Về phạm vi áp dụng của công thức nội suy newton mốc cách đều

Newton tien đe n®i suy ó đau báng, công thúc lùi đe n®i suy ó cuoi báng".Giái tích so, Tran Anh Báo Nguyen Văn Khái Pham Văn Kieu -Ngô Xuân Sơn, Nhà xuat bán Đai hoc Sư pham, 2003 tai t

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i

2 dưói sn hưóng dan cna thay giáo TS Nguyen Văn Khái Sn giúp đõ

và hưóng dan t¾n tình song rat nghiêm túc cna thay trong suot quátrình thnc hi¾n lu¾n văn này đã giúp tác giá trưóng thành hơn ratnhieu trong cách tiep c¾n m®t van đe mói Tác giá xin bày tó lòng biet

ơn, lòng kính trong sâu sac nhat đoi vói thay

Tác giá xin trân trong cám ơn Ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sưpham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, các thay cô giáo trong nhà trưòng

và các thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán giái tích đã giúp

đõ, tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá trong suot quá trình hoc t¾p

Tác giá xin chân thành cám ơn ngưòi thân, gia đình, ban bè đãgiúp đõ, đ®ng viên và tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá hoàn thànhkhóa hoc Thac sĩ và hoàn thành lu¾n văn này

Hà N®i, ngày 05 tháng 11 năm 2013

Tác giá

Đ¾ng Th% Hương

LèI CAM ĐOAN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i

2 dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Khái

Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêngtôi Trong quá trình nghiên cúu và hoàn thành lu¾n văn tôi đã ke thùanhung thành quá khoa hoc cna các nhà khoa hoc và đong nghi¾p vói

sn trân trong và biet ơn Tôi xin cam đoan rang các thông tin trích

dantrong lu¾n văn đã đưoc chí rõ nguon goc

Hà N®i, ngày 05 tháng 11 năm 2013

Tác giá

Đ¾ng Th% Hương

Mnc lnc

1.1 Bài toán n®i suy co đien 5

1.2 M®t so công thúc bieu dien 7

1.2.1 Công thúc n®i suy Lagrange 7

1.2.2 Công thúc n®i suy Newton 8

2 Phân tích công thNc n®i suy Newton moc cách đeu 14 2.1 Phân tích đ%nh tính 14

2.2 Phân tích qua các bài toán cu the 15

2.2.1 Các bài toán lưong giác, lưong giác ngưoc 15

2.2.2 Các bài toán mũ, logarit 38

2.2.3 Các bài toán căn thúc, phân thúc huu tí 63

2.2.4 Các bài toán dang chuoi hàm 75

2.2.5 Các bài toán siêu b®i 127

iii

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Trong cuon sách "Các cơ só toán hoc tính toán" (tieng Nga) cnaB.P Demidovich và I.A Maron, Matxcova 1963 tai trang 510 có viet:

"Neu can tính gan đúng f (x) tai x gan x0 ta dùng công thúc n®i

suy Newton tien, neu can tính gan đúng f (x) tai x gan x n ta dùngcông thúc n®i suy Newton lùi se có loi" Tù ánh hưóng cna cuon sáchnày mà rat nhieu giáo trình ve Giái tích so ó Vi¾t Nam cũng có nh¾n

xét tương tn: Phương pháp tính, Lê Đình Th%nh, Nhà xuat bán khoa

hoc và ky thu¾t, 1995 tai trang 103 "Các công thúc n®i suy Newtontien dùng đe tính các giá tr% ó đau báng, các công thúc n®i suy

Newton lùi dùng đetính các giá tr% ó cuoi báng"

Giái tích so, Pham Kỳ Anh, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc gia Hà N®i, 2005 tai trang 49 "Neu can tính f (x) tai x c x0(x c x n) tanên dùng công thúc n®i suy Newton tien (lùi) thì đ® chính xác caohơn."

