Luận văn sư phạm Các đa thức trực giao

Khóa lu n t t nghi p M CL C M ă Ch U ngă1:ăăăC ăs ălíăthuy t 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Tíchăvơăh ng 1.1.1 nhăngh aă 1.1.2 M t s tính ch t c aătíchăvơăh ngă .ầầ B tăđ ng th c Cauchy ậ Schwarz aăth c tr c giao Bài toán Sturm ậ Liouville Tích phân Euler lo i 1,2 .5 1.5.1 Tích phân Euler lo i 1.5.2 Tích phân Euler lo i 1.5.3 Ch Liên h B  ngă2:ăăăCácăđaăth c tr c giao 2.1.ăă aăth c Legendre 2.1.1.ăă nh lí 2.1.2.ăă nh lí 11 2.1.3.ăă nh lí 13 2.1.4.ăă nh lí 14 2.1.5.ăă nh lí 15 2.1.6.ăă nh lí 18 2.2 T aăđ c uăvàăph ngătrìnhăLegendreă .19 2.2.1.ăă nh lí 23 2.2.2.ăă nh lí 27 2.2.3.ăă nh lí 28 Bùi v n l ng ậ k32g tốn Khóa lu n t t nghi p 2.2.4.ăă nh lí 10 29 2.3.ăă aăth c Hermite 30 2.3.1.ăă nh lí 11 31 2.3.2.ăă nh lí 12 32 2.3.3 H qu ầầầầầầầầầ.ầầầầầầầầầầầ33 2.3.4.ăă nh lí 13 33 2.3.5.ăăă nh lí 14 35 2.4.ă aăth c Laguerre 37 2.4.1.ăă nh lí 15 37 2.4.2.ăă nh lí 16 40 2.4.3.ăă nh lí 17 42 2.5.ăă aăth c Chebyshev .43 2.6.ăă aăth c Jacobi 44 K T LU N 47 TÀI LI U THAM KH O 48 Bùi v n l ng ậ k32g tốn Khóa lu n t t nghi p M U Gi i tích ngành Tốn h c có nhi u ng d ng r ng rãi khoa h c k thu t, nh t l nh v c V t lý c bi t, qua trình nghiên c u ph ng trình đ o hàm riêng th ng g p V t lý, d n đ n vi c hình thành m t ngành gi i tích m i Ph ng trình tốn lí vào th k th XVIII Ngành toán h c m i giúp liên h gi a đ i l ng v t lí t nhiên r t ph c t p nh ng có quy lu t Trong q trình tìm nghi m c a ph ng trình vi phân đ o hàm riêng b ng ph ng pháp tách bi n, ta s g p m t s ph ng trình vi phân thơng th ng mà nghi m c a hàm c u, hàm Betsen, , đ c bi t đa th c tr c giao đa th c Legendre, a th c Hermite, a th c Laguerre, a th c Chebyshev, a th c Jacobi Tuy nhiên, trình h c t p nghiên c u, b n thân em c ng nh b n sinh viên khoá đ hi u m t cách sâu s c đa th c tr c giao, tính ch t c a chúng, ng v t lí r t khó T nh ng suy ngh trên, d i s h ng d n c a th y TS.BÙI KIÊN C NG Em dã ch n đ tài “Các đa th c tr c giao”ălàm đ tài lu n v n t t nghi p c a Khố lu n c a em g m n i dung sau: Ch ng1: C s lí thuy t Ch ng2: Các đa th c tr c giao Qua đây, em xin bày t l i c m n sâu s c t i giáo viên h ng d n TS BÙI KIÊN C NG ng i h ng d n, giúp đ em hồn thành khố lu n Cu i em xin c m n th y cô t gi i tích, th y khoa tốn giúp đ em n m h c qua ! Hà N i, Ngày tháng n m 2010 Sinh viên BÙI V N L NG Bùi v n l ng ậ k32g tốn Khóa lu n t t nghi p Ch ng c s lí thuy t 1.1.Tích vơ h 1.1.1 ng nh ngh a: Cho khơng gian n tính X trênătr ng K (K tr ng s th c R ho c tr ng s ph c C) ta g iălàătíchăvơăh ng không gian X v i m i ánh x t tích Descartes