Sai số và nội suy

Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khóa luận cơng trình nghiên cứu riêng tơi, sức lực thân tơi nghiên cứu hoàn thành sở kiến thức học tham khảo tài liệu với giúp đỡ thầy cô, bạn bè Nó khơng trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Nếu sai xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Dung SVTH: Nguyễn Thị Dung K34C Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Dung K34C MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sự khác biệt toán lý thuyết toán tính 1.2 Quan hệ tốn học tính tốn tin học Chƣơng 2: SAI SỐ .6 2.1 Số gần Sai số tuyệt đối.Sai số tƣơng đối .6 2.2 Sai số thu gọn 2.3 Chữ số 12 2.4 Sai số 17 2.5 Bài toán ngƣợc sai số 20 2.6 Sự ổn định 21 Bài tập 23 Chƣơng 3: NỘI SUY 26 3.1 Đa thức nội suy Lagrange 26 Bài tập 33 3.2 Sai phân 35 Bài tập 50 3.3 Sai số phép nội suy 55 Bài tập 59 3.4 Tỷ sai phân .60 Bài tập 68 3.5 Đa thức nội suy Hermitte nội suy hàm ghép trơn 69 Bài tập 74 KẾT LUẬN 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO .78 SVTH: Nguyễn Thị Dung K34C MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Tốn học bắt nguồn từ nhu cầu giải toán thực tế Ngày nay, khoa học công nghệ thông tin, tin học ngày phát triển kéo theo phát triển toán học Toán học chia làm hai lĩnh vực: Tốn học lý thuyết tốn học ứng dụng Nói tới tốn học khơng thể khơng nói đến Giải tích số môn khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu giải số, phƣơng trình, toán xấp xỉ hàm số tốn tối ƣu,… Để có lời giải gần cho tốn đòi hỏi phải có liệu tốn, cơng việc tìm thuật tốn hữu hiệu cuối viết phƣơng trình để máy tính tính tốn cho ta kết gần Khi giải toán thực tế ta phải trực tiếp gián tiếp làm việc với liệu tốn Chính khơng tránh khỏi sai số nhỏ nhƣng ảnh hƣởng trực tiếp tới kết tính tốn Vì cần sử dụng thuật toán hữu hiệu để giảm thiểu sai số đồng thời thuận lợi cho việc lập trình, tiết kiệm thời gian, số lƣợng phép toán Từ năm 50 trở lại đây, năm 80, giải tích số đặc biệt phát triển với phát triển tin học Ngày nay, với xuất siêu máy tính, khả song song hố q trình tính tốn đƣợc mở rộng Nhiều thuật toán song song đƣợc đề xuất vào giải toán thực tiễn Với mong muốn đƣợc nghiên cứu tìm hiểu sâu sắc mơn bƣớc đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học em chọn đề tài: ” Sai số nội suy ” Mục đích nghiên cứu Bƣớc đầu tiếp cận giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu Giải tích số, đặc biệt sai số phƣơng pháp nội suy Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu sai số để hiểu rõ nội dung kiến thức phần sai số chƣơng I Đại số 10 Nghiên cứu phƣơng