Giái tích so, Nguyen Minh Chương - Nguyen Văn Khái - Khuat

Văn Ninh - Nguyen Văn Tuan - Nguyen Tưòng, Nhà xuat bán giáo duc,

2009 tai trang 54 "Neu can tính f (x) tai x gan x0 thì nên dùng đathúc n®i suy Newton ó đau báng, ý nghĩa tương tn cho đa thúc n®isuy Newton ó cuoi báng và giua báng."

Phương pháp so, Tôn Tích Ái, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc gia Hà

N®i, 2001 tai trang 104 "Công thúc n®i suy Newton tien đưoc sú dung

đe n®i suy và ngoai suy các điem x nam gan điem x0 đau tiên cnabáng.", tai trang 105 "Công thúc n®i suy Newton lùi đưoc sú dung đe

n®i suy và ngoai suy các điem gan vói điem cuoi cna báng x n."

Toán hoc tính toán, Doãn Tam Hòe, Nhà xuat bán giáo duc, 2005

tai trang 79 "Vói các báng so li¾u quá dài, ngưòi ta dùng công thúc

Newton tien đe n®i suy ó đau báng, công thúc lùi đe n®i suy ó cuoi báng".

Giái tích so, Tran Anh Báo Nguyen Văn Khái Pham Văn Kieu

-Ngô Xuân Sơn, Nhà xuat bán Đai hoc Sư pham, 2003 tai trang 33

"Neu can tính f (x) tai x gan x0 thì nên dùng công thúc n®i suy

Newton tien; ngưoc lai, neu can tính f (x) tai x gan x n thì nên dùngcông thúc n®i suy Newton lùi."

Giái tích so, Pham Phú Triêm - Nguyen Bưòng, Nhà xuat bán Đai

hoc Quoc gia Hà N®i, 2000 tai trang 110 "Công thúc n®i suy Gregory

-Newton tien thưòng hay đưoc dùng đe tìm giá tr% cna hàm f (x) tai

vùng đau cna báng Tuy nhiên, nó cũng có the dùng đưoc đe n®i suy

ó cuoi báng, nhưng rat bat ti¾n", tai trang 114 "Công thúc n®i suy

Gregory - Newton lùi thưòng hay đưoc dùng đe tìm giá tr% cna hàm f (x) tai vùng cuoi cna báng."

đe tài cho lu¾n văn thac sĩ cna mình:

“Ve pham vi áp dnng cúa công thNc n®i suy Newton moc cách đeu”

2 Mnc đích nghiên cNu

Lu¾n văn làm sáng tó van đe tai sao khi x gan x0 thì tính gan

đúng f (x) sú dung công thúc n®i suy Newton tien lai tot hơn so vói

sú dung công thúc n®i suy Newton lùi; tương tn khi x gan x n thì tính

gan đúng f (x) sú dung công thúc n®i suy Newton lùi lai tot hơn so

vói sú dung công thúc n®i suy Newton tien

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Nghiên cúu phương pháp n®i suy Newton m®t cách chi tiet ve lýthuyet và phân tích công thúc n®i suy Newton tien, công thúc n®i suyNewton lùi trên nhung bài toán cu the nham làm sáng tó van đe trên

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Đoi tưong: Nghiên cúu ve đa thúc n®i suy Newton moc cách đeu

và úng dung

Pham vi nghiên cúu: Các tài li¾u, giáo trình liên quan đen côngthúc n®i suy Newton Trình bày cu the các bài toán nham làm sáng tómuc đích nghiên cúu

5 Phương pháp nghiên cNu

Nghiên cúu lý thuyet: Thu th¾p tài li¾u, đoc và phân tích, tonghop đe đưoc m®t nghiên cúu tong quan ve công thúc n®i suy Newtonmoc cách đeu

Nghiên cúu úng dung: V¾n dung công thúc n®i suy Newton moccách đeu vào giái bài toán

6 DN kien đóng góp mái

Đe tài nghiên cúu làm sáng tó van đe nêu trên và làm rõ tai saodan đen ket quá đó Lu¾n văn là tài li¾u phuc vu cho các ban sinhviên hoc t¾p và nghiên cúu