X X vàoătr ng K, ký hi u , , th aămưnătiênăđ : i x, y  X , y, x  x, y ii ; x, y, z  X , x  y, z  x, z  y, z ; x, y  X ,   K ,  x, y   x, y iii iiii x  X , x, x  n u ; x  , x, x  n u x  0; 1.1.2 M t s tính ch t đ n gi n c a tích vơ h ng: i x  X , 0, x  ii x, y  X ,   K , x, y   x, y iii x, y, z  X , x, y  z  x, y  x, z 1.2 B t đ ng th c Cauchy-Schwarz iv im i x  X ta đ Bùi v n l ng ậ k32g tốn t: Khóa lu n t t nghi p x  Khi x, y  X x, x ta có b t đ ng th c Cauchy-Schwarz x, y  x y 1.3 a th c tr c giao Cho (a,b) làăkho ngăm ătrong R, h uăh năho căvôăh n,ăhàmă  ( x)  b kho ngă(a,b) , cho  x  ( x)dx (n  0,1, ) làăh n iăt ătuy tăđ i T năăăăăăăăăăăăă a t iăduyănh tăădưy Pn 0 cácăđaăth căcóăd ngăăăăă P0  1; P1  x  a ;  P2  x2  b1 x  b0 ; P3  x3  c3 x2  c2 x  c0 ; làătr căgiaoăv iăhàmătr ngă ( x)  trênăkho ngă(a,b); ngh aălàăăăăă b Pn , Pm    Pn Pmdx  n uăăă m  n a Th tăv y,ătìmăđi uăki nă a đ ă P1 tr căgiaoă P0 : b b  P1 , P0    ( x  a ) ( x)dx  a  a  x ( x)dx a b  ( ( x)dx a Ti pătheoănh ătínhătr căgiaoăc a đaăth că P2 v iăđaăth c P0 P1 , nên P2 , P1 gi iăh ăph T   P2 , P0 ngătrìnhătaăxácăđ nhăđ  0, căh ăs ă b0 b1 trongăăđaăth c P2 ngăt ănh ătrênătaăgi iăh ăbaăph Bùi v n l ng ậ k32g tốn  ng trình Khóa lu n t t nghi p P3 , P2   P3 , P1   P3 , P0   0, căh ăs c0 , c1 , c3 trongăđaăth că P3 ta xác đ nh đ Ti păt căquáătrìnhătrênătaăxácăđ nhăđ căh ăs ăc aă Pn nh ăđi uăki nătr că giao Nh ăv y,ăhàm  ( x) ătrênă làăhàmătr ngătrênăkho ngă(a,b), t năt iăduyă nh tăăă dãy Pn 0 c aăcácăđaăth căxácăđ nhăb iăđi uăki n:  i Pn làăđaăth căb ii Pn , Pm   v iăm iă m  n iii.ăH ăs ăc aă xn Pn B đ 1:ăGi ăs ă Pn 0 làădưyăcácăđaăth c,ăsao cho Pn làăđaăth căb  v iă m iă n Khi đóă m iă đaă th că b că k (k= 1,2,3, ) làă t ă h pă nă tínhă c aă P1 , , Pk Ch ngăminh:ăă N uăf làăđaăth căb căk,ăch năh ngăs ă ck cho f ck Pk cóăcungăh ăs ă c aă xk Doăđóă f  ck Pk làăđaăth c b căk-1,ătaăch nă ck 1 cho ck1 Pk1 f  ck Pk cóăcùngăh ăs ăc aă xk1 Doăđóă f  ck Pk  ck1 Pk1 làăđaăth căb căk-2 Chúngătaăti păt căquáătrìnhănàyăchoă ck 1, , c0 cho k f   cn Pn  n 0 B ăđ ăđ căch ngăăminh Pn xácăđinhăb iăcôngăth c: Bùi v n l ng ậ k32g tốn Khóa lu n t t nghi p cn d n  ( x) P ( x) n  Pn ( x)  n   ( x) dx (1) trongă đóă cn làă h ngă s ,ă  ( x) > làă hàmă tr ng, Pn ( x) làă đaă th că tr că giaoă ,ă P ( x) làăđaăth căc ăđ nhăđưăcó V iă m  n b Pn ( x), Pm ( x)     ( x) Pn ( x) Pm ( x)dx a b V iăm= n Pn ( x)  Pn ( x), Pn ( x)     ( x) Pn ( x) Pm ( x)dx a 1.4 Bài toán Sturm- Liouville :  y"   y  0,  x  T D ngă1:ă  ; y (0) 0; y ( T )    "  y   y  0, T  x  T D ng 2:  ' '  y(T )  y(T ); y (T )  y (T ) 1.5.Tích phân Euler lo i 1,2: 1.5.1.Tích phân Euler lo i 1:  B(a,b) = xa 1 (1  x)b1 dx, a  0, b  0 1.5.2.Tích phân Euler lo i 2:  (a )   xa 1e x dx, a  0 (a  1)  a(a ), a  (n  1)  n! Bùi v n l ng ậ k32g tốn Khóa lu n t t nghi p ( )   1.5.3.Liên h B  là: B(a , b)  Bùi v n l ng ậ k32g toán (a ).