pháp nội suy để ứng dụng việc tính gần đạo hàm, tích phân Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, tổng hợp, đánh giá Cấu trúc khoá luận Gồm phần: Phần I: Mở đầu Phần II: Nội dung Gồm chƣơng: Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng 2: Sai số Chƣơng 3: Nội suy Phần III: Kết luận NỘI DUNG CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 SỰ KHÁC BIỆT GIỮA TỐN LÝ THUYẾT VÀ TỐN TÍNH TỐN Trong tốn học lý thuyết đề cập đến chứng minh tồn nghiệm, khảo sát dáng điệu số tính chất định tính nghiệm tốn tính trình bày thuật giải máy Giải tích số đặc biệt quan tâm tới thời gian máy, nhớ sử dụng để giải toán, thuật toán, tốc độ hội tụ ổn định thuật toán Trong q trình giải số tốn, nhiều nảy sinh vấn đề mà lý thuyết không quan tâm không giải đƣợc Để hiểu rõ khác biệt tốn tính tốn lý thuyết ta xét số ví dụ sau: Ví dụ 1.1: Giả sử cần tính tích phân: In = ( n ≥ 1) n ∫xe dx Tích phân phần ta đƣợc: n x−2 In = x e | − n∫ I1 = = xe x−2 ∫ xe 1 n−1 x−2 x− nI e dx = n−1 0 e x−2 dx x−2 |0 −e ∫ dx = ≈ 0,135335 e2 đến ngƣời ta làm lý thuyết cho tính đƣợc In , theo công thức truy hồi I = nI − n n−1 e với I = e ≈ 0,13533 thực nh ƣ I9 ≈ −0,0251923 , kết hồn tồn khơng xác tính ∀n, In > Ngun nhân thiếu xác sai số ban đầu mắc phải −1 e , nhỏ nhƣng bị khuêch đại sau bƣớc Ví dụ 1.2: (1.1) Cho hệ phƣơng trình đại số tuyến tính: Ax =b Trong A ma trận vng cấp n × n,b vectơ n - chiều, cho trƣớc Giả sử det A ≠ 0, x vectơ nghiệm cần tìm n ∈ R Theo ngun tắc, ta giải hệ (1.1) theo quy tắc Crame: ∆i x = (1.2) i ∆ Trong ∆ = det định thức ma trận, nhận đƣợc từ A cách A, ∆i thay cột thứ i cột b Để tìm nghiệm (1.1) ta phải tìm ( n định thức Mỗi định thức có n! số +1) hạng Mỗi số hạng có n thừa số, để tính số hạng phải thực (n phép nhân Nhƣ riêng số phép nhân phải thực (1.2) −1) n!(n +1)( n −1) Giả sử n = 30, máy tính ta thực đƣợc 10 phép nhân giây Khi để thực đƣợc hết phép nhân theo (1.2) phải 2,76 25 ×10 năm Ví dụ 1.3: Xét hệ (1.1) với ma trận A = diag ( 0.1,0.1, ,0.1) , n = 200 Khi đó, −200 det A =10 biến  theo quan điểm lý thuyết ma trận A hầu suy Trong đó, A= 0,1.E với E ma trận đơn vị Trong toán học tính tốn, ngƣời ta dùng đặc trƣng khác, gọi số điều kiện cond ( kiểm tra tính suy biến Nếu cond ( A để A) lớn ma trận A gần suy biến Ở ví dụ A) cond ( A) = cond ( E ) =1 Ma trận A có tính chất nhƣ ma trận đơn vị 1.2 QUAN HỆ GIỮA TỐN HỌC TÍNH TỐN VÀ TIN HỌC Các bƣớc để giải toán thực tế bao gồm: • Bƣớc 1: Xây dựng mơ hình tốn học tốn thực tế • Bƣớc 2: Phân tích mơ hình Mối tƣơng quan mơ hình với tƣợng thực tế Sự tồn (và nhất) lời giải Phác thảo phƣơng hƣớng tính