Đa thức nội suy

Sử dụng lập trình Pascal để tính giá trị của hàm số f x  tại x bất kì theo đa thức nội suy Lagrange.. Tính gần đúng đạo hàm trong trường hợp sử dụng đa thức nội suy Lagrange.. Tính gần

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian miệt mài vào nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ của thầy

cô giáo và các bạn sinh viên của trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đến nay khoá luận của em đã được hoàn thành

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Ts Nguyễn Văn Hùng

đã giúp đỡ và hướng dẫn em tận tình trong quá trình chuẩn bị và hoàn thành khoá luận

Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em có cơ hội để tập được với việc nghiên cứu khoa học Đồng thời em cũng xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong tổ giải tích trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, sự động viên giúp đỡ đóng góp ý kiến của bạn bè đã dành cho em trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận tốt nghiệp

Vì đây là lần đầu tiên em được làm quen với công việc nghiên cứu và kiến thức của bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiết sót Em rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khoá luận của em được hoàn thành

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên Phạm Thị Quỳnh Nga

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận Đa thức nội suy là kết quả nghiên cứu và bản thân không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Sinh viên

Phạm Thị Quỳnh Nga

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

MỞ ĐẦU 1

1.1 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE 2

1.1.1 Đa thức nội suy 2

1.1.2 Đa thức nội suy Lagrange với mốc bất kì 3

1.1.3 Đa thức nội suy với mốc cách đều 4

1.1.4 Ví dụ 5

1.1.5 Sử dụng lập trình Pascal để tính giá trị của hàm số f x  tại x bất kì theo đa thức nội suy Lagrange 7

BÀI TẬP VẬN DỤNG 9

HƯỚNG DẪN 10

1.2.SAI SỐ CỦA PHÉP NỘI SUY CHỌN MỐC NỘI SUY TỐI ƯU 13 1.2.1 Sai số phương pháp 13

1.2.2 Sai số tính toán 14

1.2.3 Chọn mốc nội suy tối ưu 15

BÀI TẬP VẬN DỤNG 17

HƯỚNG DẪN 17

1.3 ĐA THỨC NỘI SUY VỚI MỐC NỘI SUY CÁCH ĐỀU 18

1.3.1.Sai phân 18

1.3.2 Đa thức nội suy Newton tiến, lùi 21

1.3.3 Đa thức nội suy Gauss " tiến, lùi " và " lùi, tiến " 23

1.3.4 Ví dụ 25

BÀI TẬP VẬN DỤNG 29

HƯỚNG DẪN 30

1.4 ĐA THỨC NỘI SUY VỚI MỐC NỘI SUY KHÔNG CÁCH ĐỀU 33

1.4.1 Tỷ sai phân 33

1.4.2 Đa thức nội suy Newton với mốc không cách đều 36

1.4.3 Tính toán trên máy tính 38

1.4.4 Bài toán nội suy ngược 39

BÀI TẬP VẬN DỤNG 41

HƯỚNG DẪN 41

CHƯƠNG 2: MỞ RỘNG CỦA ĐA THỨC NỘI SUY 43

2.1 ĐA THỨC NỘI SUY HERMITTE 43

2.1.1 Bài toán: 43

2.1.2 Đa thức nội suy Hermitte 43

2.2 NỘI SUY BẰNG HÀM GHÉP TRƠN( SPLINE ĐA THỨC) 44

HƯỚNG DẪN 48

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC NỘI SUY 50

3.1 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM 50

3.1.1 Tính gần đúng đạo hàm trong trường hợp sử dụng đa thức nội suy Lagrange 50

3.1.2 Tính gần đúng đạo hàm trong trường hợp sử dụng đa thức nội suy với mốc cách đều 51

3.1.3 Tính gần đúng đạo hàm trong trường hợp sử dụng hàm nội suy Spline bậc ba 53

BÀI TẬP VẬN DỤNG 55

HƯỚNG DẪN 55

3.2 TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN 57

3.2.1 Công thức hình thang 57

3.2.2 Công thức Simpson 58

3.2.3 Công thức Newton – cotes 60

BÀI TẬP VẬN DỤNG 62

HƯỚNG DẪN 62

KẾT LUẬN 65

TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Giải tích số hay còn gọi là phương pháp số, phương pháp tính, Toán học tin học, là một khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu là giải số, các phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu Từ những năm

