Luận văn sư phạm Nội suy toán tử

L iăc mă n hồn thành khố lu n này, em nh n đ tình, t m c a Th y giáo - Ti n s Bùi Kiên C th y, giáo t Gi i tích, khoa Toán, tr c s giúp đ t n ng, c ng nh ng i h c s ph m Hà N i Qua đây, em xin đ nh t t i th y Bùi Kiên C c g i l i c m n chân thành sâu s c ng, ng i tr c ti p h b o em su t trình làm khoá lu n ng d n ch ng th i em c ng xin chân thành c m n th y, cô giáo khoa d y d em b n n m qua đ em hồn thành khố lu n Em xin chân thành c m n! Hà N i, tháng 05 n m 2007 Sinh viên Kh ng Th Thuý H ng Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - To¸n L iăcamăđoan Khố lu n k t qu c a b n thân em trình h c t p, nghiên c u b c i h c Bên c nh em c ng nh n đ c s quan tâm, t o u ki n c a th y cô giáo khoa Toán, đ c bi t s h th y BùiăKiênăC ng d n nghiêm kh c, t n tình c a ng Vì v y, em xin kh ng đ nh k t qu c a đ tài “N i suy tốn t “ khơng có s trùng l p v i k t qu c a đ tài khác Hà N i, tháng 05 n m 2007 Sinh viên Kh ng Th Thuý H ng Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - To¸n M CăL C Ph n m đ u…………………………………………………………… M t s kí hi u s d ng lu n v n………………………………… Ch ng M t s khái ni m k t qu chu n b ……………………… Không gian đ nh chu n……………………………………… Không gian Hilbert…………………………………………… Không gian Lp  ฀ n  ……………………………………… Không gian hàm kh vi vô h n gi m nhanh……………… Tích ch p…………………………………………………… 12 ng Phép bi n đ i Fourier……………………………………… 15 Phép bi n đ i Fourier không gian L1  ฀ n  ………… 15 Phép bi n đ i Fourier không gian S ฀ n  …………… 19 Phép bi n đ i Fourier không gian L2  ฀ n  …………… 23 Ch Hàm suy r ng phép bi n đ i Fourier c a hàm suy r ng t ng ch m…………………………………… Ch 25 ng N i suy toán t …………………………………………… 34 3.1 34 nh lý Riesz – Thorin……………… 3.2 Phép n i suy c a h tốn t gi i tích…………………… 40 3.3 Ph ng pháp th c………………….………………………… 41 K t lu n………………………………………………………………… 45 Tài li u tham kh o……………………………………………………… 46 Kho¸ luËn tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán PH NăM ă U 1.ăLỦădoăch năđ ătƠi Gi s Xt,  t  m t h không gian đ nh chu n, T ánh x n tính t Xt vào Y tho mãn T liên t c đ i v i t = t = Khi n i suy tốn t vi c nghiên c u tính liên t c c a T không gian Xt, t   0,1 ây m t v n đ r t lý thú c a Gi i tích có th nghiên c u v n đ này, c n ph i n m đ c v bi n đ i Fourier, tích ch p, hàm suy r ng, lý thuy t không gian Lp , … Th i gian qua, em h c đ c chuyên đ “M t s phép bi n đ i tích phân”, qua đó, chúng em đ c làm quen v i m t s v n đ c s c a Gi i tích hi n đ i B i v y, đ c gi i thi u đ tài khoá lu n t t nghi p, em th y r t phù h p v i đ tài “N i suy tốn t ” Vì v y, em ch n đ tài đ th c hi n khoá lu n t t nghi p 2.ăM căđíchănghiênăc u B c đ u làm quen v i công vi c nghiên c u khoa h c tìm hi u sâu h n v Gi i tích đ c bi t phép bi n đ i Fourier m t s không gian phép n i suy toán t 3.