Xấp xỉ đa phân giải trên nhóm Heisenberg

LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hưng Yên, Trường THPT Văn Giang và đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn. Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Tác giả Chu Thị Hồng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Luận văn không trùng lặp với các đề tài khác. Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Tác giả Chu Thị Hồng Mục lục Mở đầu 1 1. Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1. Một số khái niệm và kiến thức ban đầu . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Các không gian hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Một số kết quả chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Nhóm Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3. Biến đổi Fourier trên nhóm Heisenberg . . . . . . . . . . 20 1.3.1. Biến đổi Fourier đối với hàm thường và hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.2. Phép biểu diễn nhóm Heisenberg . . . . . . . . . 22 1.3.3. Biến đổi Fourier trên nhóm Heisenberg . . . . . . 23 1.4. Giải tích sóng nhỏ trong L 2 (R) và trên nhóm Heisenberg 26 1.4.1. Giải tích sóng nhỏ trong L 2 (R) . . . . . . . . . . 26 1.4.2. Biến đổi sóng nhỏ liên tục trên L 2 (R) . . . . . . 30 1.4.3. Giải tích sóng nhỏ trên nhóm Heisenberg . . . . . 33 2. Xấp xỉ đa phân giải trong L 2 (R) 37 2.1. Định lý mẫu Shannon đối với L 2 (R) . . . . . . . . . . . . 37 2.2. Định nghĩa xấp xỉ đa phân giải trong L 2 (R) . . . . . . . 39 ii iii 2.3. Xấp xỉ đa phân giải ẩn trong cơ sở Shannon (Sinc) đối với L 2 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4. Xấp xỉ đa phân giải và sóng nhỏ, phương pháp của I.Daubechies 45 3. Xấp xỉ đa phân giải trên nhóm Heisenberg 56 3.1. Xấp xỉ đa phân giải đối với nhóm Heisenberg . . . . . . 56 3.2. Xây dựng khung xấp xỉ đa phân giải Shannon cho nhóm Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3. Sự tồn tại của khung sóng nhỏ Shannon trên nhóm Heisen- berg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.4. Sóng nhỏ mũ Mêxicô trên nhóm Heisenberg . . . . . . . 73 Kết luận 81 Tài liệu tham khảo 82 BẢNG KÍ HIỆU N, Z, R, C tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số thực, số phức R n không gian Euclid n-chiều x chuẩn của vectơ x B r (x) hình cầu đóng tâm x, bán kính r suppu giá của hàm u, suppu = {x ∈ Ω|u (x) = 0} o K phần trong của tập K Aut(H) nhóm các tự đẳng cấu của H ∂ 1 , ∂ 2 , , ∂ n các toán tử vi phân ∂ ∂x 1 , ∂ ∂x 2 , , ∂ ∂x n trên R n D 1 , D 2 , , D n các toán tử vi phân −i∂ 1 , −i∂ 2 , , −i∂ n trên R n h.k.n. hầu khắp nơi đ.h.s.r. đạo hàm suy rộng MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Giải tích sóng nhỏ có ý nghĩa rất thiết thực trong khoa học và công nghệ, Meyer đã từng nói: "Ở đâu có âm thanh, hình ảnh là ở đó có sóng nhỏ ". Với khả năng phóng to hay thu nhỏ cửa sổ thời gian - tần số linh hoạt, phù hợp với tín hiệu được nghiên cứu đã làm biến đổi sóng nhỏ có khả năng xử lý âm thanh, hình ảnh rất tốt và quá trình nén dữ liệu cũng tối ưu. Đó chính là lí do tại sao nhà toán học hàng đầu người Pháp, viện sĩ hàn lâm khoa học Pháp, Y. Meyer lại phát biểu như