Sai số và nội suy

Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Sau thời gian miệt mài vào nghiên cứu với giúp đỡ thầy cô giáo bạn sinh viên trường Đại học sư phạm Hà Nội đến khóa luận em hoàn thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Ts Nguyễn Văn Hùng giúp đỡ hướng dẫn em tận tình trình chuẩn bị hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em có hội để tập dược với việc nghiên cứu khoa học Đồng thời em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô tổ Giải tích trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, động viên giúp đỡ đóng góp ý kiến bạn bè dành cho em trình học tập hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Vì lần em làm quen với công việc nghiên cứu kiến thức thân hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót Em mong đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Hoàng Thị Oanh GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lời cam đoan Tôi xin cam đoan khóa luận công trình nghiên cứu riêng tôi, sức lực thân nghiên cứu hoàn thành sở kiến thức học tham khảo tài liệu với giúp đỡ thầy cô bạn bè Nó không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Hoàng Thị Oanh GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Mục lục Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu Chương 1: kiến thức chuẩn bị 1.1 Sự khác biệt toán lý thuyết toán tính 1.2 Quan hệ toán học tính toán tin học Chương 2: sai số 2.1 Số gần Sai số tuyệt đối Sai số tương đối 2.1.1 Số gần 2.1.2 Sai số tuyệt đối 2.1.3 Sai số tương đối Sai số quy tròn 10 2.2.1 Sai số quy tròn 10 2.2.2 ảnh hưởng sai số quy tròn 12 Chữ số 13 2.3.1 Chữ số có nghĩa 13 2.3.2 Chữ số 13 2.3.3 Cách viết chuẩn sai số gần 15 2.3.4 Quan hệ sai số tương đối chữ số 16 Sai số 18 2.4.1 Khái niệm vài loại sai số 18 2.4.2 Sai số số liệu ban đầu 18 2.4.3 Sai số tính toán 19 Bài toán ngược sai số 21 2.2 2.3 2.4 2.5 GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội 2.6 Khóa luận tốt nghiệp Phụ lục: Sự ổn định trình 22 2.6.1 Mở đầu 22 2.6.2 Thí dụ 23 Bài tập 24 Chương 3: nội suy 27 3.1 Đa thức nội suy Lagrange 27 3.1.1 Đa thức nội suy 27 3.1.2 Sự đa thức nội suy 28 3.1.3 Đa thức nội suy Lagrange với mốc 28 3.1.4 Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách 29 3.1.5 Sử dụng lập trình Pascal để tính giá trị hàm số f(x) 32 mốc theo đa thức nội suy Lagrange Bài tập 34 3.2 Sai phân 35 3.2.1 Định nghĩa 35 3.2.2 Các tính chất sai phân 36 3.2.3 Bảng sai phân 38 3.2.4 ứng dụng sai phân 40 3.2.5 Ví dụ 44 3.2.6 Tính toán máy 47 Bài tập 49 3.3 Sai số phép nội suy 51 3.3.1 Sai số phương pháp 52 3.3.2 Sai số tính toán 53 3.3.3 Chọn mốc nội suy tối ưu 55 Bài tập 56 3.4 56 Tỷ sai phân GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 3.4.1 Định nghĩa 57 3.4.2 Tính chất 57 3.4.3 Đa thức nội suy Newton với mốc 59 3.4.4 Tính toán máy 61 3.4.5 Bài tập nội suy ngược 63 Bài tập 64 3.5 Đa thức nội suy Hermitte nội suy hàm ghép trơn 66 3.5.1 Đa thức nội suy Hermitte 66 3.5.2 Nội suy hàm ghép trơn 67 Bài tập 71 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Mở đầu Lý chọn đề tài Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải toán thực tế Ngày