Nội suy toán tử

Li cm n hon thnh khoỏ lun ny, em ó nhn c s giỳp tn tỡnh, t m ca Thy giỏo - Tin s Bựi Kiờn Cng, cng nh cỏc thy, cụ giỏo t Gii tớch, khoa Toỏn, trng i hc s phm H Ni Qua õy, em xin c gi li cm n chõn thnh v sõu sc nht ti thy Bựi Kiờn Cng, ngi ó trc tip hng dn v ch bo em sut quỏ trỡnh lm khoỏ lun ng thi em cng xin chõn thnh cm n cỏc thy, cụ giỏo khoa ó dy d em bn nm qua em hon thnh bi khoỏ lun ny Em xin chõn thnh cm n! H Ni, thỏng 05 nm 2007 Sinh viờn Khng Th Thuý Hng Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán Li cam oan Khoỏ lun ny l kt qu ca bn thõn em quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu bc i hc Bờn cnh ú em cng nhn c s quan tõm, to iu kin ca cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn, c bit l s hng dn nghiờm khc, tn tỡnh ca thy Bựi Kiờn Cng Vỡ vy, em xin khng nh kt qu ca ti Ni suy toỏn t khụng cú s trựng lp vi kt qu ca cỏc ti khỏc H Ni, thỏng 05 nm 2007 Sinh viờn Khng Th Thuý Hng Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán MC LC Phn m u Mt s kớ hiu s dng lun Chng Mt s khỏi nim v kt qu chun b Khụng gian nh chun Khụng gian Hilbert Khụng gian Lp n Khụng gian cỏc hm kh vi vụ hn gim nhanh Tớch chp 12 Chng Phộp bin i Fourier 15 Phộp bin i Fourier khụng gian L1 n 15 Phộp bin i Fourier khụng gian S n 19 Phộp bin i Fourier khụng gian L2 n 23 Hm suy rng v phộp bin i Fourier ca hm suy rng tng chm 25 Chng Ni suy toỏn t 34 3.1 nh lý Riesz Thorin 34 3.2 Phộp ni suy ca h cỏc toỏn t gii tớch 40 3.3 Phng phỏp thc. 41 Kt lun 45 Ti liu tham kho 46 Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán PHN M U Lý chn ti Gi s Xt, t l mt h cỏc khụng gian nh chun, T l ỏnh x tuyn tớnh t Xt vo Y tho T liờn tc i vi t = v t = Khi ú ni suy toỏn t chớnh l vic nghiờn cu tớnh liờn tc ca T trờn cỏc khụng gian Xt, t 0,1 õy l mt rt lý thỳ ca Gii tớch cú th nghiờn cu ny, chỳng ta cn phi nm c v bin i Fourier, tớch chp, hm suy rng, v lý thuyt khụng gian Lp , Thi gian qua, em ó hc c chuyờn Mt s phộp bin i tớch phõn, qua ú, chỳng em ó c lm quen vi mt s c s ca Gii tớch hin i Bi vy, c gii thiu ti khoỏ lun tt nghip, em thy rt phự hp vi ti Ni suy toỏn t Vỡ vy, em ó chn ti ny thc hin khoỏ lun tt nghip Mc ớch nghiờn cu Bc u lm quen vi cụng vic nghiờn cu khoa hc v tỡm hiu sõu hn v Gii tớch c bit l phộp bin i Fourier mt s khụng gian v phộp ni suy toỏn t Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu cỏc c trng, cỏc tớnh cht ca phộp bin i Fourier khụng gian L1 n , S n , L2 n v ca hm suy rng tng chm Nghiờn cu v nh lý ni suy Riesz Thorin v cỏc ng dng ca nú Phng phỏp nghiờn cu Nghiờn cu lý lun, phõn tớch, tng hp v ỏnh giỏ Cu trỳc ca khoỏ lun Ngoi phn m u, kt lun, danh mc ti liu tham kho, khoỏ lun gm chng Chng Mt s khỏi nim v kt qu chun b Chng Phộp bin i Fourier Chng Ni suy toỏn t Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán MT S K HIU S DNG TRONG LUN VN C n : Khụng gian cỏc hm kh vi vụ hn n C0 n : Khụng gian cỏc hm kh vi vụ hn cú giỏ compact n C0 n : Khụng gian cỏc hm liờn tc cú giỏ compact n D n : Khụng gian cỏc hm c bn D n : Khụng gian cỏc hm suy rng Tx f y f x y , y n , x n My f x e f x , Da f x f ax , a ixy x n n n , , , n x x x n n D i h.k.n: Hu khp ni pcm: iu phi chng minh Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán CHNG MT S KHI NIM V KT QU CHUN B KHễNG GIAN NH CHUN 1.1 nh ngha chun v khụng gian nh chun nh ngha 1.1.1 Ta gi khụng gian nh chun (hay khụng gian tuyn tớnh nh chun) l khụng gian tuyn tớnh X trờn trng P ( P = hoc P = ) cựng vi mt ỏnh x t X vo s thc , kớ hiu l v c l chun, tho cỏc iu kin sau õy: 1) x X x 0, x x (kớ hiu phn t khụng l ); 2) x X P x x ; 3) x,y X x y x y S x gi l chun ca vect x Ta kớ hiu khụng gian nh chun l X Cỏc tiờn 1), 2), 3) gi l h tiờn chun nh ngha 1.1.2 Ta gi l mt na chun trờn khụng gian vect X, nu vi mi x thuc X, tn ti s thc x tho : 1) x X x 0; 2) x X P x x ; 3) x,y X x y x y nh lý 1.1.1 Cho khụng gian nh chun X i vi hai vect bt kỡ x, y X, ta t: d x, y x y Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán Khi ú d l mt metric trờn X nh ngha 1.1.3 Dóy im (xn) ca khụng gian nh chun X gi l hi t ti im x X xn x Kớ hiu: lim xn x hay xn x (n ) nu lim n n nh ngha 1.1.4 Dóy im (xn) khụng gian nh chun X gi l dóy c bn, nu: lim xn xm m,n nh ngha 1.1.5 Khụng gian nh chun X gi l khụng gian Banach, nu mi dóy c bn X u hi t 1.2 Toỏn t tuyn tớnh b chn nh ngha 1.1.6 Cho hai khụng gian tuyn tớnh X v Y trờn trng P ( P = hoc P = ) nh x A t khụng gian X vo khụng gian Y gi l tuyn tớnh, nu ỏnh x A tho cỏc iu kin: 1) x, x X A x x Ax Ax ; 2) x X P A x Ax Ta thng gi ỏnh x tuyn tớnh l toỏn t tuyn tớnh Khi Y = P thỡ toỏn t tuyn tớnh A thng gi l phim hm tuyn tớnh nh ngha 1.1.7 Cho khụng gian nh chun X v Y Toỏn t tuyn tớnh A t khụng gian X vo khụng gian Y gi l b chn, nu tn ti hng s C cho: Ax C x , x X nh ngha 1.1.8 (1.1) Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán Cho A l toỏn t tuyn tớnh b chn t khụng gian nh chun X vo khụng gian nh chun Y Hng s C nh nht tho h thc (1.1) gi l chun ca toỏn t A v kớ hiu l A T nh ngha d dng thy chun ca toỏn t cú cỏc tớnh cht: 1) x X Ax A x ; 2) x X A x Ax nh lý 1.1.2 (nh lý ba mnh tng ng v toỏn t tuyn tớnh liờn tc) Cho toỏn t tuyn tớnh A t khụng gian nh chun X vo khụng gian nh chun Y Ba mnh sau õy tng ng: 1) A liờn tc; 2) A liờn tc ti im x0 no ú thuc X; 3) A b chn KHễNG GIAN HILBERT 2.1 Tớch vụ hng Cho khụng gian tuyn tớnh X trờn trng P ( P = hoc P = ) Ta gi l tớch vụ hng mt ỏnh x f : X X P , kớ hiu f(x,y) = (x,y) tho cỏc iu kin sau vi mi x, y, z thuc X, vi mi thuc P : 1) x, y y, x ; 2) x y, z x, z y, z ; 3) x, y x, y ; 4) x, x 0, x X; x, x x Vi x X t x x, x Cụng thc trờn cho mt chun trờn