Đa thức trực giao trong Cn luận án thạc sĩ

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––––––––– NGUYỄN THANH HOA ĐA THỨC TRỰC GIAO TRONG C n LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––––––––– NGUYỄN THANH HOA ĐA THỨC TRỰC GIAO TRONG C n Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN QUANG DIỆU THÁI NGUYÊN – 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu trích dẫn đều có nguồn gốc rõ ràng, các kết quả trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố ở bất kỳ công trình nào khác. Tác giả luận văn Nguyễn Thanh Hoa Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Nguyễn Quang Diệu. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hướng dẫn tận tình, hiệu quả với những kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu để hoàn thành luận văn. Xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường Trung cấp nghề Cao Bằng cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tác giả Nguyễn Thanh Hoa Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ iii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii MỞ ĐẦU 1 Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2 1.1. Hàm đa điều hòa dưới 2 1.2. Dung tích tương đối 14 1.3. Đa thức trực giao trong C n 20 Chƣơng 2: MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÀM GREEN CỦA HÀM ĐỘ ĐO  VÀ DÃY CÁC ĐA THỨC TRỰC GIAO CỦA ĐỘ ĐO  23 Định lý 2.1. 23 Định lý 2.2 24 Định lý 2.3 26 Định nghĩa 2.4 28 Định lý 2.5 28 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 1 MỞ ĐẦU Chúng tôi chọn đề tài ''Đa thức trực giao trong C n ". Cụ thể, cho µ là một độ đo Borel dương, hữu hạn trên tập hợp compact K  C n . Chúng ta nói rằng (K, µ) thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein - Markov nếu, với mọi 0   , tồn tại hằng số ( ) 0cc   sao cho, với mọi đa thức P Kí hiệu p  là các đa thức trực giao nhận được nhờ phép trực giao hóa Gram-Schmidt, thì theo một kết quả của Green chúng ta có thể biểu diễn hàm Green đa phức của một tập compact chính quy thông qua dãy các đa thức p  nói trên. Nội dung chính của luận văn là nghiên cứu các biến dạng của định lý Zeriahi. Blocki nhưng trong bối cảnh  là một độ đo dương với giá compact (ta không giả sử  không thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov), chúng tôi cũng đưa ra các ví dụ cụ thể về những độ đo  thỏa mãn các yêu cầu của định lý chính và các điều kiện đủ để  có tính chất Bernstein-Markov. Đây là những kết quả được lấy ra từ một bài báo của Bloom. Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trước hết trình bày các khái niệm hàm đa điều hòa dưới, dung tích tương đối, hàm Green đa phức Chương 2: Nghiên cứu mối liên hệ giữa hàm Green của hàm độ đo  và dãy các đa thức trực giao của độ đo  (Định lý 2.1, định lý 2.2 và định lý 2.3) ngoài ra chúng tôi cũng chỉ ra lớp các độ đo  thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 2 Chƣơng 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm đa điều hòa dƣới 1.1.1. Hàm điều hòa dưới Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là không gian tôpô. Hàm  :,uX      gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mỗi R   tập:   : ( )X x X u x      là mở trong X . Hàm  :,vX      gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu v là nửa liên tục trên trên X . Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau: Giả sử  :,uX      . Ta nói hàm u là nửa liên tục trên tại xX nếu 0   tồn tại lân cận 0 U x của 0 x trong X sao cho 0 xU x  ta có: 0 ( ) ( )u x u x   nếu 0 ()ux   1 ()ux   nếu 0 ()ux   Hàm u gọi là nửa liên tục trên trên X nếu u nửa liên tục trên tại mọi 0 xX . Mặt khác nếu ta cho định nghĩa sau: Giả sử EX và  :,uE      là hàm trên E. Giả sử 0 xE . Ta định nghĩa     0 lim sup ( ) inf sup ( ): xE u x u y y V xx    ở đó inf lấy trên các V chạy qua các lân cận của 0 x . Khi đó có thể thấy rằng hàm  :,uE      là nửa liên tục trên tại 0 xX nếu 0 0 lim sup ( ) ( )u x u x xx   . Ta định nghĩa hàm điều hòa dưới: Định nghĩa 1.1.2. Giả sử  là tập mở trong C. Hàm  :,u       gọi là điều hòa dưới trên  nếu nó nửa liên tục trên trên  và thỏa mãn bất Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 3 đẳng thức dưới trung bình trên  , nghĩa là với mọi   tồn tại Q > 0 sao cho với mọi 0 < r < Q ta có:   2 0 1 () 2 it u u re dt      (1.1) Chú ý: Với định nghĩa trên thì hàm đồng nhất  trên  được xem là hàm điều hòa dưới trên  .Ta kí hiệu tập các hàm điều hòa dưới trên  là SH(  ). Sau đây là các ví dụ đáng chú ý về hàm điều hòa dưới. Bổ đề 1.1.3. Nếu :fC là hàm chỉnh hình trên  thì log f là hàm điều hòa dưới trên  . Chứng minh. Trường hợp 0f  trên  thì kết quả là rõ ràng. Giả sử 0f  trên  , Khi đó rõ ràng log f là hàm nửa liên tục trên trên  . Giả sử   . Nếu   0f   thì chọn 0   sao cho 0f  trên   ( , ) :B z z         . Khi đó log f là hàm điều hòa trên   ( , ) :B z z         nên (l.l) được thỏa mãn với dấu đẳng thức. Trường hợp   0f   . Khi đó log f   và do đó (l.l) luôn đúng. □ Bổ đề 1.1.4. Giả sử u,v là các hàm điều hòa dưới trên tập mở  trong C. Khi đó: (i) max(u,v) là hàm điều hòa dưới trên  . (ii) Tập các hàm điều hòa dưới trên  là một nón, nghĩa là nếu , ( )u v SH và ,0   thì uv   cũng thuộc ()SH  . Định lý 1.1.5. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên miền bị chặn  trên C. Khi đó: (i) Nếu u đạt cực đại toàn thể tại một điểm trên  thì u là hằng số trên  . (ii) Nếu   limsup 0uz z    đối với mọi   thì 0u  trên  . Chứng minh: (i) Giả sử u nhận giá trị cực đại M tại điểm 0 z  . Đặt     :A z u z M   và     :B z u z M  Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 4 Khi đó A là tập mở vì u là hàm nửa liên tục trên. Từ bất đẳng thức dưới trung bình ta thấy B cũng là tập mở. Ta có ,A B A B      . Do đó hoặc A hoặc B . Nhưng theo giả thiết B  nên B và (i) được chứng minh. (ii) Mở rộng u lên  nhờ đặt     limsupu uz z     ,     . Do  là tập compact nên u đạt cực đại tại   . Nếu   thì do giả thiết   0u   . Do đó 0u  trên  . Trường hợp   theo (i) u là hằng số trên  . Do đó nó hằng số trên  và vậy thì 0u  trên  . □ Sau đây là tiêu chuẩn nhận biết khi nào một hàm nửa liên tục trên là hàm điều hòa dưới. Định lý 1.1.6. Giả sử  là tập mở trong C và u là hàm nửa liên tục trên  . Khi đó các phát biểu sau là tương đương: (i) u là hàm điều hòa dưới trên  . (ii) Với mọi   , tồn