Các đa thức trực giao

Khúa lun tt nghip MC LC M U Chng 1: C s lớ thuyt 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Tớch vụ hng 1.1.1 nh ngha 1.1.2 Mt s tớnh cht ca tớch vụ hng Bt ng thc Cauchy Schwarz a thc trc giao Bi toỏn Sturm Liouville Tớch phõn Euler loi 1,2 .5 1.5.1 Tớch phõn Euler loi 1.5.2 Tớch phõn Euler loi 1.5.3 Liờn h B v l Chng 2: Cỏc a thc trc giao 2.1 a thc Legendre 2.1.1 nh lớ 2.1.2 nh lớ 11 2.1.3 nh lớ 13 2.1.4 nh lớ 14 2.1.5 nh lớ 15 2.1.6 nh lớ 18 2.2 Ta cu v phng trỡnh Legendre 19 2.2.1 nh lớ 23 2.2.2 nh lớ 27 2.2.3 nh lớ 28 Bựi lng k32g toỏn Khúa lun tt nghip 2.2.4 nh lớ 10 29 2.3 a thc Hermite 30 2.3.1 nh lớ 11 31 2.3.2 nh lớ 12 32 2.3.3 H qu.33 2.3.4 nh lớ 13 33 2.3.5 nh lớ 14 35 2.4 a thc Laguerre 37 2.4.1 nh lớ 15 37 2.4.2 nh lớ 16 40 2.4.3 nh lớ 17 42 2.5 a thc Chebyshev .43 2.6 a thc Jacobi 44 KT LUN 47 TI LIU THAM KHO 48 Bựi lng k32g toỏn Khúa lun tt nghip M U Gii tớch l ngnh Toỏn hc cú nhiu ng dng rng rói khoa hc k thut, nht l lnh vc Vt lý c bit, qua quỏ trỡnh nghiờn cu cỏc phng trỡnh o hm riờng thng gp Vt lý, ó dn n vic hỡnh thnh mt ngnh gii tớch mi l Phng trỡnh toỏn lớ vo th k th XVIII Ngnh toỏn hc mi ny giỳp liờn h gia cỏc i lng vt lớ t nhiờn rt phc nhng cú quy lut Trong quỏ trỡnh i tỡm nghim ca phng trỡnh vi phõn o hm riờng bng phng phỏp tỏch bin, ta s gp mt s phng trỡnh vi phõn thụng thng m nghim ca nú l cỏc hm cu, hm Betsen, , c bit l cỏc a thc trc giao l a thc Legendre, a thc Hermite, a thc Laguerre,a thc Chebyshev, a thc Jacobi Tuy nhiờn, quỏ trỡnh hc v nghiờn cu, bn thõn em cng nh cỏc bn sinh viờn cựng khoỏ hiu mt cỏch sõu sc cỏc a thc trc giao, cỏc tớnh cht ca chỳng, v cỏc ng vt lớ l rt khú T nhng suy ngh trờn, v di s hng dn ca thy TS.BI KIấN CNG Em dó chn ti Cỏc a thc trc giao lm ti lun tt nghip ca mỡnh Khoỏ lun ca em gm cỏc ni dung sau: Chng1: C s lớ thuyt Chng2: Cỏc a thc trc giao Qua õy, em xin by t li cm n sõu sc ti giỏo viờn hng dn TS BI KIấN CNG ngi ó hng dn, giỳp em hon thnh khoỏ lun ny Cui cựng em xin cm n cỏc thy cụ t gii tớch, cỏc thy cụ khoa toỏn ó giỳp em nm hc qua ! H Ni, Ngy thỏng nm 2010 Sinh viờn BI VN LNG Bựi lng k32g toỏn Khúa lun tt nghip Chng c s lớ thuyt 1.1.Tớch vụ hng 1.1.1 nh ngha: Cho khụng gian tuyn tớnh X trờn trng K (K l trng s thc R hoc trng s phc C) ta gi l tớch vụ hng trờn khụng gian X vi mi ỏnh x t tớch Descartes X X vo trng K, ký hiu , , tha tiờn : i x, y X , y, x x, y ii ; x, y, z X , x y, z x, z y, z ; x, y X , K , x, y x, y iii iiii x X , x, x