nay, khoa học công nghệ thông tin, tin học ngày phát triển kéo theo phát triển toán học Toán học chia làm hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết toán học ứng dụng Nói đến toán học ứng dụng không nói đến Giải tích số môn khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu giải số, phương trình, toán xấp xỉ hàm số toán tối ưu Để có lời giải gần cho toán đòi hỏi phải có liệu toán, công việc tìm thuật toán hữu hiệu cuối viết phương trình để máy tính tính toán cho ta kết gần Khi giải toán thực tế ta phải trực tiếp gián tiếp làm việc với liệu toán Chính không tránh khỏi sai số nhỏ ảnh hưởng trực tiếp tới kết tính toán Vì cần phải sử dụng thuật toán hữu hiệu để giảm thiểu sai số đồng thời thuận lợi cho việc lập trình tiết kiệm thời gian, số lượng phép toán Được hướng dẫn tận tình Ts.Nguyễn Văn Hùng với lòng say mê nghiên cứu khoa học em chọn đề tài cho khóa luận tốt nghệp em là:” Sai số Nội suy” Mục đích nghiên cứu Bước đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu Giải tích số đặc biệt sai số phương pháp nội suy Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu sai số để hiểu rõ sai số chương I sách giáo khoa lớp 10 GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Nghiên cứu phương pháp nội suy để ứng dụng việc tính gần đạo hàm tích phân Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, tổng hợp, đánh giá Cấu trúc khóa luận Gồm phần: Phần I: Mở đầu Phần II: Nội dung Gồm chương: Chương I: Kiến thức chuẩn bị Chương II: Sai số Chương III: Nội suy Phần III: Kết luận GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Sự khác biệt toán lý thuyết toán học tính toán Trong toán học lý thuyết để cập đến chứng minh tồn nghiệm, khảo sát dáng điệu số tính chất định tính nghiệm toán tính trình bày thuật giải máy Giải tích số đặc biệt quan tâm đến thời gian máy, nhớ cần sử dụng để giải toán, thuật toán, tốc độ hội tụ ổn định thuật toán Trong trình giải số toán, nhiều nảy sinh vấn đề mà lý thuyết không quan tâm không giải Để hiểu rõ khác biệt toán tính toán lý thuyết ta xét số ví dụ sau: Ví dụ 1.1 Giả sử cần tính tích phân :  n  1 I n   x ne x2dx Tích phân phần ta được: In  x e I1   x e 1  n  x n1e x 2 dx   nI n1 e n x 2 x 2 dx  xe x 2 1   e x2dx   0,135335 e2 Đến người làm lý thuyết cho tính I n , theo công thức truy hồi I n  1  nI n1 với I1   0,135335 e e Thực I9  0,0251923 Kết hoàn toàn không xác n, I n  Nguyên nhân thiếu xác sai số ban đầu mắc phải 1 tính e , nhỏ bị khuếch đại sau bước GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 2: Cho hệ phương trình đại số tuyến tính : Ax  b (1.1) Trong A ma trận vuông cấp n  n , b vectơ n – chiều, cho trước n Giả sử det A  , x  R véctơ nghiệm cần tìm Theo nguyên tắc, ta giải hệ (1.1) theo quy tắc Crame : xi  i  (1.2) Trong   det A ,  i định thức ma trận, nhận từ A cách thay cột thứ i cột b Để tìm nghiệm (1.1) ta phải tìm (n + 1) định thức Mỗi định thức có n ! số hạng Mỗi số hạng có n thừa số, để tính số hạng phải thực (n  1) phép nhân Như riêng số phép nhân phải thực (1.2) n !