Chương 1

M®t so van đe ve đa thNc n®i suy

1.1 Bài toán n®i suy co đien

Trong thnc te, thưòng g¾p nhung hàm so y = f (x) không biet

bieu thúc giái tích cu the cna chúng; chang han bang đo đac, thnc

nghi¾m ta chí thu đưoc ó dang m®t báng so, nghĩa là biet giá tr% y i

tai điem x i tương úng (i = 0, 1, , n) Cũng có trưòng hop biet quy lu¾t bien đoi y = f (x) nhưng f (x) có dang quá phúc tap thì giá tr% y = f (x) cũng khó tính toán đưoc Trong các trưòng hop như v¾y ngưòi ta tìm cách thay hàm f (x) bói hàm P (x) đơn gián, thưòng P (x) đưoc chon là đa thúc.

Đ%nh nghĩa 1.1.1 H¾ n + 1 điem phân bi¾t {x i } vói x i ∈ [a, b] , i

= 0, , n đưoc goi là n + 1 moc n®i suy.

Sau đây ta kí hi¾u P n = (1, x, , x n ) là không gian vecto trên

R

sinh bói h¾ các đơn thúc 1, x, , x n

Đ%nh lý 1.1.1 Cho n + 1 moc n®i suy x i và n + 1 giá tr% ω0, ω1, , ω n Khi đó, ton tai duy nhat P n (x) ∈ P n sao cho

P n (x i ) = ω i , i = 0, , n (1.1)

Chúng minh Đa thúc P n (x) ∈ P n có dang a0 + a1x + + a n x n vói n

+ 1

h¾ so a i

Đieu ki¾n (1.1) tương đương vói n + 1 phương trình tuyen tính và

ó đó A là đai lưong chí phu thu®c vào x0, x1, , x n−1

Đe tính A ta khai trien (1.3) theo dòng cuoi và ta có h¾ so cna x n

là V (x0, x1, , x n−1 ), vì v¾y A = V (x0, x1, ,

x n−1) Tù đó ta có

V (x0, x1, , x n−1 , x) = V (x0, x1, , x n−1 )(x − x0) (x − x n−1 ).

(1.4)Đ¾c bi¾t

V (x0, x1, , x n−1 , x n ) = V (x0, x1, , x n−1 )(x n −x0)(x n −x1) (x n −x n−1)

(1.5)

Tù V (x0, x1) = x1 − x0 và (1.5) ta có

V (x0, x1, x2) = (x1 − x0)(x2 − x0)(x2 − x1)V

1.1.1 đưoc goi là đa thúc n®i suy.

Bài toán nêu trong đ%nh lí 1.1.1 đưoc goi là bài toán n®i suy co đien.

1.2 M®t so công thNc bieu dien

Đ%nh lí 1.1.1 muc 1.1 đã chúng minh đa thúc n®i suy ton tai vàduy nhat Tuy nhiên, đe tìm đa thúc n®i suy tù h¾ phương trình (1.2)theo phương pháp Cramer nêu trong đ%nh lí là khá cong kenh, phúctap Trong muc này, ta tìm cách tính nhanh đa thúc n®i suy màkhông can giái h¾ (1.2)

1.2.1 Công thNc n®i suy Lagrange

Φj (x i) = 1 i = j

0 i ƒ= j

n n

Đa thúc L n (x) ó (1.7) thóa mãn bài toán nêu trong đ%nh lí 1.1.1,

nó đưoc goi là đa thúc n®i suy Lagrange Đa thúc n®i suy Lagrange đưoc

cho ó dang công thúc nên cũng goi là công thúc n®i suy Lagrange

Ta cũng nói đa thúc L n (x) cho bói (1.8) là đa thúc n®i suy

Lagrange Nh¾n xét 1.1 Đa thúc n®i suy Lagrange có ưu điem là

đơn gián, de tính nhưng nhưoc điem là neu thêm moc n®i suy thì lai phái tính lai tù

đau, không sú dnng đưoc ket quá tính toán cũ.