(b)  ( a  b) Khóa lu n t t nghi p Ch ng Các đa th c tr c giao 2.1 a th c Legendre aăth căLegendre,ăkíăhi uăP n ,ăđ căxácăđ nhăb i: dn ( x  1) n Pn ( x)  n n n! dx (2) Hàmăs ă ( x2  1) n làăđaăth căb că2n,ăv iăs ăh ngăcaoănh tălàă x2n ăNh ă v y Pn làăm tăđaăth căb M tăvàiăđaăth căLegendreăb cănh : P0 ( x)  P1 ( x)  x 3x2  1  P3 ( x)   x3  3x P4 ( x)  (35 x4  30 x2  3) P5 ( x)   63x5  70 x3  15 x P6 ( x)   231x6  315 x4  105 x2   P2 ( x) Đa thức Pn ( x) đ-ợc tÝnh b»ng c«ng thøc (1) j (2n  j)! n2 j Pn ( x)  n  x j  n j !(n  j )!(n  j )! Bùi v n l ng ậ k32g tốn Khóa lu n t t nghi p Đây định lí nhị thức Từ (2) ta thấy d n 2n Pn ( x)  n ( x  ) n! dxn  ((2n)(2n  1) ( n  1) xn  ) n!  (2n)! x  2n (n!)2 n (3) 2.3 a th c Hermite aăth căhermineăth ăn kíăhi uălàă H n ( x) đ căxácăđ nhăb i: d n  x2 H n ( x)  (1) e e dxn n x2 (29) Tínhătốnăđ năgi nătaăth y: H ( x)  1, H1 ( x)  x, H ( x)  x2  2, H ( x)  x3  12 x, H ( x)  16 x4  48 x2  12 Nói chung ta có: e  x2 d n  x2 d  x2   H n ( x)  (1) e [e H n1 ( x)] dxn dx n = e x  xH n1 ( x)  H n1 ( x)  , Bùi v n l ng ậ k32g tốn 10 Khóa lu n t t nghi p xhn ( x)  hn  ( x)  hn1 ( x) (36) hn  ( x)  x2 hn ( x)  (2n  1)hn ( x)  (37) Ch ngăminh:ăTínhătr căgiaoăc a hn t ăđ nhălíă11,ă ăđóă  hn , hm   H n ( x) H m ( x)e  x dx  = Hn , Hm  Nh ăv yătínhăđ yăc a hn 0 theoăđ nhălíă12  N uătaăcó:ă H n ( x)  e x /2 hn ( x) theo (36) Ta có 2ne x /2 hn1 ( x)  [e x /2 hn ( x)] 2 = e x /2 [ xhn ( x)  hn  ( x)] Nên xhn ( x)  hn  ( x)  2nhn1 ( x) T ă(37)ătaăcó: H n1 ( x)  xH n ( x)  2nH n1 ( x)  xhn ( x)   xhn ( x)  hn  ( x)     xhn ( x)  hn  ( x) âyălàăcôngăth că(35) T ăcôngăth că(35)ă,ăvàă(34) ta có: 2nhn ( x)  2n  xhn1 ( x)  hn1 ( x)    Bùi v n l ng ậ k32g tốn 53 Khóa lu n t t nghi p   x  xhn ( x)  hn  ( x)    xhn ( x)  hn  ( x)      ฀ Taăcóăcơngăth că(ă37) ph T ăph ngătrìnhă(37),ătaăth yăph ngătrìnhăSturm- Liouville: ngătrìnhăHermiteă,làăhàm riêngăc aă y  x2 y   y  (38) 2.4 a th c Laguerre Cho  làăm tăs ăth căsaoăchoă> -1.ă aăth călaguerreăth ăn , Kíăhi uă Ln t ngă ngăv iăm tăthamăs ă đ Ln ( x)  căxácăđ nhăb i: x e x d n  n  x (x e ) n! dxn (39)  = làăđaăth căLaguerre  ≠0 làăđaăth căLaguerreăt ngăqtă Cơngăth cătíchăs ăc aăđ oăhàmătaăcó: d k e x d nk x n Ln ( x)  x e  k dxnk k 0 k !(n  k)! dx   n x (n   )(n    ) ( k    ) ( x)k k !