(n  1) (n  1) Giả sử n = 30, máy tính ta thực 10 phép nhân giây Khi để thực hết phép nhân theo (1.2) phải 2, 76 10 năm 25 Ví dụ 1.3: Xét hệ (1.1) với ma trận A  diag  0.1,0.1, ,0.1 , n  200 Khi đó, det A  10200  theo quan điểm lý thuyết ma trận A hầu suy biến Trong A  0,1.E với E ma trận đơn vị Trong toán học tính toán, người ta dùng đặc trưng khác, gọi số điều kiện cond  A  A để kiểm tra tính suy biến Nếu cond  A  lớn ma trận A gần suy biến GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ví dụ cond  A  cond  E   Ma trận A có tính chất ma trận đơn vị 1.2 Quan hệ toán học tính toán tin học Các bước để giải số toán thực tế bao gồm: Bước 1: Xây dựng mô hình toán học toàn thực tế Bước 2: Phân tích mô hình Mối tương quan mô hình với tượng thực tế Sự tồn (và nhất) lời giải Phác thảo phương hướng tính toán Bước 3: Rời rạc hoá mô hình: Người ta thường dùng phương pháp sai phân, phần tử hữu hạn để qui toán liên tục toán với số ẩn hữu hạn Bước 4: Xây dựng thuật toán Bước 5: Cài đặt khai thác tin học Giữa toán học tính toán tin học có mối liến hệ mật thiết tác động qua lại lẫn Do sống người ngày văn minh, tiến bộ, đại, đời sống vật chất tinh thần nâng cao, đòi hỏi việc tính toán cần phải nhanh, xác Nếu ta tiến hành tăng tốc độ tính toán máy gặp nhiều khó khăn kĩ thuật Hơn lại đòi hỏi chi phí lớn, nên để tính toán nhanh người ta thiên cải tiến phương pháp giải toán Từ xuất phép biến đổi nhanh Fouier, thuật toán song song Chính vậy, ngày làm việc vậy, trước cho đời sản phầm người ta nghĩ đến đầu nó, cách làm để thu lợi nhuận lớn Thì khoa học công nghệ vậy, đồng hành với đời siêu máy tính: Máy tính song song, máy tính véctơ vv , phương pháp song song Ngày nay, ta chứng kiến xu song song hoá diễn tất lĩnh vực Giải tích số Để tiết kiệm nhớ máy tính người ta đề xuất phương pháp hữu hiệu xử lý hệ lớn, thưa kĩ thuật nén ma trận, kỹ thuật tiền xử lý ma trận Chương 2: Sai số GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đây ưu điểm đa thức nội suy Newton so với đa thức nội suy Lagrange Ví dụ 3.4.2 Hàm số (f(x) cho bảng: x 10 15 18 20 f ( x) 10 19 Hãy tính f(11,75)? Giải Vì mốc nội suy không cách đều, ta sử dụng công thức nội suy Newton với mốc Ta lập bảng tỷ sai phân: f ( x) x 10 15 18 10 20 19 Ta có: TSPC1 TSPC2 TSPC3 0,8 0, 025 4,5 0,0875 0,9 f ( x)   0,8( x  10)  0,025( x  10)( x  15)  0,0875( x  10)( x  15)( x  18) = 0,0875 x3  3,7375 x  52,675 x  237,5 Suy f(11,75)=7,368164063 3.4.4 Tính toán máy tính Chương trình Pascal công thức nội suy Newton với mốc VAR a, f, g: real; GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp n, i, j: integer; n, y, P: array 0 100 of Real; BEGIN Write („cho n =‟); Readln (n), For i: = to n Begin write („moc noi suy thu‟, i, „ la‟); Readln (x[i]); End; For j:=0 to n Begin Write(„gia tri ham so tai moc noi suy thu‟,i,‟la:‟); Readln(y i  ); end; write („ Nhap gia tri can tinh: „);Readln (a); f: = y[0]; For i: = to n – Begin P i   ( y i  1  y i ) /( x i  1  x i ) ; End; g: = x  x  0 ; f : f  g * P 0 ; For j: = to n Begin GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp For i: = to n – j Begin P i  : ( P i  1  P i ) /  x i  1  x i ; End; g: = g* (x-x[j]); f: = g*P[0]; end; write (f:2:9); Readln; End 3.4.5 Bài toán nội suy ngược Giả sử ta có bảng giá trị xk , f ( xk ) kn0 Cần tìm x khoảng ( x0 , xn ) để f ( x)  y cho trước Nếu hàm f ( x) đơn điệu, tức sgn f ( xk ) = const ( (k  0, n) ta xây dựng đa thức nội suy P ( y ) dựa vào số liệu  yk , xk k 0 n yk  f ( xk ) Đặt y  y ta tìm x  P( y ) Ví dụ 3.4.3 Dựa vảo bảng giá trị hàm số xác định giá trị x tương ứng với giá trị y  f ( x) , cho trước GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp x 2,5 y -5 -1 5,715 14 y=0 Giải Ta lập đa thức nội suy P ( y ) dựa vào ký hiệu  yk , xk k 0 yk  f ( xk ) y -5 -1 5,715 14 x 2,5 x y= f ( x) TSPC1 TSPC2 TSPC3 -5 -1 5,715 2,5 14 0, 25 0,01638 0,07446 0,06035 0,00092 -0,00108 áp dụng công thức nội suy Newton với mốc ta có: x  P(0)   0,25.5  0,01638.5.1  0,00092.5.1.(5,715)  2,141811 Bài tập Tìm đa thức nội suy hàm số f ( x ) cho bảng x -5 -3 GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội y 62 Khóa luận tốt nghiệp 21 -12 Hàm số f ( x ) cho bảng x 0,13 0,55 0,82 1,0 1,5 y 0,025 0,124 0,855 1,275 2,438 Tính f (0,25 ) Dựa vào bảng giá trị hàm số, xác định giá trị tương ứng với giá trị y  f ( x) cho trước: x y 14 24 49 81 y = 20 Hướng dẫn: ĐS: f ( x)  0,557 x  1,356 x  4,055x  56 2 ĐS: f ( x)  4,33331x  15,90622x  20,41763x  8,37170x +0,80197 f (0,25)  0,24646082 Ta lập đa thức nội suy P ( y ) dựa vào số liệu  yk , xk k 0 yk  f ( xk ),  k  0,1,2,3 y 12 24 50 82 x Lập bảng tỉ sai phân y x 14 24 TSPC TSPC TSPC 0, 0,00342857 0,08 GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng 0,00014194 SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội 49 Khóa luận tốt nghiệp -0,01293860 0,0625 81 Vậy p( y )   0,2( y  14)  0,00342857( y  14)( y  24) 0,00014194( y  14)( y  24)( y  81) P(20)  4,07448408 Vậy x  4,07448408 3.5 Đa thức nội suy Hermitte nội suy hàm ghép trơn 3.5.1 Đa thức nội suy Hermitte 3.5.1.1 Bài toán Giả sử y  f ( x) hàm số xác định đoạn  a, b , x0 , x1, , xn n  mốc nội suy đoạn  a, b Hãy tìm đa thức H n1 ( x) thoả mãn điều kiện sau: i, deg H n1 ( x)  2n  ii, H n1 ( xi )  f ( xi ) i  0,1 , n iii, H '2n1  f '( xi ) i  0,1, n Trong đó, f '( xi ) đạo hàm hàm số y  f ( x) xi H '2n1 ( xi ) đạo hàm hàm H n1 ( x) xi 3.5.1.2 Đa thức nội suy Hermitte Đa thức H n1 ( x) thoả mãn điều kiện gọi đa thức nội suy Hermitte, đó: GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp    "( xi )  H n1 ( x)    f ( xi ) 1  ( x  xi )  i 0     '( xi )  n    ( x)  f '( xi )( x  x )    ( x  x1 ) '( x1 )  (3.5.1) Nhận xét: Đa thức nội suy Hermitte có đặc điểm riêng khác với đa thức nội suy Lagrange đa thức nội suy Newton yêu cầu trùng đa thức nội suy hàm số cho mốc nội suy có yêu cầu trùng giá trị đạo hàm chúng Ví dụ: 3.5.1: Hãy tìm đa thức nội suy Hermitte hàm số y  f ( x) đoạn 0,2 cho bảng: x y y‟ Giải Ta có x0  0, f ( x0 )  1, f '( x0 )  x1  1, f ( x1 )  3, f ' ( x )  x2  2, f ( x2 )  4, f '( x2 )  ( x )  x( x  1)( x  2) Suy  '( x)  3x  x  ,  ''( x)  x   '( x0 )  2;  ''( x0 )  6  '( x1 )  1, ''( x1 )  GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 3' ( x2 )  2, ''( x2 )  áp dụng công thức(3.5.1) ta được: 33 H ( x)   x3  x  11x 2 3.5.2 Nội suy hàm ghép trơn (Spline đa thức) Các đa thức nội suy xét có hạn chế tăng mốc nội suy lên bậc đa thức nội suy tăng