BT tứ giác nội tiếp (Toán 9)

CHUYấN : T GIC NI TIP I) Cỏc kin thc cn nh 1) Khỏi nim: B A C O D Mt t giỏc cú bn nh nm trờn mt ng trũn c gi l t giỏc ni tip ng trũn (Gi tt l t giỏc nt tip) 2) nh lớ - Trong mt t giỏc ni tip, tng s o hai gúc i din bng 1800 -Nu mt t giỏc cú tng s o hai gúc i din bng 180 thỡ t giỏc ú ni tip ng trũn 3) Du hiu nhn bit (cỏc cỏch chng minh) t giỏc ni tip - T giỏc cú tng s hai gúc i din bng 1800 - T giỏc cú gúc ngoi ti mt nh bng gúc ca nh i din - T giỏc cú bún nh cỏch u mt im(m ta cú th xỏc nh c) im ú l tõm ng trũn ngoi tip t giỏc - T giỏc cú hai nh k cựng nhỡn cnh cha hai nh cũn li di mt gúc a II) Bi Bi Cho ABC vuụng A Trờn AC ly dim M v v ng trũn ng kớnh MC K BM ct ng trũn ti D ng thng DA ct ng trũn ti S Chng minh rng: a) T giỏc ABCD ni tip b) Aã BD = Aã CD ã c) CA l phõn giỏc ca SCB Bi Cho t giỏc ABCD ni tip na ng trũn ng kớnh AD Hai ng chộo AC v BD ct ti E V EF vuụng gúc vi AD Chng minh: a) T giỏc ABEF, t giỏc DCEF ni tip b) CA l phõn giỏc ca ộBCF c) Gi M l trung im ca DE Chng minh t giỏc BCMF ni tip Page of 18 Bi T giỏc ABCD ni tip ng trũn ng kớnh AD Hai ng chộo AC , BD ct ti E Hỡnh chiu vuụng gúc ca E trờn AD l F ng thng CF ct ng trũn ti im th hai l M Giao im ca BD v CF l N Chng minh : a) CEFD l t giỏc ni tip b b) Tia FA l tia phõn giỏc ca gúc BFM c) BE DN = EN BD Bi Cho tam giỏc ABC vuụng A v mt im D nm gia A v B ng trũn ng kớnh BD ct BC ti E Cỏc ng thng CD , AE ln lt ct ng trũn ti cỏc im th hai F , G Chng minh : a) Tam giỏc ABC ng dng vi tam giỏc EBD b) T giỏc ADEC v AFBC ni tip c mt ng trũn c) AC song song vi FG d) Cỏc ng thng AC , DE v BF ng quy Bi Cho tam giỏc vuụng ABC ( A = 90 ; AB > AC) v mt im M nm trờn on AC (M khụng trựng vi A v C) Gi N v D ln lt l giao im th hai ca BC v MB vi ng trũn ng kớnh MC; gi S l giao im th hai gia AD vi ng trũn ng kớnh MC; T l giao im ca MN v AB Chng minh: a Bn im A, M, N v B cựng thuc mt ng trũn b CM l phõn giỏc ca gúc BCS TA TC = c TD TB Bi Cho ng trũn (O) v im A nm ngoi ng trũn Qua A dng hai tip tuyn AM v AN vi ng trũn (M, N l cỏc tip im) v mt cỏt tuyn bt kỡ ct ng trũn ti P, Q Gi L l trung im ca PQ a/ Chng minh im: O; L; M; A; N cựng thuc mt ng trũn ã b/ Chng minh LA l phõn giỏc ca MLN c/ Gi I l giao im ca MN v LA Chng minh MA2 = AI.AL d/ Gi K l giao im ca ML vi (O) Chng minh rng KN // AQ e/ Chng minh KLN cõn Bi Cho ng trn (O; R) tip xc vi ng thng d ti A Trờn d ly im H khụng trựng vi im A v AH CD; AB//CD) ni tip ng trũn (O) Tip tuyn vi ng trũn (O) ti A v D ct ti E Gi I l giao im ca hai ng chộo AC v BD a/ Chng minh: T giỏc AEDI ni tip b/ Chng minh AB//EI c/ ng thng EI ct cnh bờn AD v BC ca hỡnh thang tng ng R v S Chng minh: * I l trung im ca RS 1 + = * AB CD RS Bi 24 Cho ng trũn (O; R) cú hai ng kớnh AOB v COD vuụng gúc vi Ly im E bt kỡ trờn OA, ni CE ct ng trũn ti F Qua F dng tip tuyn Fx vi ]ng trũn, qua E dng Ey vuụng gúc vi OA Gi I l giao im ca Fx v Ey a/ Chng minh I; E; O; F cựng nm trờn mt ng trũn b/ T giỏc CEIO l hỡnh gỡ? vỡ sao? c/ Khi E chuyn ng trờn AB thỡ I chuyn ng trờn ng no? Bi 25 Cho na ng trũn ng kớnh BC bỏn kớnh R v im A trờn na ng trũn (A khỏc B v C) T A h AH vuụng gúc vi BC Trờn na mt phng b BC cha im A v na ng trũn ng kớnh BH ct AB ti E, na ng trũn ng kớnh HC ct AC ti F a T giỏc AFHE l hỡnh gỡ? Ti sao? b Chng minh BEFC l t giỏc ni tip c Hóy xỏc nh v trớ ca im A cho t giỏc AFHE cú din tớch ln nht Tớnh din tớch ln nht ú theo R Bi 26 Page of 18 Cho im M, N, P thng hng theo th t ú Mt ng trũn (O) thay i i qua hai im M, N T P k cỏc tip tuyn PT, PT vi ng trũn (O) a) Chng minh: PT2 = PM.PN T ú suy (O) thay i qua M, N thỡ T, T thuc mt ng trũn c nh b) Gi giao im ca TT vi PO, PM l I v J K l trung im ca MN Chng minh: Cỏc t giỏc OKTP, OKIJ ni tip c) Chng minh rng: Khi ng trũn (O) thay i i qua M, N thỡ TT luụn i qua im c nh d) Cho MN = NP = a Tỡm v trớ ca tõm O gúc TPT = 600 Bi 27 Cho DABC vuụng A Trờn AC ly im M (MA v C) V ng trũn ng kớnh MC Gi T l giao im th hai ca cnh BC vi ng trũn Ni BM kộo di ct ng trũn ti im th hai l D ng thng AD ct ng trũn (O) ti im th hai S Chng minh: a) T giỏc ABTM ni tip b) Khi M chuyn ng trờn AC thỡ Aã DM cú s o khụng i c) AB//ST Bi 28 Cho hai ng trũn bng (O) v (O') ct ti A, B ng vuụng gúc vi AB k qua B ct (O) v (O') ln lt ti cỏc im C, D Ly M trờn cung nh BC ca ng trũn (O) Gi giao im th hai ca ng thng MB vi ng trũn (O') l N v giao im ca hai ng thng CM, DN l P a Tam giỏc AMN l tam giỏc gỡ, ti sao? b Chng minh ACPD ni tip c ng trũn c Gi giao im th hai ca AP vi ng trũn (O') l Q, chng minh rng BQ // CP Bi 29 Cho ABC vuụng ti A (AB < AC) H bt k nm gia A v C ng trn (O) ng kớnh HC ct BC ti I BH ct (O) ti D a) Chng minh t gic ABCD ni tip b) AB ct CD ti M Chng minh im H; I; M thng hng ã c) AD ct (O) ti K Chng minh CA l tia phừn gic ca KCB Bi 30 Cho ng trũn (O), ng kớnh AB c nh, im I nm gia A v O cho AI = 2/3 AO K dõy MN vuụng gúc vi AB ti I, gi C l im tu ý thuc cung ln MN cho C khụng trựng vi M, N v B Ni Ac ct MN ti E Chng minh t giỏc IECB ni tip Chng minh tam giỏc AME ng dng vi tam giỏc ACM Chng minh AM2 = AE.AC Chng minh AE AC - AI.IB = AI2 Hóy xỏc nh v trớ ca C cho khong cỏch t N n tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc CME l nh nht Bi 31 Cho na ng trn (O;R) ng kớnh AB, dõy AC Gi E l im chớnh gia cung AC bỏn kớnh OE ct AC ti H, v CK song song vi BE ct AE ti K a) Chng minh t gic CHEK ni tip b) Chng minh KH AB c) Cho BC = R Tnh PK Bi 32 Page of 18 Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC), I l tõm ng trũn ni tip, K l tõm ng trũn bng tip gúc A , O l trung im ca IK Chng minh B, C, I, K cựng nm trờn mt ng trũn Chng minh AC l tip tuyn ca ng trũn (O) Tớnh bỏn kớnh ng trũn (O) Bit AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Bi 33 Cho im A bờn ngoi ng trũn (O ; R) T A v tip tuyn AB, AC v cỏt tuyn ADE n ng trũn (O) Gi H l trung im ca DE a) Chng minh nm im : A, B, H, O, C cựng nm trờn mt ng trũn ã b) Chng minh HA l tia phõn giỏc ca BHC c) DE ct BC ti I Chng minh : AB = AI.AH d) Cho AB=R v OH= R Tớnh HI theo R Bi 34 Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB v im M bt kỡ trờn na ng trũn ( M khỏc A,B) Trờn na mt phng b AB cha na ng trũn k tip tuyn Ax Tia BM ct Ax ti I; tia phõn giỏc ca gúc IAM ct na ng trũn ti E; ct tia BM ti F tia BE ct Ax ti H, ct AM ti K a) Chng minh rng: EFMK l t giỏc ni tip b) Chng minh rng: AI2 = IM IB c) Chng minh BAF l tam giỏc cõn d) Chng minh rng : T giỏc AKFH l hỡnh thoi e) Xỏc nh v trớ ca M t giỏc AKFI ni tip c mt ng trũn Bi 35 Cho hai ng trn (O1), (O2) cú bỏn kớnh bng v ct A v B V cỏt tuyn qua B khụng vuụng gúc vi AB, nú ct hai ng trn E v F (E (O1); F (O2)) Chng minh AE = AF V ct tuyn CBD vung gỳc vi AB ( C (O 1); D (O2)) Gi P l giao im ca CE v DF Chng minh rng: a Cỏc t giỏc AEPF v ACPD ni tip c ng trn b Gi I l trung im ca EF chng minh ba im A, I, P thng hng Khi EF quay quanh B th I v P di chuyn trn ng no? Bi 36 ã Cho hỡnh vuụng ABCD Trờn cnh BC, CD ln lt ly im E, F cho EAF = 45 Bit BD ct AE, AF theo th t ti G, H Chng minh: a) ADFG, GHFE l cỏc t giỏc ni tip b) DCGH v t giỏc GHFE cú din tớch bng Bi 37 Cho ng trũn tõm O bỏn kớnh R, hai im C v D thuc ng trũn, B l trung im ca cung nh CD K ng kớnh BA; trờn tia ca tia AB ly im S, ni S vi C ct (O) ti M; MD ct AB ti K; MB ct AC ti H a Chng minh: BMD = BAC , t ú suy t giỏc AMHK ni tip b Chng minh: HK // CD Page of 18 c Chng minh: OK.OS = R2 Bi 38 Cho ng trũn (O), mt ng kớnh AB c nh, mt im I nm gia A v O cho AI = AO K dõy MN vuụng gúc vi AB ti I Gi C l im tu ý thuc cung ln MN, cho C khụng trựng vi M, N v B Ni AC ct MN ti E a Chng minh t giỏc IECB ni tip c mt ng trũn b Chng minh V AME ng dng vi V ACM v AM2 = AE.AC c Chng minh AE.AC AI.IB = AI2 d Hóy xỏc nh v trớ ca im C cho khong cỏch t N n tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc CME l nh nht Bi 39 Cho ba im A, B, C trờn mt ng thng theo th t y v ng thng d vuụng gúc vi AC ti A V ng trũn ng kớnh BC v trờn ú ly im M bt kỡ Tia CM ct ng thng d ti D; Tia AM ct ng trũn ti im th hai N; Tia DB ct ng trũn ti im th hai P a) Chng minh: T giỏc ABMD ni tip c b) Chng minh: Tớch CM CD khụng ph thuc vo v trớ im M c) T giỏc APND l hỡnh gỡ? Ti sao? d) Chng minh trng tõm G ca tam giỏc MAB chy trờn mt ng trũn c nh Bi 40 Cho ng trũn (O) v im A nm ngoi ng trũn Cỏc tip tuyn vi ng trũn k t A tip xỳc vi ng trũn B v C Gi M l im tu ý trờn ng trũn (M khỏc B v C) Gi H; K; I ln lt l chõn cỏc ng vuụng gúc k t M xung BC; CA; AB a/ Chng minh: T giỏc MHBI, MHCK ni tip ã ã = MKH b/ Chng minh: MHI c/ Chng minh: MH = MI.MK Bi 41 Cho ng trũn (O) ng kớnh AB = 2R ng thng (d) tip xỳc vi ng trũn (O) ti A M v Q l hai im trờn (d) cho MA, MQ, QA Cỏc ng thng BM v BQ ln lt ct ng trũn (O) ti cỏc im th hai l N v P Chng minh: Tớch BN.BM khụng i T giỏc MNPQ ni tip Bt ng thc: BN + BP + BM + BQ > 8R Bi 42 Cho t giỏc ABCD ni tip ng trũn tõm O v P l trung im ca cung AB khụng cha C v D Hai dõy PC v PD ln lt ct dõy AB ti E v F Cỏc dõy AD v PC kộo di ct ti I, cỏc dõy BC v PD kộo di ct ti K Chng minh rng: a Gúc CID bng gúc CKD b T giỏc CDFE ni tip c mt dng trũn c IK // AB Bi 43 Page of 18 Trờn ng trũn (O; R) ng kớnh AB, ly hai im M, E theo th t A, M, E, B (hai im M, E khỏc hai im A, B) AM ct BE ti C; AE ct BM ti D a Chng minh MCED l mt t giỏc ni tip v CD vuụng gúc vi AB b Gi H l giao im ca CD v AB Chng minh BE.BC = BH.BA c Chng minh cỏc tip tuyn ti M v E ca ng trũn (O) ct ti mt im nm trờn ng thng CD 0 d Cho bit BAM = 45 v BAE = 30 Tớnh din tớch tam giỏc ABC theo R Bi 44 Cho ng trũn (O) ng kớnh AB Mt cỏt tuyn MN quay xung quanh trung im H ca OB Gii I l trung im ca MN T A k Ax vuụng gúc vi MN ti K Gi C l giao im ca Ax vi tia BI a/ Chng minh rng: BN// MC b/ Chng minh rng: T giỏc OIKC l hỡnh ch nht c/ Tip tuyn Bt vi ng trũn (O) ct tia AM E, ct tia Ax F Gi D l giao im th hai ca tia Ax vi (O) Chng minh rng: t giỏc DMEF ni tip Bi 45 Cho D ABC cõn (AB = AC) v gúc A nh hn 600; trờn tia i ca tia AC ly im D cho AD = AC a) Tam giỏc BCD l tam giỏc gỡ? ti sao? b) Kộo di ng cao CH ca D ABC ct BD ti E V ng trũn tõm E tip xỳc vi CD ti F Qua C v tip tuyn CG ca ng trũn ny Chng minh: Bn im B, E, C, G thuc mt ng trũn c) Cỏc ng thng AB v CG ct ti M, t giỏc AFGM l hỡnh gỡ? Ti sao? d) Chng minh: D MBG cõn Bi 46 Cho ng trũn (O) bỏn kớnh R, ng thng d khụng qua O v ct ng trũn ti hai im A, B T mt im C trờn d (C nm ngoi ng trũn), k hai tip tuyn CM, CN vi ng trũn (M, N thuc (O)) Gi H l trung im ca AB, ng thng OH ct tia CN ti K a Chng minh bn im C, O, H, N cựng nm trờn mt ng trũn b Chng minh KN.KC = KH.KO c on thng CO ct ng trũn (O) ti I, chng minh I cỏch u CM, CN v MN d Mt ng thng i qua O v song song vi MN ct cỏc tia CM, CN ln lt ti E v F Xỏc nh v trớ ca C trờn d cho din tớch tam giỏc CEF l nh nht Bi 47 Cho BC l dõy cung c nh ca ng trũn (O; R) (0 < BC < 2R) A l mt im di ng