Đa thức trực giao trong cn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––––––––– NGUYỄN THANH HOA ĐA THỨC TRỰC GIAO TRONG Cn LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––––––––– NGUYỄN THANH HOA ĐA THỨC TRỰC GIAO TRONG Cn Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN QUANG DIỆU THÁI NGUYÊN – 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu trích dẫn có nguồn gốc rõ ràng, kết luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Thanh Hoa Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn Thầy hướng dẫn tận tình, hiệu với kinh nghiệm q trình nghiên cứu để hồn thành luận văn Xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường Trung cấp nghề Cao Bằng đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ tơi mặt q trình học tập hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả Nguyễn Thanh Hoa Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ iii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii MỞ ĐẦU Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hòa 1.2 Dung tích tương đối 14 1.3 Đa thức trực giao Cn 20 Chƣơng 2: MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÀM GREEN CỦA HÀM ĐỘ ĐO VÀ DÃY CÁC ĐA THỨC TRỰC GIAO CỦA ĐỘ ĐO   23 Định lý 2.1 23 Định lý 2.2 24 Định lý 2.3 26 Định nghĩa 2.4 28 Định lý 2.5 28 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Chúng chọn đề tài ''Đa thức trực giao Cn" Cụ thể, cho µ độ đo Borel dương, hữu hạn tập hợp compact K  Cn Chúng ta nói (K, µ) thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein - Markov nếu, với   , tồn số c  c( )  cho, với đa thức P Kí hiệu p đa thức trực giao nhận nhờ phép trực giao hóa Gram-Schmidt, theo kết Green biểu diễn hàm Green đa phức tập compact quy thơng qua dãy đa thức p nói Nội dung luận văn nghiên cứu biến dạng định lý Zeriahi Blocki bối cảnh  độ đo dương với giá compact (ta không giả sử  không thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov), đưa ví dụ cụ thể độ đo  thỏa mãn yêu cầu định lý điều kiện đủ để  có tính chất Bernstein-Markov Đây kết lấy từ báo Bloom Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trước hết trình bày khái niệm hàm đa điều hịa dưới, dung tích tương đối, hàm Green đa phức Chương 2: Nghiên cứu mối liên hệ hàm Green hàm độ đo  dãy đa thức trực giao độ đo  (Định lý 2.1, định lý 2.2 định lý 2.3) ngồi chúng tơi lớp độ đo  thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hòa dƣới 1.1.1 Hàm điều hòa Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X không gian tôpô Hàm u : X   ,   gọi nửa liên tục trên X với   R tập: X    x  X : u ( x)    mở X Hàm v : X   ,   gọi nửa liên tục X v nửa liên tục trên X Định nghĩa tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau: Giả sử u : X   ,   Ta nói hàm u nửa liên tục x  X   tồn lân cận U x x0 X cho x U x ta có: 0 u ( x)  u ( x0 )   u ( x0 )   u ( x)    