lên Điều không thuận lợi tính toán Trong trường hợp này, ta thực phép nội suy nhờ hàm ghép trơn (spline) đa thức khúc ghép nối trơn tru Giả sử hàm số f ( x ) xác định đoạn  a, b Xét phân hoạch đoạn  a, b , a  x0  x1   xn1  xn  b Gọi sm ( x) hàm nội suy ghép trơn bậc m thoản mãn điều kiện: i, Là đa thức bậc m đoạn  xk 1 , xk  , (k  1, n) ii, Thuộc lớp C m1  a, b  (m  1)   iii, sm ( xk )  f ( xk ) k  0, m Nếu m  , sm ( x) xác định ta bổ sung thêm (m  1) điều kiện Các điều kiện bổ sung gọi điều kiện biên Khi m  , ta có phương pháp đường gấp khúc Sau trình bày số kết Alberg, Nilson Walsh spline bậc ba: m  Giả sử đoạn  a, b hàm số f ( x ) nhận giá trị mốc nội suy   xi i  1, n x1  a; xn  b Ta xác định hàm ghép trơn s3 ( x) i   đoạn  xi , xi 1  Biểu thị hàm ghép trơn i đoạn Pi ( x), i  1, n  GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp với Pi ( x)   bi ( x  xi )  ci ( x  xi )2  di ( x  xi )3 (3.5.2) Theo cách xác định sm ( x) ta có số điều kiện sau: Pi ( xi )  f ( xi ); i  1, n  (3.5.3) Pi ( xi 1 )  f ( xi 1 ) ; i  1, n  (3.5.4) Pi '( xi 1 )  Pi ' ( xi 1 ) ; i  1, n  (3.5.5) Pi ''( xi 1 )  Pi '' ( xi 1 ) ; i  1, n  (3.5.6) Và điều kiện biên P1 "( x1 )  0, Pn''1 ( xn )  (3.5.7) Đặt hi  xi 1  xi ; gi  f ( xi 1 )  f ( xi ) hi i  1, n  (3.5.8) Từ (3.5.2) (3.5.3) có f ( xi )  P( xi )  Suy  f ( xi ) i  1, n  1 (3.5.9) Kết hợp (3.5.2), (3.5.4),(3.5.8) Ta được: bi  ci hi  di hi  gi (i  1, n  1) (3.5.10) Kết hợp (3.5.2); (3.5.5) ta  bi  2ci hi  3di hi2  bi 1 i  1, n  Từ (3.5.2) (3.5.6) có: di  ci1  ci 3hi  i  1, n  Theo (3.5.7) có c1  0; cn  (3.5.11) (3.5.12) (3.5.13) Thay (3.5.12) vào (3.5.10) có: bi  gi  hi  ci 1  2ci  i  1, n  1 (3.5.14) từ (3.5.12), (3.5.11) (3.5.14) ta có: GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp hi ci  2(hi  hi 1 )ci 1  hi 1ci 2  3( gi 1  gi ) i  1, n  (3.5.15) Thêm phương trình (3.5.13) vào (3.5.15) ta có (n – 2) phương trình đại số tuyến tính với ( n  2) ẩn số c2 , c3 , cn1 Khi n lớn để giải hệ tốt phương pháp khử lặp i  1, n 1 Từ (3.5.8), (3.5.14), (3.5.12) ta tìm bi , di   Từ (3.5.9) ta tìm i  1, n  Thay trở lại (3.5.2) ta tìm Pi ( x) Ví dụ: Tìm đa thức nội suy Spline bậc s3 ( x) hàm y  f ( x)  cos x     đoạn 0,  ;  ,   thoả mãn:  2 2  s3'' (0)  s3'' ( )  (3.5.16) Giải: Ta có: xi  0, x2   ; x3   ; f ( x1 )  1; f ( x2 )  0; f ( x3 )  1 ; h1  h2   ; g1  2  ; g2  2  ; Ta tìm đa thức nội suy Spline bậc ba hàm f ( x ) đoạn  xi , xi1  (i  1,2) dạng: Pi ( x)   bi  x  xi   ci ( x  x1 )  di ( x  xi )3 (i  1,2) Với  f ( xi ) ta có a1  f ( x1 )  1; a2  f ( x2 )  h1c1  2(h1  h2 ) c2  h2c3  3( g2  g1 ) Do (3.5.16) có c1  c3  GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp suy 2(h1  h2 )c2  3( g2  g1 ) Suy c2  3( g  g1 ) 0 2(h1  h2 ) Có b1  g1  h1 (c2  2c1 )  2  2 b2  g  h2 (c3  2c2 )   d1  c2  c1 c c  ; d2   3h1 3h2   Vậy đoạn 0,  có : s3 ( x)   x   2 2   x Trên đoạn  ,1 có: s3 ( x)   2  Bài tập Hãy tìm đa thức nội suy Hermitte hàm số y  f ( x) đoạn 0,2 cho bảng: x y 1 y‟ 0 Hàm số f ( x ) cho dạng bảng sau: x y 1,5 2,4 Xây dựng Spline nội suy bậc Hướng dẫn H5 ( x)  x  x  12 x  x  x GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Trên đoạn 0,3 