trờn cung ln BC cho ABC nhn Cỏc ng cao AD; BE; CF ct ti H (D BC; E CA; F AB) Chng minh: T giỏc BCEF ni tip T ú suy AE.AC = AF.AB Gi A' l trung im ca BC Chng minh rng: AH = 2OA' K ng thng d tip xỳc vi ng trũn (O) ti A t S l din tớch ABC, 2p l chu vi DEF Chng minh: a d // EF b S = p.R Bi 48 Page of 18 Cho hỡnh thang ABCD cú ỏy ln AD v ỏy nh BC ni tip ng trũn tõm O; AB v CD kộo di ct ti I Cỏc tip tuyn ca ng trũn tõm O ti B v D ct ti im K a Chng minh cỏc t giỏc OBID v OBKD l cỏc t giỏc ni tip b Chng minh IK song song vi BC c Hỡnh thang ABCD phi tho iu kin gỡ t giỏc AIKD l hỡnh bỡnh hnh Bi 49 Cho ng trũn (O;R) v mt im A nm trờn ng trũn Mt gúc xAy = 900 quay quanh A v luụn tho Ax, Ay ct ng trũn (O) Gi cỏc giao im th hai ca Ax, Ay vi (O) tng ng l B, C ng trũn ng kớnh AO ct AB, AC ti cỏc im th hai tng ng l M, N Tia OM ct ng trũn ti P Gi H l trc tõm tam giỏc AOP Chng minh rng a) AMON l hỡnh ch nht b) MN//BC c) T giỏc PHOB ni tip d) Xỏc nh v trớ ca gúc xAy cho tam giỏc AMN cú din tớch ln nht Bi 50 Cho ng trũn (O) ng kớnh AB im I nm gia A v O (I khỏc A v O) K dõy MN vuụng gúc vi AB ti I Gi C l im tu ý thuc cung ln MN (C khỏc M, N khỏc B) Ni AC ct MN ti E Chng minh: a) T giỏc IECB ni tip b) AM2 = AE.AC c) AE.AC AI.IB = AI2 Bi 51 Cho na ng trũn (O) ng kớnh AB v hai im C, D thuc na ng trũn cho cung AC nh hn 900 v gúc COD = 900 Gi M l mt im trờn na ng trũn cho C l im chớnh gia cung AM Cỏc dõy AM, BM ct OC, OD ln lt ti E, F a) T giỏc OEMF l hỡnh gỡ? Ti sao? b) Chng minh: D l im chớnh gia cung MB c) Mt ng thng d tip xỳc vi na ngtrũn ti M v ct cỏc tia OC, OD ln lt ti I, K Chng minh cỏc t giỏc OBKM v OAIM ni tip c d) Gi s tia AM ct tia BD ti S Hóy xỏc nh v trớ ca C v D cho im M, O, B, K, S cựng thuc mt ng trũn Bi 52 Cho ng trũn (O) v hai im A, B phõn bit thuc (O) cho ng thng AB khụng i qua tõm O Trờn tia i ca tia AB ly im ly im M khỏc A, t M k hai tip tuyn phõn bit ME, MF vi ng trũn (O) (E, F l cỏc tip im) Gi H l trung im ca dõy cung AB Cỏc im K v I theo th t l giao im ca ng thng EF vi cỏc ng thng OM v OH a) Chng minh im M, O, H, E, F cựng nm trờn mt ng trũn b) Chng minh: OH.OI = OK OM c) Chng minh: IA, IB l cỏc tip tuyn ca ng trũn (O) Bi 53 Page 10 of 18 Cho ng trũn (O) ng kớnh AC Trờn bỏn kớnh OC ly im B tu ý (B khỏc O, C ) Gi M l trung im ca on AB Qua M k dõy cung DE vuụng gúc vi AB CD ct ng trũn ng kớnh BC ti I Chng minh t giỏc BMDI ni tip Chng minh t giỏc ADBE l hỡnh thoi Chng minh BI // AD Chng minh I, B, E thng hng Chng minh MI l tip tuyn ca ng trũn ng kớnh BC Bi 54 Cho ng trũn (0) v mt im A nm ngoi ng trũn T A k hai tip tuyn AB, AC v cỏt tuyn AMN vi ng trũn (B, C, M, N thuc ng trũn v AM < AN) Gi E l trung im ca dõy MN, I l giao im th hai ca ng thng CE vi ng trũn a) Chng minh: Bn im A, 0, E, C cựng thuc mt ng trũn b) Chng minh: gúc AOC bng gúc BIC c) Chng minh: BI // MN d) Xỏc nh v trớ cỏt tuyn AMN din tớch tam giỏc AIN ln nht Bi 55 Cho ng trũn (O) cú tõm O, ng kớnh AB Trờn tip tuyn ca ng trũn O ti A ly im M (M khụng trựng vi A) T M k cỏt tuyn MCD (C nm gia M v D; tia MC nm gia tia MA v tia MO) v tip tuyn th hai MI (I l tip im) vi ng trũn (O) ng thng BC v BD ct ng thng OM ln lt tai E v F Chng minh: a Bn im A, M, I v O nm trờn mt ng trũn b IAB = AMO c O l trung im ca FE Bi 56 Cho na ng trũn (0) ng kớnh AB, M thuc cung AB, C thuc OA Trờn na mt phng b AB cú cha M k tia Ax,By vuụng gúc vi AB ng thng qua M vuụng gúc vi MC ct Ax, By ti P v Q AM ct CP ti E, BM ct CQ ti F a/ Chng minh : T giỏc APMC, EMFC ni tip b/ Chng minh : EF//AB c/ Tỡm v trớ ca im C t giỏc AEFC l hỡnh bỡnh hnh Bi 57 Cho ng trũn (O) v ng