gi X v Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán l chun sinh bi tớch vụ hng 2.2 Khụng gian Hilbert Tp hp H c gi l khụng gian Hilbert nu H tho cỏc iu kin: 1) H l mt khụng gian tuyn tớnh trờn trng P ; 2) Trờn H xỏc nh mt tớch vụ hng; 3) H l khụng gian Banach theo chun sinh bi tớch vụ hng KHễNG GIAN LP ( n ) 3.1 Khụng gian Lp (X), p nh ngha 1.3.1 Gi s X l mt o c Lebesgue bt kỡ n , p Ta kớ hiu Lp (X) l K khụng gian vect tt c cỏc hm f t X vo K cho f p kh tớch Lebesgue trờn X Trong khụng gian ny ta ng nht cỏc hm bng h.k.n p p Vi mi p v f Lp X t f p f d X 3.1.1 Bt ng thc Holder Gi s p >1, q >1 l cỏc s thc tho f Lp X , g Lq X thỡ fg L1 X v fg f p g q 3.1.2 Bt ng thc Minkovski Gi s p v f , g Lp X Khi ú f g Lp X v f g p f p g p 1 Nu p q Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán B 1.3.1 Nu f Lp X v K thỡ f Lp X v f p f p 3.1.3 Nhn xột Nu f h k n thỡ f d , p Do ú hm f f p p l mt X chun khụng gian Lp X theo b 1.3.1 v bt ng thc Minkovski Vy Lp X l khụng gian nh chun Khi X n thỡ ta cú khụng gian Lp n Khi ú: f p p p f dx n Khi p = thỡ L2(X) l khụng gian Hilbert Tht vy: Vi mi f, g L2(X), t: f , g f gd X Cụng thc trờn cho ta mt tớch vụ hng trờn L2(X) Tớch vụ hng ny sinh chun ca khụng gian L2(X) f 2 f , f , f L2 X nh lý 1.3.1 Vi mi p 1, Lp(X) l khụng gian Banach nh lý 1.3.2 (nh lý Fubini) Gi s f L1 n m th thỡ: 1) Vi hu khp x n , f x, y L1y m v f x, y dy L ; n 1x n 2) Vi hu khp y m , f x, y L1x n v f x, y dx L m 1y n Hn na ; Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán Nu | | s thỡ nhõn t du [ ] v phi l mt nhõn t b chn vỡ vy nu f L2 thỡ v trỏi thuc L2 f L2s Cui cựng ta cú x Mnh c chng minh Mnh 4.5 f Vi mi s , tng ng f l mt ỏnh x t L2s L2s| | x Chng minh L h qu ca mnh trờn Mnh 2.4.6 Khụng gian L2s i ngu vi khụng gian L2 s Hay nu : L2s l mt hm tuyn tớnh liờn tc thỡ cú mt hm suy rng u L2 s cho ( f ) u( f ) ,vi mi f S n Mnh 2.4.7 (Bt ng thc ni suy) Gi s s1 s2 s3 ú vi mi tu ý v vi mi hm f L2s ( n ) , ta cú: f s2 f s3 c f s , ú c c( s1 , s2 , s3 ) s2 s1 s3 s2 , c( s1 , s2 , s3 ) const Chng minh Vi M > tựy ý ta cú: (1 | |2 ) s (1 | |2 ) s M ( (1 | |2 ) S S ) M S dng bt ng thc: ab p q 1 a b vi p q p q 35 (4.1) Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán Ta c: M | | S2 S1 S3 S1 S3 S1 S S 1 M S S | |2 M S S M p q 1 Do ú: (1 | |2 ) S | |2 S3 ú p M S3 S1 S2 S1 S S S S S | |2 p , q v nh vy: f S2 f S3 S2 S1 ( p ) S S f q Mnh c chng minh 2 S1 CHNG NI SUY TON T Bng phộp ni suy chỳng ta cú kt qu sau: Nu T l ỏnh x tuyn tớnh b chn trờn X0 v X1, thỡ T b chn trờn X t vi t (0,1) Cỏc kt qu sau, chỳng ta xột trờn mt cp khụng gian o - hu hn ( M, M , ) v (N, N , ) 3.1 nh lý Riesz Thorin nh lý 3.1 Cho pj , qj , j 0,1 l s m thuc 1, , p0 p1 T l toỏn t tuyn tớnh t khụng gian cỏc hm n gin L1(M) vo cỏc hm o c trờn N tha 36 Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán Tf Nu pt , qt c xỏc nh bi qj Mj f pj 1 t t ; pt p0 p1 1 t t ; qt q0 q1 thỡ T thỏc trin thnh toỏn t b chn t Lp vo Lq v Tf t t qt Mt f pt Vi chun toỏn t Mt tha Mt M01t M1t Trc chng minh nh lý Riesz - Thorin, ta nghiờn cu mt vi ng dng Mnh 3.1 (Bt ng thc Hausdorff -Young) Bin i Fourier tho món, vi p n p f p' f p Mnh 3.2 (Bt ng thc tớch chp Young) Mnh ny cn s dng nh lý Riesz - Thorin Nu f Lp ( n ), g Lq ( n ), p, q, r v 1 r p q thỡ f g r f p g q Chng minh C nh p vi p v ỏp dng nh lý 3.1 vo ỏnh x g f g T bt ng thc Holder ta cú: f g x f p g p' , vi p l s m liờn hp ca p Nh vy g f g ỏnh x Lp' ( n ) vo L ( n ) v bt ng thc Young dng n gin ch rng nu g L1 thỡ f g p f 37 p g Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán Ngha l g f g ỏnh x L1 vo Lp Do ú theo nh lý Riesz - Thorin g f g ỏnh x Lq ( n ) vo Lr ( n ) vi t t 1 t 1 t t t ; qt p rt p Tr hai v ca ng thc trờn, ta c: 1 rt qt p iu kin p tng ng vi t 0và r tng ng vi t Vỡ vy ta thu c bt ng thc cn chng minh vi s m p, q, r nh gi thit Mnh 3.3 Mt cỏch chng minh khỏc ca bt ng thc Young l s dng bt ng thc Holder, sau ú s dng nh lý Riesz - Thorin lm c iu ny, ta s dng nh lý Tonelli v nh lý Fubini thit lp bt ng thc: f g f g 1; f g f g Sau ú ỏp dng nh lý 3.1 vo ỏnh x g f g Mnh 3.4 a Gi s K : n n o c v K ( x, y) dy M , n R K ( x, y) dx M1 Rn 38 Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán thỡ Tf ( x) K ( x, y) f ( y)dy xỏc nh mt toỏn t b chn T trờn Lp v Rn Tf p p 1 p' M M f p b Nu f L1 ( n ), g Lp ( n ) vi p thỡ f g Lp ( n ) v f g p f g p Chng minh a Trc tiờn ta chng minh f L1 n , Tf M1 f f L n , Tf M f Tht vy: Tf K x, y f y dydx K x, y f y dy dx n n n n f y K x, y dx dy n n M1 f y dy M1 f n Tf sup x K x, y f y dy sup K x, y sup f y dy x n y n sup K x, y dy f x n p dng nh lý 3.1 vo ỏnh x f Tf t Lp vo Lp vi: p0 q0 1, p1 q1 , pt qt p Khi ú 1 t t , pt p 39 M f Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán 1 t t , qt p 1 t t ( p l s m liờn hp ca p ) p p hay T ú, ta cú T l toỏn t b chn trờn L v Tf p p p 1 p' M M f p ( p l s m liờn hp ca p) b Ta cú f g x f x y g y dy n K(x,y) = f x y Khi ú: t f g x K x, y g y dy, n vi K x, y dy f x y dy f x y d x y f K x, y dx f x y dx f x y d x y f n n n n n n p dng kt qu phn a), ta cú: f g p f f p 1 f p' gp g p B 3.1 (B ba ng thng) Nu f l hm gii tớch trờn z: a Re z b , b x b a f b chn v xa b a Ma sup f (a it ) , Mb sup f (b it ) thỡ f ( x iy) Ma Mb Chng minh Xột f ( x iy) e ( x iy )2 f ( x iy) Ma x iy b b a Mb a ( x iy ) b a Hm ny tha f ( a iy) e a ; f (b iy) e b 2 40 vi Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán v ylim sup f ( x iy) a x b p dng nh lý moun maximum trờn hỡnh ch nht ln, ta cú: Vi mi z S, f ( z) max(e a , e b ) 2 Cho ta cú iu phi chng minh H qu 3.1 Nu thay gi thit f b chn bng gi thit f x iy eM y vi M > 0, thỡ ta