Một số phương pháp spline để xấp xỉ và nội suy (LV01814)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN ĐỨC DUYỆT MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP SPLINE ĐỂ XẤP XỈ VÀ NỘI SUY Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Tuấn HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành Trường ĐHSP Hà Nội giúp đỡ nhiệt tình Tiến sỹ Nguyễn Văn Tuấn, người thầy hướng dẫn truyền cho kinh nghiệm quý báu học tập nghiên cứu khoa học Thầy động viên khích lệ để vượt qua khó khăn chuyên môn sống Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn chân thành sâu sắc thầy Kính chúc thầy gia đình mạnh khỏe Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, Khoa Toán, Phòng Sau đại học thầy cô Trường tạo điều kiện thuận lợi cho kết thúc tốt đẹp trình học tập nghiên cứu Tôi trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Vĩnh Phúc, tổ Toán khoa Khoa học Trường Cao đẳng Nghề Vĩnh Phúc tạo điều kiện giúp đỡ để chuyên tâm nghiên cứu hoàn thành tốt Luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Nguyễn Đức Duyệt LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn Tiến sỹ Nguyễn Văn Tuấn Trong nghiên cứu Luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Một số kết luận văn trích dẫn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2015 Nguyễn Đức Duyệt MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức giải tích hàm 1.1.1 Không gian vectơ 1.1.2 Không gian Metric 1.1.3 Không gian định chuẩn 10 1.1.4 Không gian Hilbert 11 1.2 Số gần sai số 12 1.2.1 Số gần 12 1.2.2 Làm tròn số 13 1.2.3 Quy tắc làm tròn số 13 CHƢƠNG ỨNG DỤNG HÀM SPLINE ĐỂ XẤP XỈ VÀ NỘI SUY 2.1 Hàm spline, B – spline 14 2.1.1 Định nghĩa 14 2.1.2 Các tính chất 15 2.1.3 Hàm spline bậc thuộc , - 2.2 Phƣơng pháp spline bậc hai liên tục 20 để xấp xỉ nội suy 23 2.2.1 Định nghĩa 23 2.2.2 Xây dựng công thức tính 24 2.3 Phƣơng pháp spline bậc ba liên tục xấp xỉ nội suy sử dụng điểm để 27 2.3.1 Định nghĩa 27 2.3.2 Xây dựng công thức tính 28 2.4 Phƣơng pháp spline bậc ba liên tục để xấp xỉ nội suy 30 2.4.1 Định nghĩa 30 2.4.2 Xây dựng công thức tính 30 2.5 Tốc độ hội tụ ba phƣơng pháp 34 CHƢƠNG ỨNG DỤNG CÁC PHƢƠNG PHÁP SPLINE ĐỂ XẤP XỈ VÀ NỘI SUY 3.1 Ứng dụng phƣơng pháp spline bậc hai liên tục 36 3.1.1 Ví dụ 36 3.2 Ứng dụng phƣơng pháp spline bậc ba liên tục điểm sử dụng 45 3.2.1 Ví dụ 45 3.3 Ứng dụng phƣơng pháp spline bậc ba liên tục 55 3.3.1 Ví dụ 55 KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Hiện nay, giải tích số ngành toán học ngày phát triển mạnh mẽ Một hướng quan trọng giải tích số sử dụng phương pháp spline để nghiên cứu xấp xỉ nội suy hàm số, giải xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi tích phân… Sở dĩ hàm spline đa thức nên việc tính toán dễ dàng lập trình đơn giản Với mong muốn tìm hiểu phương pháp spline nhằm bổ sung nâng cao kiến thức học chương trình đại học sau đại học, chọn đề tài “Một số phương pháp spline để xấp xỉ nội suy” làm luận văn Thạc sỹ Mục đích nghiên cứu Hiểu phương pháp spline Nắm tính chất hàm spline ứng dụng spline vào xấp xỉ nội suy Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày định nghĩa hàm spline, B – spline Các tính chất hàm spline, B – Spline Các phương pháp spline để xấp xỉ nội suy Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu  Đối tượng nghiên cứu: Hàm spline, xấp xỉ nội suy  Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng số phương pháp hàm spline để xấp xỉ nội suy Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp phương pháp lấy ý kiến chuyên gia Dự kiến đóng góp luận văn  Cụ thể hóa ứng dụng hàm spline để xấp xỉ nội suy Viết chương trình phần mềm Maple để minh họa cho phương pháp spline nghiên cứu  Xây dựng luận văn thành tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên học viên cao học CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức giải tích hàm 1.1.1 Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp mà phần tử kí hiệu: ⃗ ⃗ ⃗ trường mà phần tử kí hiệu là: Giả sử có hai phép toán 1) Phép toán cộng, kí hiệu “+”: ( ⃗ ⃗) ⃗ ( ⃗ ⃗ 2) Phép toán nhân, kí hiệu “.”: ⃗) thỏa mãn tiên đề sau a) ⃗ b) ( ⃗ ⃗ ⃗ ⃗) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (⃗ ⃗) c) Tồn ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ cho: ⃗ ⃗ ⃗ d) Với ⃗ tồn ⃗⃗⃗⃗ cho: ⃗ )⃗ e) ( ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ f) ( ⃗ ⃗) ⃗ g) h) ( ⃗) ( ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ Khi đó, với hai phép toán gọi không gian vectơ trường , hay - không gian vectơ, hay không gian tuyến tính  Khi gọi không gian vectơ thực  Khi gọi không gian vectơ phức Ví dụ 1.1.1 Dễ dàng kiểm tra , - không gian vectơ ( ) Định nghĩa 1.1.2 Hệ vectơ (⃗⃗⃗⃗) ∑ ⃗⃗⃗⃗ kéo theo Hệ vectơ (⃗⃗⃗⃗) lập tuyến tính gọi độc lập tuyến tính gọi phụ thuộc tuyến tính không độc Định nghĩa 1.1.3 Giả sử không gian vectơ Một hệ vectơ gọi hệ sinh biểu thị tuyến tính qua hệ Khi có hệ sinh gồm hữu hạn phần tử vectơ hữu hạn chiều Một hệ vectơ tuyến tính gọi sở vectơ gọi không gian hệ sinh độc lập Định nghĩa 1.1.4 Cho không gian vectơ có sở gồm hữu hạn phần tử số phần tử sở gọi số chiều không gian vectơ Khi không gian vectơ có số chiều ta kí hiệu Định nghĩa 1.1.5 Tập không gian vectơ gọi không gian vectơ ổn định với hai phép toán , nghĩa thỏa mãn điều kiện sau 1) 2) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1.1.2 Không gian Metric Cho X tập tùy ý Định nghĩa 1.1.6 Một metric ánh xạ vào đường thẳng thực , thỏa mãn điều kiện sau đây: 1) 2) 3) ( ( ( ) ) ) ( ( ( ) ) ( ) tích ) (bất đẳng thức tam giác) Tập hợp với không gian metric, ánh xạ hàm khoảng cách (hay metric) Các phần tử không gian metric gọi điểm không gian ấy, số ( ) gọi khoảng cách điểm Ví dụ 1.1.2 , - không gian metric với khoảng cách ( ) | ( ) ( )| Định nghĩa 1.1.7 Một dãy điểm ( gọi hội tụ đến điểm nếu: ) không gian metric ( ) Khi đó, ta kí hiệu Định nghĩa 1.1.8 Dãy điểm ( ) gọi dãy (hay dãy Cauchy) không gian metric với cho trước, tồn số cho với ta có: ( ) Dễ thấy dãy điểm hội tụ không gian metric dãy Định nghĩa 1.1.9 Một không gian metric gọi đầy đủ dãy hội tụ tới phần tử Định nghĩa 1.1.10 Cho hai không gian metric tùy ý Ánh xạ gọi liên tục cho ) thỏa mãn ( ( ( ) ( )) Định nghĩa 1.1.11 Cho hai không gian metric tùy ý Ánh xạ gọi ánh xạ co với cho với ta ( ) có ( ( ) ( )) Định lý 