1.2.2 Công thNc n®i suy Newton

1.2.2.1 Khái ni¾m tý sai phân và m®t so tính chat

Đ%nh nghĩa 1.2.1 Cho hàm so y = f (x) xác đ%nh trên đoan [a; b]

đưoc goi là tý sai phân

cap k cúa hàm so y = f (x) tai x i và kí hi¾u là f (x i ; x i+1 ; ;

x i+k ).

f (x i)

ω r (x i)

Đieu phái chúng minh

Tính chat 2 Tý sai phân là hàm đoi xúng vói các x i,

Ta có P (x; x0)

=

P (x) − P (x0)

1.2.2.2 Công thNc n®i suy Newton vái moc bat kì

Goi L n (x) là đa thúc n®i suy Lagrange cna hàm so thnc y = f (x) xác đ%nh trên đoan [a; b] và kí hi¾u L n (x; x0), L n (x; x0; x1), là các tý sai phân cna L n (x) tai x.

L n (x; x x0) − L1) n (x0;

x − x1

Tù đó rút ra:

Nh¾n xét 1.2 Neu thêm m®t vài moc n®i suy thì đe tìm công thúc n®i

suy Newton ta chs phái tính thêm m®t vài so hang cuoi, không phái tính lai tù đau, đây là ưu điem cúa công thúc n®i suy Newton so vói công thúc n®i suy Lagrange.

1.2.2.3 Khái ni¾m ve sai phân và m®t so tính chat

Giá sú f : R → R là m®t hàm so cho trưóc, h là hang so khác 0.

Ta

goi

∆0f (x) = f (x) là sai phân cap 0 cna f (x) tai x.

∆f (x) = f (x + h) − f (x) là sai phân cap 1 cna f (x) tai x.

∆n f (x) = ∆ .∆n−1 f (x) , n ≥ 1 là sai phân cap n cna f (x)

tai x.

Tính chat 4 ∆ là toán tú tuyen tính, nghĩa là ∀α, β ∈, ∀f, g thì

∆(αf + βg) = α∆f + β∆g.

n n

−

n n

f (x + 2h) = f ((x + h) + h) = (1 + ∆)f (x + h).

Tù đó ta có f (x + 2h) = (1 + ∆)2f (x).

Theo quy nap toán hoc ta có f (x + nh) = (1 + ∆) n n f (x).

Khai trien Newton cna (1 + ∆)n có f (x + nh) = C i ∆i f (x).

i=0 n

Công thNc n®i suy Newton tien

Giá sú rang moc n®i suy x0 < x1 < < x n , x i+1 − x i =

h

∀i = 0, , n − 1 Ta tìm đa thúc n®i suy P n (x) ó dang

P n (x) = a0 +a1(x−x0)+a2(x−x0)(x−x1)+ .+a n (x−x0) (x−x n−1 ).

Ta có P n (x i ) = f (x i ) = y i vói i = 0, , n Thay x lan lưot

i!h i

P n (x) = y0

+

∆y0 (x − x )

2!

∆n y0

t(t 1) (t n +

1) n!

(1.11)Công thúc (1.11) là công thúc n®i suy Newton tien ho¾c đa thúc n®i suy Newton ó đau báng

Công thNc n®i suy Newton lùi

Giá sú rang moc n®i suy x n > x n−1 > > x0, x i+1 − x i = h

∀i = 0, , n − 1 Ta tìm đa thúc n®i suy P˜ n (x) ó dang

P˜ n (x) = a0 +a1(x−x n )+a2(x−x n )(x−x n−1 )+ .+a n (x−x n ) (x−x1).

y n + 1!h (x x ) +

∆n y0 2!h2 (x − x n )(x − x n−1 ) + + n!

h n

(x − x n ) (x − x1)

x − x n Dùng phép bien đoi x = x n + th, t

∆y n−1 ∆

Nh¾n xét 1.3 Công thúc n®i suy Newton tien, công thúc n®i suy New-

ton lùi cũng chs là cách viet khác cúa công thúc n®i suy Lagrange.