tốn • Bƣớc 3: Rời rạc hóa mơ hình: Ngƣời ta thƣờng dùng phƣơng pháp sai phân, phần tử hữu hạn, để quy toán liên tục toán với số ẩn hữu hạn • Bƣớc 4: Xây dựng thuật tốn • Bƣớc 5: Cài đặt khai thác tin học Giữa tốn học tính tốn tin học có mối liên hệ mật thiết tác động qua lại lẫn Do sống ngƣời ngày văn minh, tiến bộ, đại, đời sống vật chất nhƣ tinh thần đƣợc nâng cao, đòi hỏi việc tính tốn cần phải nhanh, xác Nếu ta tiến hành tăng tốc độ tính tốn máy gặp nhiều khó khăn kĩ thuật Hơn lại đòi hỏi chi phí lớn nên để tính tốn nhanh ngƣời ta thiên cải tiến phƣơng pháp giải tốn Từ xuất phép biến đổi nhanh Fouire, thuật tốn song song,…Chính vậy, ngày làm việc vậy, trƣớc cho đời sản phẩm ngƣời ta nghĩ đến đầu nó, cách làm để thu đƣợc lợi nhuận lớn Thì khoa học công nghệ vậy, đồng hành với đời siêu máy tính: Máy tính song song, máy tính vectơ vv…, phƣơng pháp song song Ngày nay, ta đƣợc chứng kiến xu song song hóa diễn tất lĩnh vực Giải tích số Để tiết kiệm nhớ máy tính ngƣời ta đề xuất phƣơng pháp hữu hiệu xử lý hệ lớn, thƣa nhƣ kĩ thuật nén ma trận, kĩ thuật tiền xử lý ma trận y‟ Ta có: x = 0, f ( x ) = 0, f 0 ' ( x0 )= x1 =1, f ( x1 ) =1, f ' ( x1 ) = x2 = 2, f ( x2 ) = 2, f ' ( x2 ) = ω ( x) = x ( x −1)( x − 2) Suy ω '( x ) = 3x − 6x + ; ω ''( x ) = 6x − ω '( x0 ) = 2;ω '' ( x0 ) = −6 ω '( x1 ) = −1;ω '' ( x1 ) = ω ' ( x2 )    ,, ω (x)  H ( x) = f( ) x  = 2;ω ''( x2 ) = 1− ( (x −3 ω' (  ) x  ) ω' ( ( ) (x − x f '( x )( x ) )+ −     (x   ω3 ( x ) x x ( ) x− x  ) ω'  ,, x 1− 2     ) ω( ( )   3  ω3 ( x) x− x x        ,, x f ω(  + − x x     )( x    ) f )3   f )+ '( x − x ω'  + (x    ω' (x )  (x )+ '( x − x    f )( x − x  ω3 ( x ) )  ( − x x ) ω' ( )  x   Thay số có: 3    H ( x) = (x − 5x + 7x − x  ) 3.5.2 Nội suy hàm ghép trơn (Spline đa thức) Các đa thức nội suy xét có hạn chế tăng mốc nội suy lên bậc đa thức nội suy tăng lên Điều không thuận lợi tính tốn Trong trƣờng hợp này, ta thực phép nội suy nhờ hàm ghép trơn (spline) đa thức khúc đƣợc ghép nối trơn tru xác định đoạn [ a,b] Xét phân hoạch Giả sử hàm số f ( x) đoạn a = x0 < x1 < < xn−1 < xn = b [a,b], Gọi Sm ( hàm nội suy ghép trơn bậc m thỏa mãn điều kiện: x) i, Là đa thức bậc m đoạn [ xk−1, xk ] ii, Thuộc lớp C m −1 (k = ) [a,b](m ≥ 1) ( iii, Sm ( xk ) f ( xk ) ; k = 0, m = ) Nếu m >1, Sm đƣợc xác định ta bổ sung thêm ( m (x) −1) Các điều kiện bổ sung đƣợc gọi điều kiện biên Khi 1, n m =1, ta có phƣơng pháp đƣờng gấp khúc điều kiện Sau trình bày số kết Alberg, Nilson Walsh Spline bậc ba: m= Giả sử đoạn hàm số f [ a,b] ( nhận giá trị mốc nội suy x) ( xi i = 1, n ) S3 ( x1 = a; xn = b Ta xác định