50 trở lại đây, nhất là từ những năm 80, Giải tích số đặc biệt phát triển cùng với sự phát triển của Tin học Ngày nay, với sự xuất hiện của các siêu máy tính khả năng song song hoá các quá trình tính toán được rộng mở Nhiều thuật toán song song đã được đề xuất và áp dụng giải các bài toán thực tế Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc về bộ môn này và bước đầu tiếp cận với công nghệ nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài " Đa thức nội suy"

2.Mục đích nghiên cứu

Bước đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về Giải tích số đặc biệt là Đa thức nội suy

3.Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về đa thức nội suy và các ứng dụng của nó

4.Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận, tổng hợp, đánh giá

5.Cấu trúc của khoá luận

Gồm 3 phần

Phần 1: Mở đầu

Phần 2: Nội dung

Chương 1: Đa thức nội suy

Chương 2: Mở rộng của đa thức nội suy

Chương 3: Ứng dụng của đa thức nội suy

Phần 3: Kết luận

CHƯƠNG 1: ĐA THỨC NỘI SUY

Trong thực tế tính toán, ta thường phải tính giá trị của hàm số yf x với x bất kì trên đoạn a, b , trong khi chỉ biết các giá trị  yi f x i , x i a, b , i 0, n Ở một

số trường hợp khác, biểu thức giải tích của f x là đã biết nhưng quá phức tạp Với  

những trường hợp như vậy, người ta thường xây dựng một hàm số P x đơn giản và  thoả mãn điều kiện P x i f x i  i 0, n và xi xj,   , i j xia, b ; ingoài ra tại xa, b, xxi thì P x xấp xỉ   yf x  theo một độ chính xác nào

đó Hàm số P x như vậy được gọi là hàm nội suy của   f x , còn các   x i i0, n

gọi là các mốc nội suy Bài toán xây dựng hàm số P x như vậy được gọi là bài toán  

nội suy

Dùng hàm nội suy P x , ta có thể dễ dàng tính được các giá trị   f x tại  

x bất kì thuộc a, b tương đối chính xác Từ đó có thể tính gần đúng đạo hàm 

hoặc tích phân của f x trên   a, b Vì các đa thức đại số là đơn giản nên 

trước tiên ta nghĩ đến việc xây dựng P x ở dạng đa thức đại số  

1.1 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE

1.1.1 Đa thức nội suy

Giả sử hàm số f x xác định trên đoạn   a, b ta không biết biểu thức giải 

tích của nó, ta chỉ biết giá trị của nó là y , y , , y tương ứng với các 0 1 n

1.1.2 Đa thức nội suy Lagrange với mốc bất kì

Bài toán: Cho xia, b, i0, n, xi xj, i  và j yi f x i , i0, n Hãy xây dựng đa thức nội suy P x thoả mãn: n 

Giả sử ngoài ra còn có đa thức P xn  thoả mãn điều kiện trên, khi đó gọi

 x [P xn  P x ]n 

    thì deg x n và nhận ít nhất (n 1) nghiệm x , x , , x 0 1 n(Do  xi P xn i P xn i yiyi 0, i 0, n ) Suy ra đa thức  x phải là