(n  k)! k 0 n  (40) (1)n xn Vìăv yă L làăđaăth căbâcăn,v iăs ăh ngăcaoănh tăb ng n!  n 2.4.1 nh lí15: Cácă đaă th că {Ln }n0 làă tr că giaoă đ y đ (0, ) ,ă v iă hàmă tr ngă  ( x)  x e x Bùi v n l ng ậ k32g toán 54 Khóa lu n t t nghi p Ln   (n    1) n! Ch ngăminh:ă N u f làăđaăth căb tăkìă    d n  n  x f ( x) Ln ( x) x e dx   f ( x) n ( x e )dx n! dx   x Tichăphânăt ngăph n n l nătaăđ  c:ăăăăăăăăă  (1)n f ( x) Ln ( x) x e dx  n!   f  x (n) ( x) x n e  xdx N uăf làăđaăth căb cănh ăh năn ,ăN u f  Lm v iăăm -1 c nă thi tă trongă đ nhă líă 15.ă N u  ≤ -1 ,  ( x)  x e x làăkhơngăkh ăviăt iăg c.ăVìăv yătíchăphână Ln , Lnk đ nhă Ln   khơng xác làăt tăc ăphânăkì Bùi v n l ng ậ k32g tốn 56 Khóa lu n t t nghi p Ta th yăđaăth căLaguerreăth aămưnăph ngătr nh Laguerre:  x 1e x y  nx e x y  Cóăth ăvi tăd (42) iăd ng: xy  (   x) y  ny  (43) Vì  x 1e x y  x 1e x y  (   x) x e x y (44) 2.4.2 nh lí 16: Cácăđaăth căLaguerreă Ln  0,1 th aămưnăph ngătrìnhă(42) Ch ngăminh:ă  tă yn  Ln theo (44)  x 1e x y    x e x   xy   xy   (  1) y   n n n n     Bi uăth cătrongăngo căvuôngăbênăph iălàăđaăth căb S ăh ngăđ uălàă  xyn' Theo (40)ăs ăh ngăđ uălàă  nyn c ăth ălàă (1) n1 xn / (n  1)! , nói cách khác,  x 1e x y    x e x (ny  P ) n n   (45) Màă đaă th c P cóă b că nh ă h nă n P làă t ă h pă nă tínhă c aă đaă th că Laguerre yk  Lk v iă k < n,ă doă đóă P tr că giaoă v iă t tă c ă cácă đaă th că v iă hàmă tr ngăă  ( x)  x e x ăT ăđóăP= vàădoăđóăyn th aămưnă(42) Th tăv y,ăb ngă(45): Bùi v n l ng ậ k32g toán 57 Khóa lu n t t nghi p   P ( x)y ( x) x e  x k dx      nyn ( x) yk ( x) x e dx    x 1e x yn ( x)  yk ( x)dx   0  x Taăth y:   ny ( x) y ( x) x e  x n k dx  0   tăăăăăăăăăăăăăăă I   x 1e x yn ( x)  yk ( x)dx  u  yk ( x)     1  x dv   x e yn ( x)  dx   ta có du  y  ( x)dx k     1  x v   x e yn ( x)      1  x    I  yk ( x) x e yn ( x)   yk ( x)  x 1e  x yn ( x) dx  0       yk ( x)  x 1e  x yn ( x) dx   u  y  ( x) x 1e  x k tăăăăăă  dv  yn ( x)dx ta có   du   yk ( x) x 1e  x  dx    v  y ( x) n     I   yk ( x) x e yn ( x)   yn ( x)  yk ( x) x 1e  x  dx   0  1  x Bùi v n l ng ậ k32g tốn 58 Khóa lu n t t nghi p     yn ( x)  yk ( x) x 1e x  dx    =  y ( x)Q( x) x e  x n dx Theo (44) Q làăđaăth căb căk,ănh ng yn làătr căgiaoăv iăt tăc ăcácăđaăth că    x Vìăv yă P ( x) yk ( x) x e dx  taăcóăđi uăph iăch ngăminh.