hàm ghép trơn đoạn [ xi , xi+1] Biểu thị hàm ghép trơn i đoạn x) ( Pi ( x ) , i = 1, n −1 với P x ( ) = a i + b (2x − x −x) + d i i Theo cách xác định i Sm ( )+ i c (x i i (x − ) i ) (3.5.2) x i ta có số điều kiện sau: x) Pi ( xi f ( xi ) ;i ) = = 1,n −1 (3.5.3) Pi (3.5.4) ( xi+1 ) = ' Pi ( i+1 ) f ( xi+1 );i =1, n −1 ( ' xi i + +1 );i =1, n (3.5.5) − '' '' Pi ( xi+1 =i ( xi+1 ) ;i P + = 1,n − Và điều kiện biên P'' ( x ) = 0, P'' 1 (3.5.6) ( x) = n−1 n (3.5.7) h x = Đặt − xg f ( xi ) (3.5.8) f( i = xi+1 ) − = 1, n −1 i; i i i i+1 h Từ (3.5.2) (3.5.3) ta có suy f ( xi ) = P ( xi ) = (3.5.9) ( f ( xi ) ; i = = 1, n −1 ) Kết hợp (3.5.2), (3.5.4), (3.5.8) ta đƣợc: bi + cihi +2 = gi i d i hi ( = 1, n −1 (3.5.10) ) Kết hợp (3.5.2), (3.5.5) ta đƣợc: b + 2c h i Từ (3.5.2), (3.5.6) có: di c i − c = +1 i c1 = 0;cn hi Theo (3.5.7) có = + 3d h2 =b i i (i = −1) i i 1, n i+1 (i = 1, n − ) (3.5.11) (3.5.12) (3.5.13) Thay (3.5.12) vào (3.5.10) có: b= g h − (c + 2c i i i ) i+ (−1i = ) 1, n (3.5.14) i Từ (3.5.11), (3.5.12), (3.5.14) ta có: hici + ( hi + hi+1 )ci+1 + hi+1ci+2 = 3( gi+1 − gi ) (3.5.15) (i = 1, n − 2) Thêm phƣơng trình (3.5.13) vào (3.5.15) ta có ( n − phƣơng trình đại số 2) tuyến tính với ( n − 2) ẩn số c2 ,c3 , ,cn−1 Khi n lớn để giải hệ tốt phƣơng pháp khử lặp (i = 1, n −1) Từ (3.5.8), (3.5.12), (3.5.14) ta tìm đƣợc bi , di Từ (3.5.9) ta tìm đƣợc (i = Thay trở lại (3.5.2) ta tìm đƣợc Pi ( x ) 1,n −1 ) Ví dụ: Tìm đa thức nội suy Spline bậc  π  ;và đoạn 0, π  ,π     thỏa mãn: S S3 ( x ) hàm ( 0) = S  2   (π ) = y= f ( x ) = cos x ( 3.5.16) π 3 Giải , x3 Ta có: x1 = 0, =π x2 = π f ( x1 ) =1; f ( x2 ) = 0; f ( x2 ) = −1; h1 = h2 = ; g1 π −2 −2 ; g2 = [ xi , xi+1](i=1,2) dƣới dạng: i Với i + b (2x − x −x) + d i i i ; = Ta tìm đa thức nội suy Spline bậc ba hàm P ( x) = a π )+ c (x i f ( xi ta có a1 f ( x1 ) = ) = =1;a2 = (x − x ) i ( x) f đoạn (i=1,2) i f ( x2 ) = Và h1c1 + ( h1 + h2 ) c2 + h2c3 = 3( g2 − g1 ) Do (3.5.16) có c1 = c3 = ( h1 + h2 )c2 = 3( g2 − g1 ) suy ( g − g1 ) = = 2( h + h ) 1 2c −2 b = g −c h = Suy c Có ( 1 − h c b = g ( 2 +2 c π = c2 − c1 d = = 0;d ) = ) −2 π c3 − c2 = 1 3h 3h2 Vậy đoạn  0, π  Trên đoạn ( x) có S  2   có S π ,  = 1− ( x) x π =− x π BÀI TẬP  2 π   Hãy tìm đa thức nội suy Hermitte hàm số y = f(x) đoạn [0, 2] cho bảng: a) x y 1 y‟ 0 x y y‟ x y y‟ b) c) 2.Hàm số f(x) cho dƣới dạng bảng sau: a) x y 1,5 2,4 x y 1,5 2,3 3,4 b) Xây dựng Spline nội suy bậc Hướng dẫn a) H5 x b) H5 c) H ( x) =5 − x +1 − 2x x + 2x (−3x + 10x − 7x + 4x) ( x) = ( x − 5x + 7x − x ) ( x) = 5 2 a) Trên đoạn [0,3] hàm số ( x) f nhận giá trị mốc