ăNhi măv ănghiênăc u Nghiên c u đ c tr ng, tính ch t c a phép bi n đ i Fourier không gian L1  ฀ n  , S ฀ n  , L2  ฀ n  c a hàm suy r ng t ng ch m Nghiên c u v đ nh lý n i suy Riesz – Thorin ng d ng c a 4.ăPh ngăphápănghiênăc u Nghiên c u lý lu n, phân tích, t ng h p đánh giá 5.ăC uătrúcăc aăkhốălu n Ngồi ph n m đ u, k t lu n, danh m c tài li u tham kh o, khoá lu n g m ch ng Ch ng M t s khái ni m k t qu chu n b Ch ng Phép bi n đ i Fourier Ch ng N i suy tốn t Kho¸ ln tèt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán M TS ăKệăHI UăS ăD NGăTRONGăLU NăV N  C  ฀ n  : Không gian hàm kh vi vô h n ฀ n  C0  ฀ n  : Không gian hàm kh vi vô h n có giá compact ฀ n  C0  ฀ n  : Không gian hàm liên t c có giá compact ฀ n  D  ฀ n  : Không gian hàm c b n  D  ฀ n  : Không gian hàm suy r ng  Tx f  y  f  x  y , y ฀ n , x  ฀ n   My f  x  e f  x  ,   Da f  x  f  ax , a฀ ixy 1  x ฀ n n 2 n                  ,   1 , ,  n  x x x     1  2  n   1      n    1 D       i   h.k.n: H u kh p n i  đpcm: i u ph i ch ng minh Kho¸ luËn tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán CH NGă1 M TăS ăKHÁIăNI MăVẨăK TăQU ăCHU NăB KHÔNGăGIANă 1.1 NHăCHU N nhăngh aăchu năvƠăkhôngăgianăđ nhăchu nă nhăngh aă1.1.1 Ta g i không gian đ nh chu n (hay khơng gian n tính đ nh chu n) khơng gian n tính X tr ng P ( P = ฀ ho c P = ฀ ) v i m t ánh x t X vào t p s th c ฀ , kí hi u đ c chu n, tho mãn u ki n sau đây: 1) x  X  x  0, x   x   (kí hi u ph n t khơng  ); 2) x  X   P   x   x ; 3) x,y  X  x  y  x  y S x g i chu n c a vect x Ta kí hi u khơng gian đ nh chu n X Các tiên đ 1), 2), 3) g i h tiên đ chu n nhăngh aă1.1.2 Ta g i m t n a chu n không gian vect X, n u v i m i x thu c X, t n t i s th c x tho mãn : 1) x  X  x  0; 2) x  X   P   x   x ; 3) x,y  X  x  y  x  y nhălỦă1.1.1 Cho không gian đ nh chu n X i v i hai vect b t kì x, y  X, ta đ t: d  x, y  x  y Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hång K29G - To¸n Khi d m t metric X nhăngh aă1.1.3 Dãy m (xn) c a không gian đ nh chu n X g i h i t t i m x  X xn  x  Kí hi u: lim xn  x hay xn  x (n  ) n u lim n n nhăngh aă1.1.4 Dãy m (xn) không gian đ nh chu n X g i dãy c b n, n u: lim xn  xm  m,n nhăngh aă1.1.5 Không gian đ nh chu n X g i không gian Banach, n u m i dãy c b n X đ u h i t 1.2 Tốnăt ătuy nătínhăb ăch n nhăngh aă1.1.6 Cho hai khơng gian n tính X Y tr ng P ( P = ฀ ho c P = ฀ ) Ánh x A t không gian X vào không gian Y g i n tính, n u ánh x A tho mãn u ki n: 1) x, x  X  A  x  x  Ax  Ax ; 2) x  X   P  A  x    Ax Ta th ng g i ánh x n tính tốn t n tính Khi Y = P tốn t n tính A th ng g i phi m hàm n tính nhăngh aă1.1.7 Cho không gian đ nh chu n X Y Tốn t n tính A t khơng gian X vào không gian Y g i b ch n, n u t n t i h ng s C  cho: Ax  C x , x  X nhăngh aă1.1.8 (1.1) Kho¸ luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán Cho A tốn t n tính b ch n t không gian đ nh chu n X vào không gian đ nh chu