− −

−

2

Chương 2

Phân tích công thNc n®i suy

Newton moc cách đeu

Trong chương này, tác giá tien hành phân tích đ%nh tính và phântích đ%nh lưong công thúc n®i suy Newton tien, công thúc n®i suyNewton lùi trên các bài toán cu the thông qua đánh giá so phép toáncan thnc hi¾n và sai so mac phái nham làm sáng tó van đe lu¾n văn

đưa ra, đó là: "Neu can tính gan đúng f (x) tai x gan x0 ta nên dùng

công thúc n®i suy Newton tien, neu can tính gan đúng f (x) tai x gan

x n ta nên dùng công thúc n®i suy Newton lùi thì đ® chính xác caohơn."

2!

∆n y0t(t 1) (t n + 1),

2!

t(t+1) (t+n

1) n!

Công thúc n®i suy Newton tien và công thúc n®i suy Newton lùi

14

Khi tính gan đúng giá tr% f (x) sú dung công thúc n®i suy

Newton tien và công thúc n®i suy Newton lùi ta thay hai công thúctrên có so phép toán thnc hi¾n vói hang so là bang nhau và so phéptoán nhân chia

n ( n − 1) can thnc hi¾n vói bien t đeu là

2

Ket lu¾n Ve m¾t đ%nh tính so phép toán can thnc hi¾n khi sú dung

công thúc n®i suy Newton tien và công thúc n®i suy Newton lùi đe tính

gan đúng giá tr% f (x) khi x gan x0 ho¾c x gan x n là bang nhau

Như v¾y, nh¾n xét "Neu can tính gan đúng f (x) tai x gan x0

ta

nên dùng công thúc n®i suy Newton tien, neu can tính gan đúng f (x) tai x gan x n ta nên dùng công thúc n®i suy Newton lùi thì đ® chínhxác cao hơn." ve lý thuyet là chưa thuyet phuc

2.2 Phân tích qua các bài toán cn the

Trong muc này, tác giá sú dung phan mem Maple 16 đe tính gan

đúng giá tr% cna f (x) bang công thúc n®i suy Newton tien và công

thúc n®i suy Newton lùi Tù đó đánh giá sai so cna công thúc trongtùng trưòng hop cu the Trong các bài toán sau, các ket quá đưoclàm tròn đen 15 chu so sau dau cham th¾p phân

2.2.1 Các bài toán lưang giác, lưang giác ngưac

Bài toán 2.1 Cho f (x) = sin(πx) trên [0; 1] vói 15 moc n®i suy

cách

1

đeu x i = 0 + ih, h

= 15, i = 0, , 15.

1) Tính gan đúng f

sin(πx).

1

, f

100

99.100

a) Công thúc n®i suy Newton tien P (x) và chí ra sai so ∆P

b) Công thúc n®i suy Newton lùi P˜(x) và chí ra sai so ∆P˜.

99 .5) Tính gan đúng

0

bang cách áp dung:

a) Công thúc n®i suy Newton tien P (x) và chí ra sai so ∆P

b) Công thúc n®i suy Newton lùi P˜(x) và chí ra sai so ∆P˜.

= −3.474640026 ×

−3.648372028 × 10 −19 t13 − 2.921120118 × 10 −18 t12+8.042480076 × 10 −16 t11 − 5.72660699 × 10 −16 t10

f

99 .

100

Sai so mac phái ∆P˜ = 10 −12 × 5.927.

