Sai số và nội suy

Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận công trình nghiên cứu riêng tôi, sức lực thân nghiên cứu hoàn thành sở kiến thức học tham khảo tài liệu với giúp đỡ thầy cô, bạn bè Nó không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Nếu sai xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Dung SVTH: Nguyễn Thị Dung K34C Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sự khác biệt toán lý thuyết toán tính 1.2 Quan hệ toán học tính toán tin học .5 Chƣơng 2: SAI SỐ 2.1 Số gần Sai số tuyệt đối.Sai số tƣơng đối .6 2.2 Sai số thu gọn 2.3 Chữ số 12 2.4 Sai số 17 2.5 Bài toán ngƣợc sai số 20 2.6 Sự ổn định 21 Bài tập .23 Chƣơng 3: NỘI SUY 26 3.1 Đa thức nội suy Lagrange 26 Bài tập .33 3.2 Sai phân 35 Bài tập .50 3.3 Sai số phép nội suy 55 Bài tập .59 3.4 Tỷ sai phân .60 Bài tập .68 3.5 Đa thức nội suy Hermitte nội suy hàm ghép trơn 69 Bài tập .74 KẾT LUẬN 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 78 SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải toán thực tế Ngày nay, khoa học công nghệ thông tin, tin học ngày phát triển kéo theo phát triển toán học Toán học chia làm hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết toán học ứng dụng Nói tới toán học không nói đến Giải tích số môn khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu giải số, phƣơng trình, toán xấp xỉ hàm số toán tối ƣu,… Để có lời giải gần cho toán đòi hỏi phải có liệu toán, công việc tìm thuật toán hữu hiệu cuối viết phƣơng trình để máy tính tính toán cho ta kết gần Khi giải toán thực tế ta phải trực tiếp gián tiếp làm việc với liệu toán Chính không tránh khỏi sai số nhỏ nhƣng ảnh hƣởng trực tiếp tới kết tính toán Vì cần sử dụng thuật toán hữu hiệu để giảm thiểu sai số đồng thời thuận lợi cho việc lập trình, tiết kiệm thời gian, số lƣợng phép toán Từ năm 50 trở lại đây, năm 80, giải tích số đặc biệt phát triển với phát triển tin học Ngày nay, với xuất siêu máy tính, khả song song hoá trình tính toán đƣợc mở rộng Nhiều thuật toán song song đƣợc đề xuất vào giải toán thực tiễn Với mong muốn đƣợc nghiên cứu tìm hiểu sâu sắc môn bƣớc đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học em chọn đề tài: ” Sai số nội suy ” SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C Khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Bƣớc đầu tiếp cận giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu Giải tích số, đặc biệt sai số phƣơng pháp nội suy Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu sai số để hiểu rõ nội dung kiến thức phần sai số chƣơng I Đại số 10 Nghiên cứu phƣơng pháp nội suy để ứng dụng việc tính gần đạo hàm, tích phân Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, tổng hợp, đánh giá Cấu trúc khoá luận Gồm phần: Phần I: Mở đầu Phần II: Nội dung Gồm chƣơng: Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng 2: Sai số Chƣơng 3: Nội suy Phần III: Kết luận SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C Khóa luận tốt nghiệp NỘI DUNG CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 SỰ KHÁC BIỆT GIỮA TOÁN LÝ THUYẾT VÀ TOÁN TÍNH