n Y H ng s C  nh nh t tho mãn h th c (1.1) g i chu n c a toán t A kí hi u A T đ nh ngh a d dàng th y chu n c a tốn t có tính ch t: 1) x  X  Ax  A x ; 2)   0 x  X   A   x  nhălỦă1.1.2 ( nh lý ba m nh đ t  Ax ng đ ng v toán t n tính liên t c) Cho tốn t n tính A t khơng gian đ nh chu n X vào không gian đ nh chu n Y Ba m nh đ sau t ng đ ng: 1) A liên t c; 2) A liên t c t i m x0 thu c X; 3) A b ch n KHƠNG GIAN HILBERT 2.1ăTíchăvơăh ng Cho khơng gian n tính X tr g i tích vơ h ng m t ánh x ng P ( P = ฀ ho c P = ฀ ) Ta f : X  X  P , kí hi u f(x,y) = (x,y) tho mãn u ki n sau v i m i x, y, z thu c X, v i m i  thu c P : 1)  x, y   y, x  ; 2)  x  y, z   x, z   y, z ; 3)   x, y    x, y ; 4)  x, x   0, x  X;  x, x    x   V i x  X đ t x   x, x  Công th g i c cho m t chu n X v Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - To¸n chu n sinh b i tích vơ h ng 2.2 Không gian Hilbert T p h p H  đ c g i không gian Hilbert n u H tho mãn u ki n: 1) H m t khơng gian n tính tr 2) Trên H xác đ nh m t tích vơ h ng P ; ng; 3) H khơng gian Banach theo chu n sinh b i tích vơ h ng KHƠNG GIAN LP ( ฀ n ) 3.1 Không gian Lp (X),  p   nhăngh aă1.3.1 Gi s X m t t p đo đ c Lebesgue b t kì ฀ n ,  p   Ta kí hi u Lp (X) K không gian vect t t c hàm f t X vào K cho f p kh tích Lebesgue X Trong khơng gian ta đ ng nh t hàm b ng h.k.n p  p V i m i p  f  Lp  X  đ t f p    f d  X  3.1.1ăB tăđ ngăth căHolder Gi s p >1, q >1 s th c tho mãn f  Lp  X  , g  Lq  X  fg  L1  X  fg  f p g q 3.1.2ăB tăđ ngăth căMinkovski Gi s p  f , g  Lp  X  Khi f  g  Lp  X  f  g p  f p  g p 1   N u p q Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - To¸n B ăđ ă1.3.1 N u f  Lp  X   K  f  Lp  X   f p   f p 3.1.3ăNh năxét N u f  h k n  f d  , p  Do hàm f  f p p m t X chu n không gian Lp  X  theo b đ 1.3.1 b t đ ng th c Minkovski V y Lp  X  không gian đ nh chu n Khi X  ฀ n ta có khơng gian Lp  ฀ n  Khi đó: f p p  p    f dx  ฀  n Khi p = L2(X) khơng gian Hilbert Th t v y: V i m i f, g  L2(X), đ t:  f , g   f gd X Công th c cho ta m t tích vơ h ng L2(X) Tích vơ h ng sinh chu n c a không gian L2(X) f 2   f , f  , f  L2  X  nhălỦă1.3.1 V i m i p  1, Lp(X) không gian Banach nhălỦă1.3.2 ( nh lý Fubini) Gi s f  L1  ฀ n  ฀ m  th thì: 1) V i h u kh p x  ฀ n , f  x, y  L1y  ฀ m   f  x, y dy  L  ฀  ; n 1x ฀n 2) V i h u kh p y  ฀ m , f  x, y  L1x  ฀ n   f  x, y dx  L  ฀  m 1y ฀n H nn a ; Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hång K29G - To¸n N u |  | s nhân t d u [ ] v ph i m t nhân t b ch n v y n u f  L2 v trái thu c L2  f  L2s Cu i ta có  x M nh đ đ c ch ng minh ฀ M nhăđ ă2.