hàm số f ( x ) nhận giá trị mốc nội suy với: x1  0; x2  2; x3  , f ( x1 )  1; f ( x2 )  1,5; f ( x3 )  2,4 ; h1  2; h2  g1  0,25; g2  0,9 Ta tìm đa thức nội suy spline bậc hàm f ( x ) đoạn  xi , xi 1  (i  1,2) dạng: Pi ( x)   bi ( x  xi ) với điều kiện Pi ( xi )  f ( xi ); Và (i  1,2) (i  1,2) (3.5.17) Pi ( xi1 )  f ( xi1 ); i  1,2 (3.5.18) Theo (3.5.17) ta có:  f ( xi ) (i  1,2) Hay a1  1; a2  1,5 Theo (3.5.18) có: Suy bi  f ( xi )  bi hi  f ( xi 1 ) f ( xi 1 )  f ( xi )  gi hi i  1,2 Hay b1  0,25; b2  0,9 Vậy ta tìm Spline nội suy bậc hàm f ( x ) đoạn 0,2  2,3 sau: P1 ( x)   0,25( x  0)  0,25x  0,2 P2 ( x)  1,5  0,9( x  2)  0,9 x  0,3  2,3 GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Ngày toán học, ứng dụng dần sâu vào lĩnh vực đời sống xã hội Người học toán, nghiên cứu toán học không học lý thuyết mà phải có vốn hiểu biết nhiều toán ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp trình bày sai số, loại sai số, phương pháp nội suy Ngoài ra, khóa luận đưa ví dụ minh họa tập vận dụng Đặc biệt, khóa luận ứng dụng tin học vào việc giải toán tính gần sử dụng lập trình Pascal Vấn đề nghiên cứu nhiều điều hay bổ ích Nhưng lần tiến hành nghiên cứu khoa học thời gian,cũng kiến thức hạn chế nên khóa luận em có thiếu sót cần bổ sung góp ý Em mong bảo góp ý thầy cô bạn Một lần nữa, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Ts Nguyễn Văn Hùng, thầy cô tổ giải tích, thầy cô khoa toán trường ĐHSP Hà Nội bạn sinh viên giúp em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Tài liệu tham khảo Tôn Tích , Phương pháp số, NXB ĐHQG Hà Nội Phạm Kì Anh (1996), Giải tích số, NXB ĐHQG Hà Nội Nguyễn Minh Chương _ Nguyễn Văn Khải _ Khuất Văn Ninh _ Nguyễn Văn Tuấn _ Nguyễn Tường (2000), Giải tích số, NXB Giáo Dục Phạm Huy Điển (2002), Tính toán lập trình giảng dạy toán học Maple, NXB Khoa Học Kỹ Thuật Gs Tạ Văn Đĩnh (1991), Phương pháp tính, NXB Giáo Dục Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh, Phương pháp tính thuật toán giải, NXB Giáo Dục GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E [...]...  3 suy ra 1,74  3 suy ra 3  1,74  0,01 Do đó:  : a * a  3  1,73  0,01 Suy ra  a  0, 01 Mặt khác 1,73  3  1,733  1,73  0,003 Do đó cũng có thể lấy sai số tuyệt đối của a là a  0,003 2.1.3 Sai số tương đối  Cho số gần đúng a có số đúng a với sai số tuyệt đối  a và giả sử a*  0 Ta gọi sai số tương đối của số gần đúng a là một số, kí hiệu  a là tỷ số giữa sai số tuyệt đối và a... nhất m chữ số chắc 2.4 Sai số 2.4.1 Khái niệm về một vài loại sai số Trong tính toán ta thường gặp 4 loại sai số sau: 2.4.1.1 Sai số giả thiết - Do mô hình hóa, lý tưởng hóa và đơn giản hóa bài toán đang xét, ngoài ra phải đưa thêm vào các giả thiết thích hợp, từ đó dẫn đến những sai số Những sai số như vậy là không tránh được và phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể của thực tiễn 2.4.1.2 Sai số phương... nếu cần lại làm tròn số Những sai số dạng này được gọi là sai số tính toán GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Hoàng Thị Oanh K32E Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Dưới đây ta nghiên cứu kĩ hơn sai số của các số liệu ban đầu và sai số tính toán, còn sai số phương pháp sẽ được nghiên cứu ở từng phương pháp cụ thể 2.4.2 Sai số của các số liệu ban đầu Như đã trình bày ở trên, các số liệu ban đầu thường...  