Đa thức trực giao và ứng dụng (LV00268)

1 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học s phạm hà Nội 2 Nguyễn Thị Tuý Đa thức trực giao và ứng dụng Luận văn thạc sĩ toán học nGUYễN tHị túY tOáN GIảI TíCH kHOá 2006 - 2009 2 Hà Nội, 2009 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học s phạm hà Nội 2 Nguyễn Thị Tuý Đa thức trực giao và ứng dụng Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Huy Lợi Hà Nội, 2009 3 LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo và tỉ mỉ của PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quí báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến PGS. TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán, Phòng sau đại học của Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin trân trọng cảm ơn sở GD - ĐT Vĩnh Phúc, Trường THPT Yên Lạc đã tạo mọi điều kiện để tác giả học tập và hoàn thành tốt luận văn. Hà Nội, tháng 8 năm 2009 Tác giả 4 LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi. Các kết quả trong luận văn được trích dẫn rõ ràng, trung thực và luận văn không trùng lặp với những đề tài khác . Hà Nội, tháng 8 năm 2009 Tác giả 5 MỤC LỤC Mở đầu 5 Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 7 1.1. Hàm giải tích 7 1.2. Tích phân Cauchy 12 1.3. Một số tính chất quan trọng của hàm giải tích 19 1.4. Không gian Hilbert 22 Chương 2: ĐA THỨC TRỰC GIAO 28 2.1. Hệ trực giao 28 2.2. Lý thuyết về sự trực giao 30 2.3. Đa thức trực giao 33 2.4. Sự biểu thị qua tỷ trọng. Hàm sinh 39 Chương 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG 49 3.1. Ứng dụng để giải quyết một số vấn đề lý thuyết 49 3.1.1. Đa thức Legiandr có vai trò quan trọng trong lý thuyết thế 49 3.1.2. Công thức truy toán đối với đa thức Legiandr 49 3.1.3. Biểu diễn tích phân của đa thức Legiandr 50 3.1.4. Công thức tiệm cận đối với đa thức Legiandr 51 3.1.5. Hàm Legiandr 54 3.2. Ứng dụng để giải quyết một số bài toán 56 3.2.1. Hàm cầu 56 3.2.2. Tính chất cực trị của đa thức Chebyshev 58 6 3.2.3. Đa thức Jakobi và chuỗi bội 59 3.2.4. Phương trình sóng của hàm Chebyshev – Ermit 60 3.2.5. Hàm Chebyshev - Ermit và toạ độ parabol 61 KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 7 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Kết quả của những nghiên cứu về lý thuyết hàm biến phức và lý thuyết giải tích hàm có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết một số vấn đề của toán học cũng như trong thực tiễn. Ngay từ những năm đầu của thế kỷ XX nhiều nhà toán học đã có những thành công trong việc ứng dụng lý thuyết hàm biến phức để giải quyết các bài toán về thuỷ động học và khí động học. Nhờ những ứng dụng bước đầu to lớn đó lý thuyết hàm biến phức đã thu hút nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà toán học. Đặc biệt trong lý thuyết này có đa thức trực giao với các tính chất đặc trưng của nó đã được ứng dụng nhiều trong việc giải quyết một số vấn đề lý thuyết, giải toán cũng như trong thực tiễn. Việc nghiên cứu đa thức trực giao giúp chúng ta tìm hiểu sâu sắc hơn về lý thuyết hàm biến phức, lý thuyết hệ trực giao, đồng thời sử dụng các kết quả đó để giải quyết một số vấn để của lý thuyết toán học và đây cũng là kiến thức cơ sở để giải quyết một số bài toán thực tiễn khác. Bởi vậy, tôi đã chọn đề tài “Đa thức trực giao và ứng dụng” để thực hiện luận văn của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đa thức trực giao. Nghiên cứu ứng dụng của đa thức trực giao. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các định nghĩa, tính chất của đa thức trực giao. Nghiên cứu các ứng dụng của đa thức trực giao. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu lý thuyết đa thức trực giao và một số ứng dụng của nó. 8 Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và tài liệu tham khảo. Trong đó: Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ Chương 2: Đa thức trực giao Chương 3: Một số ứng dụng 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu chuyên khảo. Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6. Giả thuyết khoa học Nghiên cứu sâu một khái niệm của Toán học, nâng nó lên thành đề tài nghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của nó trong việc giải quyết một số vấn đề của lý thuyết, giải toán. Luận văn là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học và người yêu thích toán về đa thức trực giao và ứng dụng của nó. 9 CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1. Hàm giải tích Ta kí hiệu  là trường số phức, được đồng nhất với mặt phẳng toạ độ và được gọi là mặt phẳng phức.  là không gian véctơ trên trường  với các phép toán thông thường.  cũng là không gian định chuẩn với chuẩn . là modul của số phức. Cho 0 z  và 0.r  Ta ký hiệu   0 0 ( , ) : B z r z z z r     là hình tròn tâm 0 z bán kính .r Định nghĩa 1.1.1. Giả sử D   là một tập tuỳ ý cho trước. Một hàm biến phức trên D với giá trị phức là một ánh xạ : .f D   Hàm như vậy ký hiệu là ( ), .f z z D    Khi :f D   là đơn ánh, thì hàm f được gọi là đơn diệp. Có thể xảy ra trường hợp f không đơn diệp trên ,D nhưng có thể chia nhỏ D thành các tập con i D lớn nhất trên đó f là đơn diệp. Khi đó mỗi i D được gọi là miền đơn diệp của .f Bằng cách viết u iv    , Re , Imu v     hàm f có thể viết dưới dạng f(z) = u(z) + iv(z); Hai hàm u và v được gọi là phần thực và phần ảo của .f 10 ( ) Re ( ) (Re )(z)u z f z f  ( ) Im ( ) (Im )( )v z f z f z  . Bằng cách đồng nhất z với ( , ),x y Re ,x z Im ,y z hàm f có thể coi như hàm của hai biến thực ,x y và vậy thì hai hàm u và v cũng được coi như thế. Định nghĩa 1.1.2. Cho hàm số f xác định trên miền D   . Xét giới hạn ( ) ( ) ; , lim 0 f z z f z z z z D z z          . Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của f tại ,z ký hiệu là ' ( )f z hay ( ) df z dz . Như vậy ' ( ) ( ) ( ) lim 0 f z z f z f z z z        . Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay  - khả vi tại .z Nhận xét 1.1.1. Bởi vì ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 f z z f z f z z f z z z z z                  do đó nếu f khả vi phức tại z thì ( ) ( ) 0 lim 0 f z z f z z           . Nói cách khác f liên tục tại .z Cũng như đối với biến thực bằng quy nạp ta viết ( ) ( 1) ' ( ) k k f f   nếu vế phải tồn tại và gọi là đạo hàm cấp k của f trên .D [...]... đó và áp dụng sự miêu tả trong điểm trước đó quá trình trực giao với tỷ trọng  ( x) với hàm luỹ thừa của x : n ( x)  x n (n = 0,1,2…) Trong kết quả đối với mỗi khoảng nào đó và ấn định với tỷ trọng  ( x) chúng ta nhận được hoàn toàn hệ của đa thức qn ( x) được xác định, trực chuẩn và trực giao trong khoảng  a, b  với tỷ 0 trọng  ( x) Từ công thức (2.11) tiếp tục thực hiện tìm được đa thức. .. ( x)  d n qn ( x ) ở đây dn -chuẩn của hàm Định lý 2.3.1 Đa thức tuỳ ý bậc n có thể xác định như tổ hợp tuyến tính của các đa thức Q0 ( x), Q1 ( x), Q2 ( x), , Qn ( x) Định lý 2.3.2 Đa thức Qn ( x) trực giao với mọi đa thức có bậc nhỏ hơn n với tỷ  ( x) Định lý 2.3.3 Đa thức Qn ( x) trong khoảng (a, b) có n nghiệm phân biệt khác nhau Để chứng minh chúng ta xét tích phân b  Qn ( x)  ( x)dx  0 (2.15)... tục trong khoảng  a, b  Khi  ( x)  1 chúng ta nhận được định nghĩa trực giao thông thường 35 Lý thuyết về sự trực giao dễ dàng tổng quát sang trường hợp trực giao có tỷ trọng hiển nhiên rằng