ă4.5 V i m i s฀ , t  f ng ng f   m t ánh x t L2s  L2s| | x Ch ng minh Là h qu c a m nh đ ฀ M nhăđ ă2.4.6 Không gian L2s đ i ng u v i không gian L2 s Hay n u  : L2s  ฀ m t hàm n tính liên t c có m t hàm suy r ng u  L2 s cho  ( f )  u( f ) ,v i m i f  S ฀ n  M nhăđ ă2.4.7 (B t đ ng th c n i suy) Gi s1  s2  s3 v i m i   tu s ý v i m i hàm f  L2s ( ฀ n ) , ta có: f s2  f s3  c f s , c  c( s1 , s2 , s3 ) s2  s1 s3  s2 , c( s1 , s2 , s3 )  const  Ch ng minh   V i M > tùy ý ta có: (1 |  |2 ) s  (1 |  |2 ) s  M ( (1 |  |2 ) S S )  M   S d ng b t đ ng th c: ab  p q 1 a  b v i   p q p q 35 (4.1) Kho¸ ln tèt nghiƯp Ta Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán c: M 1 |  |  S2  S1 S3  S1 S3  S1 S S 1  M S S 1 |  |2   M S S M p q 1 Do đó: (1 |  |2 ) S   1 |  |2   S3   p M 1 M nh đ đ S3  S1 S2  S1 S S S  S  S 1 |  |2  p ,     q nh v y: f S2  f S3 S2  S1   ( p ) S S f q c ch ng minh S1 ฀ CH NGă3 N IăSUYăTOÁNăT B ng phép n i suy có k t qu sau: N u T ánh x n tính b ch n X0 X1, T b ch n X t v i t  (0,1) Các k t qu sau, xét m t c p không gian đ đo  - h u h n ( M, M ,  ) (N, N , ) 3.1ă nhălỦăRieszăậ Thorin nhălỦă3.1 Cho pj , qj , j  0,1 s m thu c 1, , p0  p1 T toán t n tính t khơng gian hàm đ n gi n L1(M) vào hàm đo đ mãn 36 c N th a Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hång K29G - To¸n Tf N u pt , qt đ c xác đ nh b i qj  Mj f pj 1 t t   ; pt p0 p1 1 t t   ; qt q0 q1 T thác tri n thành tốn t b ch n t Lp vào Lq Tf t qt  Mt f pt Mt th a mãn Mt  M01t M1t V i chu n toán t Tr t c ch ng minh đ nh lý Riesz - Thorin, ta nghiên c u m t vài ng d ng M nhăđ ă3.1 (B t đ ng th c Hausdorff -Young) Bi n đ i Fourier tho mãn, v i  p   1 n 1  p    2   f p' f p M nhăđ ăă3.2ă(B t đ ng th c tích ch p Young) M nh đ c n s d ng đ nh lý Riesz - Thorin N u f  Lp (฀ n ), g  Lq (฀ n ),  p, q, r   1   1 r p q f  g r  f p g q Ch ng minh C đ nh p v i  p   áp d ng đ nh lý 3.1 vào ánh x g  f  g T b t đ ng th c Holder ta có: f  g x  f p g p' , v i p’ s m liên h p c a p Nh v y g  f  g ánh x Lp' (฀ n ) vào L (฀ n ) b t đ ng th c Young d ng đ n gi n ch r ng n u g  L1 f  g p  f 37 p g Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - To¸n Ngh a g  f  g ánh x L1 vào Lp Do theo đ nh lý Riesz - Thorin g  f  g ánh x Lq (฀ n ) vào Lr (฀ n ) v i t t 1 t   1 t t   t 1   ;   qt p rt p   Tr hai v c a đ ng th c trên, ta đ c: 1    rt qt p i u ki n p  t v y ta thu đ ng đ ng v i t  0vµ r  t ng đ ng v i t  Vì c b t đ ng th c c n ch ng minh v i s m p, q, r nh gi thi t ฀ M nhăđ ă3.3 M t cách ch ng minh khác c a b t đ ng th c Young s d ng b t đ ng th c Holder, sau s d ng đ nh lý Riesz - Thorin làm đ c u này, ta s d ng đ nh lý Tonelli đ nh lý Fubini đ thi t l p b t đ ng th c: f g  f g 1; f g  f g  Sau áp d ng đ nh lý 3.1 vào ánh x g  f  g M nhăđ ă3.4 a Gi s K : ฀ n  ฀ n  ฀ đo đ  c K ( x, y) dy  M , n R  K ( x, y) dx  M1 Rn 38 Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - To¸n Tf ( x)   K ( x, y) f ( y)dy xác đ nh m t toán t b ch n T Lp Rn Tf p p 1 p'  M M f p b N u f  L1 (฀ n ), g  Lp (฀ n ) v i  p   f  g  Lp (฀ n ) f g p  f g p Ch ng minh a Tr c tiên ta ch ng minh  f  L1  ฀ n  ,  f  L  ฀ n  , Tf  M1 f Tf   M f  Th t v y:  Tf      K  x, y f  y dydx     K  x, y f  y  dy dx ฀n ฀n ฀n ฀ n      f  y   K  x, y dx  dy ฀ ฀n  n  M1  f  y dy  M1 f ฀n  Tf   sup x    K  x, y f  y dy  sup  K  x, y  sup f  y  dy x ฀n y ฀n     sup   K  x, y dy   f   x ฀ n Áp d ng đ nh lý 3.1 vào ánh x f  Tf t Lp vào Lp v i: p0  q0  1, p1  q1  , pt  qt  p Khi 1 1 t t    , pt p  39   M f  Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - To¸n 1 1 t t    , qt p  1  1 t  t  ( p s m liên h p c a p ) p p hay T đó, ta có T tốn t b ch n L Tf p p p 1 p'  M M f p ( p’ s m liên h p c a p) ฀ b Ta có f  g  x    f  x  y g  y dy ฀n K(x,y) = f  x  y Khi đó: t f  g  x    K  x, y g  y dy, ฀n v i  K  x, y dy   f  x  y dy   f  x  y d  x  y  f  K  x, y dx   f  x  y dx   f  x  y d  x  y  f ฀n ฀ ฀n n ฀ ฀n n ฀ n Áp d ng k t qu ph n a), ta có: f g p   f  f B ăđ ă3.1 (B đ ba đ  p 1 f  p' gp ฀ g p ng th ng) N u f hàm gi i tích mi n z: a  Re z  b , b x b a f b ch n xa b a Ma  sup f (a  it ) , Mb  sup f (b  it ) f ( x  iy)  Ma Mb Ch ng minh Xét f ( x  iy)  e  ( x  iy )2 f ( x  iy) Ma x  iy  b b a Mb a ( x  iy ) b a Hàm th a mãn f ( a  iy)  e a ; f (b  iy)  e b 2 40 v i Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hång K29G - To¸n ylim sup f ( x  iy)   a x b Áp d ng đ nh lý mođun maximum hình ch nh t đ l n, ta có: V i m i z S, f ( z)  max(e a , e b ) 2 Cho   0 ta có u ph i ch ng minh ฀ H ăqu ă3.1 N u thay gi thi t f b ch n b ng gi thi t f  x  iy  eM y v i M > 0, ta c ng đ c k t qu nh b đ B ăđ ă3.2 Gi s po, p1, p th a mãn po< p < p1 Xét s   j aj  E m t hàm đ n j gi n,  j s ph c có đ dài 1,  j  1, aj  0, Ej  h hàm có đ đo h u h n r i t ng đôi Gi s L y s p  1 1 z z   pz p0 p1 , z฀ , p pz sz    j aj  E h sz th a mãn sz j pRez  1,  Rez Ch ng minh S d ng  sz PRez d   aj P   Ej   s p  ฀ *) Bây gi ta s ch ng minh đ nh lý Riesz – Thorin ( nh lý 3.1) C đ nh p  pt ,  t0  Xét hàm đ n gi n s M, s’ N th a mãn: s p  ; t0 41 s' q, t0  Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - To¸n L y h hàm sz , sz' th a mãn b đ 3.2 v i sz đ j = 0,1 sz' đ c xác đ nh b i pj , c xác đ nh b i s m q'j , j  0,1 Theo gi thi t   z   sz'  x  Tsz  x  d  x  hàm gi i tích c a z N T b đ 3.2 gi thi t T suy sup   j  iy  M j , j  0,1 y฀ Vì v y theo đ nh lý ba đ ng th ng, b đ 3.1, ta k t lu n r ng:  sTsd '  M01t M1t 0 Vì s’ hàm đ n gi n tùy ý v i chu n Lq nên ta có: ' Ts q  M01t M1t 0 t0 Cu i cùng, hàm đ n gi n trù m t Lp nên ta có th l y gi i t h n T có th k t lu n T có th đ c m r ng t i Lp T b ch n ฀ H ăqu ă3.2 Gi s T : A  Y ánh x t t p A c a không gian metric X vào khơng gian metric Y Khi n u T liên t c đ u T có nh t m t ánh x m r ng T : A  Y v i A bao đóng c a A H n n a, n u X m t không gian vect , A không gian T ánh x n tính ánh x m r ng c ng ánh x n tính H ăqu ă3.3 N u T ánh x n tính t L2s vào L2r (j =0,1) T ánh x j L2r v i < t