TOÁN Trong toán học lý thuyết đề cập đến chứng minh tồn nghiệm, khảo sát dáng điệu số tính chất định tính nghiệm toán tính trình bày thuật giải máy Giải tích số đặc biệt quan tâm tới thời gian máy, nhớ sử dụng để giải toán, thuật toán, tốc độ hội tụ ổn định thuật toán Trong trình giải số toán, nhiều nảy sinh vấn đề mà lý thuyết không quan tâm không giải đƣợc Để hiểu rõ khác biệt toán tính toán lý thuyết ta xét số ví dụ sau: Ví dụ 1.1: Giả sử cần tính tích phân:  n  1 I n   x ne x2dx Tích phân phần ta đƣợc: In  x n e x 2  n | I1   xe x 2 1 n1 x 2 x e dx   nI n1  e dx  xe x2  1 |  e x2dx  e2  0,135335 đến ngƣời ta làm lý thuyết cho tính đƣợc I n , theo công thức 1 truy hồi I n   nI n1 với I1   0,135335 thực nhƣ e e I9  0,0251923 , kết hoàn toàn không xác n, I n  Nguyên nhân thiếu xác sai số ban đầu mắc phải tính e 1 , nhỏ nhƣng bị khuêch đại sau bƣớc SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 1.2: Cho hệ phƣơng trình đại số tuyến tính: Ax  b (1.1) Trong A ma trận vuông cấp n  n, b vectơ n - chiều, cho trƣớc Giả sử det A  0, x  Rn vectơ nghiệm cần tìm Theo nguyên tắc, ta giải hệ (1.1) theo quy tắc Crame: xi  i  (1.2) Trong   det A , i định thức ma trận, nhận đƣợc từ A cách thay cột thứ i cột b Để tìm nghiệm (1.1) ta phải tìm  n  1 định thức Mỗi định thức có n! số hạng Mỗi số hạng có n thừa số, để tính số hạng phải thực  n  1 phép nhân Nhƣ riêng số phép nhân phải thực (1.2) n! n  1 n  1 Giả sử n = 30, máy tính ta thực đƣợc 105 phép nhân giây Khi để thực đƣợc hết phép nhân theo (1.2) phải 2,76 1025 năm Ví dụ 1.3: Xét hệ (1.1) với ma trận A  diag  0.1,0.1, ,0.1 , n  200 Khi đó, det A  10200  theo quan điểm lý thuyết ma trận A hầu suy biến Trong đó, A  0,1.E với E ma trận đơn vị Trong toán học tính toán, ngƣời ta dùng đặc trƣng khác, gọi số điều kiện cond  A A để kiểm tra tính suy biến Nếu cond  A lớn ma trận A gần suy biến Ở ví dụ cond  A  cond  E   Ma trận A có tính chất nhƣ ma trận đơn vị SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C Khóa luận tốt nghiệp 1.2 QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC TÍNH TOÁN VÀ TIN HỌC Các bƣớc để giải toán thực tế bao gồm: • Bƣớc 1: Xây dựng mô hình toán học toán thực tế • Bƣớc 2: Phân tích mô hình Mối tƣơng quan mô hình với tƣợng thực tế Sự tồn (và nhất) lời giải Phác thảo phƣơng hƣớng tính toán • Bƣớc 3: Rời rạc hóa mô hình: Ngƣời ta thƣờng dùng phƣơng pháp sai phân, phần tử hữu hạn, để quy toán liên tục toán với số ẩn hữu hạn • Bƣớc 4: Xây dựng thuật toán • Bƣớc 5: Cài đặt khai thác tin học Giữa toán học tính toán tin học có mối liên hệ mật thiết tác động qua lại lẫn Do sống ngƣời ngày văn minh, tiến bộ, đại, đời sống vật chất nhƣ tinh thần đƣợc nâng cao, đòi hỏi việc tính toán cần phải nhanh, xác Nếu ta tiến hành tăng tốc độ tính toán máy gặp nhiều khó khăn kĩ thuật Hơn lại đòi hỏi chi phí lớn nên để tính toán nhanh ngƣời ta thiên cải tiến phƣơng pháp giải toán Từ xuất phép biến đổi nhanh Fouire, thuật toán song song,…Chính vậy, ngày làm việc vậy, trƣớc cho đời sản phẩm ngƣời ta nghĩ đến đầu nó, cách làm để thu đƣợc lợi nhuận lớn Thì khoa học