nu ; x , x, x nu x 0; 1.1.2 Mt s tớnh cht n gin ca tớch vụ hng: i x X , 0, x ii x, y X , K , x, y x, y iii x, y, z X , x, y z x, y x, z 1.2 Bt ng thc Cauchy-Schwarz i vi mi x X ta t: Bựi lng k32g toỏn Khúa lun tt nghip x Khi ú x, y X x, x ta cú bt ng thc Cauchy-Schwarz x, y x y 1.3 a thc trc giao Cho (a,b) l khong m R, hu hn hoc vụ hn, hm ( x) b trờn khong (a,b) , cho x ( x)dx (n 0,1, ) l hi t tuyt i Tn n a ti nht dóy Pn cỏc a thc cú dng P0 1; P1 x a0 ; P2 x b1 x b0 ; P3 x c3 x c2 x c0 ; l trc giao vi hm trng ( x) trờn khong (a,b); ngha l b Pn , Pm Pn Pmdx nu m n a Tht vy, tỡm iu kin a0 P1 trc giao P0 : b b P1 , P0 ( x a0 ) ( x)dx a0 a x ( x)dx a b ( ( x)dx a Tip theo nh tớnh trc giao ca a thc P2 vi a thc P0 v P1 , nờn P2 , P1 v P2 , P0 0, gii h phng trỡnh ta xỏc nh c h s b0 v b1 a thc P2 Tng t nh trờn ta gii h ba phng trỡnh Bựi lng k32g toỏn Khúa lun tt nghip P3 , P2 P3 , P1 P3 , P0 0, ta xỏc nh c h s c0 , c1 , c3 a thc P3 Tip tc quỏ trỡnh trờn ta xỏc nh c h s ca Pn nh iu kin trc giao Nh vy, hm ( x) trờn l hm trng trờn khong (a,b), tn ti nht dóy Pn ca cỏc a thc xỏc nh bi iu kin: i Pn l a thc bc n ii Pn , Pm vi mi m n iii H s ca x n Pn l B 1: Gi s Pn l dóy cỏc a thc, cho Pn l a thc bc n vi mi n Khi ú mi a thc bc k (k=1,2,3, ) l t hp tuyn tớnh ca P1 , , Pk Chng minh: Nu f l a thc bc k, chn hng s ck cho f v ck Pk cú cung h s ca x k Do ú f ck Pk l a thc bc k-1, ta chn ck cho v ck Pk f ck Pk cú cựng h s ca x k Do ú f ck Pk ck Pk l a thc bc k-2 Chỳng ta tip tc quỏ trỡnh ny cho ck 1, , c0 cho k f cn Pn n B c chng minh Pn xỏc inh bi cụng thc: Bựi lng k32g toỏn Khúa lun tt nghip cn d n ( x) P( x) n Pn ( x) n ( x) dx (1) ú cn l hng s, ( x) >0 l hm trng, Pn ( x) l a thc trc giao , P( x) l a thc c nh ó cú Vi m n thỡ b Pn ( x), Pm ( x) ( x) Pn ( x) Pm ( x)dx a b Vi m=n thỡ Pn ( x) Pn ( x), Pn ( x) ( x) Pn ( x) Pm ( x)dx a 1.4 Bi toỏn Sturm- Liouville : y" y 0, x T Dng 1: ; y (0) 0; y ( T ) " y y 0, T x T Dng 2: ' ' y (T ) y (T ); y (T ) y (T ) 1.5.Tớch phõn Euler loi 1,2: 1.5.1.Tớch phõn Euler loi 1: B(a,b) = x a (1 x)b1 dx, a 0, b 0 1.5.2.Tớch phõn Euler loi 2: (a) x a1e x dx, a 0 (a 1) a(a), a (n 1) n! Bựi lng k32g toỏn Khúa lun tt nghip ( ) 1.5.3.Liờn h B v l: B(a, b) Bựi lng k32g toỏn (a).(b) ( a b) Khúa lun tt nghip Chng Cỏc a thc trc giao 2.1 a thc Legendre a thc Legendre, kớ hiu Pn , c xỏc nh bi: dn Pn ( x) n ( x 1)n n n! dx (2) Hm s ( x 1) n l a thc bc 2n, vi s hng cao nht l x 2n Nh vy Pn l mt a thc bc n Mt vi a thc Legendre bc nh: P0 ( x) P1 ( x) x 3x P3 ( x) x3 3x P4 ( x) (35 x 30 x 3) P5 ( x) 63x5 70 x3 15 x P6 ( x) 231x 315 x 105 x P2 ( x) Đa thức Pn ( x ) đ-ợc tính công thức (1) j (2n j)! n2 j Pn ( x) n x j n j !(n j )!(n j )! Bựi lng k32g toỏn Khúa lun tt nghip Đây định lí nhị thức Từ (2) ta thấy d n 2n Pn ( x) n ( x ) n! dx n ((2n)(2n 1) ( n 1) x n ) n! (2n)! x 2n (n!)2 n (3) 2.3.a thc Hermite a thc hermine th n kớ hiu l H n ( x) c xỏc nh bi: d n x2 H n ( x) (1) e e dx n n x2 (29) Tớnh toỏn n gin ta thy: H ( x) 1, H1 ( x ) x , H ( x) x 2, H ( x) x3 12 x, H ( x) 16 x 48 x 12 Núi chung ta cú: e x2 d n x2 d x2 H n ( x) (1) e [e H n1 ( x)] dx n dx n = e x xH n1 ( x) H n1 ( x) , Bựi lng k32g toỏn 10 Khúa lun tt nghip xhn ( x) hn ( x) hn1 ( x) (36) hn ( x) x hn ( x) (2n 1)hn ( x) (37) Chng minh: Tớnh trc giao ca hn t nh lớ 11, ú hn , hm H n ( x) H m ( x)e x dx = Hn , Hm Nh vy tớnh y ca hn theo nh lớ 12 Nu ta cú: H n ( x) e x /2 hn ( x) theo (36) Ta cú 2ne x /2 hn1 ( x) [e x /2 hn ( x)] 2 = e x /2 [ xhn ( x) hn ( x)] Nờn xhn ( x) hn ( x) 2nhn1 ( x) T (37) ta cú: H n1 ( x) xH n ( x) 2nH n1 ( x) xhn ( x) xhn ( x) hn ( x) xhn ( x) hn ( x) õy l cụng thc (35) T cụng thc (35) , v (34) ta cú: 2nhn ( x) 2n xhn1 ( x) hn1 ( x) Bựi lng k32g toỏn 53 Khúa lun tt nghip x xhn ( x) hn ( x) xhn ( x) hn ( x) Ta cú cụng thc ( 37) T phng trỡnh (37), ta thy phng trỡnh Hermite ,l hm riờng ca phng trỡnh Sturm- Liouville: y x y y (38) 2.4 a thc Laguerre Cho l mt s thc cho >-1 a thc laguerre th n , Kớ hiu Ln tng ng vi mt tham s c xỏc nh bi: Ln ( x) x e x d n n x (x e ) n! dx n (39) =0 l a thc Laguerre l a thc Laguerre tng quỏt Cụng thc tớch s ca o hm ta cú: d k e x d nk x n Ln ( x) x e k dx nk k k !(n k )! dx n x (n )(n ) ( k ) ( x) k k !(n k )! k n (40) (1)n x n Vỡ vy L l a thc bõc n,vi s hng cao nht bng n! n 2.4.1.nh lớ15: Cỏc a thc {Ln }n0 l trc giao y trờn (0, ) , vi hm trng ( x) x e x v Bựi lng k32g toỏn 54 Khúa lun tt nghip Ln (n 1) n! Chng minh: Nu f l a thc bt kỡ d n n x f ( x) Ln ( x) x e dx f ( x) n ( x e )dx n! dx x Tich phõn tng phn n ln ta c: (1)n f ( x) Ln ( x) x e dx n! f x (n) ( x) x n e x dx Nu f l a thc bc nh hn n , Nu f Lm vi m< n thỡ f ( n ) nờn ta chng minh c Ln , Lm Vi m=n thỡ f Ln thỡ f (n) (1)n (theo 40) Vỡ vy: Ln (1) n (1) n x n e x dx n! (n 1) = x n e x dx n! n! chng minh tớnh y, ta gi s rng g L2 (0, ) tha g , Ln vi mi n thỡ g=0 lm iu ny ta chuyn bi toỏn t (0, ) n (, ) bng cỏch s dng cụng thc sau: F ( x)dx F ( y 0 Bựi lng k32g toỏn )2 ydy F(y ) y dy (41) 55 Khúa lun tt nghip Hm F kh tớch trờn (0, ) , Ln l t hp tuyn tớnh ( theo B 1), cỏc iu kin g , Ln cựng (41) nờn: g ( x) x x e dx n x g( y2 ) y y n e y dy Vi tt c n, nờn: g( y2 ) y y n e y dy Vi tt c n, Vỡ Tớch phõn l hm l, ú: g( y2 ) y P( y ) e y dy Vi tt c a thc P Nhng hm f ( y ) g ( y ) y tha cỏc gi thuyt ca nh lớ (12) Theo nh lớ cauchy-schwarz v (41), g( y2 ) y e e y dy ty 1/2 1/2 2 ty y2 y 2 g( y ) y e dy y e e dy 1/2 2 ty y2 g y e e dy Vỡ vy theo nh lớ (12), g=0 Chỳ ý: Gi thit >-1 cn thit nh lớ 15 Nu -1 , ( x) x e x l khụng kh vi ti gc Vỡ vy tớch phõn Ln , Lnk nh Ln khụng xỏc l tt c phõn kỡ Bựi lng k32g toỏn 56 Khúa lun tt nghip Ta thy a thc Laguerre tha phng trnh Laguerre: x 1e x y nx e x y (42) Cú th vit di dng: xy ( x) y ny (43) Vỡ x 1e x y x 1e x y ( x) x e x y (44) 2.4.2.nh lớ 16: Cỏc a thc Laguerre Ln 0,1 tha phng trỡnh (42) Chng minh: t yn Ln theo (44) x 1e x y x e x xy xy ( 1) y n n n n Biu thc ngoc vuụng bờn phi l a thc bc n S hng u l xyn' Theo (40) s hng u l nyn c th l (1) n1 x n / (n 1)! , núi cỏch khỏc, x 1e x y x e x (ny P) n n (45) M a thc P cú bc nh hn n P l t hp tuyn tớnh ca a thc Laguerre yk Lk vi k 0 v x 1, e xz /(1 z ) Ln ( x) z (1 z) n (47) Chng minh: Nu x>0, l vũng trũn nm na mt phng bờn phi tõm x Dựng phộp i bi n (1 z) ỏp dng bt ng thc cauchy ta cú: x e x d n n x n Ln ( x) z n! dxn ( x e ) z x e x = i Bựi lng k32g toỏn n n n e z ( x)n1 d n 59 Khúa lun tt nghip x e x e = i x n z x d x e x e = d i (1 z ) x x e x e /(1 z ) = d i(1 z ) ' x x e x x/(1 z ) = x e (1 z ) Cụng thc ỳng vi z nh, chng minh (47) cho cỏc z, (47) l ỳng vi z [...]...  1) y   n n n n     Biểu thức trong ngoặc vuông bên phải là đa thức bậc n Số hạng đầu là  xyn' Theo (40) số hạng đầu là  nyn cụ thể là (1)n1 x n / (n  1)! , nói cách khác,  x 1e x y    x e x (ny  P) n n   (45) Mà đa thức P có bậc nhỏ hơn n P là tổ hợp tuyến tính của đa thức Laguerre yk  Lk với k ... 315 x 105 x P2 ( x) Đa thức Pn ( x ) đ-ợc tính công thức (1) j (2n j)! n2 j Pn ( x) n x j n j !(n j )!(n j )! Bựi lng k32g toỏn Khúa lun tt nghip Đây định lí nhị thức Từ (2) ta thấy d... nm trờn chiu dng ca trc Oz, lý lun trờn cho ta thy (27) ỳng ti x nh lớ c chng minh 2.3 .Đa thức Hermite Đa thức hermine thứ n kí hiệu H n ( x) đ-ợc xác định bởi: d n x2 H n ( x) (1) e e dx n... Sturm-Liouville c xỏc nh bi (7) v (8) 2.1.3.nh lớ 3: Pn l c s trc giao ca L2 (1,1) Chng minh: Gi s f L (1,1) l trc giao vi tt c Pn V ú (theo B ) trc giao vi mi a thc Bựi lng k32g toỏn 30 Khúa lun tt