thng xy ngoi ng trũn ng thng i qua O vuụng gúc vi xy ti H ct ng trũn (O) ti A v B M l im trờn (O), ng thng AM ct xy ti E, ng thng BM ct xy ti F, tip tuyn ti M ct xy ti I, ng thng AF ct (O) ti K Ni E vi K a) Chng minh: IM = IF b) Chng minh: im E, M, K, F cựng thuc mt ng trũn c) Chng minh: IK l tip tuyn ca (O) d) Tỡm hp tõm ng trũn ngoi tip AMH M di ng trờn (O) Bi 58 Cho ng trũn (O; R) cú ng kớnh AB; im I nm gia hai im A v O K ng thng vuụng gúc vi AB ti I, ng thng ny ct ng trũn (O; R) ti M v N Gi S l giao im BM v AN Qua Page 11 of 18 S k ng thng song song vi MN, ng thng ny ct cỏc ng thng AB v AM ln lt K v H Hóy chng minh: 1) T giỏc SKAM l t giỏc ni tip v HS.HK=HA.HM 2) KM l tip tuyn ca ng trũn (O; R) 3) Ba im H; N; B thng hng Bi 59 Cho ng trũn (0; R), mt dõy CD cú trung im M Trờn tia i ca tia DC ly im S, qua S k cỏc tip tuyn SA, SB vi ng trũn ng thng AB ct cỏc ng thng SO ; OM ti P v Q a) Chng minh t giỏc SPMQ, t giỏc ABOM ni tip b) Chng minh SA2 = SD SC c) Chng minh OM OQ khụng ph thuc vo v trớ im S d) Khi BC // SA Chng minh tam giỏc ABC cõn ti A e) Xỏc nh v im S trờn tia i ca tia DC C, O, B thng hng v BC // SA Bi 60 Cho na ng trũn (0) ng kớnh AB, M l mt im chớnh gia cung AB K thuc cung BM ( K khỏc M v B ) AK ct MO ti I a) Chng minh : T giỏc OIKB ni tip c mt ng trũn b) Gi H l hỡnh chiu ca M lờn AK Chng minh : T giỏc AMHO ni tip c) Tam giỏc HMK l tam giỏc gỡ ? d) Chng minh : OH l phõn giỏc ca gúc MOK e) Xỏc nh v trớ ca im K chu vi tam giỏc OPK ln nht (P l hỡnh chiu ca K lờn AB) Bi 61 Cho tam giỏc ABC vi ba gúc nhn ni tip ng trũn (0) Tia phõn giỏc ca gúc B, gúc C ct ng trũn ny th t ti D v E, hai tia phõn giỏc ny ct ti F Gi I, K theo th t l giao im ca dõy DE vi cỏc cnh AB, AC a) Chng minh: cỏc tam giỏc EBF, DAF cõn b) Chng minh t giỏc DKFC ni tip v FK // AB c) T giỏc AIFK l hỡnh gỡ ? Ti ? d) Tỡm iu kin ca tam giỏc ABC t giỏc AEFD l hỡnh thoi ng thi cú din tớch gp ln din tớch t giỏc AIFK Bi 62 Cho ng trũn (O), mt ng kớnh AB c nh, trờn on OA ly im I cho OA AI = K dõy MN vuụng gúc vi AB ti I Gi C l im tu ý thuc cung ln MN ( C khụng trựng vi M, N, B) Ni AC ct MN ti E a) Chng minh : T giỏc IECB ni tip b) Chng minh : Cỏc tam giỏc AME, ACM ng dng v AM = AE AC c) Chng minh : AE AC - AI IB = AI2 d) Hóy xỏc nh v trớ ca im C cho khong cỏch t N n tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc CME l nh nht Bi 63 Page 12 of 18 Cho t giỏc ABCD ni tip ng trũn (O;R)(AB < CD) Gi P l im chớnh gia ca cung nh AB ; DP ct AB ti E v ct CB ti K ; CP ct AB ti F v ct DA ti I a) Chng minh: T giỏc CKID ni tip c b) Chng minh: IK // AB c) Chng minh: T giỏc CDFE ni tip c d) Chng minh: AP2 = PE PD = PF PC e) Chng minh : AP l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc AED f) Gi R1 , R2 l cỏc bỏn kớnh ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc AED v BED.Chng minh: R1 + R2 = 4R PA Bi 54 Cho hỡnh vuụng ABCD c nh , cú di cnh l a E l im i chuyn trờn on CD (E khỏc D), ng thng AE ct ng thng BC ti F, ng thng vuụng gúc vi AE ti A ct ng thng CD ti K 1) Chng minh DABF = DADK t ú suy DAFK vuụng cõn 2) Gi I l trung im ca FK, Chng minh I l tõm ng trũn i qua A , C, F , K 3) Tớnh s o gúc AIF, suy im A, B, F, I cựng nm trờn mt ng trũn Bi 65 Cho gúc vuụng xOy , trờn Ox, Oy ln lt ly hai im A v B cho OA = OB M l mt im bt k trờn AB Dng ng trũn tõm O1 i qua M v tip xỳc vi Ox ti A, ng trũn tõm O2 i qua M v tip xỳc vi Oy ti B , (O1) ct (O2) ti im th hai N 1) Chng minh t giỏc OANB l t giỏc ni tip v ON l phõn giỏc ca gúc ANB 2) Chng minh M nm trờn mt cung trũn c nh M thay i 3) Xỏc nh v trớ ca M khong cỏch O1O2 l ngn nht