡ tận tình, tỉ mỉ Thầy giáo - Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, thầy, giáo tổ Giải tích, khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy Bùi Kiên Cường, người trực tiếp hướng dẫn bảo em suốt q trình làm khố luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo khoa dạy dỗ em bốn năm qua để em hồn thành khố luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2007 Sinh viên Khổng Thị Th Hồng Kho¸ ln tèt nghiƯp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán Li cam oan Khoá luận kết thân em trình học tập, nghiên cứu bậc Đại học Bên cạnh em nhận quan tâm, tạo điều kiện thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình thầy Bùi Kiên Cƣờng Vì vậy, em xin khẳng định kết đề tài “Nội suy tốn tử “ khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng 05 năm 2007 Sinh viên Khổng Thị Thuý Hồng MỤC LỤC Phần mở đầu…………………………………………………………… Một số kí hiệu sử dụng luận văn………………………………… Chương Một số khái niệm kết chuẩn bị……………………… Đ1 Không gian định chuẩn……………………………………… Đ2 Không gian Hilbert…………………………………………… Đ3 Không gian Lp( n ) ……………………………………… Đ4 Không gian hàm khả vi vô hạn giảm nhanh……………… Đ5 Tích chập…………………………………………………… 12 Chương Phép biến đổi Fourier……………………………………… Đ1 Phép biến đổi Fourier không gian L n ( Đ2 Phép biến đổi Fourier không gian S( Đ3 Phép biến đổi Fourier không gian L ( n n ) ………… 15 15 ) …………… .19 ) …………… Đ4 Hàm suy rộng phép biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm…………………………………… Chương Nội suy toán tử …………………………………………… 23 25 34 3.1 Định lý Riesz – Thorin……………… 34 3.2 Phép nội suy họ tốn tử giải tích…………………… 40 3.3 Phương pháp thực………………….………………………… 41 Kết luận………………………………………………………………… 45 Tài liệu tham khảo……………………………………………………… 46 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giả sử Xt, ≤ t ≤ họ không gian định chuẩn, T ánh xạ tuyến tính từ Xt vào Y thoả mãn T liên tục t = t = Khi nội suy tốn tử việc nghiên cứu tính liên tục T khơng gian Xt, t ∈ ( 0,1) Đây vấn đề lý thú Giải tích Để nghiên cứu vấn đề này, cần phải nắm biến đổi Fourier, tích chập, hàm suy rộng, lý thuyết không gian Lp , … Thời gian qua, em học chuyên đề “Một số phép biến đổi tích phân”, qua đó, chúng em làm quen với số vấn đề sở Giải tích đại Bởi vậy, giới thiệu đề tài khoá luận tốt nghiệp, em thấy phù hợp với đề tài “Nội suy tốn tử” Vì vậy, em chọn đề tài để thực khoá luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với cơng việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu Giải tích đặc biệt phép biến đổi Fourier số không gian phép nội suy toán tử Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu đặc trưng, tính chất phép biến đổi Fourier không gian L ( 1 n )S,( n )(, L2 n ) hàm suy rộng tăng chậm Nghiên cứu định lý nội suy Riesz – Thorin ứng dụng Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp đánh giá Cấu trúc khoá luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận gồm chương Chương Một số khái niệm kết chuẩn bị Chương Phép biến đổi Fourier Chương Nội suy toán tử MỘT SỐ KÍ HIỆU SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN • ∞ C ( ) : Không gian hàm khả vi vơ hạn  n n • C∞ n ( ) : Không gian hàm khả vi vơ hạn có giá compact □n • C0 n ( ) : Không gian hàm liên tục có giá compact □n • D( n • D′( ) : Không gian hàm n ): Khơng gian hàm suy rộng • Tx f ( y ) f ( x + = y), • ( My f )( x ) = • (Da f = n y∈ , x∈ n x∈ n eixy f ( x ) , )( x ) f ( ax) , a∈ n  α   α  ∂ α ∂ ∂ • ∂ =   , α = (α1, , αn )     ∂x ∂x      ∂xn = α2 + α + +  α n α α • α D ∂  = 1 α −    i • h.k.n: Hầu khắp nơi α • đpcm: Điều phải chứng minh CHƢƠNG MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ Đ1 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 1.1 Định nghĩa chuẩn không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay khơng gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính X trường P ( P =  P =  ) với ánh xạ từ X vào tập số thực  , kí hiệu đọc chuẩn, thoả mãn điều kiện sau đây: 1) (∀x∈ X) x (∀x∈ αx X )( ∀α ∈P ) 2) 3) (∀x,y ∈ X) (kí hiệu phần tử không θ ); ≥ x = 0, ⇔ x= θ x + y ≤ = α x; x+ y Số x gọi chuẩn vectơ x Ta kí hiệu khơng gian định chuẩn X Các tiên đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi nửa chuẩn không gian vectơ X, với x thuộc X, tồn số thực x thoả mãn : 1) (∀x∈ X) x ≥ 0; (∀x∈ αx X )(∀α ∈P ) 2) 3) (∀x,y ∈ X) x + y ≤ = α x ; x+ y Định lý 1.1.1 Cho không gian định chuẩn X Đối với hai vectơ x, y ∈X, ta đặt: d ( x, y) = x − y Khi d metric X Định nghĩa 1.1.3 Dãy điểm (xn) không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x ∈X lim n→∞ xn − = Kí hiệu: lim x = x hay x n n→∞ xn → x (n → ∞) Định nghĩa 1.1.4 Dãy điểm (xn) không gian định chuẩn X gọi dãy bản, nếu: lim m,n→∞ xn − = xm Định nghĩa 1.1.5 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach, dãy X hội tụ 1.2 Toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.1.6 Cho hai khơng gian tuyến tính X Y trường P ( P =  P = □ ) Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi tuyến tính, ánh xạ A thoả mãn điều kiện: (∀x, x′ ∈ X ) 1) A (x + x′) = Ax + Ax′ ; (∀x∈ X)( ∀α ∈P ) 2) A ( αx ) = α Ax Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính tốn tử tuyến tính Khi Y = P tốn tử tuyến tính A thường gọi phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.1.7 Cho không gian định chuẩn X Y Tốn tử tuyến tính A từ khơng gian X vào không gian Y gọi bị chặn, tồn số C ≥ cho: Ax ≤ C x , ∀x∈ X Định nghĩa 1.1.8 (1.1) s 1, = z pRez Sử dụng PRez ∫s d z