0,n và sai số của Pn ( x ) và i 0 f(x) là nhỏ nhất Khi đó đa thức Pn(x) gọi là đa thức nội suy của hàm số y = f(x) Ta chọn đa thức để nội suy hàm f(x) vì đa thức là hàm đơn giản, luôn có đạo hàm và nguyên hàm 3.1.2 Sự duy nhất của đa thức nội suy Định lí 3.1 Đa thức nội suy Pn(x) của hàm số f(x) định nghĩa ở trên (nếu có) là duy nhất Chứng minh Giả sử có hai đa thức Pn(x) và Qn(x) cùng nội suy một... các hệ số (-1)n - j cnj không phụ thuộc vào hàm f(x), các mốc nội suy và bước h, nên có thể tính sẵn và lập bảng để sử dụng trong quá trình tính toán - Nội suy bậc nhất hay còn gọi là nội suy tuyến tính, với n = 1 ta có đa thức nội suy Lagrange bậc nhất P(x)  y 0 1 x  x1 x  x0  y1 x 0  x1 x1  x 0 - Với n = 2 ta có đa thức nội suy Lagrange bậc hai Tổng quát, nếu hàm số f(x) có (n+1) mốc nội suy x... hiểu số gần đúng của a * bằng 175, 678 với sai số tuyệt đối là  a  0, 002 Cách thứ hai : Viết kèm theo sai số tương đối : a  a Ví dụ 2.3.4 Cho a * = 105,25  1% thì hiểu là số gần đúng của a * bằng 105,25 với sai số tương đối là 1% Cách thứ ba :Số gần đúng a được viết không kèm theo sai số tuyệt đối cũng như sai số tương đối, khi đó cần hiểu là tất cả các chữ số của số gần đúng a đều là chữ số. .. đến là Hà Nội 6 448 837, Thanh Hoá 3 400 239, Nghệ An 2 913 055 và Đồng Nai là 2483 211 người Các số liệu nói trên là số gần đúng 2.1.2 Sai số tuyệt đối  Giả sử a là số gần đúng của a Giá trị a * a phản ánh mức độ sai  lệch giữa a và a Ta gọi đại lượng  : a * a là sai số thực của a  Nếu   0 thì a được gọi là số gần đúng thiếu của a  Nếu   0 thì a được gọi là số gần đúng thừa số của a... có ý nghĩa khác nhau Số gần đúng 0,29 có sai số tuyệt đối 0,005 còn số gần đúng 0,290 có sai số tuyệt đối 0,0005 2, Độ chính xác của một số gần đúng phụ thuộc vào các chữ số chắc của số gần đúng ấy chứ không phụ thuộc vào việc số gần đúng ấy có nhiều chữ số hay không Nếu ta viết một số gần đúng với quá nhiều chữ số không chắc thì các số đứng gần cuối không có nghĩa lí gì cả Chẳng hạn, nếu ta viết sản... K32E Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp ta chọn  a là số dương bé nhất có thể được thoả mãn (2.1.2) Do đó, một số  gần đúng a của số đúng a với sai số tuyệt đối  a được viết đơn giản là : a*  a   a (2.1.3.) Ví dụ: 2.1.2 Xét số đúng a*  3 và giá trị gần đúng của nó là a  1,73 Hãy cho biết sai số tuyệt đối của nó Giải 2 Ta có: (1, 73)  2, 2929 ... Chương 2: sai số 2.1 Số gần Sai số tuyệt đối Sai số tương đối 2.1.1 Số gần 2.1.2 Sai số tuyệt đối 2.1.3 Sai số tương đối Sai số quy tròn 10 2.2.1 Sai số quy tròn 10 2.2.2 ảnh hưởng sai số quy tròn... nội suy thứ Mốc nội suy thứ Mốc nội suy thứ Giá trị hàm số mốc nội suy thứ Giá trị hàm số mốc nội suy thứ Giá trị hàm số mốc nội suy thứ 12 Giá trị hàm số mốc nội suy thứ 147 Nhập số giá trị cần... Chữ số 13 2.3.1 Chữ số có nghĩa 13 2.3.2 Chữ số 13 2.3.3 Cách viết chuẩn sai số gần 15 2.3.4 Quan hệ sai số tương đối chữ số 16 Sai số 18 2.4.1 Khái niệm vài loại sai số 18 2.4.2 Sai số số liệu