Xấp xỉ đa phân giải trên nhóm Heisenberg

LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n hồn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan nhi¾t tình cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng, ngưòi thay hưóng dan truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m quý báu hoc v nghiờn cỳu khoa hoc Thay luụn đng viờn khích l¾ đe tác giá vươn lên hoc t¾p vưot qua nhung khó khăn chun mơn Tác giá xin bày tó lòng biet ơn, lòng kính sâu sac nhat đoi vói thay Tác giá xin chân thành cám ơn ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, khoa Tốn to Giái tích q thay tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình Cao hoc hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tác giá xin trân cám ơn Só Giáo duc Đào tao tính Hưng n, Trưòng THPT Văn Giang đong nghi¾p tao moi đieu ki¾n giúp đõ đe tác giá an tâm hoc v hon thnh tot luắn H Nđi, tháng 10 năm 2010 Tác giá Chu Th% Hong LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng Lu¾n văn khơng trùng lắp vúi cỏc e ti khỏc H Nđi, thỏng 10 năm 2010 Tác giá Chu Th% Hong Mnc lnc Má đau 1 M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Mđt so khỏi niắm v kien thỳc ban au 1.1.1 Các không gian hàm bán 1.1.2 M®t so ket chuan b% 1.2 Nhóm Heisenberg 17 1.3 Bien đoi Fourier nhóm Heisenberg 20 1.3.1 Bien đoi Fourier đoi vói hàm thưòng hàm suy r®ng 20 1.3.2 Phép bieu dien nhóm Heisenberg 22 1.3.3 Bien đoi Fourier nhóm Heisenberg 23 1.4 Giái tích sóng nhó L2 (R) nhóm Heisenberg 26 1.4.1 Giái tích sóng nhó L2 (R) .26 1.4.2 Bien đoi sóng nhó liên tuc L2 (R) .30 1.4.3 Giái tích sóng nhó nhóm Heisenberg 33 Xap xí đa phân giái L2(R) 37 2.1 Đ%nh lý mau Shannon đoi vói L2(R) 37 2.2 Đ%nh nghĩa xap xí đa phân giái L2 (R) 39 ii iii 2.3 Xap xí đa phân giái an só Shannon (Sinc) đoi vói L2(R) 41 2.4 Xap xí đa phân giái sóng nhó, phương pháp cna I.Daubechies 45 Xap xí đa phân giái nhóm Heisenberg 56 3.1 Xap xí đa phân giái đoi vói nhóm Heisenberg 56 3.2 Xây dnng khung xap xí đa phân giái Shannon cho nhóm Heisenberg 57 3.3 Sn ton tai cna khung sóng nhó Shannon nhóm Heisenberg 70 3.4 Sóng nhó mũ Mêxicơ nhóm Heisenberg 73 Ket lu¾n 81 Tài li¾u tham kháo 82 BÁNG KÍ HIfi N, Z, R, C t¾p hop so tn nhiên, so nguyên, so thnc, so phúc Rn "x" không gian Euclid n-chieu chuan cna vectơ x Br (x) suppu hình cau đóng tâm x, bán kính r giá cna hàm u, suppu = {x ∈ Ω|u (x) ƒ= 0} K phan cna t¾p K Aut(H) nhóm tn cau cna H ∂1, ∂2, , ∂n toán tú vi phân o ∂ ∂ x , ∂x∂ , , ∂ x ∂ n Rn D1, D2, , Dn toán tú vi phân −i∂1, −i∂2, , −i∂n Rn h.k.n hau khap nơi đ.h.s.r đao hàm suy r®ng Mé ĐAU Lý chon đe tài Giái tích sóng nhó có ý nghĩa rat thiet thnc khoa hoc cơng ngh¾, Meyer tùng nói: "é đâu có âm thanh, hình ánh ó có sóng nhó " Vói phóng to hay thu nhó cúa so thòi gian - tan so linh hoat, phù hop vói tín hi¾u đưoc nghiên cúu làm bien đoi sóng nhó có xú lý âm thanh, hình ánh rat tot q trình nén du li¾u toi ưu Đó lí tai nhà tốn hoc hàng đau ngưòi Pháp, vi¾n sĩ hàn lâm khoa hoc Pháp, Y Meyer lai phát bieu v¾y Muc đích cna lý thuyet giái tích sóng nhó nghiên cúu, tìm nhung đưòng thu¾n loi đe phân tích m®t hàm cho thành khoi hàm sơ cap, thu¾n ti¾n tính tốn nghiên cúu Ve m¾t l%ch sú, só Haar đưoc xây dnng tù năm 1910, trưóc thu¾t ngu “sóng nhó” đưoc sáng tao Đây só sóng nhó trnc chuan đau tiên cna L2(R) Nhưng phái đen nhung năm gan đây, đưa van đe bán cau trúc xap xí đa phân giái, cơng trình nghiên cúu mói đưoc xây dnng manh me, giái tích sóng nhó thnc sn cnng co vai trò cna Trong đau nhung năm 80 cna the kí 20, Stromberg đưa ví du sóng nhó trnc giao Tiep theo, đc lắp vúi Stromberg, súng nhú Meyer đưoc đưa Sau đó, vói khái ni¾m xap xí đa phân giái đưoc giói thi¾u bói Mallat Meyer, vi¾c tìm hieu sn khai trien trnc giao có tính chat h¾ thong đưoc phát trien (xem [11] [13]) cung cap m®t cơng cu đe xây dnng h¾ trnc chuan cna L2(Rn) Trong nhung năm gan đây, xap xí đa phân giái đoi vói nhóm Euclide R đưoc úng dung r®ng rãi mó r®ng pham vi nghiên cúu, tong quát hóa theo nhieu hưóng khác Có rat nhieu tác giá nghiên cúu ve van đe Trong [10], Madych nghiên cúu xap xí đa phân giái Rn chn yeu đoi vói hm bắc thang Dahlk mú rđng xap xớ a phõn giái đoi vói nhóm compact đ%a phương (xem [7]) Baggett ý đen sn ton tai cna sóng nhó khơng gian Hilbert nói chung vói vi¾c xap xí đa phân giái bang sú dung phép xap xí trùu tưong (xem [6]) Moi tác giá đeu đat đưoc nhung thành công nhat đ%nh, làm thay rõ vai trò cna sóng nhó xap xí đa phân giái nghiên cúu khoa hoc Ngoài ra, có nhieu nhà nghiên cúu ý đen m®t đoi tưong quan cna lĩnh vnc nhóm Heisenberg Van đe nhieu n®i dung can tìm hieu Vì the, dưói sn hưóng dan nhi¾t tình cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng tơi chon đe tài sau đe thnc hi¾n lu¾n văn tot nghi¾p: "Xap xs đa phân giái nhóm Heisenberg" Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu tong quan ve lý thuyet sóng nhó, xap xí đa phân giái L2(R) xap xí đa phân giái nhóm Heisenberg Nhi¾m nghiên cNu Trình bày nhung nét bán cna nhóm Heisenberg, kien thúc tong quan ve lý thuyet sóng nhó xap xí đa phân giái L2(R), đ¾c bi¾t xap xí đa phân giái nhóm Heisenberg Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cúu nhóm Heisenberg xap xí đa phân giái nhóm Heisenberg Phương pháp nghiên cNu Phương pháp nghiên cúu lý thuyet Phương pháp phân tích, tong hop Đóng góp cỳa luắn Chng Mđt so kien thNc chuan b% 1.1 Mđt so khỏi niắm v kien thNc ban đau 1.1.1 Các không gian hàm bán Giá sú l mđt mú Rn, k N Khi ta kí hi¾u: C (Ω) khơng gian hàm liên tuc Ω, Ck (Ω) không gian hàm vi liên tuc đen cap k Ω, C0 (Ω) không gian hàm vi liên tuc đen cap k Ω, có k giá compact, C∞ (Ω) = T ∞ C k (Ω) không gian hàm vi vô han, (Ω) C∞ = compact k= T C0k (Ω) khơng gian hàm vi vơ han có giá ∞ k=1  Vói moi so thnc ≤ p < , kớ hiắu p |u (x)| dx < ∞  Lp (Ω) = u : Ω → C|   Ω không gian hàm tích b¾c p u : Ω → C|ess sup |u (x)| < ∞ , Vói p = ∞, kí hi¾u L∞ (Ω) x∈Ω = ess