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co) 50  Ta có: ( ) ( ( ) ( )) ( ( ( ) ( ( ) [ ( )) ( ( ( ) ) ( ( ) ( )) ))) ] ( ) ( )( ) ( ( ) )  Ta có: ( ) ( ( [ ) ( )) ( ( ( ) ( ( ) ( )) ( ( ( ) ( ) ) ( ( ))) )) ] ( ( ( ) )( ) ( ) ) 51  Ứng dụng Maple tính giá trị xấp xỉ sai số phương pháp > > > > > > > > > > > > > > 52 > > > > > > > 53 > 54 > 55 Hình mô tả đồ thị hàm số ( ) ( √ ) √ ( ) giá trị hàm số mốc nội suy Hình 4: Đồ thị hàm số ( ) giá trị hàm mốc nội suy 3.3 Ứng dụng phƣơng pháp spline bậc liên tục 3.3.1 Ví dụ Xét phân hoạch đoạn , khoảng chia - Chia đoạn , - điểm chia với : 56 cặp giá trị ( ( )) cho bảng Trong ( ) Trên đoạn , ( ) - tìm hàm spline xấp xỉ ( ) ( ) ( ) 57  Ứng dụng Maple tính giá trị xấp xỉ sai số phương pháp > > > > > > > > > 58 > > > > > > > 59 > > > > > > 60 > 61 > 62 Hình mô tả đồ thị hàm số ( ) ( √ ) √ ( ) giá trị hàm số mốc nội suy Hình 5: Đồ thị hàm số ( ) giá trị hàm mốc nội suy 63 KẾT LUẬN Luận văn trình bày kiến thức hàm spline, B – spline nghiên cứu không gian tuyến tính ( ) ( ) Trên sở nghiên cứu hàm spline Luận văn trình bày việc sử dụng hàm spline vận dụng phương pháp spline bậc hai liên tục , phương pháp spline bậc ba liên tục sử dụng điểm giữa, phương pháp spline bậc ba liên tục để xấp xỉ nội suy hàm số Với phạm vi luận văn thời gian khả hạn chế, việc ứng dụng phương pháp để giải toán đặt thực tế, khoa học tính toán cần nghiên cứu sâu để ứng dụng hiệu 64 IV TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Minh Chương (chủ biên) (2001), Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường, Giải Tích Số, Nhà xuất Giáo Dục [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG ANH [1] J H Ahberg, E N Nilson and J L Walsh (1967), The Theory of Splines and Their Applications, Academic Press, New York [2] R L Burden, and J D Fairs, Numerical Analysis, 4th Ed , PWS-KENT Pub Comp , Boston [3] Mehdi Zamani (2009), Three Simple Spline Methods for Approximation and Interpolation of Data, Vol 2, no 8, 373 - 381 [4] M Prenter (1975), Splines and variational methods, New York [...]... 1.2.4 Sai số thu gọn là mọi số thỏa mãn điều kiện: |̅ Ta có | ̅ | |( ̅) | | Sau khi thu gọn sai số tuyệt đối tăng lên | ̅| | | | ̅| 14 CHƢƠNG 2 ỨNG DỤNG HÀM SPLINE ĐỂ XẤP XỈ VÀ NỘI SUY 2.1 Hàm spline, B – spline 2.1.1 Định nghĩa Có nhiều cách để xây dựng hàm spline, sau đây chúng ta minh họa cho hàm spline bậc ba Xét phân hoạch trên đoạn , - với các mốc nội suy Kí hiệu nếu gọi là các mốc nội suy cách... ( ( Suy ra ( ) ( ( ) ) ( ( ) )) 1 )) ) ( ( ) ( Nếu trên các đoạn không đều định bởi công thức: )) )) , thì các tham số ( ( ( ) ) và được xác ( )) ( ) ( ) 2.3 Phƣơng pháp spline bậc ba liên tục giữa để xấp xỉ và nội suy ( ) và sử dụng điểm 2.3.1 Định nghĩa Giả sử có cặp ( ( )) ( ) được minh trong đó họa bằng hình 2 Giả sử là một hằng số Khi đó một spline bậc ba được định nghĩa trên mỗi đoạn bởi phương. .. ( )) ( ( ) ( [ ( ( Suy ra ( 2.4 Phƣơng pháp spline bậc ba liên tục ))] ))] ))] để xấp xỉ và nội suy 2.4.1 Định nghĩa ( )) như hình 1 Khi đó phương trình của số và cặp ( Giả sử có spline bậc ba trên mỗi đoạn có dạng ( ) ( ) ( ) ( 2.4.2 Xây dựng công thức tính thỏa mãn hệ điều kiện liên tục Các tham số { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ta đi giải hệ điều kiện trên để tìm các tham số  ( ) ( ) ) 31 (... 