công nghệ vậy, đồng hành với đời siêu máy tính: Máy tính song song, máy tính vectơ vv…, phƣơng pháp song song Ngày nay, ta đƣợc chứng kiến xu song song hóa diễn tất lĩnh vực Giải tích số Để tiết kiệm nhớ máy tính ngƣời ta đề xuất phƣơng pháp hữu hiệu xử lý hệ lớn, thƣa nhƣ kĩ thuật nén ma trận, kĩ thuật tiền xử lý ma trận SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C Khóa luận tốt nghiệp CHƢƠNG 2: SAI SỐ 2.1 SAI SỐ GẦN ĐÚNG SAI SỐ TUYỆT ĐỐI SAI SỐ TƢƠNG ĐỐI 2.1.1 Số gần Trong nhiều trƣờng hợp, ta đƣợc giá trị đại lƣợng mà ta quan tâm mà biết giá trị gần Ta gọi a sồ gần a* a không sai khác a* nhiều Ví dụ 2.1.1 Theo tổng cục thống kê, đứng đầu năm tỉnh thành có số dân đông nƣớc, thành phố Hồ Chí Minh có 7396500 ngƣời, tiếp đến thủ đô Hà Nội 6561900 ngƣời, Thanh Hoá 3406800 ngƣời, Nghệ An 2917400 ngƣời Đồng Nai 2569400 ngƣời Các số liệu số gần 2.1.2 Sai số tuyệt đối Giả sử a số gần a* Giá trị a*  a phản ánh mức độ sai lệch a a* Ta gọi đại lƣợng  : a*  a sai số thực a Nếu  > a đƣợc gọi số gần thiếu a* Nếu  < a đƣợc gọi số gần thừa số a* Trên thực tế nhiều a* nên ta không tính đƣợc  Do ta tìm cách ƣớc lƣợng sai số số dƣơng  a thoả mãn: a*  a   a (2.1.1) Ta gọi  a thoả mãn điều kiện (2.1.1) sai số tuyệt đối số gần a , từ (2.1.1) có: a   a  a*  a   a SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C (2.1.2) Khóa luận tốt nghiệp Rõ ràng  a sai số tuyệt đối a số    a xem sai số tuyệt đối a Vì điều kiện cụ thể ngƣời ta chọn  a số dƣơng bé thoả mãn (2.1.2) Do đó, số gần a số a* với sai số tuyệt đối  a đƣợc viết đơn giản là: a*  a   a (2.1.3) Ví dụ 2.1.2: Xét số a*  giá trị gần a  1,41 Hãy cho biết sai số tuyệt đối Giải Ta có: (1,41)2 = 1,9881 < suy 1,41 < (1,42)2 = 2,0164 > suy 1,42 > Do đó:  : a*  a  suy suy  1,41   1,42  0,01  1,41  0,01 Suy a  0,01 Mặt khác 1,41 < < 1,415=1,41+0,005 Do lấy sai số tuyệt đối a a  0,005 2.1.3 Sai số tƣơng đối Cho số gần a có số a* với sai số tuyệt đối  a giả sử a*  Ta gọi sai số tƣơng đối số gần a số, kí hiệu  a tỉ số sai số tuyệt đối a* a  a a* SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C (2.1.4) Khóa luận tốt nghiệp Tuy nhiên, số a* chƣa biết đại lƣợng  a xác định (2.1.4) có ý nghĩa lý thuyết Để đảm bảo tƣơng đối xác ngƣời ta thƣờng tính toán  a theo công thức sau ( điều kiện a  ): a  Suy ra: a a (2.1.5) a  a  a (2.1.6) Các công thức (2.1.5), (2.1.6) cho liên hệ sai số tƣơng đối sai số tuyệt đối Biết  a (2.1.5) cho phép tính  a , biết  a (2.1.6) cho phép tính  a Do (2.1.6) nên (2.1.3) viết: a*  a(1   a ) (2.1.7) Ví dụ 2.1.3 Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta đƣợc a =10cm b =1cm với a  b  0,01 Khi ta có: a  0,01  0,1% 10 b  0,01  1% Suy ra: b  10 a Hiển nhiên phép đo a xác phép đo b a  b Nhƣ độ xác phép đo phản ánh qua sai số tƣơng đối Nhận xét: Sai số tuyệt đối nhƣ sai số tƣơng đối số gần a số a* không Chẳng hạn, xem ví dụ 2.1.2 có a*  , a = 1,41 lấy a  0,01 a  0,005 SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C 10 Khóa luận tốt nghiệp Suy P  x, x0   P  x0 , x1   P  x, x0 , x1   x  x1  Tƣơng tự ta có: P  x, x0 , x1, , xi1   P  x0 , , xi   P  x, x0 , , xi  x  xi  Từ rút : P  x   P  x0   P  x0 , x1    P  x0 , x1, , xn   x  x1   x  xn1  i  0, n  Mà P  xi   yi  f  xi  P  x0 , x1, , xk   f  x0 , x1, , xk  với k  1, n Vậy P  x   f  x0   f  x0 , x1  x  x0   f  x0 , x1, x2  x  x0   x  x1    f  x0 , x1, , xn  x  x0   x  x1   x  xn1  (3.4.9) Đa thức P  x  cho công thức (3.4.9) đƣợc gọi công thức nội suy Newton với mốc Nhận xét: Nếu thêm vài mốc nội suy để tìm đa thức nội suy Newton cần tìm thêm vài số hạng mà tính lại từ đầu nhƣ đa thức nội suy Lagrange Đây ƣu điểm đa thức nội suy Newton so với đa thứ nội suy Lagrange Ví dụ 3.4.2 Hàm số f  x  cho bảng: x 10 15 18 20 f  x 10 19 Hãy tính f(11,75)? SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C 66 Khóa luận tốt nghiệp Giải Vì mốc nội suy không cách đều, ta sử dụng công thức nội suy Newton với mốc Ta lập bảng tỷ sai phân: x f  x 10 TSPC1 TSPC2 TSPC3 0,8 15 0,025 18 10 0,0875 0,9 4,5 20 19 Ta có: f  x    0,8 x  10  0,025 x  10 x  15  0,0875 x  10 x  15 x  18 = 0,0875x3  3,7375x2  52,675 x  237,5 Suy f(11,75) = 7,368164063 3.4.4 Tính toán máy tính Chƣơng trình Pascal công thức nội suy Newton với VAR a, f, g: real; n, i, j: integer; n, y, P: array [0…100] of Real; BEGIN Write („cho n = „ ); Readln (n); For i:= to n Begin Write („moc noi suy thu‟, i, „la‟); Readln (x[i]); SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C 67 Khóa luận tốt nghiệp End; For j:= to n Begin Write („gia tri ham so tai moc noi suy thu‟, i, „ la: „) Readln(y[i]); End; Write („ Nhap gia tri can tinh: „ ); Readln(a); f:= y[0]; for i:= to n-1 Begin P i    y i  1  y i  /  x i  1  x i  ; End; g : x  x 0; f : f  g * P 0; For j:= to n Begin For i:= to n-j Begin P i    P i  1  P i  /  x i  1  x i  ; End; g: = g*(x-x[j]); f: = g*P[0]; End; Write (f:2:9); Readln; END SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C 68 Khóa luận tốt nghiệp 3.4.5 Bài toán nội suy ngƣợc xk , f  xk k 0 Cần tìm n Giả sử ta có bảng giá trị x khoảng  sgn f  x   const  k  0, n  ta xây dựng đa thức nội suy P  y  dựa vào số liệu  y , x  y  f  x  Đặt y  y ta tìm đƣợc x  P  y   x0 , xn  f x  y cho trƣớc Nếu hàm f  x  đơn điệu, tức để k k n k k 0 k k Ví dụ 3.4.3 Dựa vào bảng giá trị hàm số xác định giá trị x tƣơng ứng với giá trị y  f  x  cho trƣớc x 2,5 y -5 -1 5,715 14 y=0 Giải Ta lập đa thức nội suy P  y  dựa vào kí hiệu  yk , xk k 0 yk  f  xk  y -5 -1 5,715 14 x 2,5 x y  f  x -5 TSPC1 TSPC2 TSPC3 0,25 -1 -0,01638 0,07446 5,715 2,5 0,00092 -0,00108 0,06035 14 SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C 69 Khóa luận tốt nghiệp Áp dụng công thức nội suy Newton với mốc ta có: x  P  0   0,25.5  0,01638.5.1  0,00092.5.1(5,715)  2,141811 BÀI TẬP Tìm đa thức nội suy hàm số f(x) cho bảng x -5 -3 y 62 21 -12 Hàm số f(x) cho bảng x 0,13 0,55 0,82 1,0 1,5 y 0,025 0,124 0,855 1,275 2,438 Tính f(0,25) Dựa vào bảng giá trị hàm số, xác định giá trị tƣơng ứng với giá trị y = f(x) cho trƣớc: x y 14 24 49 81 y = 20 Hướng dẫn ĐS f  x   0,557 x3  1,356 x  4,055x  56 ĐS f  x   4,33331x4  15,90622 x3  20,41763x2  8,37170 x  0,80197 f  0,25  0,24646082 Ta