u ( x0 )   Hàm u gọi nửa liên tục trên X u nửa liên tục x0  X Mặt khác ta cho định nghĩa sau: Giả sử E  X u : E  ,   hàm E Giả sử x0  E Ta định nghĩa lim sup u ( x)  inf sup u ( y) : y V  x x xE inf lấy V chạy qua lân cận x0 Khi thấy hàm u : E  ,   nửa liên tục x0  X lim sup u( x)  u( x0 ) Ta định nghĩa hàm điều hòa dưới: xx Định nghĩa 1.1.2 Giả sử  tập mở C Hàm u :   ,   gọi điều hòa  nửa liên tục trên  thỏa mãn bất Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ đẳng thức trung bình  , nghĩa với   tồn Q > cho với < r < Q ta có: u( )  2 u   reit  dt  2 (1.1) Chú ý: Với định nghĩa hàm đồng   xem hàm điều hòa  Ta kí hiệu tập hàm điều hịa  SH(  ) Sau ví dụ đáng ý hàm điều hòa Bổ đề 1.1.3 Nếu f :   C hàm chỉnh hình  log f hàm điều hòa  Chứng minh Trường hợp f   kết rõ ràng Giả sử f   , Khi rõ ràng log f hàm nửa liên tục trên  Giả sử   Nếu f    B(,  )   z  : z      chọn Khi  0 log f cho f  hàm điều hòa B(,  )   z  : z      nên (l.l) thỏa mãn với dấu đẳng thức Trường hợp f    Khi log f   (l.l) ln □ Bổ đề 1.1.4 Giả sử u,v hàm điều hòa tập mở  C Khi đó: (i) max(u,v) hàm điều hịa  (ii) Tập hàm điều hòa  nón, nghĩa u, v  SH ()  ,    u   v thuộc SH () Định lý 1.1.5 Giả sử u hàm điều hòa miền bị chặn  C Khi đó: (i) Nếu u đạt cực đại toàn thể điểm  u số  (ii) Nếu limsup u  z     u   z Chứng minh: (i) Giả sử u nhận giá trị cực đại M điểm z0  Đặt A   z  : u  z   M  B   z  : u  z   M  Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Khi A tập mở u hàm nửa liên tục Từ bất đẳng thức trung bình ta thấy B tập mở Ta có   A  B, A  B   Do A   B   Nhưng theo giả thiết B   nên B   (i) chứng minh (ii) Mở rộng u lên  nhờ đặt u    limsup u  z  ,    Do  tập z compact nên u đạt cực đại    Nếu   giả thiết u    Do u   Trường hợp   theo (i) u số  Do số  u   □ Sau tiêu chuẩn nhận biết hàm nửa liên tục hàm điều hòa Định lý 1.1.6 Giả sử  tập mở C u hàm nửa liên tục  Khi phát biểu sau tương đương: (i) u hàm điều hòa  (ii) Với   , tồn   cho  ,  0   với  r   ,0  t  2 ta có: u   re   2 it   r2 i 0   2 r cos   t   r u    e  d 2  ,     z  : z      đĩa đóng tâm  bán kính  (iii) Với miền D compact tương đối  h hàm điều hòa D, liên tục D thỏa mãn: limsup  u  h  ( z)   D  z ta có u  h D Hệ 1.1.7 Nếu u hàm điều hòa tập mở   ,    thì: u    Số hóa trung tâm học liệu 2 2   u    e d i http://lrc.tnu.edu.vn/ Định lý 1.1.8 Giả sử u  C    Khi u điều hòa  u   u   2u  2u Laplace u  x2 y Chứng minh Giả sử u   Lấy D miền compact tương đối  h hàm điều hòa D, liên tục D cho: limsup  u  h  ( z)   D Với   , xác định z u ( z )  h( z )   z nêu z  D v ( z )   nêu z D  z2  Khi đó, v nửa liên tục D nên đạt cực đại D Tuy nhiên v  u  4  D nên v đạt cực đại D Do u  h  sup  z D D Cho   ta u  h D u điều hòa D Ngược lại, giả sử u hàm điều hòa  Giả thiết   ta có u ( )  Do có   cho u   ,   Do u hàm điều hòa  ,   Vậy u ( )  gặp mâu thuẫn Do u  định lí chứng minh □ Định lý 1.1.9 Giả sử u hàm điều hòa tập mở 1 v hàm điều hòa tập mở   1 Giả thiết limsupv  z   u   , với z  1  2 Khi hàm u xác định 1 :  max  u, v  2 u    u 1 \ 2 điều hòa 1 Chứng minh Từ điều kiện limsupv  z   u   , với  1   suy z hàm u nửa liên tục trên 1 Dễ thấy u thỏa mãn bất đẳng thức trung bình  2 Do u  u 1 nên u thỏa mãn bất đẳng thức trung bình  1 \ 2 Định lí chứng minh Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ □ 20 j  J Do đó, Mệnh đề 1.2.2 suy từ việc định nghĩa tính chất hàm Green đa phức  1.3 Đa thức trực giao Cn Giả sử μ độ đo Borel dương, hữu hạn, có giá compact E C n Chúng ta cần đến khái niệm hàm Green kết hợp với độ đo  Định nghĩa 1.3.1 Giả sử     tập hợp tất điểm giá cốt yếu  Điều có nghĩa (1.3.1)      D  E | D tập hợp Borel   E \ D   0 Định nghĩa 1.3.2 Dung tích kết hợp với độ đo  định nghĩa sau (1.3.2) c  inf Cap  D  | D      Hiển nhiên c  Cap ( E ) Định nghĩa 1.3.3 Giả sử 0    tập hợp tất điểm kết hợp với độ đo  Điều có nghĩa (1.3.3)       D      | c  Cap  D  Mệnh đề 1.3.1 Giả sử Ai     (tương ứng 0    ) với i  1,2,3 Thế   A      (tương ứng     ) i 1 i Chứng minh Kết suy từ tính cơng tính đếm μ tính đơn điệu Cap  Mệnh đề 1.3.2 Giả sử D     Tồn D0 0    với D0  D Đặc biệt, 0    không rỗng Chứng minh Tồn D1 ,D2 ,     với limn Cap  Dn   c Lấy  D0  D   i 1 Di  Định nghĩa 1.3.4 Hàm Green kết hợp với độ đo  định nghĩa V  VD D kết hợp với độ đo  Đặc biệt, V   c  ([K], Hệ 5.2.2) Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 21 Vμ định nghĩa tốt suy từ mệnh đề sau Mệnh đề 1.3.3 Giả sử D1 , D2 kết hợp với độ đo  Thế VD  VD Chứng minh Theo Mệnh đề 1.3.1, D1  D2 kết hợp với độ đo  Do Cap  D1   Cap  D2   Cap  D1  D2   c Bởi vậy, theo Định lý 1.2.1 VD  VD D với i = 1,  1 Định nghĩa 1.3.5 Một tính chất gọi thỏa mãn μ q.e (μ tựa khắp nơi) tập hợp S tồn tập đa cực S0  S tính chất thỏa mãn μ a.e (μ hầu khắp nơi) S \ S0 Mệnh đề 1.3.4 Giả sử v  £, v  μ q.e E Thế v  z   V  z  với z  C n Chứng minh Giả sử D  z  E | v  0 Theo giả thiết, tồn D1 , D2 với Cap  D1   0,   D2   0, D2  E \ D1 E \  D1  D2   D Vậy D1  D     theo Mệnh đề 1.3.2, tồn D0 0    với (1.3.4) D0  D  D1 Theo định nghĩa D ta có v  VD Vì D1 đa cực, VD  VDD Theo (1.3.4), VD  VDD theo Định nghĩa 1.3.4 V  VD Từ suy kết  Chúng ta giả thiết E  supp    không chứa tập C n Điều tương đương với tính chất sau E: Nếu P đa thức (1.3.5) P | E   P  C n Các tập hợp có tính chất (1.3.5) gọi đơn dung môi (xem [Si2]) Trong trường hợp biến phức, E thỏa mãn (1.3.5) E chứa vô số điểm (xem [S-T] trang 2) Mệnh đề tiếp theo, thuộc Levenberg giả thiết (1.3.5) xác cần thiết để đảm bảo đơn thức độc lập tuyến tính L2    Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 22 Mệnh đề 1.3.5 Giả sử μ độ đo Borel dương hữu hạn với E  supp    thỏa mãn (1.3.5) Giả sử P đa thức cho P L2     Thế P  C n Chứng