vậy. Mục đích chính của lý thuyết giải tích sóng nhỏ là nghiên cứu, tìm ra những con đường thuận lợi để phân tích một hàm đã cho thành khối các hàm sơ cấp, thuận tiện trong tính toán và nghiên cứu. Về mặt lịch sử, cơ sở Haar được xây dựng từ năm 1910, trước khi thuật ngữ “sóng nhỏ” được sáng tạo ra. Đây là cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn đầu tiên của L 2 (R). Nhưng phải đến những năm gần đây, khi đưa ra vấn đề cơ bản là cấu trúc xấp xỉ đa phân giải, các công trình nghiên cứu mới được xây dựng mạnh mẽ, giải tích sóng nhỏ thực sự củng cố vai trò của nó. Trong đầu những năm 80 của thế kỉ 20, Stromberg đã đưa ra ví dụ các sóng nhỏ trực giao. Tiếp theo, độc lập với Stromberg, sóng nhỏ Meyer đã được đưa ra. Sau đó, với khái niệm xấp xỉ đa phân giải được giới thiệu bởi Mallat và Meyer, việc tìm hiểu sự khai triển trực giao đã có tính chất hệ thống và được phát triển (xem [11] và [13]) cung cấp một công cụ để xây dựng hệ trực chuẩn của L 2 (R n ). Trong những năm gần đây, xấp xỉ đa phân giải đối với nhóm Euclide 2 R được ứng dụng rộng rãi và mở rộng phạm vi nghiên cứu, tổng quát hóa theo nhiều hướng khác nhau. Có rất nhiều tác giả nghiên cứu về vấn đề này. Trong [10], Madych nghiên cứu xấp xỉ đa phân giải trong R n chủ yếu đối với các hàm bậc thang. Dahlk mở rộng xấp xỉ đa phân giải đối với các nhóm compact địa phương (xem [7]). Baggett chú ý đến sự tồn tại của sóng nhỏ trong không gian Hilbert nói chung với việc xấp xỉ đa phân giải bằng sử dụng phép xấp xỉ trừu tượng (xem [6]). . . Mỗi tác giả đều đã đạt được những thành công nhất định, càng làm thấy rõ hơn vai trò của sóng nhỏ và xấp xỉ đa phân giải trong nghiên cứu khoa học. Ngoài ra, cũng có nhiều nhà nghiên cứu đã chú ý đến một đối tượng quan trọng của lĩnh vực này là nhóm Heisenberg. Vấn đề này còn nhiều nội dung cần tìm hiểu. Vì thế, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường tôi đã chọn đề tài sau để thực hiện luận văn tốt nghiệp: "Xấp xỉ đa phân giải trên nhóm Heisenberg". 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan về lý thuyết sóng nhỏ, xấp xỉ đa phân giải trong L 2 (R) và xấp xỉ đa phân giải trên nhóm Heisenberg. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày những nét cơ bản của nhóm Heisenberg, kiến thức tổng quan về lý thuyết sóng nhỏ và xấp xỉ đa phân giải trong L 2 (R), đặc biệt là xấp xỉ đa phân giải trên nhóm Heisenberg. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu nhóm Heisenberg và xấp xỉ đa phân giải trên nhóm 3 Heisenberg. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết. Phương pháp phân tích, tổng hợp. 6. Đóng góp của luận văn Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Một số khái niệm và kiến thức ban đầu 1.1.1. Các không gian hàm cơ bản Giả sử Ω là một tập mở trong R n , k ∈ N. Khi đó ta kí hiệu: C (Ω) là không gian các hàm liên tục trên Ω, C k (Ω) là không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k trên Ω, C k 0 (Ω) là không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k trên Ω, có giá compact, C ∞ (Ω) = ∞  k=1 C k (Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn, C ∞ 0 (Ω) = ∞  k=1 C k 0 (Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact. Với mỗi số thực 1 ≤ p < ∞, kí hiệu L p (Ω) =    u : Ω → C|  Ω |u (x)| p dx < ∞    là không gian các hàm khả tích bậc p. Với p = ∞, kí hiệu L ∞ (Ω) =  u : Ω → C|ess sup x∈Ω |u (x)| < ∞  , trong đó ess sup x∈Ω |u (x)| = inf {M > 0|µ {x ∈ Ω||u (x)| > M} = 0}, µ là độ đo Lebesgue trong R n . L p,loc (Ω) = {u : Ω → C|u| K ∈ L p (K) với mỗi tập compact K ⊂ Ω} là không gian các hàm khả tích địa phương bậc p. 4 5 Định lý 1.1.1. Không gian L p (Ω) là không gian Banach với chuẩn u p =    Ω |u| p dx   1 p , p ≥ 1. Với mỗi tập compact K ⊂ Ω, ta định nghĩa C ∞ K (Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá trong K, C ∞ K (Ω) = {u ∈ C ∞ (Ω) |suppu ⊂ K}. Chú ý 1.1. 1. C ∞ K (Ω) là không gian con đóng của C ∞ (Ω). 2. Cho Ω là tập mở khác rỗng trong R n . Khi đó, tồn tại một dãy các tập compact (K j ) j∈N ∗ sao cho: K 1 ⊂ o K 2 ⊂ K 2 ⊂ ⊂ o K j ⊂K j ⊂ , ∪ j∈N ∗ o K j = Ω. Ta có: C ∞ 0 (Ω) = ∞ ∪ j=1 C ∞ K j (Ω) . Trong luận văn này, khi nhắc đến các tập K j thì đó chính là các tập K j này. Sau đây là một số không gian hàm cơ bản: Định nghĩa 1.1.1. Không gian D (Ω) là tập hợp tất cả các hàm ϕ ∈ C ∞ 0 (Ω), với khái niệm hội tụ sau: dãy {ϕ j } ∞ j=1 ⊂ C ∞ 0 (Ω) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ C ∞ 0 (Ω) nếu i) Tồn tại tập compact K ⊂ Ω mà suppϕ j ⊂ K, j = 1, 2, , ii) lim j→∞ sup x∈Ω |D α ϕ j (x) −D α ϕ (x)| = 0, ∀α ∈ N n . Định lý 1.1.2. Một hàm tuyến tính Λ trên C ∞ 0 (Ω) là liên tục khi và chỉ khi ∃N j ∈ N và c j > 0, ∀j ∈ N ∗ sao cho: |Λ (ϕ)| ≤ c j . sup {|∂ α ϕ (x)||x ∈ K j , |α| ≤ N j } (1.1) với mọi ϕ ∈ C ∞ K j (Ω) . [...]... thiệu về tích phân trực tiếp trong không gian Hilbert Giả sử A là tập chỉ số trang bị σ- đại số Borel trên A Họ {Hα }α∈A các không gian Hilbert khác không, tách được là một trường các không gian Hilbert trên A Ánh xạ f trên A sao cho f (α) ∈ Hα với mỗi α ∈ A được gọi là một trường vectơ trên A Ta kí hiệu tích vô hướng và chuẩn trên Hα là , α, , α Một trường đo được các không gian Hilbert trên A là trường... Hilbert {Hα }α∈A , {ej }∞ trên j=1 A, một trường vectơ f trên A là đo được nếu hàm α → f (α) , ej (α) α là hàm đo được trên A với mỗi j Định nghĩa 1.1.21 Cho {Hα }α∈A , {ej }∞ là một trường đo được các j=1 không gian Hilbert trên A và độ đo µ trên A Tích phân trực tiếp của 17 các không gian {Hα }α∈A với độ đo µ được kí hiệu ⊕ Hα dµ (α) A Đây là không gian của các trường vectơ f đo được trên A sao cho 2 f... trên là phép toán nhóm, phần tử đồng nhất là 0 = (0, 0, 0), phần tử nghịch đảo của (p, q, t) là (−p, −q, −t) Ta có thể đồng nhất H cùng đại số trên nó với R3 Độ đo Haar trên nhóm Heisenberg H = R3 là độ đo Lebesgue thông thường 20 1.3 Biến đổi Fourier trên nhóm Heisenberg 1.3.1 Biến đổi Fourier đối với hàm thường và hàm suy rộng Định nghĩa 1.3.26 Cho hàm f ∈ L1 (Rn ), biến đổi Fourier của hàm ˆ f ,... unita Rλ và Rµ của Hn trên L2 (Rn ) là tương đương unita khi và chỉ khi λ = µ Trong luận văn này, ta chỉ xét trường hợp một chiều, nhóm Heisenberg được kí hiệu là H Các phần tử của H được kí hiệu là (p, q, t), với p, q, t ∈ R, và phép toán nhóm (p1 , q1 , t1 ) · (p2 , q2 , t2 ) = p1 + p2 , q1 + q2 , t1 + t2 + 