Bi 66 Cho im A bờn ngoi ng trn (O ; R) T A v tip tuyn AB, AC v ct tuyn ADE n ng trn (O) Gi H l trung im ca DE a) Chng minh nm im : A, B, H, O, C cựng nm trờn mt ng trn ã b) Chng minh HA l tia phừn gic ca BHC c) DE ct BC ti I Chng minh : AB = AI.AH Bi 67 Cho tam giỏc nhn ABC ni tip ng trũn tõm O ng phõn giỏc ca gúc A , B ct ng trũn tõm O ti D v E , gi giao im hai ng phõn giỏc l I , ng thng DE ct CA, CB ln lt ti M , N 1) Chng minh tam giỏc AIE v tam giỏc BID l tam giỏc cõn 2) Chng minh t giỏc AEMI l t giỏc ni tip v MI // BC 3) T giỏc CMIN l hỡnh gỡ ? Bi 68 Cho tam giac ABC co ba goc nhoựn (AB < AC) ng tron ng knh BC cat AB, AC theo th tự taựi E va F Biet BF cat CE taựi H va AH cat BC taựi D a) Chng minh t giac BEFC noi tiep va AH vuoừng goc vi BC b) Chng minh AE.AB = AF.AC Page 13 of 18 c) Goựi O la taừm ng tron ngoựai tiep tam giac ABC va K la trung iem cua BC OK Tnh t so BC t giac BHOC noi tiep d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm , CE = 8cm va HC > HE Tinh HC Bi 69 Cho (O) ng kớnh AB = 2R, C l trung im ca OA v dõy MN vuụng gúc vi OA ti C Gi K l im tu ý trờn cung nh BM, H l giao im ca AK v MM a) CMR: BCHK l t giỏc ni tip b) Tớnh AH.AK theo R Xỏc nh v trớ ca im K (KM+KN+KB) t giỏ tr ln nht v tớnh giỏ tr ln nht ú Bi 70 Cho hai ng trũn (O1) v (O2) ct ti A v B Mt ng thng i qua A ct ng trũn (O1) , (O2) ln lt ti C,D , gi I , J l trung im ca AC v AD 1) Chng minh t giỏc O1IJO2 l hỡnh thang vuụng 2) Gi M l giao dim ca CO1 v DO2 Chng minh O1 , O2 , M , B nm trờn mt ng trũn 3) E l trung im ca IJ , ng thng CD quay quanh A Tỡm hp im E 4) Xỏc nh v trớ ca dõy CD dõy CD cú di ln nht Bi 71 Cho tam giỏc ABC , gúc B v gúc C nhn Cỏc ng trũn ng kớnh AB , AC ct ti D Mt ng thng qua A ct ng trũn ng kớnh AB , AC ln lt ti E v F 1) Chng minh B , C , D thng hng 2) Chng minh B, C , E , F nm trờn mt ng trũn 3) Xỏc nh v trớ ca ng thng qua A EF cú di ln nht Bi 72 Cho ng trũn tõm O v cỏt tuyn CAB ( C ngoi ng trũn ) T im chớnh gia ca cung ln AB k ng kớnh MN ct AB ti I , CM ct ng trũn ti E , EN ct ng thng AB ti F 1) Chng minh t giỏc MEFI l t giỏc ni tip 2) Chng minh gúc CAE bng gúc MEB 3) Chng minh : CE CM = CF CI = CA CB Bi 73 Cho D ABC cú gúc nhn AC > BC ni tip (O) V cỏc tip tuyn vi (O) ti A v B, cỏc tip tuyn ny ct ti M Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca O trờn MC CMR a/ MAOH l t giỏc ni tip b/ Tia HM l phõn giỏc ca gúc AHB c/ Qua C k ng thng song song vi AB ct MA, MB ln lt ti E, F Ni EH ct AC ti P, HF ct BC ti Q Chng minh rng QP // EF Bi 74 Cho tam giỏc ABC vuụng A v mt im D nm gia A v B ng trũn ng kớnh BD ct BC ti E Cỏc ng thng CD , AE ln lt ct ng trũn ti cỏc im th hai F , G Chng minh : a) Tam giỏc ABC ng dng vi tam giỏc EBD b) T giỏc ADEC v AFBC ni tip c mt ng trũn Page 14 of 18 c) AC song song vi FG d) Cỏc ng thng AC , DE v BF ng quy Bi 75 Cho ng trũn tõm O T mt im P ngoi ng trũn k hai tip tuyn phõn bit PA, PC (A, C l tip im) vi ng trũn (O) a Chng minh PAOC l t giỏc ni tip ng trũn b Tia AO ct ng trũn (O) ti B; ng thng qua P song song vi AB ct BC ti D T giỏc AODP l hỡnh gỡ? c Gi I l giao im ca OC v PD; J l giao im ca PC v DO; K l trung im ca AD Chng t rng cỏc im I, J, K thng hng Bi 76 Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn tõm O M l mt im trờn cung AC ( khụng cha B ) k MH vuụng gúc vi AC ; MK vuụng gúc vi BC 1) Chng minh t giỏc MHKC l t giỏc ni tip ã ã = HMK 2) Chng minh AMB 3) Chng minh D AMB ng dng vi D HMK Bi 77 Cho na ng trn ng kớnh AB K tip tuyn Bx vi na ng trn Gi C l im trờn na ng trn cho cung AC bng cung CB Trn cung CB ly im D khỏc C v B Cỏc tia AC, AD ct