lập đa thức nội suy P  y  dựa vào số liệu  yk , xk 3k 0 yk  f  xk  ,  k  0,1,2,3 y 14 24 50 82 x SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C 70 Khóa luận tốt nghiệp Lập bảng tỷ sai phân y x 14 TSPC1 TSPC2 TSPC3 0,2 24 -0,00342857 0,08 50 -0,00014194 -0,01293860 0,0625 82 P  y    0,2  y  14  0,00342857  y  14 y  24 0,00014194  y  14  y  24  y  81 P  20   4,07448408 Vậy x  4,07448408 3.5 ĐA THỨC NỘI SUY HERMITTE VÀ NỘI BẰNG HÀM GHÉP TRƠN 3.5.1 Đa thức nội suy Hermitte 3.5.1.1 Bài toán Giả sử y  f  x  hàm số xác định đoạn  a, b, x0 , x1, , xn n+1 mốc nội suy đoạn  a, b Hãy tìm đa thức H 2n1  x  thỏa mãn điều kiện sau: i, deg H 2n1  x   2n  ii, H 2n1  xi   f  xi  ' ' iii, H 2n1  xi   f  xi  i  0,1, , n i  0,1, , n ' Trong đó, f '  xi  đạo hàm hàm số y  f  x  xi H 2n1  xi  đạo hàm hàm H 2n1  x  xi SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C 71 Khóa luận tốt nghiệp 3.5.1.2 Đa thức nội suy Hermitte Đa thức H 2n1  x  thỏa mãn điều kiện gọi đa thức nội suy Hermitte, đó:    n'' 1  xi   H n1  x     f  xi  1  '  x  xi   f '  xi  x  xi   n1  xi  i 0     n   n1  x    '   x  xi  n1  xi   (3.5.1) Nhận xét: Đa thức nội suy Hermitte có đặc điểm riêng khác với đa thức nội suy Lagrange đa thức nội suy Newton yêu cầu trùng đa thức nội suy hàm số cho mốc nội suy có yêu cầu trùng giá trị đạo hàm chúng Ví dụ 3.5.1: Hãy tính đa thức nội suy Hermitte hàm số y = f(x) đoạn [0,2] đƣợc cho bảng: x y y‟ Ta có: x0  0, f  x0   0, f '  x0   x1  1, f  x1   1, f '  x1   x2  2, f  x2   2, f '  x2     x   x  x  1 x  2 Suy  '  x   3x  x  ;  ''  x   x   '  x0   2; ''  x0   6 SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C 72 Khóa luận tốt nghiệp  '  x1   1; ''  x1    '  x2   2; ''  x2      3,,  x0    3  x    H  x    f  x0  1  ' x  x  f ' x x  x        0  '     x  x0 3  x0    3  x0        3,,  x1    3  x   +  f  x1  1  '   x  x1   f '  x1  x  x1    '  x x  x  x                 2    3,,  x2    3  x   +  f  x2  1  '   x  x2   f '  x2  x  x2    '  3  x2       x  x2  3  x2   Thay số có: H  x    x  x  x3  x 2  3.5.2 Nội suy hàm ghép trơn (Spline đa thức) Các đa thức nội suy xét có hạn chế tăng mốc nội suy lên bậc đa thức nội suy tăng lên Điều không thuận lợi tính toán Trong trƣờng hợp này, ta thực phép nội suy nhờ hàm ghép trơn (spline) đa thức khúc đƣợc ghép nối trơn tru Giả sử hàm số f  x  xác định đoạn  a, b Xét phân hoạch đoạn  a, b , a  x0  x1   xn1  xn  b Gọi Sm  x  hàm nội suy ghép trơn bậc m thỏa mãn điều kiện: i, Là đa thức bậc m đoạn  xk 1, xk   k  1, n ii, Thuộc lớp C m1  a, b m  1  iii, Sm  xk   f  xk  ; k  0, m  Nếu m  1, Sm  x  đƣợc xác định ta bổ sung thêm  m  1 điều kiện Các điều kiện bổ sung đƣợc gọi điều kiện biên Khi m  , ta có phƣơng pháp đƣờng gấp khúc SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C 73 Khóa luận tốt nghiệp Sau trình bày số kết Alberg, Nilson Walsh Spline bậc ba: m  Giả sử đoạn  a, b hàm số f  x  nhận giá trị mốc nội suy   xi i  1, n x1  a; xn  b Ta xác định hàm ghép trơn S3  x  i   đoạn  xi , xi 1  Biểu thị hàm ghép trơn i đoạn Pi  x  , i  1, n  với Pi  x    bi  x  xi   ci  x  xi   