minh Ta P | E  P L2     Giả sử P  z0   Thế với r  đó, P | E  z0  E cho P  z    P  z0   với tất z   zo , r    zo , r  ký hiệu hình cầu đóng có tâm z0 bán kính r Vì z0  supp    , ta có     zo , r    Do P L2     E  P  z0  P  z  d   E  z ,r  P  z  d      2      z0,r       Bổ đề 1.3.1 Giả sử h j  L2    dãy vô hạn hàm s ( j ) dãy vô hạn số thực với lim j  s  j    Giả sử (1.3.6) lim hj j  s j  L2    1 Thế tồn dãy vô hạn J  N cho hj  z  (1.3.7) lim jJ s j    a.e j  Chứng minh Chứng minh ứng dụng tiêu chuẩn lý thuyết độ đo (xem [S-T], Bổ đề 1.3.1) Bổ đề thuộc Ullman (xem [S-T], ý chương I) Bổ đề 1.3.2 Giả sử u j  j 1,2, họ đếm hàm L Giả   sử z  C n | limu j  z    tập hợp khơng đa cực Thế u j  bị j  chặn cục C n Chứng minh Với k = 1, 2,… đặt Z k  z  C n | sup j k u j  z    Khi  Z k 1 k    z  C n | limu j  z    với k đó, Z k phải khơng đa j  cực đó, từ [K], Mệnh đề 5.2.1, suy kết  Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 23 Chƣơng  VÀ DÃY CÁC ĐA THỨC TRỰC GIAO CỦA ĐỘ ĐO  MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÀM GREEN CỦA HÀM ĐỘ ĐO Định lý 2.1 Giả sử Pj  dãy đa thức với limdeg  Pj    j  Thế   deg Pj  P  z   j  lim j   Pj L        exp V  z   z  C n (2.1) Chứng minh Chúng ta giả thiết Pj L2     tất j Chúng ta giả thiết V   V   kết tầm thường Chứng minh phản chứng Giả sử với z0  C n lim j  log Pj  z0   V  z0  deg  Pj  (2.2) Khi đó, tồn dãy J1  N cho lim jJ j  log Pj  z0   V  z0  deg  Pj  Theo Bổ đề 1.3.1, tồn dãy J  J1 cho lim jJ j  log Pj  z    a.e deg  Pj  Giả sử   v   lim log Pj  z    jJ deg  Pj      j  Vì V   , giá  tập hợp khơng đa cực (2.4) thỏa mãn giá  , kết luận, sử dụng Bổ đề 1.3.2 [K], Mệnh đề 5.2.1, v  L Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 24 Bây giờ, theo [K], Định lý 4.7.6, v   q.e nên theo Mệnh đề 1.3.4, v  V C n Điều mâu thuẫn với  Giả sử  độ đo Borel dương, hữu hạn với giá compact E Ta xét đơn thức  z N n theo thứ tự từ điển Theo mệnh đề 1.3.5, ta áp dụng thủ tục trực giao hóa Gram-Schmidt đơn thức nhận đa thức trực giao, ký hiệu p  z   p  z,     N n p  z,   ký hiệu đa thức trực giao tổ hợp tuyến tính z đơn thức có cấp từ điển thấp Định lý thiết lập đánh giá tăng điểm đa thức trực giao Định lý 2.2 Giả sử  độ đo Borel dương hữu hạn với  bao lồi đa thức E Thế E  supp    compact Ký hiệu E lim    log p  z ,    VE  z  z  C n \ E (2.3) log p  z ,    VE  z  z  C n (2.4) lim   Chứng minh Áp dụng Định lý 2.1 đa thức trực giao  p  z,   cho (2.4)  Chứng minh (2.3) cho Zeriahi (xem [Z1], chứng minh phương trình (12)) Theo kết Siciak [Si2],  VE  z   lim sup log P  z  | P đa đa thức,  d  d  deg  P   d , P E  1 (2.5) Bây giờ, giả sử Q đa thức có bậc ≤ d với Q E Khai triển "Fourier" Q L2    Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 25 Q  c p  z   d c  E Q p d  Vì Q E  , ta có c  E p d  Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có c    E  Do d  n Q z    E   Max p  z   n   d (2.6)  lấy  số bội lớn (theo thứ tự từ điển Cố định z0  C n \ E d số bội) cho p  Max p  z0  d  d Dãy số bội lim d    d định nghĩa thỏa mãn  d   , khơng, chẳng hạn d  A d, sử dụng (2.6) đa thức Q thỏa mãn Q E  , ta có d  n Q  z0     E    Max p  z0   n   d  Từ suy ra, với (2.5), VE  z0   , mâu thuẫn với z0  E Như lim d   d   sử dụng (2.5) (2.6) ta có VE  z0   lim log p  z0  d  d d Nhưng  d  d nên suy (2.3)  Các ví dụ đặc biệt VE  V , ta có dấu (2.3) (2.4) (xem [S-T], ví dụ 1.5.2 1.5.4) Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 26 Ví dụ 2.1 Giả sử B hình cầu đơn vị C  độ đo Lebesgue Với   1 ,  z   z1 , z2  , đa thức trực giao p  z,    a z a2      ! 1 ! ! 2  Thêm nữa, [Si 2] VB  z   Max  log z ,0  z  z1  z2  12 Chúng ta nêu sơ lược việc tính tốn tường minh 1 trường hợp lim   log p  z,    VB  z  với z  C \ B Đặc biệt, điều   (2.6) cần đến limsup (chứ lim) Giả sử   j   1  j  ,  j  j 1,2, dãy số bội 2, thỏa mãn: lim j    j   v1 , v2  v1  0, v2  v1  v2    j Khi đó, tính tốn trực tiếp ta lim j    j log a  j  z  j   v1 log z1  v2 log z2   v1 log v1  v2 log v2    max v1 log z1  v2 log z2   v1 log v1  v2 log v2    log z v  v 1   v10 ,v2 0 Định lý tiếp sau cho đặc trưng tương đương đô đo  để có dấu phiên quy (2.3) Lớp độ đo quan trọng định nghĩa thức Định nghĩa 2.6 Định lý 2.3 Giả sử  độ đo Borel dương hữu hạn với giá compact E C n Các điều khẳng định sau tương đương:      log p  z ,     VE  z  với z  C n (i)  lim           Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 27 (ii) Với dãy Pj  đa thức khác không,   deg Pj  P  z   j  lim j   Pj L        exp VE  z   với z  C n   (iii) Cap  z  E | lim     (iv)   log p z ,        Cap ( E )    Với dãy Pj  đa thức khác không, deg  P      P z     j   Cap  z  E | lim    Cap( E ) j    P    j L      j Chứng minh Nếu E = Supp(  ) đa cực (i )  (iv ) thỏa mãn với  Bởi vậy, ta giả sử E không đa cực Khi (i )  (iii ) nhờ sử dụng Hệ 1.2.2 kết nói VE  q.e E Để      (iii )  (i ) ta đặt v   lim   log p  z ,    F  z  E | v  0             log p z ,   Khi F khác với  z  E | lim      tập đa cực       Bởi Cap ( F )  Cap ( E ) Từ đó, theo Định lý 1.2.1, VF  VE Bây v  VF nên suy (i) Theo cách tương tự, (ii) (iv) tương đương Chúng ta hoàn thành chứng minh Định lý 2.3 cách (i) (ii) tương đương Bây giờ, (ii )  (i ) áp dụng (ii) cho họ đa thức trực giao  p  z,    Còn phải (i )  (ii ) Ta (i) thỏa mãn điểm, (ii) thỏa mãn điểm Giả sử Pj L2     với j = 1, 2, … viết Pj chuỗi “Fourier” Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 28 Pj  z   Ở c p  z ,      deg  Pj    c (2.7)  nên c  với α (i) suy với   tồn C  C    cho p  z ,    C    exp   VE  z      (2.8) Do đó, sử dụng (2.17) (2.16) ta có  deg  Pj   n   Pj  z     C    exp deg  Pj  VE  z       n   (2.9) Nâng hai vế (2.18) lên lũy thừa deg  Pj  lấy limsup