tại 0   sao cho   ,0      và với mọi 0 ,0 2rt      ta có:       22 2 22 0 1 2 2 cos it i r u re u e d r t r                    ở đó     , 0 :zz           là đĩa đóng tâm  bán kính  . (iii) Với mọi miền D compact tương đối trong  và h là hàm điều hòa trên D, liên tục trên D thỏa mãn:   limsup ( ) 0u h z z      D   ta có uh trên D. Hệ quả 1.1.7. Nếu u là hàm điều hòa dưới trên tập mở  và nếu   ,     thì:     2 0 1 2 i u u e d          Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 5 Định lý 1.1.8. Giả sử   2 uC . Khi đó u là điều hòa dưới trên  khi và chỉ khi 0u trên  ở đó 22 22 uu u xy      là Laplace của u. Chứng minh. Giả sử 0u trên  . Lấy D là miền compact tương đối trong  và h là hàm điều hòa trên D, liên tục trên D sao cho:   limsup ( ) 0u h z z    đối với mọi D   . Với 0   , xác định 2 2 ( ) ( ) () u z h z z vz z           êu ê n nu zD zD   Khi đó, v  nửa liên tục trên D nên nó đạt cực đại trên D . Tuy nhiên do 40vu        trên D nên v  đạt cực đại trên D . Do đó 2 sup D u h z    trên D. Cho 0   ta được u  h trên D và do đó u điều hòa dưới trên D. Ngược lại, giả sử u là hàm điều hòa dưới trên  . Giả thiết tại   ta có ( ) 0u   . Do đó có 0   sao cho 0u trên   ,   . Do đó u là hàm điều hòa trên   ,   . Vậy ( ) 0u   và gặp mâu thuẫn. Do đó 0u và định lí được chứng minh. □ Định lý 1.1.9. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên tập mở 1  và v là hàm điều hòa dưới trên tập mở 21    . Giả thiết     limsupv z u z     , với mọi 12    . Khi đó hàm  u xác định trên 1  :    ax ,m u v u u       ê ê tr n tr n 2 12 \   là điều hòa dưới trên 1  . Chứng minh. Từ điều kiện     limsupv z u z     , với mọi 12    suy ra hàm  u nửa liên tục trên trên 1  . Dễ thấy  u thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình tại mọi 2   . Do  uu trên 1  nên  u cũng thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình tại mọi 12 \    . Định lí được chứng minh. □ [...]... 1.3.5, ta có thể áp dụng thủ tục trực giao hóa Gram-Schmidt đối với các đơn thức đó và nhận được các đa thức trực giao, ký hiệu là p  z   p  z,   đối với mỗi   N n p  z,   ký hiệu đa thức trực giao là tổ hợp tuyến tính của z và các đơn thức có cấp từ điển thấp hơn Định lý tiếp theo thiết lập một đánh giá đối với sự tăng tại từng điểm của các đa thức trực giao này Định lý 2.2 Giả sử  là... http://lrc.tnu.edu.vn/ 20 j  J Do đó, Mệnh đề 1.2.2 suy ra từ việc định nghĩa tính chất của hàm Green đa phức  1.3 Đa thức trực giao trong Cn Giả sử μ là một độ đo Borel dương, hữu hạn, có giá compact E trong C n Chúng ta sẽ cần đến khái niệm hàm Green kết hợp với độ đo  Định nghĩa 1.3.1 Giả sử     là tập hợp tất cả các điểm trong giá cốt yếu của  Điều đó có nghĩa là (1.3.1)      D  E | D là tập hợp... [Si2], 1  VE  z   lim  sup log P  z  | trong đó P là đa đa thức, d  d  deg  P   d , P E  1 (2.5) Bây giờ, giả sử Q là đa thức có bậc ≤ d với Q E Khai triển "Fourier" của Q trong L2    là Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 25 Q  c p  z   d trong đó c  E Q p d  Vì Q E  1 , ta có c  E p d  Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz chúng ta có c    E... http://lrc.tnu.edu.vn/ 26 Ví dụ 2.1 Giả sử B là hình cầu đơn vị trong C 2 và  là độ đo Lebesgue Với   1 , 2  và z   z1 , z2  , khi đó các đa thức trực giao là p  z,    a z trong đó 2 a      2 ! 