Đa thức nội suy và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ HOÀI THƢƠNG ĐA THỨC NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG, 05/2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ HOÀI THƢƠNG ĐA THỨC NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Phƣơng Pháp Toán Sơ Cấp Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Giáo viên hƣớng dẫn: TS LÊ HẢI TRUNG ĐÀ NẴNG, 05/2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Thị Hoài Thƣơng MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƢƠNG SAI SỐ 1.1 SAI SỐ TUYỆT ĐỐI VÀ SAI SỐ TƢƠNG ĐỐI 1.2 BIỂU DIỄN SỐ GẦN ĐÚNG 1.3 PHÂN LOẠI SAI SỐ 1.3.1 Sai số giả thiết 1.3.2 Sai số phƣơng pháp 1.3.3 Sai số số liệu 1.3.4 Sai số tính tốn 1.4 SAI SỐ CỦA CÁC SỐ LIỆU BAN ĐẦU 1.5 SAI SỐ TÍNH TOÁN 1.5.1 Một số toán 1.5.2 Sai số phép toán cộng, trừ 10 1.5.3 Sai số phép tính nhân, chia 10 1.5.4 Sai số phép lũy thừa 11 1.5.5 Sai số phép tính logarit 11 CHƢƠNG ĐA THỨC NỘI SUY 12 2.1 ĐA THỨC NỘI SUY TỔNG QUÁT 12 2.1.1 Bài toán nội suy tổng quát 12 2.1.2 Hệ hàm chebyshev 13 2.1.3 Đa thức nội suy tổng quát 15 2.2 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE 17 2.2.1 Đa thức nội suy Lagrage với mốc nội suy 18 2.2.2 Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách 19 2.3 ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON 19 2.3.1 Tỷ sai phân 19 2.3.2 Đa thức nội suy Newton với mốc nội suy 22 2.3.3 Sai phân 23 2.3.4 Đa thức nội suy Newton với mốc nội suy cách 24 2.4 ĐA THỨC NỘI SUY HERMITTE 27 2.5 SAI SỐ CỦA ĐA THỨC NỘI SUY 30 2.5.1 Sai số đa thức nội suy Lagrange 30 2.5.2 Sai số đa thức nội suy Newton 32 2.5.3 Sai số đa thức nội suy Hermitte 33 CHƢƠNG ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC NỘI SUY 35 3.1 TÍNH TỔNG CỦA MỘT DÃY CHO TRƢỚC 35 3.2 XÂY DỰNG ĐA THỨC NỘI SUY ĐỐI VỚI HÀM SỐ CHO TRƢỚC37 3.2.1 Xây dựng đa thức nội suy Lagrange 37 3.2.2 Xây dựng đa thức nội suy Newton 39 3.2.3 Xây dựng đa thức nội suy Hermitte………………….…… 39 3.3 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 41 3.4 TÍNH GẦN ĐÚNG, SAI SỐ, HỆ SỐ CỦA MỘT HÀM SỐ 46 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán nội suy vấn đề quan trọng giải tích số, cơng cụ đắc lực giải tích lý thuyết nội suy, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết điều khiển tối ƣu,…Ngoài đặc trƣng nội suy cịn đƣợc sử dụng tốn cao cấp, tốn ứng dụng, mơ hình thực tế chuyên đề chọn lọc cho giáo viên học sinh hệ chun tốn bậc trung học phổ thơng, đầu năm đại học chuyên đề nâng cao cho bậc sau đại học Các toán nội suy đời sớm, khởi đầu cơng trình Lagrange, Newton, Hermitte,…Tuy nhiên việc xây dựng tốn nội suy tổng qt thuật tốn tìm nghiệm nhƣ việc xây dựng lý thuyết nội suy đƣợc nhà toán học tiếp tục nghiên cứu Có thể nói tốn nội suy cổ điển đóng vai trị quan trọng việc thiết lập đa thức thỏa mãn hệ điều kiện ràng buộc đặc biệt Việc nghiên cứu toán nội suy nhằm giải vấn đề đa thức hàm số, đặc biệt nội suy bất đẳng thức vấn đề mẻ học sinh giáo viên trƣờng trung học phổ thông Để hiểu sâu đa thức nội suy với ứng dụng đƣợc gợi ý giáo viên hƣớng dẫn - TS Lê Hải Trung, mạnh dạn lựa chọn đề tài „„Đa thức nội suy ứng dụng‟‟ cho luận văn thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu Đề tài tiến hành nghiên cứu xây dựng đa thức nội suy đoạn [a, b] cho trƣớc, đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton, đa thức nội suy Hermitte hàm số cho Đồng thời ứng dụng đa thức nội suy việc tính tổng dãy cho trƣớc, chứng minh bất đẳng thức, tính gần đúng, sai số, hệ số hàm số Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết đa thức nội suy Newton, Lagrange, Hermitte Tìm hiểu xây dựng ứng dụng đa thức nội suy để giải toán Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu nghiên cứu đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton, đa thức nội suy Hermitte toán liên quan Phạm vi nghiên cứu toán xây dựng đa thức nội suy đƣợc xây dựng đoạn [a, b] với điều kiện cho trƣớc ứng dụng việc tính tổng dãy, chứng minh bất đẳng thức, tính gần đúng, sai số, hệ số hàm số Phƣơng pháp nghiên cứu Trong luận văn, kiến thức sử dụng nằm lĩnh vực sau đây: Toán học giải tích, phƣơng pháp tính, giải tích số Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Sau cho phép bảo vệ, đƣợc góp ý thầy hội đồng, luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên đối tƣợng có mối quan tâm đến lĩnh vực đa thức nội suy Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn đƣợc chia thành ba chƣơng: Chƣơng SAI SỐ Trong chƣơng tơi trình bày kiến thức liên quan gồm sai số tuyệt đối, sai số tƣơng đối, biểu diễn số gần đúng, khái niệm số loại sai số, sai số số liệu ban đầu, sai số tính tốn Chƣơng ĐA THỨC NỘI SUY Nội dung chƣơng đề cập đến tốn, cơng thức biểu diễn đa thức nội suy tổng quát, đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton, đa thức nội suy Hermitte sai số đa thức nội suy Chƣơng ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC NỘI SUY Nội dung chƣơng trình bày ứng dụng đa thức nội suy nhƣ: tính tổng dãy cho trƣớc, xây dựng đa thức nội suy, chứng minh bất đẳng thức, tính gần đúng, sai số hàm số CHƢƠNG SAI SỐ 1.1 SAI SỐ TUYỆT ĐỐI VÀ SAI SỐ TƢƠNG ĐỐI Định nghĩa 1.1 Ta gọi a số gần a* a không sai khác a* nhiều Ký hiệu a  a* Định nghĩa 1.2 Hiệu số   a * a gọi sai số thực số gần a Nếu   a gọi số gần thiếu, cịn   a gọi số gần thừa a* Thơng thƣờng a* khơng thể biết nên khơng rõ  , ngƣời ta thƣờng tìm đƣợc số a  cho a  a * a (1.1) Định nghĩa 1.3 Ta gọi a thỏa mãn điều kiện (1.1) sai số tuyệt đối số gần a Từ (1.1) ta có: a  a  a*  a  a Một số gần a số a* với sai số tuyệt đối a đƣợc viết đơn giản là: a*  a  a Ví dụ 1.1 Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài d = 15,45m chiều rộng r = 3,94 m với sai số 1cm Lời giải Khi ta hiểu là: ∆d = 0,01m hay d =15,45m  0,01m, ∆r = 0,01m hay r = 3,94m  0,01m Khi diện tích mảnh đất đƣợc tính là: S =d.r = 15,45 3,94m = 60,873 m2, với cận (15,45+0,01).