nội suy với: x1 = 0, x2 = 2, f ( x1 ) =1; f ( x2 ) =1,5; f x3 = 3; ( x2 ) = 2, 4; h1 = 2;h2 =1; g1 = 0,25; g2 = 0,9 Ta tìm đƣợc đa thức nội suy Spline bậc hàm [ xi , xi+1 ] (i=1,2) dƣới dạng: Pi ( x ) = đoạn + bi ( x − xi ) (i=1,2) với điều kiện Pi ( xi ) = f ( xi );(i =1, 2) ( x) f (3.5.17) Và Pi ( xi+1 f ( xi+1 );(i =1,2) )= (3.5.18) Theo (3.5.17) ta có: a f ( xi (i=1,2) hay a1 =1;a2 =1,5 i = ) Theo (3.5.18) ta có: f ( xi ) + bi hi = f ( xi+1 ) − f f Hay b1 = 0,25;b2 = 0,9 ( xi+1 ) ⇒ ( xi ) gbiih= i = (i=1,2) Vậy ta tìm đƣợc Spline nội suy bậc hàm f ( x) [2,3] nhƣ sau: P1 ( x ) =1 + 0,25( x − 0) − 0,25x +1 [ 0, 2] P2 ( x ) =1,5 + 0,9 ( x − ) − 0,9x + 0,3 b) P1 ( x ) =1,5 + 0,4 ( x − ) [ 0, 2] P2 ( x ) = 2,3 + 0,55 ( x − ) [ 2,3] đoạn [0, 2]và [2,3] KẾT LUẬN Ngày nay, toán học ứng dụng dần sâu vào lĩnh vực đời sống xã hội Ngƣời học tốn, nghiên cứu tốn học khơng học lý thuyết mà phải có vốn hiểu biết nhiều tốn ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp trình bày sai số, loại sai số, phƣơng pháp nội suy Ngồi ra, khóa luận đƣa ví dụ minh họa tập vận dụng Đặc biệt, khóa luận ứng dụng đƣợc tin học vào việc giải tốn tính gần nhƣ sử dụng lập trình Pascal Vấn đề nghiên cứu nhiều điểm hay bổ ích Nhƣng lần đầu tiến hành nghiên cứu khoa học thời gian, nhƣ kiến thức hạn chế nên khóa luận em nhiều thiếu sót cần bổ sung góp ý Em mong nhận đƣợc bảo góp ý thầy cô bạn Một lần nữa, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Ts Nguyễn Văn Hùng, thầy tổ giải tích, thầy khoa tốn trƣờng ĐHSP Hà Nội bạn sinh viên giúp em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Tơn Tích Ái, Phương pháp số, Nxb ĐHQG Hà Nội Phạm Kì Anh (1996), Giải tích số, Nxb ĐHQG Hà Nội Nguyễn Minh Chƣơng - Nguyễn Văn Khải - Khuất Văn Ninh - Nguyễn Văn Tuấn - Nguyễn Tƣờng (2000), Giải tích số, Nxb Giáo dục Phạm Huy Điển (2002), Tính tốn lập trình giảng dạy tốn học Maple, Nxb Khoa học kĩ thuật Gs Tạ Văn Đĩnh (1991), Phương pháp tính, Nxb Giáo dục Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh, Phương pháp tính thuật toán giải, Nxb Giáo dục ... = 0,005 Do lấy sai số tuyệt đối a 2.1.3 Sai số tƣơng đối Cho số gần a có số a* với sai số tuyệt đối ∆ giả a sử * a ≠ Ta gọi sai số tƣơng đối số gần a số, kí hiệu δa tỉ số sai số tuyệt đối a*... 2: SAI SỐ .6 2.1 Số gần Sai số tuyệt đối .Sai số tƣơng đối .6 2.2 Sai số thu gọn 2.3 Chữ số 12 2.4 Sai số 17 2.5 Bài toán ngƣợc sai số. .. gần 0,29 có sai số tuyệt 0,005 số gần 0,290 có sai số tuyệt đối 0,0005 Độ xác số gần phụ thuộc vào chữ số số gần khơng phụ thuộc vào việc số gần có nhiều chữ hay không Nếu ta viết số gần với q