1 ! 2 ! 2 1 2  Thêm nữa, [Si 2] VB  z   Max  log z ,0  trong đó z  z1  z2 2  2 12 Chúng ta sẽ nêu sơ lược việc tính toán tường minh chỉ ra rằng trong 1 trường hợp này thì lim   log p... không đa j  cực và do đó, từ [K], Mệnh đề 5.2.1, suy ra kết quả  Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 23 Chƣơng 2  VÀ DÃY CÁC ĐA THỨC TRỰC GIAO CỦA ĐỘ ĐO  MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÀM GREEN CỦA HÀM ĐỘ ĐO Định lý 2.1 Giả sử Pj  là một dãy các đa thức với limdeg  Pj    j  Thế thì   1 deg Pj  P  z  j  lim  j   Pj L        exp V  z   đối với z  C n (2.1) 2 Chứng... Giả sử  là một độ đo Borel dương hữu hạn với  E  supp    compact Ký hiệu E là bao lồi đa thức của E Thế thì lim  1   log p  z ,    VE  z  đối với mọi z  C n \ E (2.3) log p  z ,    VE  z  đối với mọi z  C n (2.4) và lim  1  Chứng minh Áp dụng Định lý 2.1 đối với các đa thức trực giao  p  z,   sẽ cho (2.4)  Chứng minh của (2.3) đã được cho bởi Zeriahi (xem [Z1], chứng... Vì D1 là đa cực, VD  VDD Theo 1 (1.3.4), VD  VDD và theo Định nghĩa 1.3.4 V  VD Từ đó suy ra kết quả  0 1 0 Chúng ta sẽ luôn giả thiết rằng E  supp    không được chứa trong bất kỳ tập con của C n Điều này tương đương với tính chất sau đây của E: Nếu P là một đa thức thì (1.3.5) P | E  0  P  0 trên C n Các tập hợp có tính chất (1.3.5) được gọi là đơn dung môi (xem [Si2]) Trong trường... đóng trong mặt phẳng, tâm 0, bán kính r Giả sử E  D(r )  D( s ) và F  D (r )  D (t ) trong đó r  t  s Khi đó, theo một kết quả của Siciak về các hàm Green đa phức của tập hợp tích ([K] Định lý 5.1.8), ta có z z  z z    VE  Max  0,log 1 ,log 2  và VF  Max  0,log 1 ,log 2  r s  r t    cho nên VE  VF Tuy nhiên, sử dụng (1.2.15) và (1.2.16) chỉ đơn giản thấy rằng C(E)  C(F )  r Trong. .. các đa thức khác không,   1 deg Pj  P  z  j  lim  j   Pj L        exp VE  z   với mọi z  C n 2   1  (iii) Cap  z  E | lim      (iv)    log p  z ,    0   Cap ( E )     Với bất kỳ dãy Pj  các đa thức khác không, 1 deg  P     P  z    j  Cap  z  E | lim   1  Cap( E ) j   Pj L           j 2 Chứng minh Nếu E = Supp(  ) là đa. .. T  rd   e3 dT 2 2 (2.23) Sử dụng (2.22) và (2.23) trong (2.21) ta có P   L  E ,  2 2 1 P 8 2 Lj e3 dT đối với d  d0 (2.24) 1 2  d  23T  đối với d  d0 P e 8 E (2.25) trong đó (2.25) suy ra từ (2.24) nhờ sử dụng (2.13) Vì   0 là tuỳ ý và không gian các đa thức bậc  d0 là một không gian véc tơ hữu hạn chiều, suy ra bất đẳng thức Bernstein-Markov  Chú ý 2.5 Đối với E chính quy, nếu . KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2 1.1. Hàm đa điều hòa dưới 2 1.2. Dung tích tương đối 14 1.3. Đa thức trực giao trong C n 20 Chƣơng 2: MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÀM GREEN CỦA HÀM ĐỘ ĐO  VÀ DÃY CÁC ĐA THỨC TRỰC. NGUYỄN THANH HOA ĐA THỨC TRỰC GIAO TRONG C n Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa. –––––––––––––––––––––––––– NGUYỄN THANH HOA ĐA THỨC TRỰC GIAO TRONG C n LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2013 Số