đa thức không, do đó P xn P xn 

Vậy tồn tại duy nhất đa thức thoả mãn các điều kiện trên

1.1.3 Đa thức nội suy với mốc cách đều

j 0

j n

tỷ sau thành tổng các phân thức tối giản

1.1.5 Sử dụng lập trình Pascal để tính giá trị của hàm số f x tại x bất kì  

theo đa thức nội suy Lagrange

end;

for j: = 0 to n do begin

write(' gia tri cua ham so tai moc noi suy thu ', j, ' la: '); readln (y[j]);

end;

write (' nhap so diem can tinh m =' ); readln (m);

for t:=1 to m do begin

write (' Tai diem thu ', t,': '); readln (a[t]);

end;

for t:= 1 to m do begin

P:= 0;

for k:= 0 to n do begin

Mốc nội suy thứ 1 là: -1

Mốc nội suy thứ 2 là: 1

Mốc nội suy thứ 3 là: 3

Giá trị của hàm số tại mốc nội suy thứ 0 là: -39

Giá trị của hàm số tại mốc nội suy thứ 1 là: 8

Giá trị của hàm số tại mốc nội suy thứ 2 là: 5

Giá trị của hàm số tại mốc nội suy thứ 3 là: 54

Nhập số giá trị cần tính m = 3

Giá trị thứ 1 là: 0,123

Giá trị thứ 2 là: 1,023

Giá trị thứ 3 là: 2,143

Giá trị của hàm số tại điểm thứ 1 là: 1,330575434

Giá trị của hàm số tại điểm thứ 2 là: 5,221944584

Giá trị của hàm số tại điểm thứ 3 là: 25,0970541

BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1 Tìm đa thức bậc thấp nhất nhận giá trị cho bởi bảng sau:

Sử dụng công thức nội suy Lagrange tính giá trị của hàm số f x tại các  

Lập bảng giá trị của g x tại   x  1,1, 2,3

 , P x là đa thức nội suy 2 

Lagrange ở ví dụ 1.1 Hãy ước lượng sai số

1

0 x 2

Giả sử thay vì viết các giá tri đúng yi f x i ,ta chỉ biết các giá trị gần

đúng y Khi đó thay vì đa thức nội suy i    

n i

 

n i

Tn 1  x 2xT xn Tn 1  x (2.1) Ngoài ra:

 Trong trường hợp a= 1, b=1 ta lấy mốc nội suy x là nghiệm của đa ithức Chebysev Tn 1  x , nghĩa là:

Ước lượng tốt nhất của phép nội suy trong trường hợp này là:

     

n 1 2n 1

Bài 1 Tìm đa thức nội suy bậc hai P x của hàm số y  cos x trên đoạn

[0,1] tại các mốc nội suy x0 0, x1 1, x2 1

(1)  là toán tử tuyến tính, nghĩa là:

      

i n i

1.3.2 Đa thức nội suy Newton tiến, lùi

Giả sử hàm số f x ta chỉ biết một số giá trị của nó là   y , y , , y tại 0 1 ncác điểm tương ứng là x , x , , x và giả thiết 0 1 n xi x0ih i0, n

1.3.2.1 Đa thức nội suy Newton tiến

Mốc nội suy được sắp xếp theo thứ tự x0 x1  xn.Ta tìm đa thức nội suy P x có dạng:  

Công thức (3.3) được gọi là đa thức nội suy Newton tiến

1.3.2.2 Đa thức nội suy Newton lùi

Giả sử rằng, các mốc nội suy vẫn thoả mãn như trên Đa thức nội suy Newton lùi tìm dưới dạng:

P x  a  a x  x  a x  x x  x     a x  x x  x   x  xTương tự, như phép nội suy Newton tiến, thay lần lượt x bằng x , xn n 1 ,, x1, ta thu được:

Tiếp tục, thay x bằng xn 3 ,, x1,ta được:

Công thức (3.4) được gọi là đa thức nội suy Newton lùi

1.3.3 Đa thức nội suy Gauss " tiến, lùi " và " lùi, tiến "

Đa thức nội suy Newton tiến, lùi chỉ mang đặc trưng một phía Nhiều khi

ta cần sử dụng các công thức nội suy chứa giá trị trước và sau giá trị ban đầu Các công thức nội suy thông dụng nhất là các công thức chứa sai phân trung tâm Giả sử các mốc nội suy được sắp xếp như sau:

x x ih i0, 1, , n

1.3.3.1 Đa thức nội suy Gauss " tiến, lùi " (Gauss  )

Đa thức nội suy tìm dưới dạng :

Cách xây dựng cũng giống như đa thức nội suy Newton

Cho xxi i0, 1, n ta thu được:

0

2 1

t n 1 t 1 t t 1 t n2n !