cng c kt qu nh b trờn B 3.2 Gi s po, p1, p tha po< p < p1 Xột s j aj E l mt hm n j gin, j l s phc cú di 1, j 1, aj 0, Ej l h cỏc hm cú o hu hn ri tng ụi Gi s s p Ly 1 z z pz p0 p1 , z , p pz sz j aj E thỡ h sz tha sz j pRez 1, Rez Chng minh S dng sz PRez d aj P Ej s p *) Bõy gi ta s chng minh nh lý Riesz Thorin (nh lý 3.1) C nh p pt , t0 Xột hm n gin s trờn M, s trờn N tha món: s p ; t0 41 s' q, t0 Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán Ly h hm sz , sz' tha b 3.2 vi sz c xỏc nh bi pj , j = 0,1 v sz' c xỏc nh bi s m q'j , j 0,1 Theo gi thit z sz' x Tsz x d x l hm gii tớch ca z N T b 3.2 v gi thit trờn T suy sup j iy M j , j 0,1 y Vỡ vy theo nh lý ba ng thng, b 3.1, ta kt lun rng: sTsd ' M01t M1t 0 Vỡ s l hm n gin tựy ý vi chun Lq nờn ta cú: ' Ts q M01t M1t 0 t0 Cui cựng, vỡ cỏc hm n gin trự mt Lp nờn ta cú th ly gii t hn T ú cú th kt lun T cú th c m rng ti Lp v T b chn H qu 3.2 Gi s T : A Y l ỏnh x i t A ca khụng gian metric X vo khụng gian metric Y Khi ú nu T liờn tc u thỡ T cú nht mt ỏnh x m rng T : A Y vi A l bao úng ca A Hn na, nu X l mt khụng gian vect, A l khụng gian v T l ỏnh x tuyn tớnh thỡ ỏnh x m rng cng l ỏnh x tuyn tớnh H qu 3.3 Nu T l ỏnh x tuyn tớnh t L2s vo L2r (j =0,1) thỡ T ỏnh x L2s vo j L2r vi < t [...]... Do đó   u  u 4.4 Toán tử nhân Nếu m  là hàm suy rộng tăng chậm thì m xác định một toán tử nhân Xác định bởi: T f  m   m  fˆ Hàm m được gọi là biểu trưng của toán tử Rõ ràng Tm là ánh xạ từ S vào S Ta chưa xác định được tính liên tục của ánh xạ này vì chưa cho tôpô trên S   n  Thuận lợi chính là khi cho m là một hàm khả tích địa phương Khi đó một hàm sẽ là hàm suy rộng tăng chậm... vậy Tm  m   Chú ý : Nếu s là số thực thì chúng ta có thể xác định Js toán tử thế vị Bessel cấp s bởi: J f   s   1  2  s 2 fˆ Nếu s 0 , từ định lý 2.4.2 suy ra Js f  L2 khi f  L2 Hơn nữa, nếu  là đa chỉ số, có   s thì với mỗi hằng số C, ta có:  Js f x  C f 2 L2  Toán tử bị chặn f   Js f gọi là toán tử nhân x s 2 2 Ký hiệu: (i ) /(1 |  | )  4.5 Không gian Sobolev Định... 4.2 Giả sử Tm là toán tử nhân cho bởi hàm đo được m Toán tử Tm bị chặn trên L2 nếu và chỉ nếu m L Hơn nữa Tm  m  Chứng minh Nếu m L , ta có: 32 Kho¸ luËn tèt nghiÖp Tm f 2 Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n  m  f 2 , suy ra Tm  m    Ngược lại, xét Et   : m   t và giả sử tập hợp này có độ đo dương Nếu chọn Ft  Et với 0  m F    , ta có: Tm   F t  t F t 2 , suy ra Tm  m ...   S  n  n Do đó ˆ  1 Ta sẽ gọi mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D   n  là một hàm suy rộng, kí hiệu tập hợp các hàm suy rộng này là D   n  Định nghĩa 2.4.5 Tích chập của hàm suy rộng f  S   n  với hàm   S  n  được xác định bởi:  f   x   f    Tx  4.3 Hàm suy rộng có giá compact Định lý 2.4.1 Giả sử u D   n  có giá compact,   S  n  thì: 1) Tx ...    D   x    x    1 x    j  29 n N dx , Kho¸ luËn tèt nghiÖp suy ra D Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n  x    j  0 , khi j   1 Do vậy ˆ j  0 trong S  n  , khi j   Vì u là hàm suy rộng tăng chậm nên uˆ j   0 trong S  n  , khi j  Vậy uˆ là hàm liên tục, suy ra uˆ là hàm suy rộng tăng chậm Mệnh đề được chứng minh  Nếu f  S thì f  x   f   x  khi... được trên X gọi là chủ yếu giới nội trên X nếu tồn tại một tập hợp P  M có độ đo không sao cho f giới nội trên tập X \ P, tức là tồn tại một số K sao cho: f  x   K , x  X \ P (3.2.1) Cận dưới đúng của tập các số K thoả mãn (3.2.1) trong đó P là tập có độ đo không gọi là cận dưới đúng chủ yếu của f, kí hiệu esssup f  x  xX Định lý 1.3.4 Nếu f là hàm chủ yếu giới nội trên X thì f  x   esssup... trù mật trong không gian Lp   n  ( 1  p   ) Chứng minh Theo định lý 1.4.1 C0   n  trù mật trong Lp   n  Lp   n   C0   n  suy ra (4.1) Mặt khác: C0   n   S  n   Lp   n  suy ra C0   n   S  n  (4.2) Từ (4.1) và (4.2) suy ra Lp   n   S  n  Vậy S  n  trù mật trong Lp   n   Định lý 1.4.3 Không gian S  n  không trù mật trong không gian L   n...   S   n    do đó thuộc L    , suy ra: n 1 sup    D  ˆ     sup D   n   n  sup  e i x D   n  n  e i x 1 D    x    ^      x     x  dx   x     D 1  x    Do đó ˆ  S  n  Mệnh đề được chứng minh  1  Định lý 2.2.1 (Công thức Fourier ngược)  fˆ    f f  S  n  Trong đó toán tử  xác định bởi:  f  x  1 ix f  S... n fˆ    lim  2  2 n    n;n e ix f  x  dx Hệ quả 2.3.1 (Đẳng thức Parseval) Với mọi hàm f  L2   n  , ta có n fˆ   2  f 2 2 Chứng minh Suy ra trực tiếp từ định lý 2.3.1  Đ4 HÀM SUY RỘNG VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER CỦA HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM 4.1 Định nghĩa và ví dụ 27 Kho¸ luËn tèt nghiÖp Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n Định nghĩa 2.4.1 Một ánh xạ tuyến tính T từ S  n  vào S ... hàm tuyến tính liên tục trên V Ta gọi là không gian các hàm suy rộng tăng chậm, kí hiệu S   n  là không gian đối ngẫu của S  n  Ví dụ 2.4.1 Với mỗi f  S  n  cho ta một hàm suy rộng tăng chậm bởi công thức : g  uf  g   f  x  g  x  dx n Ví dụ 2.4.2 Nếu f  Lp   n  với mỗi p, 1  p   , thì chúng ta có thể xác định hàm suy rộng tăng chậm uf bởi : uf  g   f  x  g  x  dx ... Khoá luận tốt nghiệp suy D Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán x j , j Do vy j S n , j Vỡ u l hm suy rng tng chm nờn u j S n , j Vy u l hm liờn tc, suy u l hm suy rng tng chm Mnh... cú n f f Chng minh Suy trc tip t nh lý 2.3.1 HM SUY RNG V BIN I FOURIER CA HM SUY RNG TNG CHM 4.1 nh ngha v vớ d 27 Khoá luận tốt nghiệp Khổng Thị Thuý Hồng K29G - Toán nh ngha 2.4.1 Mt ỏnh... i Fourier khụng gian L2 n 23 Hm suy rng v phộp bin i Fourier ca hm suy rng tng chm 25 Chng Ni suy toỏn t 34 3.1 nh lý Riesz Thorin 34 3.2 Phộp ni suy ca h cỏc toỏn t gii tớch 40 3.3