Nh¾n xét 2.1 Sú dung công thúc n®i suy Newton tien, công thúc

n®i suy Newton lùi đe tính gan đúng f (x) = sin(πx) vói 15 moc

n®i suy cách đeu trên [0; 1] ta thay:

1

- Vói x

0

gan x0 thì công thúc n®i suy Newton tien cho ta ket

quá có đ® chính xác cao hơn công thúc n®i suy Newton lùi

99

- Vói x

0

gan x15 thì công thúc n®i suy Newton lùi cho ta ket

quá có đ® chính xác cao hơn công thúc n®i suy Newton tien

Như v¾y, trong bài toán này đe tính gan đúng f (x) khi x gan x0

sú dung công thúc n®i suy Newton tien tot hơn công thúc n®i suy Newton

, f

100

99.100

a) Công thúc n®i suy Newton tien P (x) và chí ra sai so ∆P

b) Công thúc n®i suy Newton lùi P˜(x) và chí ra sai so ∆P˜.

99 .5) Tính gan đúng

0

bang cách áp dung:

a) Công thúc n®i suy Newton tien P (x) và chí ra sai so ∆P

b) Công thúc n®i suy Newton lùi P˜(x) và chí ra sai so ∆P˜.

P (x) = P

t

.15

= 4.869354448 × 10 −23 t15

−5.478024786 × 10 −21 t14 + 4.80880813 ×

10−20 t13+1.400517347 × 10 −17 t12 + 1.15564540 ×

10−17 t11

−4.486962438 × 10 −14 t10 + 8.97847882 × 10 −16 t9+9.181704978 × 10 −11 t8 + 2.37842 × 10 −14 t7

−1.172247952 × 10 −7 t6 + 1.983241 × 10 −13 t5+0.00008017209102t4 + 5.5547 × 10 −13 t3

−0.02193245425t2 + 3.621704000 × 10 −12 t + 1 3) L¾p đa thúc n®i suy Newton lùi P˜(x) cna hàm so f (x) =

cos(πx) vói 15 moc n®i suy cách đeu trên [0; 1]:

−9.181704978 × 10 −11 t8 + 2.37842 × 10 −14 t7+1.172247952 × 10 −7 t6 + 1.983238 × 10 −13 t5

−0.00008017209102t4 + 5.5547 × 10 −13 t3+0.02193245425t2 + 9.376685 × 10 −12 t − 1.

4) Tính gan đúng

f

1.100

bang cách áp dung:

a) P

1

99 .

100

Sai so mac phái ∆P = 10 −9 × 6.477092.

Sai so mac phái ∆P˜ = 10 −13 × 8.37.

Nh¾n xét 2.2 Sú dung công thúc n®i suy Newton tien, công thúc

n®i suy Newton lùi đe tính gan đúng f (x) = cos(πx) vói 15 moc

n®i suy cách đeu trên [0; 1] ta thay:

1

- Vói x

0

gan x0 thì công thúc n®i suy Newton tien cho ta ket

quá có đ® chính xác cao hơn công thúc n®i suy Newton lùi

99

- Vói x

0

gan x15 thì công thúc n®i suy Newton lùi cho ta ket

quá có đ® chính xác cao hơn công thúc n®i suy Newton tien

Như v¾y, trong bài toán này đe tính gan đúng f (x) khi x gan x0

sú dung công thúc n®i suy Newton tien tot hơn công thúc n®i suy

Newton lùi, tương tn đe tính gan đúng f (x) khi x gan x15 sú dungcông thúc n®i suy Newton lùi tot hơn công thúc n®i suy Newton tien

Bài toán 2.3 Cho f (x) = tan(x) trên [0; 1] vói 15 moc n®i suy

999 .1000

2bang cách áp dung:

a) Công thúc n®i suy Newton tien P (x) và chí ra sai so ∆P b) Công thúc n®i suy Newton lùi P˜(x) và chí ra sai so ∆P˜.

999 .5) Tính gan đúng

b) Công thúc n®i suy Newton lùi P˜(x) và chí ra sai so ∆P˜.

3) L¾p đa thúc n®i suy Newton lùi P˜(x) cna hàm so f (x) = tan(x) vói 15 moc n®i suy cách đeu trên [0; 1]: