Các đa thức trực giao

Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: Cơ sơ lí thuyết .2 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Tích vơ hướng .2 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Một số tính chất tích vơ hướng …… Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz .2 Đa thức trực giao Bài toán Sturm – Liouville Tích phân Euler loại 1,2 1.5.1 Tích phân Euler loại .5 1.5.2 Tích phân Euler loại .5 1.5.3 Liên hệ B là Chương 2: Các đa thức trực giao 2.1 Đa thức Legendre .7 2.1.1 Định lí 2.1.2 Định lí 11 2.1.3 Định lí 13 2.1.4 Định lí 14 2.1.5 Định lí 15 2.1.6 Định lí 18 2.2 Tọa độ cầu phương trình Legendre 19 2.2.1 Định lí .23 2.2.2 Định lí .27 2.2.3 Định lí .28 Bùi văn lăng – k32g tốn Khóa luận tốt nghiệp Bùi văn lăng – k32g toán 2.2.4 Định lí 10 29 2.3 Đa thức Hermite 30 2.3.1 Định lí 11 31 2.3.2 Định lí 12 32 2.3.3 Hệ quả……………………….……………………………33 2.3.4 Định lí 13 33 2.3.5 Định lí 14 35 2.4 Đa thức Laguerre 37 2.4.1 Định lí 15 37 2.4.2 Định lí 16 40 2.4.3 Định lí 17 42 2.5 Đa thức Chebyshev 43 2.6 Đa thức Jacobi .44 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO .48 MỞ ĐẦU Giải tích ngành Tốn học có nhiều ứng dụng rộng rãi khoa học kỹ thuật, lĩnh vực Vật lý Đặc biệt, qua trình nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng thường gặp Vật lý, dẫn đến việc hình thành ngành giải tích Phương trình tốn lí vào kỷ thứ XVIII Ngành toán học giúp liên hệ đại lượng vật lí tự nhiên phức tạp có quy luật Trong q trình tìm nghiệm phương trình vi phân đạo hàm riêng phương pháp tách biến, ta gặp số phương trình vi phân thơng thường mà nghiệm hàm cầu, hàm Betsen, , đậc biệt đa thức trực giao đa thức Legendre, Đa thức Hermite, Đa thức Laguerre,Đa thức Chebyshev, Đa thức Jacobi Tuy nhiên, trình học tập nghiên cứu, thân em bạn sinh viên khoá để hiểu cách sâu sắc đa thức trực giao, tính chất chúng, ứng vật lí khó Từ suy nghĩ trên, hướng dẫn thầy TS.BÙI KIÊN CƯỜNG Em dã chọn đề tài “Các đa thức trực giao” làm đề tài luận văn tốt nghiệp Khố luận em gồm nội dung sau: Chương1: Cơ sở lí thuyết Chương2: Các đa thức trực giao Qua đây, em xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới giáo viên hướng dẫn TS BÙI KIÊN CƯỜNG người hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Cuối em xin cảm ơn thầy tổ giải tích, thầy khoa toán giúp đỡ em năm học qua ! Hà Nội, Ngày tháng năm 2010 Sinh viên BÙI VĂN LĂNG Chương sở lí thuyết 1.1 Tích vơ hướng 1.1.1 Định nghĩa: Cho khơng gian tuyến tính X trường K (K trường số thực R trường số phức C) ta gọi tích vơ hướng khơng gian X với ánh xạ từ tích Descartes X X vào trường K, ký hiệu , , thỏa mãn tiên đề: x, y, x  x, y y X i ; , ii x, y, z x  y, z X , iii x, y X K x, z  , , iiii x 0 ; x  X, x, x  y, z ; x, y x, y ;  x 0, 1.1.2 Một số tính chất đơn giản tích vơ hướng: i x  X x, x  , 0, x 0 ii x, y  X ,  K x,y x, y  , iii x, y, z X , x, y z  1.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Đối với x X ta đặt: x, y  x, z x  x, x Khi x, y X ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz x, y  xy 1.3 Đa thức trực giao Cho (a,b) khoảng mở R, hữu hạn vô hạn, hàm b khoảng (a,b) , cho  xn(x) (x) 0 (n 0,1, hội tụ tuyệt đối Tồn ) dx dãy P có dạng a các đa thức n 0 P2 x b1 x b0 ; P3 x trực giao với hàm trọng (x) 0 Pn , Pm  c3 x c2 x c0 ; khoảng (a,b); nghĩa b Pn P dx 0 m n  m x a ; P 1; P a Thật vậy, tìm điều kiện a0 để P1 trực giao P0 : P1, P0 b b  (x a )(x)dx 0   a  a x(x)dx a b  ((x)dx a Tiếp theo nhờ tính trực giao đa thức P2 với đa thức P0 P2 , P1 0 P2 , P0   P1 , nên  , giải hệ phương trình ta xác định hệ số b0 b1 đa thức P2 Tương tự ta giải hệ ba phương trình n! cos n  k n/2 Vì cos n 2k (cos2 1) k (2k)!(n 2k)! n! x n2k (x 1)k Tn   k n/2 (2k)!