Đối với nhóm H, có hai họ phép biểu diễn unita bất khả quy, một họ gồm các phép biểu diễn unita bất khả quy vô hạn chiều, một họ khác gồm các phép biểu diễn một chiều. Ở đây ta tập trung vào họ các phép biểu diễn unita bất khả quy vô hạn chiều.
Định nghĩa 1.3.29. Các phép biểu diễn unita bất khả quy vô hạn chiều của H được gọi là các phép biểu diễn Schr¨odinger, các phép biểu diễn này được thực hiện trên L2(R) như sau:
Với mỗi λ ∈ R∗,(p, q, t) ∈ H, toán tử ρλ(p, q, t) tác động trên L2(R)
bởi
ρλ(p, q, t)φ(x) = eiλteiλ(px+12pq)φ(x+q), φ ∈ L2(R). Ta kiểm tra được rằng ρλ là một toán tử unita thỏa mãn:
ρλ(p1, q1, t1) (p2, q2, t2) = ρλ(p1, q1, t1)ρλ(p2, q2, t2).
Do đó mỗi ρλ là một phép biểu diễn liên tục mạnh của H, nghĩa là, với mỗi f ∈ L2(R) ta có ρλ(xn)f →ρλ(x)f khi xn → x.
Ta có một định lý quan trọng của Stone và von Neumann sau:
Định lý 1.3.14. (Stone và von Neumann) Các phép biểu diễn ρλ, λ 6= 0
là bất khả quy. Nếu π là một phép biểu diễn unita bất khả quy của H trên không gian Hilbert H thỏa mãn π(0, t) = eiλtI, với λ 6= 0 nào đó thì π là tương đương unita với ρλ.
1.3.3. Biến đổi Fourier trên nhóm Heisenberg
Trong phần này ta sẽ định nghĩa biến đổi Fourier cho các hàm trên
H, giới thiệu biến đổi ngược và định lý Plancherel với biến đổi Fourier. Ta bắt đầu với biến đổi Fourier của các hàm khả tích trên H.
Định nghĩa 1.3.30. Nếu f ∈ L1(H), ta định nghĩa biến đổi Fourier của f là trường đo được các toán tử trên Hb cho bởi toán tử tích phân yếu: fˆ(λ) =R
H
f (ω)ρλ(ω)dω.
Để ngắn gọn ta viết fˆ(λ) thay cho fˆ(ρλ).
Biến đổi Fourierfˆ(λ)là một hàm giá trị toán tử, với mỗiφ, ψ ∈ L2(R) ta có: D ˆ f (λ)φ, ψE = Z H f (p, q, t)hρλ(p, q, t)φ, ψidpdqdt,
với định nghĩa toán tử tích phân yếu. Toán tửfˆ(λ) là bị chặn trênL2(R) với chuẩn toán tử thỏa mãn:
ˆ f (λ) ≤ kfk1.
Nếu f ∈ L1 ∩L2(H) thì fˆ(λ) thực sự là một toán tử Hilbert – Schmidt và biến đổi Fourier có thể mở rộng với ∀f ∈ L2(H).
ĐặtM:= L1 ∩L2(H)vàN :=bao tuyến tính của{f ∗g, f, g ∈ M}. Khi đó N là một không gian vectơ các hàm được xem là trù mật trong cả L1(H) và L2(H).
Định lý 1.3.15. (Định lý Plancherel) Biến đổi Fourier f → fˆánh xạ
M vào
⊕
R
λ∈R∗
L2(R)⊗L2(R)dµ(λ), với dµ(λ) = (2π)−2|λ|dλ là độ đo Plancherel được cho trên Hb. Ánh xạ này thác triển một ánh xạ unita từ
L2(H) lên
⊕
R
λ∈R∗
L2(R)⊗L2(R)dµ(λ) không gian các hàm trên R∗, lấy giá trị trong L2(R)⊗L2(R) mà bình phương khả tích đối với dµ(λ).
Với f, g ∈ M, ta có công thức Parseval:
Z H f (ω)g(ω)dx = Z λ∈R∗ tr ˆ g(λ)∗fˆ(λ) dµ(λ).
Và với f ∈ N ta có công thức Fourier ngược:
f (ω) = Z λ∈R∗ tr ρλ(ω)∗fˆ(λ) dµ(λ). Nhận xét 1.2. Với f, g ∈ L1 ∩L2(H), ta có các tính chất sau: (af +bg)∧(λ) =afˆ(λ) +bˆg(λ), (f ∗g)∧(λ) = ˆf (λ) ˆg(λ), (Lωf)∧(λ) =ρλ(ω) ˆf (λ), ˜ f ∧ (λ) = ˆf(λ)∗.
Giả sử λ 6= 0. Khi đó, từ Định nghĩa phép biểu diễn Sch¨oringer ta có đẳng thức sau:
ρλ a−1(0,0, t) = eiλa−2tI = ρa−2λ(0,0, t), ∀t ∈ R, với toán tử giãn cho bởi a > 0 xác định trên H:
a : (p, q, t) → a.(p, q, t) = ap, aq, a2t, ∀(p, q, t) ∈ H.
Do đó từ Định lý Stone và von Neumann các phép biểu diễn ρλ a−1. và ρa−2λ là tương đương unita.
Điều đó có nghĩa là tồn tại một toán tử unita Ua,λ : L2(R) → L2(R) sao cho
ρλ a−1(p, q, t)= Ua,λρa−2λ(p, q, t)Ua,λ∗ , ∀(p, q, t) ∈ H.
Khi đó với mỗi λ 6= 0 và a > 0 thì Ua,λ = Da∗, với Daf (.) = a−12f a−1.. Lại có Da∗ = Da−1, thay vào đẳng thức trên ta có:
ρλ a−1(p, q, t)= Da−1ρa−2λ(p, q, t)Da, ∀(p, q, t) ∈ H. (1.7) Ta có thể tính toán biến đổi Fourier của hàm f ◦δa trong bổ đề sau: Bổ đề 1.1. Với mỗi f ∈ L2(H), ta có
(f (a.))∧(λ) = a−4Da−1 f a−2λ∧Da.
Chứng minh. Từ Định nghĩa biến đổi Fourier, với λ 6= 0 ta có (f (a.))∧(λ) = R λ f (a.(p, q, t))ρλ(p, q, t) = R λ f ap, aq, a2tρλ(p, q, t) = a−4R λ f (p, q, t)ρλ a−1p, a−1q, a−2tdpdqdt = a−4R λ f (p, q, t)ρλ a−1(p, q, t)dpdqdt.
Thay (1.6) vào ta có hệ thức sau (f (a.))∧(λ) =a−4Da−1 R λ f (p, q, t)ρa−2λ(p, q, t)dpdqdt Da = a−4Da−1 f a−2λ∧Da.
Vậy ta có điều phải chứng minh.