(3,94 +0,01) = 61,067m2 cận dƣới là(15,45-0,01).(3,94 -0,01) = 60,679 m2 Hay 60,679≤ S ≤61,067 Vậy ƣớc lƣợng sai số tuyệt đối S là: |S - S0|≤ 0,194 m2 hay làm tròn 0,2m2 Định nghĩa 1.4 Cho số gần a số a* với sai số tuyết đối  a giả sử a*  Ta gọi sai số tương đối số gần a đại lượng  a ,được xác định bởi: a  a | a*| (1.2) Tuy nhiên số a* a chƣa biết, đại lƣợng  a xác định cơng thức (1.2) có ý nghĩa lý thuyết, thực tế ngƣời ta thƣờng tính tốn  a theo cơng thức sau: a  a a Ví dụ 1.2 Đo độ dài cầu 1715m sai số tuyệt đối ∆a = 0,01m Tính  a ? Lời giải Ta có:  a  a 0,01   0,00058309% a 1715 Ví dụ 1.3 Các nhà thiên văn tính đƣợc thời gian để trái đất quay vòng xung quanh mặt trời 365 ngày ± ngày Hà tính thời gian bạn từ nhà đến trƣờng 20 phút ± phút Trong phép tính phép đo xác hơn? Lời giải Phép đo nhà thiên văn có sai số tuyệt đối ngày nghĩa hay 360 phút Phép đo Hà có sai số tuyệt đối 01 phút Thoạt nhìn, ta thấy phép đo Hà xác nhà thiên văn học Tuy nhiên, sai số tƣơng đối nhà thiên văn học là: a a    0,000684931  0,0684931% a 365 Sai số tƣơng đối phép đo Hà là: 40 x y 0 Tỷ sai phân cấp Tỷ sai phân cấp Tỷ sai phân cấp 1 28 64 Áp dụng cơng thức nội suy Newton ta có: P3  x    1 x    3 x –  x  1  1 x –  x –1 x –   x Vậy P3  x   x Ví dụ 3.10 Giả sử đồ thị hàm y = f(x) qua A(-1, 5), B(0, 3), C(1, 2) D(2, 4) Tìm đa thức nội suy Newton hàm Lời giải Ta có bảng tỷ sai phân sau: x y -1 Tỷ sai phân cấp Tỷ sai phân cấp Tỷ sai phân cấp 3 -2 -1 2 Áp dụng cơng thức nội suy Newton ta có: 1 P3  x    2( x  1)  ( x  1)( x  0)  ( x  1)( x  0)( x  1) 1 1   x   x  x  x3  x 2 3 1 11  x3  x  x  3 41 3.2.3 Xây dựng đa thức nội suy Hermitte Ví dụ 3.11 Xây dựng đa thức nội suy Hermitte hàm số y = f(x) [0, 2] đƣợc cho bảng: x y y‟ Lời giải Áp dụng công thức nội suy Hermitte với x  0, x1  1, x  2, f  x   0, f  x1   1, f  x   2, f ‟  x   0, f ‟  x1   2, f ‟  x   Ta có:    3'' ( x0 )  H ( x)   f ( x0 ) 1  ' ( x  x0 )   f ' ( x0 )( x  x0 )   02  3 ( x0 )       3'' ( x1 )    f ( x1 ) 1  ' ( x  x1 )   f ' ( x1 )( x  x1 )  12  3 ( x1 )       3'' ( x2 )    f ( x2 ) 1  ' ( x  x2 )   f ' ( x2 )( x  x2 )   22  3 ( x2 )    3  x   x  x  1 x   , 3' ( x)  3x  x  2, 3'' ( x)  x  Do đó: H ( x)  ( x5  x  x3  x ) 3.3 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 3.12 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c thỏa mãn điều kiện: |f(x)|≤ 1, |x| ≤ Chứng minh với M ≥ 1, ta có: |f(x)| ≤ 2M2 – 1, |x| ≤ M 42 Lời giải Áp dụng công thức nội suy Lagrage với n = 2, x0 = 1, x1 = 0, x2 = -1, ta có x2  x x2  x f ( x)  f (1)  f (0)( x  1)  f (1) 2 Vì |f(x)|≤ 1|f(0)|≤ 1, |f(-1)|≤ 1, nên f  x  x2  x x2  x  f 1  f (0) | | x   f (1) 2 x2  x x2  x   x   x   2M  2 Suy điều phải chứng minh Ví dụ 3.13 Cho đa thức f  x   ax  bx  cx  dx  e thỏa mãn điều kiện f  x   | f ( x) | x  Chứng minh với M > cho trƣớc ta có 32 32 M  M  | x | M 3 Lời giải Áp dụng công thức nội suy Lagrange với x0  1, x1   , x2  0, x3  , x4  1, ta có: 2 1 f (1)( x  x)( x  )  f ( )( x  1)( x  x)  f (0)( x  1) 2 1 ( x  )  f ( ) | ( x  1)( x  x)  f (1)( x  x)( x  ) 2 1 | f ( x) | | f ( 1) | | ( x  x)( x  ) |  | f (  ) | | ( x  1)( x  x) | 2 1  | f (0) | | ( x  1)( x  ) |  | f ( ) | | ( x  1)( x  x) | 2  | f (1) | | ( x  x)( x  )  | ( x  x)( x  ) |  | ( x  1)( x  x) f ( x)  43  | ( x  1)( x  ) |  | ( x  1)( x  x) | 2  | ( x  x)( x  ) 32 32 32 32  x4  x2   M  M  3 3 Ví dụ 3.14 Cho tam thức bậc hai P  x   ax  bx  c thỏa mãn điều kiện P  x   với x  Chứng minh a  b  c  Lời giải Áp dụng công thức nội suy Lagrange điểm -1, 0, 1, ta có: P( x)  P(1) x( x  1) ( x  1)( x  1) x( x  1)  P(0)  P(1) (1  0)(1  1) (0  1)(0  1) (1  0)(1  1) Suy P( x)  P(1)  P(1)  P(0) P(1)  P(1) x  x  P(0) 2 Từ a P(1)  P(1)  P(0) P(1)  P(1) ,b  , c  P(0) 2 Suy | a |  | b |  | c |  P(1)  P(1)  P(0) P(1)  P(1)   | P(0) | 2 P(1)  P(1) P(1)  P(1)   | P(0) | max  P(1) ,| P(1) |  | P(0) | 2 Ví dụ 3.15 Cho đa thức P  x   ax  bx  cx  d thỏa mãn P  x   với x  Chứng minh a  b  c  d  Lời giải Áp dụng công thức nội suy Lagrange cho P(x) bốn điểm -1, 1, 1 , : 2 44 1 1 ( x  1)( x  )( x  ) ( x  1)( x  )( x  ) 2  P(1) 2  P( x)  P(1) 1 1 (1  1)(1  )(1  ) (1  1)(1  )(1  ) 2 2 1 ( x  1)( x  1)( x  ) ( x  )( x  1)( x  1) 1 2  P( )  P( ) (  1)(  1)(  ) (  )(  1)(  1) 2 2 2 2 ( x  1)(4 x  1) ( x  1)(4 x  1) (4 x  2)( x  1)  P(1)  P(1)  P( ) 6 3 (4 x  2)( x  1)  P( ) 4   2   P(1)  P(1)  P( )  P( )  x 3 3  3 2  2   P(1)  P(1)  P( )  P(  )  x 3  3 4  1   P(1)  P(1)  P( )  P( )  x 3  6 2      P(1)  P(1)  P( )  P( )  3   Đồng hệ số: 2 4 a P(1)  P(1)  P( )  P(  ), b 3 3 2 2  P(1)  P(1)  P( )  P(  )c 3 3 1 4  P(1)  P(1)  P( )  P(  ), d 6 3 1 2   P(1)  P(1)  P( )  P( ) 6 3 Suy abcd  2 4 P(1)  P(1)  P( )  P( ) 3 3 45  2 4 P(1)  P(1)  P( )  P( ) 3 3  2 2 P(1)  P(1)  P( )  P( ) 3 3  1 2 P(1)  P(1)  P( )  P( ) 6 3  1 2 P(1)  P(1)  P( )  P( ) 6 3 Ta có: a  b  a – b  max 2 a , | b | 1 P 1  1, P  1  1, P( )  1, P( )  2 Suy ra:   a  b  c  d  3.max 2 P(1) , P(1)       max 2 P(1) , P(1)     4 P( )  P( )  3.2 .1  .2  3 Đây điều phải chứng minh Ví dụ 3.16 Chứng minh đa thức bậc hai nhận giá trị nguyên ba giá trị nguyên liên tiếp biến số x, đa thức nhận giá trị nguyên x nguyên Lời giải Giả sử f(k - 1), f(k), f(k + 1) số nguyên với k