(n 2k)! Bùi văn lăng – k32g toán 60 cos n là sở trực n giao L (0, ) , thay arc cos x T  ta thấy n sơ trực giao 2 L (1,1) , với hàm (x) (1 x ) 1/ trọng  Nếu m n ,  T (x)  1/ (x)T ) (1x n m  1 dx   n m T (cos (cos ) )T d   cos ncos md 0 Là tính trực giao đa thức Chebyshev Nếu f trực giao với Tn ,  1 f (x) (x)T n f (cos) cos nd, dx (1x 1/ )   Thì f=0, tính đầy đa thức Chebyshev Tính chuẩn đa thức Chebyshev: T (x)T (x) dx n 1/ Tn (x)  (1x )  n   cos n   d cos nd   Bùi văn lăng – k32g toán  61 Với phép cos n vào phương trình vi phân phương trình: (1 x ) yxyn y 0 Bùi văn lăng – k32g toán yn y trở thành 0 62   (1 x )1/2 y n2 (1 x )  1/2 y 0 thỏa mãn với Tn Phương trình sinh đa thức Chebyshev là:  1z (x)z n  12xz 2 z Tn 1 Công thức chứng minh thay x cos n ,ta được:   1    n  T (cos n 12 (cos n n )z n)z  einz n  2.6.Đa thức Jacobi: Cho và là số thực lớn -1 Đa thức Jacobi thứ n kí hiệu (,) Pn Liên quan tới thông số và được xác định bởi: n (,) P (1) (x)  n (1 x)  d 1  x   n n (1 x)  n  x) n dx  n (1  (49) n! Khi  0 , ( , ) n P đa thức Legendre Pn Kiểm tra đa thức Legendre mang lại kết tương tự cho đa thức Jacobi: Đối với i  (,)   Pn   (x) , sở trực giao n0 L(1,1) hàm trọng (x)   (1 x) (1 x)    1     ( n   1)(n    1)   n  (2n  1)n!(n 1)    P(,) ii ( ,) n P thỏa mãn phương Jacobi: (1 x ) y   (2)x yn(n 1) y 0 iii Hàm sinh đa thức Jacobi ( , ) n P  (,  ) n nP (x)z  n0 :   ,  W (1 z W ) (1 z W ) W  12xz z Đa thức Chebysher trường hợp riêng Jacobi    P  n (1/2,1 /2) (1 x Nếu   , 2 Tn  (x)   hai sở trực giao L (1,1) đay hàm trọng  )1/2  Tn   2n 2 (n!) (2n)! Pn(1/2,1/2) Nếu    , chuẩn hóa đa thức Jacobi khác gọi đa thức  Gegenbauer thứ n ,Kí hiệu với tham số Cn   xác định : (2 n)( 1/2) ( C (x)  P 1/2,1/2) (x) n n (2)(n 1 / 2)  Hàm sinh đa thức Gegenbauer là:   C (x)z n0 n (1 2xz z )  Đa thức Jacobi ((k 3)/2,(k 3)/2) n P Gegenbauer tương đương với đa thức (k 2)/2 Cn Đóng vai trò quan trọng lí thuyết hàm điều hòa cầu thức Legendre R k R đa KẾT LUẬN Khóa luận “Các đa thức trực giao” em trình bày tính trực giao đa thức Legendre, Đa thức Hermite, Đa thức Laguerre,Đa thức Chebyshev, Đa thức Jacobi Các tính chất đa thức đó, phưong trình vi phân dẫn đến việc tìm đa thức trực giao Luận văn có ý nghĩa quan trọng việc nghiên cứu sâu số vấn đề vật lý Do thời gian có hạn nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em mong đóng góp ý kiến nhiệt tình thầy giáo bạn để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn hướng dẫn tận tình thầy giáo hướng dẫn TS Bùi Kiên Cường, thầy cô giáo giúp đỡ em thời gian thực khóa luận TÀI LIỆU THAM KHẢO Đỗ Đình Thanh (2002), Phương pháp tốn lí, Nxb giáo dục Phan Huy Thiện (2006), Phương pháp tốn lí, Nxb giáo dục PGS.TS Nguyễn Phụ Hy (2006) , Giải tích hàm, Nxb Khoa học kỹ thuật Trần Đức Long - Nguyễn Đình Sang – Hồng Quốc Tồn (2003), Giáo trình giải tích tập 3, Nxb Đại Học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải (1997), Hàm biến phức, Nxb Đại Học Quốc gia Hà Nội TSKH Nguyễn Mạnh H ùng (2002), Phương trình đạo hàm riêng.Nxb giáo dục Phan Hồng Trường(2001), Giáo trình Đại số tuyến tính, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, ... đa thức trực giao đa thức Legendre, Đa thức Hermite, Đa thức Laguerre ,Đa thức Chebyshev, Đa thức Jacobi Tuy nhiên, trình học tập nghiên cứu, thân em bạn sinh viên khoá để hiểu cách sâu sắc đa. .. Chương Các đa thức trực giao 2.1 Đa thức Legendre Đa thức Legendre, kí hiệu Pn , xác định bởi: P (x)  n (2) dn (x 1) n 2n n! dxn Hàm số (x n 1) 2n đa thức bậc 2n, với số hạng cao Pn đa thức. .. P của đa thức xác định điều kiện: n i Pn đa thức bậc n ii P , n 0 với m n Pm  iii Hệ số n x Pn Bổ đề 1: Giả sử P là dãy đa thức, cho P đa thức bậc n n n với n Khi đa thức bậc k