1 (p1 q2 − q1 p2 ) 2 (1.6) Ta kiểm tra được phép toán trên là phép toán nhóm, phần tử đồng nhất... biểu diễn unita bất khả quy của H trên không gian Hilbert H thỏa mãn π (0, t) = eiλt I, với λ = 0 nào đó thì π là tương đương unita với ρλ 1.3.3 Biến đổi Fourier trên nhóm Heisenberg Trong phần này ta sẽ định nghĩa biến đổi Fourier cho các hàm trên H, giới thiệu biến đổi ngược và định lý Plancherel với biến đổi Fourier Ta bắt đầu với biến đổi Fourier của các hàm khả tích trên H Định nghĩa 1.3.30 Nếu f... ∈ X|d (x, y) ≤ r} là tập compact Nhóm compact (compact địa phương) là nhóm topo mà nhóm này là không gian topo là compact (compact địa phương) Cho G là một nhóm compact địa phương, ta có sử dụng các kí hiệu sau: ˆ G là không gian đối ngẫu của G, là tập hợp các lớp tương đương các phép biểu diễn unita bất khả quy của G Cb (G) là không gian các hàm liên tục, bị chặn trên G Cc (G) là không các hàm liên... f α (x) bằng Dα f (x) Đặc biệt, nếu hàm f (x) bằng hằng số h.k.n trên Ω thì có đạo hàm suy rộng tùy ý f α (x) = 0, |α| > 0 d) Nếu g là hàm trơn thì đạo hàm ∂ |α| g α1 ∂x1 ∂xαn n không phụ thuộc vào thứ tự lấy vi phân, từ đó đ.h.s.r cũng không phụ thuộc vào thứ tự lấy vi phân e) Nếu Dα f là đ.h.s.r của f trên Ω thì Dα f là đ.h.s.r của f trên một 12 miền con tùy ý Ω ⊂ Ω f) Nếu các hàm số f1 (x) , f2 (x)... bởi (1.3), kí hiệu là Hn , là nhóm Heisenberg Định nghĩa 1.2.24 Với mỗi số thực λ, ta định nghĩa ánh xạ Rλ từ Hn vào nhóm G gồm tất cả các toán tử unita trên L2 (Rn ) xác định bởi: Rλ (z, t) f (x) = eiλ(qx+ 2 qp+ 4 t) f (x + p) , 1 1 x ∈ Rn (1.4) với mọi (z, t) ∈ Cn × R và f ∈ L2 (Rn ) Mệnh đề 1.2.10 Cho λ là một số thực cố định Khi đó i) Rλ : Hn → G là một đồng cấu nhóm, ii) Rλ (z, t) f → f ∈ L2... dpdqdt λ 26 Thay (1.6) vào ta có hệ thức sau (f (a.))∧ (λ) = a−4 Da−1 f (p, q, t) ρa−2 λ (p, q, t) dpdqdt Da λ = a−4 Da−1 f a−2 λ ∧ Da Vậy ta có điều phải chứng minh 1.4 Giải tích sóng nhỏ trong L2 (R) và trên nhóm Heisenberg 1.4.1 Giải tích sóng nhỏ trong L2 (R) Định nghĩa 1.4.31 Một hàm ϕ ∈ L2 (R) được gọi là một sóng nhỏ nếu nó thỏa mãn +∞ ϕ (t) dt = 0 −∞ Mệnh đề 1.4.16 Nếu ϕ ∈ L2 (R) ∩ L1 (R) và... α ∈ A, ta có: ⊕ Hα dµ (α) = L2 (A, µ, H) , A không gian tất cả các hàm đo được f : A → H xác định trên một không gian đo được (A, µ) với các giá trị trong H sao cho f 2 f (α) 2 dµ (α) < ∞ = A 1.2 Nhóm Heisenberg Ta đồng nhất điểm (q, p) ∈ R2n với điểm z = q + ip ∈ Cn Ta định nghĩa dạng đối ngẫu [ , ] trên Cn xác định bởi 1 [z, ω] = Im (z · ω ) , ¯ 2 z, ω ∈ Cn (1.2) n Ở đây z = (z1 , z2 , , zn ) , . . . . . . . 41 2.4. Xấp xỉ đa phân giải và sóng nhỏ, phương pháp của I.Daubechies 45 3. Xấp xỉ đa phân giải trên nhóm Heisenberg 56 3.1. Xấp xỉ đa phân giải đối với nhóm Heisenberg . . . . nghiệp: " ;Xấp xỉ đa phân giải trên nhóm Heisenberg& quot;. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan về lý thuyết sóng nhỏ, xấp xỉ đa phân giải trong L 2 (R) và xấp xỉ đa phân giải trên nhóm Heisenberg. 3 cứu Trình bày những nét cơ bản của nhóm Heisenberg, kiến thức tổng quan về lý thuyết sóng nhỏ và xấp xỉ đa phân giải trong L 2 (R), đặc biệt là xấp xỉ đa phân giải trên nhóm Heisenberg. 4. Đối tượng và