ăăă T ă nhălíă16 taăth yăph  ngătrìnhăLaguerreă Ln làănghi măriêngăc aă tốn Sturm-Liouvillătrênăkho ngă (0, ) liênăk tăv iăph ngătrìnhăviăphân   x 1e x y   x e x y  (46) 2.4.3 nh lí 17: V iăăx> x  1, e xz/(1 z) 0 Ln ( x) z  (1  z) 1   n (47) Ch ngăminh: N uăx> 0,  làăvòngătrònăn măn aăm tăph ngăbênăph iătâmăx Dùngăphépăđ iăbiă n   (1  z) ápăd ngăb tăđ ngăth căcauchyătaăcó: x e x d n  n  x n 0 Ln ( x) z  0 n! dxn ( x e ) z    n x e x  n  nn e  d = z 2 i  (  x) n1 Bùi v n l ng ậ k32g toán 59 Khóa lu n t t nghi p x e x   e  = 2 i    x n  z  0    x  d    e  x e x = d 2 i   (1  z)  x x e x   e /(1 z) = d 2 i(1  z) 1 '   x x e x   x/(1 z) = x e (1  z) 1 Côngăth căđúngăv iă z nh ,ăch ngăminhă(47) cho z, (47)ălàăđúngăv i z < đ iăv iăphânătíchă ăv ăph iăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăă ฀ 2.5 a th c Chebyshev aăth căChebyshevăth ănăkíăhi u Tn đ căxácăđ nhăb ngăcôngăth c: Tn (cos  )  cos n (48) cos n  Re ein  Re(cos   sin  ) n n = Re  j 0 n! (cos)n j (i sin  ) j j !(n  j )! V iăj= 2k (i sin  ) j  (cos   1) k doăđóă cos n  n!  (2k)!(n  2k)! cos n2k  (cos   1) k k  n /2 Vìăv y Tn  n!  (2k)!(n  2k)! x n2k ( x2  1)k k  n /2 Bùi v n l ng ậ k32g tốn 60 Khóa lu n t t nghi p ăđâyă cos n n làăc ăs ătr căgiaoăc aă L (0,  ) , thay    arc cos x taăth yă Tn 0  làăc ăs ătr căgiaoăc a L (1,1) ,ăv iăhàmătr ngă  ( x)  (1  x ) 1/2 N uă m  n ,   Tn ( x)Tm ( x) 1 (1  x2 )1/2 dx  0 Tn (cos  )Tm (cos  )d  0 cos n cos m d  Làătínhătr căgiaoăc aăđaăth căChebyshev N uăfătr căgiaoăv iăm iă Tn , 0  1  f ( x)Tn ( x) dx   f (cos  ) cos n d , (1  x2 )1/2 Thì f= 0, làătínhăđ yăc aăđaăth căChebyshev Tínhăchu năc aăđaăth căChebyshev: Tn ( x)  Tn ( x)Tn ( x) 1 (1  x2 )1/2 dx    cos n d   cos n d     V iă phépă th ă cos n vàoă ph ph ngătrình:ă ngă trìnhă viă phână y  n y  tr ă thànhă (1  x2 ) y  xy  n2 y  Bùi v n l ng ậ k32g tốn ho că 61 Khóa lu n t t nghi p (1  x2 )1/2 y  n2 (1  x2 ) 1/2 y  th aămưnăv iă Tn Ph ngătrìnhăsinhăraăcácăđaăth căChebyshevălà:  z2  2 Tn ( x) z   xz  z2  n Côngăth căch ngăminhăn uăthayă x  cos n ,taăđ    1  c:  2 Tn (cos n )zn   2 (cos n ) zn   ein zn 2.6 a th c Jacobi: Cho   làă cácă s ăth că l năh nă -1.ă aă th că Jacobiă th ă năkíă hi uălàă Pn( , ) Liênăquanăt iăthôngăs ă   đ căxácăđ nhăb i: ( ,  ) n P n (1)n  d   n  n   (49) ( x)  n (1  x) 1  x (1 ) (1 ) x x   n  n! dx Khi     , Pn( , ) làăđaăth căLegendreă Pn Ki mătraăđaăth căLegendreămangăl iăk tăqu ăt i iă v iă m iă L2 (1,1) ( ,  ) n  P ii Pn( , )   , Pn( , ) ( x)  làă s ă tr că giaoă n 0 ăđóăhàmătr ngă  ( x)  (1  x)  (1  x)  2   1 (n    1)( n    1)  (2n      1)n!