nguyên Áp dụng công thức nội suy Lagrange cho đa thức bậc hai f(x) với ba số nguyên k – 1, k, k + 1, ta có ( x  k )( x  k  1) ( x  k  1)( x  k  1)  f (k ) 1 ( x  k )( x  k  1)  f (k  1) f ( x)  f (k  1) 46 Đặt m =x – k, ta có f ( x)  f (k  1) m(m  1) m(m  1)  f (k )(m2  1)  f (k  1) 2 Vì tích hai số ngun liên tiếp chia hết cho 2, nên f(x) nguyên với x nguyên 3.4 TÍNH GẦN ĐÚNG, SAI SỐ, HỆ SỐ CỦA MỘT HÀM SỐ Ví dụ 3.17 Cho hàm số (x) =  x -t  e dt Hàm (x) đƣợc gọi hàm “tích phân xác suất” Biết rằng, (1,4)  0,9523, (1,5)  0,9661, (1,6)  0,9763, (1,7)  0,9838 Hãy xây dựng đa thức nội suy Newton tiến P3(x) y = (x) tính gần (1,43) Lời giải Ta có bảng sai phân: x y 1,4 0,9523 ∆y ∆2y ∆3y 0,0138 1,5 0,9661 -0,0036 0,0102 1,6 0,9763 +0,0009 -0,0027 0,0075 1,7 0,9838 Coi x  1,4, x1  1,5, x  1,6, x  1,7, lúc h = 0,1; từ áp dụng cơng thức nội suy Newton tiến ta có P3 ( x)  0,9523   0,0138 0,0036 ( x  1,4)  ( x  1,4)( x  1,5) 1!0,1 2!(0,1)2 0,009 ( x  1,4)( x  1,5)( x  1,6) 3!(0,1)3 47 Thay x = 1,43 vào biểu thức P3(x) ta đƣợc: (1,43)  P3 (1,43)  0,9569 Ví dụ 3.18 Tìm đa thức nội suy hàm y  2x 3 với mốc nội suy x  0, x1  2, x  Tính gần f(1/2) nhờ đa thức nội suy Lời giải 1 x0   y0  203  , x1   y1  223  , x2   y2  233  Áp dụng cơng thức nội suy Lagrange ta có: ( x  2)( x  3) ( x  0)( x  3) ( x  0)( x  2)  f (2)  f (3) (0  2)(0  3) (2  0)(2  3) (3  0)(3  2) ( x  2)( x  3) x( x  3) x( x  2)   1 (2) 1  x  x 48 48 f ( x)  f (0) Ví dụ 3.19 Xét hàm số f ( x)  x với mốc x0= 100, x1 = 121, x2= 144 Giả sử ta tính gần 115 cách lấy thức nội suy f(x) = 115 = P2(x) với P2(x) đa x với mốc nội suy nêu Khi tính sai số 25 Lời giải Ta có f ( x)  x ''' 5 25 suy M  max | x | 100 100 x144 8 -5 Vậy: R  100 | (115 -100)(115 -121)(115 -144) | 1,63.10-3 Ví dụ 3.20 Cho bảng giá trị hàm số y =sinx x   y 0,707 48 Tính gần sin  đa thức nội suy Lagrange đánh giá sai số giá trị gần nhận đƣợc Lời giải Áp dụng cơng thức nội suy Lagrange ta có:   ( x  0)( x  ) ( x  0)( x  ) f  x   sin  x    0,707 1        (  0)    (  0)(  ) 2 4 4 2       (  0)(  ) (  0)(  )  3 sin   0,707 1        (  0)    (  0)(  ) 2 4 4 2  1   Ta có: M  max | (sinx)''' | nên: | R2 ( ) |  0,024  3! 12 0 x  Ví dụ 3.21 Cho bảng giá trị hàm số y = sinx x 0,1 0,2 0,3 0,4 y=f(x) 0,09983 0,19867 0,29552 0,38942 a) Dùng đa thức nội suy tiến xuất phát từ x0 = 0,1 tính gần sin(0,14) đánh giá sai số giá trị nhận đƣợc b) Dùng đa thức nội suy lùi xuất phát từ x = 0,4 tính gần sin(0,46) đánh giá sai số Lời giải a) Ta có bảng sai phân: x 0,1 y 0,09983 ∆y ∆2y ∆3y 0,09884 0,2 0,19867 -0,00199 0,09685 0,3 0,29552 -0,00295 0,09390 0,4 0,38942 -0,00096 49 Áp dụng công thức đa thức nội suy Newton tiến ta có: P3  x   y0  y0  y0 3 y0 t t (t  1)  t (t  1)(t  2) 1! 2! 