sup |u (x)| = inf {M > 0|µ {x ∈ Ω| |u (x)| > M} = 0} , µ x∈Ω đ® đo Lebesgue Rn Lp,loc (Ω) = {u : Ω → C|u|K ∈ Lp (K) vói moi t¾p compact K ⊂ Ω} không gian hàm tích đ%a phương b¾c p g, lim g ∗ A ¸ φ˜a ∗ ε→o,A→∞ φa a−1 da ε (3.26) é thúc đưoc hieu theo ngha rđng Giỏ sỳ l chap nhắn oc Calderon Khi đó, theo đ%nh nghĩa, vói ¸A hang so c ta có lim g φ˜a ∗ φa a−1 da = cg theo nghĩa ∗ yeu ε→o,A→∞ ε Do đó, ta có: g, lim A g ¸ ∗ Da φ˜ ∗ = c"g " Da φa−5 da ε→o,A→∞ 2 ε Như v¾y giói han (3.25) ton tai huu han Và "Vφg"2 = c "g"2 Tù S (H) m®t khơng gian trù m¾t cna L2 (H) Vφ tốn tú đóng L2 (H), Vφ m®t cn L2 (H), sai khác m®t hang so c, có nghĩa φ chap nh¾n đưoc Ngưoc lai, giỏ sỳ l mđt vect chap nhắn oc, ta chí φ chap nh¾n đưoc Calderon, hay tng ng vúi hắ thỳc: áA = c (f, g) f, lim g D φ˜ ∗ a ∗ (3.27) Da φa−5 da ε→o,A→∞ ε vói moi c¾p f, g ∈ S (H) m®t hang so c = no ú Thắt vắy, vỡ l mđt vectơ chap nh¾n đưoc nên vói moi g ∈ S (H) ta cú 2 vắy tớch phõn "Vφg"2 = c "g"2, (3.24) huu han a−5da Ta thay vói ε co đ%nh hàm Đ¾t F (ε, A) := A g ∗ Da φ˜ ε L2(H) F (ε, ) m®t hàm dương, tăng theo bien A b% ch¾n Do ton tai lim F (ε, A), ta có the A→∞ viet: ¸∞ lim F (ε, A) = A→∞ a−5da g∗ D a φ˜ ε (3.28) L2(H) Đ¾t G (ε) = lim F (ε, A) Ta thay G dương giám, ton tai A→∞ lim G (ε) ta có the viet: lim G (ε) = ε→0 ε→0 ¸∞ g ∗ D a φ˜ a−5da L2(H) Như v¾y thúc (3.25) ta có thúc sau: A ¸ = "Vφg = c "g" g, lim g φ˜ ∗ a ∗ −1 φa a ε→o,A→∞ da (3.29) " ε V¾y h¾ thúc (3.27) trưòng hop f = g Ta chí trũng hop tong quỏt áA K,A = a φa a−1 da Tù (3.29) ta có: ε lim ε→0,A→∞ (g, g ∗ Kε,A) = c"g" , ∀g ∈ S (H) (3.30) Giá sú f ∈ S (H), ta có: (f + g, (f + g) ∗ Kε,A) = (f, f ∗ Kε,A) + (f, g ∗ Kε,A) ε → + (g, f ∗ Kε,A) + (g, g ∗ Kε,A) Tù (3.30) ta có ve trái cna thúc tien đen "f + g 0, A → ∞ Suy " (f, g ∗ Kε,A) + (g, f ∗ Kε,A) → c ((f, g) + (g, f)) ε → 0, A → ∞ Do đó, lim ε→0,A→∞ Re (f ∗ Kε,A, g) = cRe (f, g) (3.31) Thay f + g bói f + ig ó bien đoi ta đưoc: (f, g ∗ Kε,A) − (g, f ∗ Kε,A) → c ((f, g) − (g, f)) ε → 0, A → ∞ Đieu chí rang lim ε→0,A→∞ Im (f ∗ Kε,A, g) = cIm (f, g) (3.32) Tù (3.31) (3.32) suy h¾ thúc (3.27) Và ta đưoc đieu can chúng minh Tiep theo ta se a mđt ieu kiắn n e cỏc hàm Schwartz chap nh¾n đưoc, sn ton tai cna hàm nhi¾t hach Trưóc tiên ta ý đen mđt so kớ hiắu Kớ hiắu d d a oc hieu phép lay đao hàm vectơ, cu the là: Giá sú X m®t khơng gian vectơ topo F m®t hàm giá tr% vectơ R+ thóa mãn F (a) ∈ X, ∀a ∈ R+ Khi ta nói d F (a) ton tai d tai a a = a0 neu lim F (a0+h)−F ton tai theo topo cna X Và ta viet h→0+ (a0) h d da F (a) a=a F (a0 + h) − F (a0) = lim h→0+ h L = − X2 + Y toán tú Laplace dưói, vói X, Y trưòng vectơ bat bien trái nhóm H Tốn tú nhi¾t hach liên ket vói L tốn tú vi phân d + L H × d R, t d dt trưòng vectơ toa đ® R (toa đ® có the oc xột nh toa đ thũi gian) Mắnh đe 3.4.26 Giá sú φ, ψ ∈ S (H) thóa mãn ψ ƒ= vói hang so k, c > đó, so thnc q ƒ= ta ˜ d φ aq ∗ φaq = −ac ψkaq d có φ chap nh¾n đưoc a Khi Chúng minh Giá sú g ∈ S (H) , < ε < A < ∞ Dùng phép đoi toa đ® d a thành aq sú dung giá thiet φ˜aq ∗ φaq = −ac ψkaq , ta có: d a A g∗ ¸ ε Aq −1 ˜ φ˜a ∗ φa a−1 da = qg φ aq ∗ φaq a da ¸ ∗ 1 Aq = qg ∗ εq ¸ −ac d ψkaq a−1da d (3.33) a ε q1 Aq = qg ∗ ¸ −c dd ψkaq da εq a = −qc (g ∗ (ψAk − ψεk)) = cqg ∗ (ψεk − ψAk) Vói giá thiet ¸ ψ ƒ= 0, ta có: ¸ ψ lim g ψεk = g ∗ ε→0 (3.34) theo L2 - chuan M¾t khác ta có the viet: "g ∗ ψAk"2 ≤ "g"1"ψAk"2 = (kA) − "g"1"ψ"2 (3.35) Đieu chí rang g ∗ ψAk → theo L2- chuan A → ∞ Áp dung (3.34), (3.35) vào (3.33) ta đưoc: A ¸ ψ ¸ g∗ (3.36) φ˜a ∗ φa a−1 da → g ε ε → 0, A → ∞ theo L2- chuan Tù ta có đieu phái chúng minh M¾nh đe 3.4.27 Ton tai nhat m®t C ∞ - hàm h H × (0, ∞) thóa mãn tính chat sau: dd + L h = 0/H × (0, ∞), t h (ω, t) ≥ 0, h (ω, t) = h ω ¸ h (ω, t) dω = 1, t > 0, −1 , t , ∀ (ω, t) ∈ H × (0, ∞) h (., s) ∗ h (., t) = h (., s + t) , ∀s, t > 0, 4 r h rω, r t = h (ω, t) , ∀ω ∈ H, t, r > 0, (vói rω kí hi¾u phép tốn tn ang cau r tỏc đng lờn ) Nghiắm h đưoc goi nhi¾t hach é ta ý khống (0, ∞) khơng gan vói nhóm phép giãn chương trưóc mà đưoc hieu khống thòi gian Ta se áp dung M¾nh đe 3.4.26 đe chí hàm φ, φ (x) = Lh (x, 1) chap nh¾n đưoc Trưóc tiên ta can tính tốn sn giãn cna hàm h (., 1) Lh (., 1) Bo đe 3.2 Vói moi a > ω ∈ H ta có: h(ω, 1)a = a2h ω, a2 Lh(ω, 1)a = a2Lh ω, a2 Chúng minh Giá sú a > ω ∈ H, áp dung tính chat cna hàm h M¾nh đe 3.4.26 ta có: h(ω, 1)a = a− h a−1 ω, = h ω, a2 a2 Tương tn, áp dung tính chat ta có: d −4 −1 Lh(ω, 1)a = a Lh a ω, = −a−4 d t −1 h a ω, t t= = a2Lh ω, a2 d = −d h ω, t a t (3.37) t= (3.38) Ta có đieu can chúng minh Sau ta se đen muc đích cna phan kiem tra sn chap nh¾n đưoc Calderon đoi vói hàm Schwartz φ = Lh (., 1) Trưóc tiên ta ý rang đưòng thang thnc R, nhi¾t hach đưoc cho bói h (x, t) = e−x , đ¾c bi¾t ta có h (x, 1) = e− x2 Đao hàm cap hai √ 4π √ 4π 4t cna m®t sóng nhó, goi sóng nhó mũ Mêxicơ Ta có đ%nh lý sau đây: Đ%nh lý 3.4.6 “Sóng nhó mũ Mêxicơ” H, φ (ω) = Lh (ω, 1) chap nh¾n đưoc Chúng minh é ta can ý hàm Lh (., 1) có giá tr% bang H Ta de thay φ˜ = φ, ∀ω ∈ H t > ta xác đ%nh ht (ω) = h (ω, t) Áp dung tính chat M¾nh đe 3.4.26 ta có: ∼ ∼ (Lh) (ω, t) = − d h (ω, t) = − d h˜ t (ω) dt (3.39) dt = − d h¯ t ω −1 = − d ht (ω) = Lh (ω, t) dt dt Ta chí hàm ψ = h (ω, 1) + Lh (ω, 1) thóa mãn h¾ thúc: d φ˜√a ∗ φ√a = φ√a ∗ φ√a = −ca da ψ√2a (3.40) Tù (3.37) (3.38) ta có φ√a ∗ φ√a = (Lh (., 1))√a ∗ (Lh (., 1))√a (3.41) = aLh (., a) ∗ aLh (., a) = a2L2h (., 2a) ψ√2a = (h (ω, 1))√2a + (Lh (ω, 1))√2a Ta lai có: (3.42) = h (., 2a) + 2aLh (., 2a) Tù vectơ đao hàm cna ψ√2a vói tham so a đưoc tính sau: d da = ψ√2a d d h (., 2a) + 2Lh (., 2a) + 2ada Lh (., 2a) da = d d2 a h (., 2a) + 2Lh (., 2a) + Lh (., 4a d d2 2a) = −4aL2h (., 2a) a (3.43) Tù (3.41) (3.43) ta có (3.40) vói c = − Áp dung M¾nh đe 3.4.25 ta có đieu phái chúng minh KET LU¾N Lu¾n văn trình bày tong quan ve sóng nhó xap xí đa phân giái L2(R) không gian L2(H) theo quan điem cna lý thuyet bieu dien Cu the: - Trình bày ve Đ%nh lý mau Shannon vài nét ve khơng gian mau - Trình bày nhung nét phương pháp cna I.Daubechies - Trình bày ve vi¾c xây dnng khung xap xí đa phân giái Shannon sn ton tai cna khung sóng nhó Shannon nhóm Heisenberg - Trình bày m®t vài ví du đien hình ve sóng nhó Vì thòi gian có han han che ve pham vi kien thúc, chac chan lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu sót Kính mong q thay ban thơng cám, đóng góp nhung ý kien q báu đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Xin chân thành cám ơn Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Phu Hy (2006), Giái tích hàm, Nhà xuat bán Khoa hoc v k thuắt, H Nđi [2] A N Kolmogorov, S V Fomin (1971), Cơ só lý thuyet hàm giái tích hàm, Nhà xuat bán Giáo duc, Hà N®i [3] Nguyen Xuân Liêm (2002), Giái tích hàm, Nhà xuat bán Giáo duc, Hà N®i [4] A P Robertson, W J Robertson (1977), Không gian vectơ tôpô, Nhà xuat bán Đai hoc v Trung hoc chuyờn nghiắp, H Nđi [5] Hong Tuy (2005), Hàm thnc giái tích hàm, Nhà xuat bỏn hoc Quoc Gia H Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [6] L Baggett, A Carey, W Moran and P Ohring (1995), “General ex- istence theorems for orthonormal wavelets, and abstract approach”, Publ RIMS, Kyoto Univ., (31), 95-111 [7] S Dahlk (1994), Multiresolution analysis and wavelets on locally compact abelian group, in “Wavelets, Images, and Surface Fitting” (P.J.Laurent, A.Le Méhauté, and L.L.Schumaker, Eds.), 141-156, A.K.Peters, Wellesley, Massachusetts [8] Ingrid Daubechies (1992), Ten lectures on wavelets, CBMS - NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 82 83 [9] H Fuhr (2005), Abstract harmonic analysis of continuous wavelet transforms, Lecture notes in mathematics 1863, Springer Verlag, Berlin [10] W R Madych (1992), “Multiresolution analysis, tiles, and scaling founctions, Propabilistic and stochastic mothod in analysis, with applications” (II Ciocco, 1991), 233-243, NATO Adv.Sci.Inst.Ser.C Math.Phys.Sci., (372), Kluwer Acad.Publ., Dordrecht [11] S Mallat (1989), “Multiresolution approximation and wavelets”, Trans Amer.Math.Soc., (315), 69-88 [12] Azita Mayeli (2005), Discrete and continuous wavelet transformations on the Heisenberg group, Technische Universitat Munchen [13] Y Meyer (1992), Wavelets and operators, Cambridge University Press, Cambridge ... thuyet sóng nhó xap xí đa phân giái L2(R), đ¾c bi¾t xap xí đa phân giái nhóm Heisenberg Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cúu nhóm Heisenberg xap xí đa phân giái nhóm Heisenberg Phương pháp... I.Daubechies 45 Xap xí đa phân giái nhóm Heisenberg 56 3.1 Xap xí đa phân giái đoi vói nhóm Heisenberg 56 3.2 Xây dnng khung xap xí đa phân giái Shannon cho nhóm Heisenberg 57 3.3 Sn... nhóm Heisenberg" Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu tong quan ve lý thuyet sóng nhó, xap xí đa phân giái L2(R) xap xí đa phân giái nhóm Heisenberg Nhi¾m nghiên cNu Trình bày nhung nét bán cna nhóm Heisenberg,