di  x  xi  (3.5.2) Theo cách xác định Sm  x  ta có số điều kiện sau: Pi  xi   f  xi  ; i  1, n  (3.5.3) Pi  xi1   f  xi1  ; i  1, n  (3.5.4) Pi '  xi1   Pi'1  xi1  ; i  1, n  (3.5.5) Pi''  xi1   Pi''1  xi1  ; i  1, n  (3.5.6) Và điều kiện biên P1''  x1   0, Pn''1  xn   Đặt hi  xi 1  xi ; gi  (3.5.7) f  xi 1   f  xi  i  1, n  hi (3.5.8) Từ (3.5.2) (3.5.3) ta có f  xi   P  xi     suy  f  xi  ; i  1, n  (3.5.9) Kết hợp (3.5.2), (3.5.4), (3.5.8) ta đƣợc:   bi  ci hi  di hi2  gi i  1, n  (3.5.10)   Kết hợp (3.5.2), (3.5.5) ta đƣợc: bi  2ci hi  3di hi2  bi 1 i  1, n  (3.5.11) Từ (3.5.2), (3.5.6) có: di  ci1  ci 3hi Theo (3.5.7) có c1  0; cn  SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C i  1, n  1 (3.5.12) (3.5.13) 74 Khóa luận tốt nghiệp Thay (3.5.12) vào (3.5.10) có: i  1, n  1 bi  gi  hi  ci 1  2ci  (3.5.14) Từ (3.5.11), (3.5.12), (3.5.14) ta có:  hici   hi  hi1  ci1  hi1ci2  3 gi1  gi  i  1, n   (3.5.15) Thêm phƣơng trình (3.5.13) vào (3.5.15) ta có  n   phƣơng trình đại số tuyến tính với  n   ẩn số c2 , c3 , , cn1 Khi n lớn để giải hệ tốt phƣơng pháp khử lặp i  1, n  1 Từ (3.5.8), (3.5.12), (3.5.14) ta tìm đƣợc bi , di Từ (3.5.9) ta tìm đƣợc i  1, n  1 Thay trở lại (3.5.2) ta tìm đƣợc Pi  x  Ví dụ: Tìm đa thức nội suy Spline bậc S3  x  hàm y  f  x   cos x      đoạn 0,  ;  ,   thỏa mãn: S3    S3     2 2  ( 3.5.16) Giải Ta có: x1  0, x2   , x3   f  x1   1; f  x2   0; f  x2   1; h1  h2   ; g1  2  ; g2  2  ; Ta tìm đa thức nội suy Spline bậc ba hàm f  x  đoạn  xi , xi1  (i=1,2) dƣới dạng: Pi  x    bi  x  xi   ci  x  xi   di  x  xi  (i=1,2) Với  f  xi  ta có a1  f  x1   1; a2  f  x2   Và h1c1   h1  h2  c2  h2c3  3 g2  g1  Do (3.5.16) có c1  c3  suy  h1  h2  c2  3 g2  g1  SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C 75 Khóa luận tốt nghiệp Suy c2  3 g  g1  0  h1  h2  2 Có b1  g1  h1  c2  2c1    2 b2  g  h2  c3  2c2    d1  c2  c1 c c  0; d   3h1 3h2   Vậy đoạn 0,  có S3  x    x   2   Trên đoạn  ,   có S3  x    x  2  BÀI TẬP Hãy tìm đa thức nội suy Hermitte hàm số y = f(x) đoạn  0, 2 cho bảng: a) x y 1 y‟ 0 x y y‟ x y y‟ b) c) SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C 76 Khóa luận tốt nghiệp 2.Hàm số f(x) cho dƣới dạng bảng sau: a) x y 1,5 2,4 x y 1,5 2,3 3,4 b) Xây dựng Spline nội suy bậc Hướng dẫn a) H5  x   x5  x  12 x3  x  x  3x  10 x3  x  x c) H  x   x5  x  x3  x 2 b) H  x      a) Trên đoạn 0,3 hàm số f  x  nhận giá trị mốc nội suy với: x1  0, x2  2, x3  ; f  x1   1; f  x2   1,5; f  x2   2,4; h1  2; h2  1; g1  0,25; g2  0,9 Ta tìm đƣợc đa thức nội suy Spline bậc hàm f  x  đoạn  xi , xi1  (i=1,2) dƣới dạng: Pi  x    bi  x  xi  (i=1,2) với điều kiện (3.5.17) Pi  xi   f  xi  ;(i  1,2) Và Pi  xi1   f  xi1  ;(i  1,2) (3.5.18) Theo (3.5.17) ta có:  f  xi  (i=1,2) hay a1  1; a2  1,5 f  xi 1   f  xi   gi (i=1,2) Theo (3.5.18) ta có: f  xi   bi hi  f  xi1   bi  hi Hay b1  0,25; b2  0,9 SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C 77 Khóa luận tốt nghiệp Vậy ta tìm đƣợc Spline nội suy bậc hàm f  x  đoạn  0,2  2,3 nhƣ sau: P1  x    0,25 x  0  0,25x  0,2 P2  x   1,5  0,9  x    0,9 