3! Theo ta có: x  0,14  0,1  0,1t  0,14  t  0,4 Thay vào ta có: 0,09884 0,00199 0,4  0,4(0,4  1) 1! 2! 0,00096  0,4(0,4  1)(0,4  2) 3!  0,13954336 P3  0,14   0,09983  Đánh giá sai số: | (0,14) || (0,14  0,1)(0,14  0,2)(0,14  0,3)(0,14  0,4) | 0.00009984 M  max | (sin x)''' | 0,1 x0,4 | sin(0,14)  0,13954336 | 0,00009984  4,16,106 (3  1)! b) Lập bảng sai phân với đa thức nội suy lùi x y 0,4 0,38942 ∆y ∆2y ∆3y 0,0939 0,3 0,29552 -0,00295 0,09685 0,2 0,19867 -0,00096 -0,00199 0,09884 0,1 0,09983 Áp dụng cơng thức sai phân lùi ta có: y2  y1 3 y0 P3  x   y3  t t (t  1)  t (t  1)(t  2) 1! 2! 3! 50 Theo đề ta có: x  0,46  0,1  0,1t  0,46  t  3,6 P3  0,46   0,09983   0,09884 0,00199 3,6  3,6(3,6  1) 1! 2! 0,00096 3,6(3,6  1)(3,6  2)  0,44394464 3! Đánh giá sai số |  (0,46) || (0,46  0,1)(0,46  0,2)(0,46  0,3)(0,46  0,4) |  0.00089856 M  max | (sin x)''' | 0,1 x0,4 | sin(0,46)  0,44394464 | 0.00089856  0,00003744 (3  1)! BÀI TẬP Bài Tính tổng a) Sn =23 + 43 + 63+ …+ (2n)3 b) Qn = + 43 + 73 + … + (3n+1)3 Bài Tính tổng a) Sn = – 22 + 32 – 42 + … + (2n-1)2 b) Qn = – 22 + 32 – 42 + … + (2n-1)2 – (2n)2 Bài Tìm đa thức nội suy Lagrange hàm số  1 Y =sinπx 0,  với x0 = -1, x1 = 0, x2 =  2 Bài Bảng sau cho giá trị hàm số y = f(x) đo đƣợc điểm tƣơng ứng x xi -1 yi Tìm đa thức nội suy Lagrange [-1, 3]; sau tính y(1)? 51 Bài Bảng sau cho giá trị hàm số y = f(x) đo đƣợc điểm tƣơng ứng x xi -1 yi -2 Tìm đa thức nội suy Lagrange [-1, 2]; sau tính y(0,5)? Bài Cho hàm số y = 2x với giá trị xi = 3,5 + 0,05i; i = 0, 1, 2, 3, 33,115; 34,813; 36,598; 38,475; 40,477 Hãy lập đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút 3,5 Bài Cho đa thức P(x) bậc n thỏa mãn điều kiện P(k) = k/(k+1) với k = 0, 1, 2, …, n Hãy tìm P(n+1) Bài Với hàm số y = sin(x/3) nút giá trị sau: I xi yi 0 0,000 1,5 0,479 2 0,618 Hãy xác định đa thức nội suy Lagrange qua điểm trên? Hãy tính giá trị gần hàm số điểm x = ? Hãy đánh giá sai số lý thuyết x=1 Bài Tính gần y‟(50) hàm số y = lgx dựa vào bảng giá trị cho sau: x 50 55 60 y 1,6990 1,7404 1,7782 Bài 10 Tìm đa thức nội suy hàm y = 2x-3 với mốc nội suy x0 = 0, x1 = 2, x2 = Tính gần f(1/2) nhờ đa thức nội suy Bài 11 Xét hàm số y = f(x) 52 x y 12 127 Hãy xây dựng đa thức nội suy Newton y = f(x) tính gần f(3) nhờ đa thức nộisuy f(x) Bài 12 Tìm đa thức nội suy bậc hai P(x) hàm số y = 3x đoạn [-1, 1] mốc nội suy x0 = -1, x1 = 0, x2 = Hãy tìm ƣớc lƣợng sai số nội 1 1 suy Tính f    P    3  3 Ƣớc lƣợng sai số phép nội suy đa thức bậc hai tính sin với mốc nội suy: x0 =  36 ; x1 = 7  11 ;x = ;x = 180 20 180 Bài 13 Hãy tìm đa thức nội suy Hermitte hàm số y = f(x) [0, 2] đƣợc cho bảng: x y ‟ y Bài 14 Hàm số f(x) cho bảng x 0,13 0,55 0,82 1,0 1,5 y 0,025 0,124 0,855 1,275 2,438 Tính f(0,25)? Bài 15 Cho bảng giá trị hàm số y = log10x x 300 304 305 307 y 2,4771 2,4829 2,4843 2,4871 Tính gần log10 301 đa thức nội suy Lagrange 53 KẾT LUẬN Ngày toán học ứng dụng dần sâu vào lĩnh vực đời sống xã hội Ngƣời học toán, nghiên cứu toán học khơng học lý thuyết mà cịn phải có vốn hiểu biết nhiều toán ứng dụng Đa thức nội suy với nhiều dạng khác nhau, cơng cụ hữu ích để giải tốn từ đơn giản đến phức tạp Luận văn trình bày đƣợc nội dung nhƣ sau: - Sai số tuyệt đối, sai số tƣơng đối, biểu diễn số gần đúng, khái niệm số loại sai số, sai số số liệu ban đầu, sai số tính tốn - Trình bày tốn, cơng thức biểu diễn đa thức nội suy tổng quát, đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton, đa thức nội suy Hermitte sai số đa thức nội suy - Trình bày ứng dụng đa thức nội suy nhƣ tính tổng dãy cho trƣớc, xây dựng đa thức nội suy, chứng minh bất đẳng thức, tính gần đúng, sai số hàm số Kết ngiên cứu nêu có cố gắng định, song phƣơng pháp nghiên cứu nhiều hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong quý thầy cô giáo tạo điều kiện giúp đỡ để luận văn đƣợc hoàn thiện 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kì Anh (1996), Giải tích số, NXB ĐHQG Hà Nội [2] PGS.TS Trần Anh Bảo – TS Nguyễn Văn Khải, PGS.TS Phạm Văn Kiều – PGS.TS Ngơ Xn Sơn (2007), Giải tích số, NXB Đại học Sƣ Phạm Đà Nẵng [3] GS Tạ Văn Đĩnh (1991), Phương pháp tính, NXB Giáo dục [4] Dỗn Tam Hịe (2008), Tốn học tính tốn, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Văn Mậu (2007), Nội suy áp dụng, NXB Giáo dục [6] Phạm Phú Triêm – Nguyễn Bƣờng (2000), Giải tích số, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh [7] Atkinson, Kendell A (1988), "Chapter 3.", An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.), John Wiley and Sons [8] Hildebrand, F B (1974) Introduction to Numerical Analysis (2nd edition ed.) McGraw-Hill [9] Higham, Nicholas J (1996) Accuracy and Stability of Numerical Algorithms (Society for Industrial and Applied Mathematics, [10] Leader, Jeffery J (2004) Numerical Analysis and Scientific Computation Addison Wesley [11] Süli, Endre; Mayers, David (2003), "Chapter 6", An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press ... Chƣơng ĐA THỨC NỘI SUY Nội dung chƣơng đề cập đến tốn, cơng thức biểu diễn đa thức nội suy tổng quát, đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton, đa thức nội suy Hermitte sai số đa thức nội suy. .. THỨC NỘI SUY 30 2.5.1 Sai số đa thức nội suy Lagrange 30 2.5.2 Sai số đa thức nội suy Newton 32 2.5.3 Sai số đa thức nội suy Hermitte 33 CHƢƠNG ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC NỘI SUY. .. thức nội suy Chƣơng ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC NỘI SUY Nội dung chƣơng trình bày ứng dụng đa thức nội suy nhƣ: tính tổng dãy cho trƣớc, xây dựng đa thức nội suy, chứng minh bất đẳng thức, tính gần đúng,