Bx ln lt ti E v F a, Chng minh ABE vung cừn b, Chng minh ABF BDF c, Chng minh t gic CEFD ni tip d, Chng minh AC.AE = AD.AF Bi 78 Cho t giỏc ABCD cú hai nh B v C trờn na ng trũn ng kớnh AD, tõm O Hai ng chộo AC v BD ct ti E Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca E xung AD v I l trung im ca DE Chng minh rng: a) Cỏc t giỏc ABEH, DCEH ni tip c; b) E l tõm ng trũn ni tip tam giỏc BCH; c) Nm im B, C, I, O, H nm trờn mt ng trũn Bi 79 T giỏc ABCD ni tip ng trũn ng kớnh AD Hai ng chộo AC , BD ct ti E Hỡnh chiu vuụng gúc ca E trờn AD l F ng thng CF ct ng trũn ti im th hai l M Giao im ca BD v CF l N Chng minh : a) CEFD l t giỏc ni tip b) Tia FA l tia phõn giỏc ca gúc BFM c) BE DN = EN BD Bi 80 Page 15 of 18 Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC; B > 45 ), mt ng trũn (O) tip xỳc vi AB v AC ln lt ti B v C Trờn cung nh BC ly mt im M (M khụng trựng vi B v C) ri h cỏc ng vuụng gúc MI, MH, MK xung cỏc cnh tng ng BC, CA, AB a Ch cỏch dng ng trũn (O) b Chng minh t giỏc BIMK ni tip c Gi P l giao im ca MB v IK; Q l giao im ca MC v IH Chng minh PQ MI Bi 81 Cho DABC cú ba gúc nhn ni tip ng trũn tõm O, bỏn kớnh R H cỏc ng cao AD, BE ca tam giỏc Cỏc tia AD, BE ln lt ct (O) ti cỏc im th hai l M, N Chng minh rng: Bn im A,E,D,B nm trờn mt ng trũn Tỡm tõm I ca ng trũn ú MN// DE Cho (O) v dõy AB c nh, im C di chuyn trờn cung ln AB Chng minh rng di bỏn kớnh ng trũn ngoi tip DCDE khụng i Bi 82 Cho im A ngoi ng trũn tõm O K hai tip tuyn AB , AC vi ng trũn (B , C l tip im ) M l im bt k trờn cung nh BC ( M B ; M C ) Gi D , E , F tng ng l hỡnh chiu vuụng gúc ca M trờn cỏc ng thng AB , AC , BC ; H l giao im ca MB v DF ; K l giao im ca MC v EF 1) Chng minh : a) MECF l t giỏc ni tip b) MF vuụng gúc vi HK 2) Tỡm v trớ ca M trờn cung nh BC tớch MD ME ln nht Bi 83 Cho ABC vung cừn ti A AD l trung tuyn thuc cnh BC Ly M bt k thuc on AD (M khụng trựng A, D) Gi I, K ln lt l hnh chiu vung gỳc ca M trn AB, AC H l hnh chiu vung gỳc ca I trn on DK a/T gic AIMK l hnh g? b/ A, I, M, H, K thuc mt ng trn Tm từm ng trn ú c/ B, M, H thng hng Bi 84 Cho tam giỏc ABC (cú ba gúc nhn) Hai ng cao AD v BF gp ti H a/ Chng minh t giỏc DHFC ni tip c ng trũn Xỏc nh tõm ca ng trũn ngoi tip t giỏc b/ Gi CK l ng cao cũn li ca tam giỏc ABC; KD ct ng trũn ngoi tip t giỏc DHCF ti E Chng minh rng gúcEFH = gúc KBH c/ Gi s CH = AB Tớnh s o ca gúc ACB Bi 85 Cho t giỏc ABCD (AB // CD) ni tip ng trũn (O) Tip tuyn ti A v tip tuyn ti D ca ng trũn (O) ct ti E Gi I l giao im ca AC v BD Chng minh: CAB = AOD a b T giỏc AEDO ni tip Page 16 of 18 c EI // AB Bi 86 Cho ng trn từm O ng kớnh AC Trờn AC ly im B , v ng trn từm O ng kớnh BC Gi M l trung im ca AB T M k ng thng vuụng gúc vi AB ct ng trn từm O ti D v E Ni DC ct ng trn từm O ti I Chng minh: a/ AD // BI b/ BE // AD; I, B, E thng hng c/ MD = MI d/ DM2 = AM.MC e/ T gic DMBI ni tip Bi 87 Cho tam giỏc ABC vuụng ti A Trờn AC ly mt im D, dng CE vuụng gúc vi BD a Chng minh t giỏc ABCE ni tip ng trũn b Chng minh AD.CD = ED.BD c T D k DK vuụng gúc vi BC Chng minh rng AB, DK, EC ng quy ti mt im v DKE = ABE Bi 88 T mt im A ngoi ng trũn(O), ta k cỏc tip tuyn AB, AC ti ng trũn (O) (B, C l cỏc tip ) T M h cỏc ng vuụng gúc MI, MH, MK im) M l mt im trờn cung nh BC, ( tng ng xung BC, AC, AB Gi P l giao ca MB v IK; Q l giao ca MC v IH a Chng minh cỏc t giỏc BIMK, CIMH ni tip c ng trũn b Chng minh rng tia i ca tia MI l phõn giỏc ca gúc KMH c Chng minh PQ // BC Bi 89 Cho ng trũn tõm O, bỏn kớnh R v hai ng kớnh vuụng gúc AB v CD Trờn AO ly im E m OE M B; M C = AO, CE ct (O) M a Tớnh CE theo R b Chng minh