x  0,3  2,3 b) P1  x   1,5  0,4  x    0,2 P2  x   2,3  0,55  x    2,3 SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C 78 Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Ngày nay, toán học ứng dụng dần sâu vào lĩnh vực đời sống xã hội Ngƣời học toán, nghiên cứu toán học không học lý thuyết mà phải có vốn hiểu biết nhiều toán ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp trình bày sai số, loại sai số, phƣơng pháp nội suy Ngoài ra, khóa luận đƣa ví dụ minh họa tập vận dụng Đặc biệt, khóa luận ứng dụng đƣợc tin học vào việc giải toán tính gần nhƣ sử dụng lập trình Pascal Vấn đề nghiên cứu nhiều điểm hay bổ ích Nhƣng lần đầu tiến hành nghiên cứu khoa học thời gian, nhƣ kiến thức hạn chế nên khóa luận em nhiều thiếu sót cần bổ sung góp ý Em mong nhận đƣợc bảo góp ý thầy cô bạn Một lần nữa, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Ts Nguyễn Văn Hùng, thầy cô tổ giải tích, thầy cô khoa toán trƣờng ĐHSP Hà Nội bạn sinh viên giúp em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C 79 Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Tôn Tích Ái, Phương pháp số, Nxb ĐHQG Hà Nội Phạm Kì Anh (1996), Giải tích số, Nxb ĐHQG Hà Nội Nguyễn Minh Chƣơng - Nguyễn Văn Khải - Khuất Văn Ninh - Nguyễn Văn Tuấn - Nguyễn Tƣờng (2000), Giải tích số, Nxb Giáo dục Phạm Huy Điển (2002), Tính toán lập trình giảng dạy toán học Maple, Nxb Khoa học kĩ thuật Gs Tạ Văn Đĩnh (1991), Phương pháp tính, Nxb Giáo dục Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh, Phương pháp tính thuật toán giải, Nxb Giáo dục SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C 80 [...]... luận tốt nghiệp 2.4 SAI SỐ 2.4.1 Khái niệm về một vài loại sai số Trong tính toán ta thƣờng gặp 4 loại sai số sau: 2.4.1.1 Sai số giả thiết Do mô hình hóa, lý tƣởng hoá và đơn giản hoá bài toán đang xét, ngoài ra phải đƣa thêm vào các giả thiết thích hợp, từ đó dẫn đến những sai số Những sai số nhƣ vậy là không tránh đƣợc và phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể của thực tiễn 2.4.1.2 Sai số phương pháp Các... cần lại làm tròn số Những sai số dạng này đƣợc gọi là sai số tính toán Dƣới đây ta nghiên cứu kĩ hơn sai số của các số liệu ban đầu và sai số tính toán, còn sai số phƣơng pháp sẽ đƣợc nghiên cứu ở từng phƣơng pháp cụ thể 2.4.2 Sai số của các số liệu ban đầu Nhƣ đã trình bày ở trên, các số liệu ban đầu thƣờng đƣợc xác định do thí nghiệm, đo, điếm…Ta thấy kết quả của thí nghiệm phụ thuộc vào rất nhiều yếu... các hệ số  1 n j cnj không phụ thuộc vào hàm f(x), các mốc nội suy và bƣớc h, nên có thể tính sẵn và lập bảng để sử dụng trong quá trình tính toán - Nội suy bậc nhất hay còn gọi là nội suy tuyến tính, với n = 1 ta có đa thức nội suy Lagrange bậc nhất 1  x   y0 x  x1 x  x0  y1 x0  x1 x1  x0 - Với n = 2 ta có đa thức nội suy Lagrange bậc hai Tổng quát, nếu hàm số f(x) có (n+1) mốc nội suy. ..   