( n      1) th aămưnăph Bùi v n l ng ậ k32g tốn ngăt ăchoăđaăth căJacobi: ngăJacobi: 62 Khóa lu n t t nghi p (1  x2 ) y       (    2) x y  n(n      1) y  ( ,  ) iii Hàmăsinhăraăđaăth căJacobiă Pn  P n 0 ( ,  ) n : 2   ( x) z  W(1  z  W) (1  z  W)  , n W   xz  z2 aă th că Chebysheră làă tr P ( 1/2,1/2) n ngă h pă riêngă c aă Jacobiă       T  làăhaiăc ăs ătr căgiaoăc aă L (1,1)  n , ăđayăhàmătr ngă  ( x)  (1  x2 )1/2 2n 2 (n!) ( 1/2,1/2)  T Pn N uă      n (2n)! ,ăchu n hóaăđaăth căJacobiăkhácănhauăvàăg iălàăđaăth că N  Gegenbauerăth ăn ,Kíăhi uă Cn v iăthamăs ă   đ căxácăđ nhăb iă: uă      Cn ( x)  (2  n)(  / 2) (  1/2, 1/2) Pn ( x) (2 )(  n  / 2) Hàm sinh raăđaăth căGegenbauerălà:ă   C  ( x) z n 0 n Bùi v n l ng ậ k32g toán n  (1  xz  z2 )   63 Khóa lu n t t nghi p aă th că Jacobiă Gegenbauer Pn(( k3)/2,( k3)/2) ho că t ngă đ ngă v iă đaă th că Cn( k2)/2 k óngăvaiătròăquanătr ngătrongălíăthuy tăhàmăđi uăhòaăc uătrongă R nh ăđaă th căLegendreătrongă R Bùi v n l ng ậ k32g tốn 64 Khóa lu n t t nghi p K T LU N Khóa lu nă“Cácăđaăth c tr căgiao”ăemătrìnhăbàyătínhătr c giao c aăcácăđaă th c Legendre, a th c Hermite, a th c Laguerre, a th c Chebyshev, a th c Jacobi Các tính ch t c aăcácăđaăth căđó,ăvàăcácăph ongătrìnhăviăphânăd n đ n vi cătìmăraăcácăđaăth c tr c giao Lu năv n có ýăngh aăquanătr ng vi c nghiên c u sâu v m t s v n đ c a v t lý Do th i gian có h n nên khóa lu n khơng th tránh kh i nh ng thi u sót Em r tămongăđ c s đóngăgópăýăki n nhi t tình c a th y cô giáo b năđ khóa lu năđ c hồn thi năh n Em xin chân thành c mă năs h ng d n t n tình c a th yăgiáoăh ng d n TSăBùiăKiênăC ng,ăc ngănh ăcácăth yăcôăgiáoăđưăgiúpăđ em th i gian th c hi n khóa lu n Bùi v n l ng ậ k32g tốn 65 Khóa lu n t t nghi p TÀI LI U THAM KH O ình Thanh (2002), Ph ng pháp tốn lí, Nxb giáo d c Phan Huy Thi n (2006), Ph ng pháp tốn lí, Nxb giáo d c PGS.TS Nguy n Ph Hy (2006) , Gi i tích hàm, Nxb Khoa h c k thu t Tr n c Long - Nguy n ình Sang ậ Hồng Qu c Tồn (2003), Giáo trình gi i tích t p 3, Nxb i H c Qu c gia Hà N i Nguy n V n Khuê ậ Lê M u H i (1997), Hàm bi n ph c, Nxb i H c Qu c gia Hà N i TSKH Nguy n M nh H ùng (2002), Ph ng trình đ o hàm riêng.Nxb giáo d c Phan H ng Tr ng(2001), Giáo trình i s n tính, Tr ng i h c S ph m Hà N i 2, Bùi v n l ng ậ k32g tốn 66 Khóa lu n t t nghi p Bùi v n l ng ậ k32g toán 67 ... dãy Pn 0 c a các đa th căxácăđ nhăb iăđi uăki n:  i Pn là đa th căb ii Pn , Pm   v iăm iă m  n iii.ăH ăs ăc aă xn Pn B đ 1:ăGi ăs ă Pn 0 làădưy các đa th c,ăsao cho Pn là đa th căb  v... m t cách sâu s c đa th c tr c giao, tính ch t c a chúng, ng v t lí r t khó T nh ng suy ngh trên, d i s h ng d n c a th y TS.BÙI KIÊN C NG Em dã ch n đ tài Các đa th c tr c giao ălàm đ tài lu... x)dx a Ti pătheoănh ătínhătr c giao c a đa th că P2 v i đa th c P0 P1 , nên P2 , P1 gi iăh ăph T   P2 , P0 ngătrìnhătaăxácăđ nhăđ  0, căh ăs ă b0 b1 trongă đa th c P2 ngăt ănh ătrênătaăgi