j → ∞, ta có lim Pj  z  j    deg Pj  exp VE  z     (2.10) Vì (2.10) với   nên suy (ii)  Định nghĩa 2.4 Độ đo  có phân bố tiệm cận quy viết   Re g thỏa mãn (và tất cả) tính chất tương đương Định lý 2.3 Kết hợp (i) Định lý 2.3 với (2.3) ta thấy   Re g     log p z ,     lim   VE  z       (2.11)  Hơn nữa, Đối với z  C n , với dấu z  C n \ E trường hợp này, điều kiện (iii) (iv) Định lý 2.3 thỏa mãn E Chúng phát biểu điều định lý riêng Định lý 2.5 Giả sử tồn số T > cho       z, r      1   Cap ( E ) (2.21) Cap   z  E | lim T   r 0 r     Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 29 Khi E  supp    tập compact quy  E ,   thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov Chứng minh Định lý 3.3 tương tự với Định lý 4.2.3 sách Stahl Totik [S-T] chứng minh mà giới thiệu dựa chứng minh họ Đối với s = 1, 2, … đặt     z, r   1   Fs   z  E |  ,0  r   rT s   Khi tập hợp Fs tạo nên họ tăng tập Borel  F s s 1      z , r      z  E | lim  1 , r 0 rT    kết luận lim Cap  Fs   Cap( E ) s  Bây giờ, áp dụng Mệnh đề 2.1, tồn tập compact Ls  Fs s = 1, 2, … cho với   ta có VL  VE   j  J   (2.12) j Giả sử P đa thức bậc d Theo bất đẳng thức Bernstein-Walsh ([K], Định lý 5.1.7) z  C n P z  P Lj e dVLj  z  đó, sử dụng (2.12) P E  P L ed (2.13) j Hơn nữa, với   trên, tồn       cho đặt E   z  C n | d  z , E     có, E quy VE  z    z  E (2.14) Như vậy, lại áp dụng bất đẳng thức Bernstein-Walsh, Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 30 P  P E e d  P L e2 d E (2.15) j Giả sử   L j cho P    P L Ta j z    e 2 d (2.16) có P z  P Lj (2.17) Với z   , đặt e z   z   e , , e  n ký hiệu U  t  đa thức biến phức, định nghĩa U  t   P 1  e1t , ,n  ent  (2.18) Bây P  z   P    U  z     U  0  0 U '  d z  Cho nên P  z   P    z   U ' z     (2.19) t  Với t   , 1  e1t , ,n  ent   E thì, sử dụng (2.15) (2.18), U t   P L e 2 d (2.20) j Theo bất đẳng thức Cauchy, U ' t    U t  kết hợp điều với (2.20), (2.19) (2.16) có P  z   P    P Lj từ suy (2.17) Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 31 Bây xét P  E P d  Cho   , chọn j  J   L  (2.12),      (2.14),   L j với P    P L Với rd  , j có  P d    ,r  P d   Min P  z   E d   , rd       , r   d (2.21) Đặt rd  e 3 d đó, với d đủ lớn, ví dụ d  d0   ,  1 rd  Min  e2 d ,  j 4 Từ (2.17) thỏa mãn  , rd  , nghĩa Min P  z     , rd  P Lj (2.22) Hơn nữa,   Lj  Fj , có     , rd    1 T  rd   e3 dT 2 (2.23) Sử dụng (2.22) (2.23) (2.21) ta có P   L  E ,  2 P Lj e3 dT d  d0 (2.24)  d  23T  d  d0 P e E (2.25) (2.25) suy từ (2.24) nhờ sử dụng (2.13) Vì   tuỳ ý không gian đa thức bậc  d0 không gian véc tơ hữu hạn chiều, suy bất đẳng thức Bernstein-Markov  Chú ý 2.5 Đối với E quy, với số T  tồn số c0  cho       z, r     Cap   z  E | lim  c  Cap( E )  T   r 0 r     Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 32  E ,   thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov giả thiết Định lý 2.5 thỏa mãn số T1  T Chú ý 2.6 Nếu E quy      z , r    z  E | lim  1  T r 0 r    đa cực giả thiết Định lý 2.5 thỏa mãn Điều suy ra, ví dụ, từ Hệ 1.2.2 Từ định lý có kết sau đây: Cho tập compact E  C n tồn độ đo rời rạc  tổ hợp tuyến tính hội tụ số đếm độ đo Dirac  với supp     E cho  E ,   thỏa mãn (2.11) Thế E quy,  E ,   thỏa mãn giả thiết Định lý 2.5, thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov Chứng minh Ta tồn độ đo  thỏa mãn, với hàng số c0  đó,     z , r    c0 r n 1 z  E r đủ nhỏ (xem Chú ý 2.5) Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 33 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau: Các biến dạng định lý Z bối cảnh  độ đo dương với giá compact (ta không giả sử  không thỏa mãn bất đẳng thức BernsteinMarkov), đưa ví dụ cụ thể độ đo  thỏa mãn yêu cầu định lý điều kiện đủ để  có tính chất BernsteinMarkov, tìm ứng dụng vào việc nghiên cứu bất đẳng thức Bernstein-Markov cho tập compact C n Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Quang Diệu - Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa vị, Nhà xuất Đại học sư phạm [B-K-L] Z Blocki, S Kolodziej & N Levenberg, Extremal functions and equilibrium measures for Borel sets (preprint) [B-T1] E Bedford & B A Taylor, A new capacity for plurisubharmonic functions, Acta Math 149 (1982), 1–40 [B-T2] E Bedford & B A Taylor, Fine topology, Silov boundary, and  ddc  n , J of Func Anal 72 (1987), 225–251 [K] M Klimek, Pluripotential Theory, London Mathematical Society Monographs, New Series (1991), Oxford University Press [L] N Levenberg, Monge-Ampere measures associated to extremal plurisubharmonic functions in C n , Trans Amer Math Soc 289 (1985), 333–343 [Si2] J Siciak, Extremal plurisubharmonic functions in C n , Ann Pol Math 39 (1981), 175–211 [S-T] H Stahl & V Totik, General Orthogonal Polynomials, Cambridge University Press, 1992 [Z1] A Zeriahi, Capacit´e, constante de Cebysev et polynoˆmes orthogonaux associ´es a un compact de C n , Bull Sci Math (2) 109 (1985), 325–335 10 [Z2] A Zeriahi, Fonction des Green pluricomplex a` poˆle `a l’infini sur un espace de Stein parabolique et applications, Math Scand 69(1991), 89–127 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ... c( )  cho, với đa thức P Kí hiệu p đa thức trực giao nhận nhờ phép trực giao hóa Gram-Schmidt, theo kết Green biểu diễn hàm Green đa phức tập compact quy thơng qua dãy đa thức p nói Nội dung... hiệu đa thức trực giao tổ hợp tuyến tính z đơn thức có cấp từ điển thấp Định lý thiết lập đánh giá tăng điểm đa thức trực giao Định lý 2.2 Giả sử  độ đo Borel dương hữu hạn với  bao lồi đa thức. .. hạn với giá compact E Ta xét đơn thức  z N n theo thứ tự từ điển Theo mệnh đề 1.3.5, ta áp dụng thủ tục trực giao hóa Gram-Schmidt đơn thức nhận đa thức trực giao, ký hiệu p  z   p  z,