99,100 2.2 Phƣơng pháp spline bậc 2 liên tục để xấp xỉ và nội suy 2.2.1 Định nghĩa Giả sử cho ( )) điểm và các cặp giá trị ( Nếu trên từng đoạn một hàm spline liên tục với dữ liệu cho trước minh họa như hình 1, thì trên mỗi đoạn đó hàm spline được định nghĩa bởi phương trình ( ) ( Hình 1 ) ( ) 24 2.2.2 Xây dựng công thức tính được xác định bởi hệ điều kiện liên tục của mỗi hàm Các tham số spline giới hạn... ( ) ( )) ( ( ) )) nên suy ra ( ) ( ( ( )) ) ( ( ( ) ( )) ( ) ) ) ( )) ( ( ( ) ) )) ( ( )) )) ( ) được trích dẫn từ bài báo , - 2.5 Tốc độ hội tụ của ba phƣơng pháp ) Dễ thấy phép nội suy của không gian ( ( ) là đa thức bậc ba nội suy hàm ( ) Vì vậy sai số của ba phương pháp trên đạt được nếu hàm ( ) nội suy 4 lần , Định lý 2.1.6 Cho nội suy hàm ( ) tại Khi đó với mỗi ‖ , ‖ - và cho ( ) là đa thức Lagrange... gian là 1.1 Số gần đúng và sai số 1.1.1 Số gần đúng Định nghĩa 1.2.1 Ta nói rằng số | khác nhiều Đại lượng gọi là sai số thật sự của Định nghĩa 1.2.2 Số kiện gọi là sai số tuyệt đối của | hay độ sai lệch giữa và là số gần đúng của nếu không sai | phản ảnh mức độ sai lệch giữa và Bởi vậy càng ít nếu thỏa mãn điều | thỏa mãn điều kiện trên càng nhỏ thì 13 Định nghĩa 1.2.3 Số | | gọi là sai số tương đối...10 Giả sử là một không gian metric đầy đủ và vào chính nó Khi đó tồn tại một và chỉ một điểm là một ánh xạ co của sao cho ( ) 1.1.3 Không gian định chuẩn Cho là một không gian vectơ trên trường ( Định nghĩa 1.1.12 Một chuẩn, kí hiệu ‖ ‖ trong thỏa mãn các điều kiện: 1) 2) 3) 4) ‖ ‖ ‖ ‖ khi và chỉ khi ‖ ‖ | |‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ) hoặc là một ánh xạ đi từ vào ( là kí hiệu của phần tử không); ; Số ‖ ‖ được... 1.2.3 Số | | gọi là sai số tương đối của 1.1.2 Làm tròn số Số thập phân tổng quát có dạng ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ Trong đó a) Nếu b) Nếu c) Nếu thì là số nguyên nên có giá trị chính xác, ( ) thì có phần lẻ là chữ số, ( ) thì là số thập phân vô hạn Làm tròn số đúng nhất với là bỏ đi một số các chữ số bên phải của số ̅ gọn hơn và gần 1.1.3 Quy tắc làm tròn số Giả sử có dạng ( ) Ta sẽ giữ lại đến bậc thứ phần... tại duy nhất hàm số ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) thỏa mãn hệ điều kiện ( ) ( ) ( ) Khi đó, ( ) được gọi là đa thức nội suy spline bậc ba của hàm số ( ) Xây ( dựng sự tồn tại của hàm ( ) với các mốc nội suy cách đều ) trong đó chúng ta bổ sung thêm bốn mốc nội suy và đồng thời xét hàm số ( ) được xác định bởi công thức ( ( ( ( ) ) ) ( ( ( ) ) ( ) liên tục khả vi hai lần trên ( ( , ) { Hàm số , ) , ) ) - -... của phương trình vi phân bất kỳ ( ) là ( ) có đạo hàm liên tục đến cấp thỏa và ( ) trên ( ) ( ) là tập gồm tất cả các hàm mãn phương trình vi phân ( ) trên ( ) Khi đó ( ) trên ( trong , ) Như vậy, ( ) là đa thức có bậc - Chúng ta gọi và có bậc là ( Kí hiệu trên từng đoạn xác định ) là một đa thức spline nội suy đến hàm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 , Định lý 2.1.4 Giả sử đến hàm và có bậc là ∫( - và giả