t giỏc MEOD ni tip c Xỏc nh tõm v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip t giỏc c Chng minh hai tam giỏc CEO v CDM ng dng Tớnh di ng cao MH ca tam giỏc CDM Bi 90 Cho hai ng trũn (O1) v (O2) ct ti A v B, tip tuyn chung vi hai ng trũn (O1) v (O2) v phớa na mt phng b O1O2 cha im B, cú tip im th t l E v F Qua A k cỏt tuyn song song vi EF ct ng trũn (O1), (O2) th t ti C, D ng thng CE v ng thng DF ct ti I a Chng minh IA vuụng gúc vi CD b Chỳng minh t giỏc IEBF l t giỏc ni tip c Chng minh ng thng AB i qua trung im ca EF Bi 91 Cho ng trn từm O v ct tuyn CAB (C ngoi ng trn) T im chớnh gia ca cung ln AB k ng kớnh MN ct AB ti I, CM ct ng trn ti E, EN ct ng thng AB ti F 4) Chng minh t gic MEFI l t gic ni tip Page 17 of 18 5) Chng minh gỳc CAE bng gỳc MEB 6) Chng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB Bi 92 Cho tam giỏc ABC vuụng A v cú AB > AC, ng cao AH Trờn na mt phng b BC cha im A, v na ng trũn ng kớnh BH ct AB ti E, v na ng trũn ng kớnh HC ct AC ti F a Chng minh t giỏc AEHF l hỡnh ch nht b Chng minh AE.AB = AF.AC c Chng minh BEFC l t giỏc ni tip Bi 93 Cho ng trũn (O) ng kớnh BC im A thuc on OB (A khụng trựng vi O v B), v ng trũn (O') ng kớnh AC ng trũn i qua trung im M ca on thng AB v vuụng gúc vi AB ct ng trũn (O) ti D v E Gi F l giao im th hai ca CD vi ng trũn (O'), K l giao im th hai ca CE vi ng trũn (O') Chng minh: a T giỏc ADBE l hỡnh thoi b AF // BD c Ba im E, A, F thng hng d Bn im M, F, C v E cựng thuc mt ng trũn e Ba ng thng CM, DK, EF ng quy Bi 94 Cho hai ng trũn (O) v (O') ct ti A v B ng tip tuyn vi (O') v t A ct (O) ti im M; ng tip tuyn vi (O) v t A ct (O') ti N ng trũn tõm I ngoi tip tam giỏc MAN ct AB kộo di ti P a Chng minh rng t giỏc OAO'I l hỡnh bỡnh hnh b Chng minh rng bn im O, B, I, O' nm trờn mt ng trũn c Chng minh rng: BP = BA Bi 95 T im P nm ngoi ng trũn (O), k hai tip tuyn PM v PN vi ng trũn (O) (M, N l tip im) ng thng i qua im P ct ng trũn (O) ti hai im E v F ng thng qua O song song vi PM ct PN ti Q Gi H l trung im ca on EF Chng minh rng: a T giỏc PMON ni tip ng trũn b Cỏc im P, N, O, H cựng nm trờn mt ng trũn c Tam giỏc PQO cõn d PM2 = PE.PF e PHM = PHN Page 18 of 18 [...]... (B , C l tip im ) M l im bt k trờn cung nh BC ( M B ; M C ) Gi D , E , F tng ng l hỡnh chiu vuụng gúc ca M trờn cỏc ng thng AB , AC , BC ; H l giao im ca MB v DF ; K l giao im ca MC v EF 1) Chng minh : a) MECF l t giỏc ni tip b) MF vuụng gúc vi HK 2) Tỡm v trớ ca M trờn cung nh BC tớch MD ME ln nht Bi tp 83 Cho ABC vung cừn ti A AD l trung tuyn thuc cnh BC Ly M bt k thuc on AD (M khụng trựng... Chng minh I l tõm ng trũn i qua A , C, F , K 3) Tớnh s o gúc AIF, suy ra 4 im A, B, F, I cựng nm trờn mt ng trũn Bi tp 65 Cho gúc vuụng xOy , trờn Ox, Oy ln lt ly hai im A v B sao cho OA = OB M l mt im bt k trờn AB Dng ng trũn tõm O1 i qua M v tip xỳc vi Ox ti A, ng trũn tõm O2 i qua M v tip xỳc vi Oy ti B , (O1) ct (O2) ti im th hai N 1) Chng minh t giỏc OANB l t giỏc ni tip v ON l phõn giỏc ca gúc ... im A nm ngoi ng trũn Qua A dng hai tip tuyn AM v AN vi ng trũn (M, N l cỏc tip im) v mt cỏt tuyn bt kỡ ct ng trũn ti P, Q Gi L l trung im ca PQ a/ Chng minh im: O; L; M; A; N cựng thuc mt ng trũn... nh no ? Bi 18 Cho ng trũn (O; R), t mt im A trờn (O) k tip tuyn d vi (O) Trờn ng thng d ly im M bt kỡ ( M khỏc A) k cỏt tuyn MNP v gi K l trung im ca NP, k tip tuyn MB (B l tip im) K AC ^ MB,... tớch ca im H M di chuyn trờn ng thng d Bi 19 Cho im A; B; C c nh thng hng theo th t V ng trũn (O) bt k i qua B v C (BC khụng l ng kớnh ca (O)) K t cỏc tip tuyn AE v AF n (O) (E; F l cỏc tip im)