Để hệ thống hàm n ( x) trực giao tỷ trọng  ( x) , trực giao đầy đủ trong ý nghĩa thông thường hệ hàm hàm nhận được trong kết quả trực giao, sẽ là tích   ( x)n ( x) Khi này  ( x) trong kết hợp tuyến... là chuỗi tổng quát Fouriers của hàm f ( x) theo hệ trực giao  n (x), còn công thức (2.7) để xác định hệ số của nó gọi là công thức tổng quát Fouriers Sự trực giao của hệ hàm có vai trò quan trọng như tên gọi của nó đối với sự miêu tả tiếp theo, có nghĩa là sự thay thế của hệ hàm n ( x) bởi  n ( x), là một tổ hợp trực giao Khi chứng minh tính trực giao của chúng ta giả thiết rằng n ( x) độc lập... khai triển n 1 Fouriers của phần tử x  H theo hệ trực chuẩn ( xn )n1  H 30 CHƯƠNG 2 ĐA THỨC TRỰC GIAO 2.1 Hệ trực giao Trong đại số véc tơ, tổng các tích các toạ độ tương ứng của các véc tơ a  a1 , a2 , , an  và b  b1 , b2 , , bn  được gọi là tích vô hướng của hai véc tơ đó n (a, b)   ak bk k 1 Tương tự với điều này ta xét hàm f ( x) và g ( x) như các vectơ với số lượng không hạn chế... của g ( x) Khi này tính chất đối xứng của tích vô hướng sẽ mất đi Hiển nhiên ta có công thức ( f , g )  ( g , f ) Bình phương vô hướng của hàm vẫn giữ nguyên được tính chất của nó b 2  f , f    f ( x) dx  0, a và khái niệm chuẩn đưa ra không thay đổi, cũng như sự không thay đổi trực giao và trực chuẩn Nhận xét 2.1.4 Hệ hàm trực giao đặc biệt thuận lợi để áp dụng khi phân tích các hàm khác theo... hệ trực chuẩn cần tìm Quá trình biến hệ vectơ độc lập tuyến tính của không gian H thành hệ vectơ trực chuẩn như trên thường gọi là quá trình trực giao hoá Hilbert-Schmidt Định lý 1.4.5 (Bất đẳng thức Bessel) Nếu (en )n1 là một hệ trực chuẩn nào đó trong không gian Hilbert H , thì x  H ta đều có bất đẳng thức 2 2 (1.30)  ( x, en )  x n 1 Bất đẳng thức (1.30) gọi là bất đẳng thức Bessel Chứng... x) (2.11) k 0 là trực giao với tỷ trọng  ( x) Mặc dù hàm nào đó f ( x) phân tích thành  f ( x)   cnn ( x) (2.12) n0 theo hàm trực giao với tỷ trọng  ( x) của hệ n ( x) Để xác định hệ số trong phân tích này chúng ta có công thức cn  1 b f ( x)n ( x)  ( x)dx, dn2  a (2.13) ở đây dn là chuẩn của hàm n ( x) : b d n   n2 ( x)  ( x)dx (2.14) a 2.3 Các đa thức trực giao Định nghĩa 2.3.1... g)  f g (2.3) 31 Định nghĩa 2.1.2 Hàm f ( x) và g ( x) được gọi là trực giao với nhau, nếu tích vô hướng của chúng bằng 0: b ( f , g )   f ( x) g ( x)dx  0 (2.4) a Định nghĩa 2.1.3 Hệ thống hàm n ( x) gọi là trực giao, nếu hai đại lượng bất kỳ của hệ thống đó trực giao với nhau (m ,n )  0, nếu m  n Ngoài ra hệ thống này còn được gọi là hệ trực chuẩn nếu các hàm này có chuẩn bằng 1 Nhận... được bất đẳng thức cần chứng minh Định lý được chứng minh Tích vô hướng ( x, en ) gọi là hệ số Fouriers của phần tử x  H đối với hệ trực chuẩn ( xn ) n1  H Bất đẳng thức Bessel chứng tỏ chuỗi số dương gồm các bình phương modul các hệ số Fouriers của một phần tử bất kỳ thuộc không gian Hilbert H theo một hệ trực chuẩn tuỳ ý bao giờ cũng hội tụ Từ đó suy ra chuỗi  ( x, en )en hội tụ và gọi là chuỗi . thức trực giao. Nghiên cứu ứng dụng của đa thức trực giao. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các định nghĩa, tính chất của đa thức trực giao. Nghiên cứu các ứng dụng của đa thức trực giao. . ĐA THỨC TRỰC GIAO 28 2.1. Hệ trực giao 28 2.2. Lý thuyết về sự trực giao 30 2.3. Đa thức trực giao 33 2.4. Sự biểu thị qua tỷ trọng. Hàm sinh 39 Chương 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG 49 3.1. Ứng. thức cơ sở để giải quyết một số bài toán thực tiễn khác. Bởi vậy, tôi đã chọn đề tài Đa thức trực giao và ứng dụng để thực hiện luận văn của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đa thức