yi ; i  0, n và sai số i 0 của P(x) và f(x) là nhỏ nhất Khi đó đa thức P(x) gọi là đa thức nội suy của hàm số y = f(x) SVTH: Nguyễn Thị Dung - K34C 28 Khóa luận tốt nghiệp 3.1.2 Sự duy nhất của đa thức nội suy Định lí 3.1 Đa thức nội suy  n  x  của hàm số f(x) định nghĩa ở trên (nếu có) là duy nhất Chứng minh Giả sử có hai đa thức  n  x  và Qn  x  cùng nội suy một hàm số f(x) Khi đó: n... a* bằng 175,678 với sai số tuyệt đối là a  0,002 • Cách viết thứ hai: Viết kèm theo sai số tƣơng đối: a   a Ví dụ 2.3.4 Cho a*  105,25  1% thì hiểu số gần đúng của a* bằng 105,25 với sai số tƣơng đối là 1% • Cách viết thứ ba: Số gần đúng a đƣợc viết không kèm theo sai số tuyệt đối cũng nhƣ sai số tƣơng đối, khi đó cần hiểu là tất cả các chữ số của số gần đúng a đều là chữ số chắc Ví dụ 2.3.5... đa thức nội suy Lagrange các hàm số f(x) là đa thức bậc n - Đa thức nội suy Lagrange có ƣu điểm đơn giản, dễ tính, tuy nhiên nhƣợc điểm là nếu thêm vào mốc nội suy thì phải tính lại từ đầu Ví dụ 3.1.1: Tìm đa thức nội suy Lagrange của hàm số y  cos x trên đoạn  0,1 1 với x0  0, x1  , x2  1 3 Giải Ta có: y0  1, y1  cos  1  , y2  cos  1 3 2 Suy ra đa thức nội suy Lagrange của hàm số y ... dƣới dạng chuẩn có ý nghĩa khác nhau Số gần đúng 0,29 có sai số tuyệt 0,005 còn số gần đúng 0,290 có sai số tuyệt đối 0,0005 2 Độ chính xác của một số gần đúng phụ thuộc vào các chữ số chắc của số gần đúng ấy chứ không phụ thuộc vào việc số gần đúng ấy có nhiều chữ hay không Nếu ta viết một số gần đúng với quá nhiều chữ số không chắc thì các số đứng gần cuối không có nghĩa lí gì cả Chẳng hạn, nếu ta... giữa sai số tƣơng đối và chữ số chắc Gọi  a là chữ số chắc (theo nghĩa rộng) của a Quan hệ giữa  a và  a đã xét trong mục 2.2.3, ở phần này ta xét mối quan hệ giữa  a và  a Ví dụ: Xét một số gồm toàn chữ số chắc ai  314.10i 1 (i=1,2, ) với ai  10i1 Khi đó a  10i 1 1 (i  1)  314.10i 1 314 Nhận xét: a) Sai số tƣơng đối không phụ thuộc vào vị trí dấu chấm thập phân trong một số Nhƣ... phản ánh qua sai số tƣơng đối 3 Ngƣời ta thƣờng viết sai số tƣơng đối ở dạng phần trăm 2.2 SAI SỐ THU GỌN 2.2.1 Sai số thu gọn Trong mục này ta luôn quy ƣớc các số đƣợc viết dƣới dạng thập phân Một số thập phân a  0 có dạng nhƣ sau: a  (  p10 p   p110 p 1    ps10 p s ) (2.2.1) trong đó: i , s   , p   ,0  i  9,  p  0 i  p, p  s Với mỗi  i là một chữ số của a , chỉ số i xác định... 137,128; h  102 Thu gọn h và cho biết h có bao nhiêu chữ số chắc? 5 Cho a  6,3  0,05 ; b  12,57  0,1; c  132,753  3 Hãy tính sai số tuyệt đối của : a) S1 = a + b + c b) S2 = 10a + 3b + c c) S3 = b2 6 Cho hình cầu có bán kính R = 2m Hãy xác định các sai số tuyệt đối của R và  để thể tích hình cầu V có sai số tuyệt đối là 0,0005m3 7 Đo độ dài một chiếc cầu 1751m và sai số tuyệt đối a  0,01m tính ... làm tròn số Những sai số dạng đƣợc gọi sai số tính toán Dƣới ta nghiên cứu kĩ sai số số liệu ban đầu sai số tính toán, sai số phƣơng pháp đƣợc nghiên cứu phƣơng pháp cụ thể 2.4.2 Sai số số liệu... 2: SAI SỐ 2.1 Số gần Sai số tuyệt đối .Sai số tƣơng đối .6 2.2 Sai số thu gọn 2.3 Chữ số 12 2.4 Sai số 17 2.5 Bài toán ngƣợc sai số. .. dạng chuẩn số gần hai số gần 0,29 0,290 viết dƣới dạng chuẩn có ý nghĩa khác Số gần 0,29 có sai số tuyệt 0,005 số gần 0,290 có sai số tuyệt đối 0,0005 Độ xác số gần phụ thuộc vào chữ số số gần không