Công thức (3.5) gọi là đa thức nội suy Gauss " tiến, lùi " (Gauss  )

1.3.3.2 Đa thức nội suy Gauss " lùi, tiến " (Gauss II )

Đa thức nội suy tìm dưới dạng :

2n n

t n t 1 t t 1 t n 12n !

 Ví dụ 1.7 Tính yx3 với x4,5, 6,Lập bảng:

Lập bảng:

n S n Sn 2

nS

 Ví dụ 1.9 Giả sử f x được cho bởi bảng Tính   f 0, 26 và f 0, 75 bằng    

cả hai đa thức nội suy Newton tiến và lùi

 Tính f 0, 26 Ta dùng công thức nội suy Newton tiến  

1.3.5 Tính toán trên máy

Ta có thể lập chương trình Pascal cho công thức nội suy Newton tiến, Newton lùi, Gauss I, Gauss II

Ví dụ: Với công thức nội suy Newton tiến ta có chương trình sau:

Write (' diem thu ', k, ' : ');readln (k);

n S n Sn 2

nS

        n

 Tính f 0,57 Ta dùng công thức nội suy Newton tiến  

Vì giá trị x0,38 ở giữa bảng nên ta có thể sử dụng Gauss I hoặc Gauss

Tỷ sai phân bậc 0 của hàm f x tại   x là i f x  i

Tỷ sai phân bậc 1 của hàm f x tại   x là 0

Tỷ sai phân bậc 2 của hàm f x tại   x là 0

i 1

0

i 1 0

P x ,, x , x Cconst Do đó

32

14

1.4.2 Đa thức nội suy Newton với mốc không cách đều

Giả sử hàm số f x xác định trên đoạn [a, b] và   xia, b , i 0, n và

x x , i  Gọi j P x là đa thức nội suy Lagrange của hàm số n  yf x  Kí hiệuP x, xn 0, P x, x , x , v.v là các tỷ sai phân của n 0 1 P x tại x Khi đó ta có: n 

 Đa thức nội suy Newton cũng chính là đa thức nội suy Lagrange ở dạng khác

1.4.3 Tính toán trên máy tính

Chương trình Pascal của công thức nội suy Newton với mốc nội suy không cách đều

Cần tìm x trong khoảng x , x0 n để f x y cho trước Nếu hàmf x đơn  

điệu, tức là sgn f x  k const k 0, n thì ta có thể xây dựng đa thức nội suy P y dựa vào số liệu    n

k 0

y , x

 , Trong đó y :k f x k Đặt yy ta tìm được xP y 

 Ví dụ 2.3 Dựa vào bảng giá trị của hàm số hãy xác định giá trị của x tương

ứng với giá trị yf x  cho trước

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1 Hàm số f x cho bởi bảng:  

Tìm đa thức nội suy của hàm số f x và tính   f 1, 2  

Bài 2 Dựa vào bảng giá trị của hàm số, hãy xác định giá trị của x tương ứng với giá trị yf x  cho trước

Bài 2 Ta lập đa thức nội suy P y dựa vào số liệu    3

CHƯƠNG 2: MỞ RỘNG CỦA ĐA THỨC NỘI SUY

2.1 ĐA THỨC NỘI SUY HERMITTE

2.1.2 Đa thức nội suy Hermitte

Đa thức H2n 1 (x) thỏa mãn các điều kiện trên gọi là Đa thức nội suy Hermitte, trong đó:

 Nhận xét: Đa thức nội suy Hermitte có đặc điểm riêng khác với đa thức nội

suy Lagrange và đa thức nội suy Newton là ngoài các yêu cầu về sự trùng nhau giữa đa thức nội suy và hàm số đã cho tại các mốc nội suy thì còn có yêu cầu về sự trùng nhau của các giá trị đạo hàm của chúng

 Ví dụ 2.4 Hãy tìm đa thức nội suy Hermitte của hàm số y = f(x) trên đoạn

[0,2] được cho bởi bảng sau:

2.2 NỘI SUY BẰNG HÀM GHÉP TRƠN( SPLINE ĐA THỨC)

Các đa thức nội suy đã xét có một hạn chế căn bản là nếu tăng số mốc nội suy lên thì bậc của đa thức nội suy cũng tăng lên Điều này rất không thuận tiện trong việc tính toán Nhằm khắc phục hạn chế đó, người ta đã đề xuất những giải pháp khác nhau, mà một trong những giải pháp khác nhau, mà một trong những giải pháp đó là nội suy hàm số y = f(x) bằng các spline đa thức Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a,b] Xét một phân hoạch của đoạn [a,b]: axo x1x2  xn 1 xn b

Gọi Sm x là hàm nội suy ghép trơn bậc m ( m 1 ) trên đoạn [a,b] của hàm số y = f(x) Khi đó Sm x phải thỏa mãn các điều kiện sau:

i) Là đa thức bậc m trên mỗi đoạn con xk 1, x , kk 1, n

Sau đây chúng ta trình bày một số kết quả của Alberg, Nilson và Walsh

về Spline bậc ba: m =3

Giả sử trên đoạn [a,b] hàm số y = f(x) nhận các giá trị tại các mốc nội suy

 

i

x i1, n , trong đó xi a, xn b Ta xác định hàm ghép trơn trên i đoạn

đó là P xi  i1, n 1 , P x được tìm theo công thức: i 

P x a b xx c xx d xx , i1, n 1 (4.6) Theo cách xác định của S x ta có một số điều kiện sau: 3 

 Ví dụ 2.5 Tìm đa thức nội suy Spline bậc 3: S x của hàm số 3 

y = f(x) = cosx trên mỗi đoạn 0,

Ta tìm đa thức nội suy Spline bậc ba của hàm số f(x) trên mỗi đoạn

Ta tìm đa thức nội suy Spline bậc nhất của hàm số f(x) trên mỗi đoạn

x , xi i 1 , i 1, 2 dưới dạng: P xi aib xi x , ii  1, 2 với điều kiện :

P x f x , i1, 2 (*) và P xi i 1 f x i 1  , i1, 2 (**)

Theo (*) ta có : ai f x , i  i 1, 2 hay a1f x 1 1, a2 f x 2  2Theo(**) ta có:

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC NỘI SUY

Trong quá trình tính toán trong toán học cũng như trong khoa học kỹ thuật ta thường gặp bài toán thực tế phải tính đạo hàm, cũng như tích phân của một hàm số cho dưới dạng bảng, hoặc là hàm số được cho bởi một biểu thức giải tích nhưng khá phức tạp Nếu tính trực tiếp đạo hàm và tích phân sẽ gặp khó khăn, từ đó nảy sinh nhu cầu tính gần đúng đạo hàm và tích phân

3.1 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM

Giả sử hàm số f(x) được cho bởi bảng hoặc bằng biểu thức giải tích nhưng rất phức tạp Để tìm đạo hàm của f(x) ta thường dùng phương pháp tính gần đúng thông qua đa thức nội suy của nó Điều đó có nghĩa là nếu P(x) là đa thức nội suy của f(x) thì ta coi f x P x , f   x P x ,  

3.1.1 Tính gần đúng đạo hàm trong trường hợp sử dụng đa thức nội suy Lagrange

Giả sử P(x) là đa thức nội suy Lagrange của f(x):