ề phạm vi áp dụng của công thức nội suy newton mốc cách đều

LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Văn Khải Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình song nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn, lịng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phịng Sau đại học, thầy giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chun ngành Tốn giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn người thân, gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học Thạc sĩ hồn thành luận văn Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm 2013 Tác giả Đặng Thị Hương LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Văn Khải Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng tơi Trong q trình nghiên cứu hồn thành luận văn tơi kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tơi xin cam đoan thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm 2013 Tác giả Đặng Thị Hương Mục lục Mở đầu 1 Một số vấn đề đa thức nội suy 1.1 Bài toán nội suy cổ điển 1.2 Một số công thức biểu diễn 1.2.1 Công thức nội suy Lagrange 1.2.2 Công thức nội suy Newton Phân tích công thức nội suy Newton mốc cách 14 2.1 Phân tích định tính 14 2.2 Phân tích qua toán cụ thể 15 2.2.1 Các toán lượng giác, lượng giác ngược 15 2.2.2 Các toán mũ, logarit 38 2.2.3 Các toán thức, phân thức hữu tỉ 63 2.2.4 Các toán dạng chuỗi hàm 75 2.2.5 Các toán siêu bội 127 Kết luận 153 Tài liệu tham khảo 156 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong sách "Các sở tốn học tính tốn" (tiếng Nga) B.P Demidovich I.A Maron, Matxcova 1963 trang 510 có viết: "Nếu cần tính gần f (x) x gần x0 ta dùng công thức nội suy Newton tiến, cần tính gần f (x) x gần xn ta dùng công thức nội suy Newton lùi có lợi" Từ ảnh hưởng sách mà nhiều giáo trình Giải tích số Việt Nam có nhận xét tương tự: Phương pháp tính, Lê Đình Thịnh, Nhà xuất khoa học kỹ thuật, 1995 trang 103 "Các công thức nội suy Newton tiến dùng để tính giá trị đầu bảng, công thức nội suy Newton lùi dùng để tính giá trị cuối bảng" Giải tích số, Phạm Kỳ Anh, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 trang 49 "Nếu cần tính f (x) x x0 (x xn ) ta nên dùng công thức nội suy Newton tiến (lùi) độ xác cao hơn." Giải tích số, Nguyễn Minh Chương - Nguyễn Văn Khải - Khuất Văn Ninh - Nguyễn Văn Tuấn - Nguyễn Tường, Nhà xuất giáo dục, 2009 trang 54 "Nếu cần tính f (x) x gần x0 nên dùng đa thức nội suy Newton đầu bảng, ý nghĩa tương tự cho đa thức nội suy Newton cuối bảng bảng." Phương pháp số, Tơn Tích Ái, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 trang 104 "Công thức nội suy Newton tiến sử dụng để nội suy ngoại suy điểm x nằm gần điểm x0 bảng.", trang 105 "Công thức nội suy Newton lùi sử dụng để nội suy ngoại suy điểm gần với điểm cuối bảng xn " Tốn học tính tốn, Dỗn Tam Hòe, Nhà xuất giáo dục, 2005 trang 79 "Với bảng số liệu dài, người ta dùng công thức Newton tiến để nội suy đầu bảng, công thức lùi để nội suy cuối bảng" Giải tích số, Trần Anh Bảo - Nguyễn Văn Khải - Phạm Văn Kiều Ngô Xuân Sơn, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2003 trang 33 "Nếu cần tính f (x) x gần x0 nên dùng công thức nội suy Newton tiến; ngược lại, cần tính f (x) x gần xn nên dùng cơng thức nội suy Newton lùi." Giải tích số, Phạm Phú Triêm - Nguyễn Bường, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2000 trang 110 "Công thức nội suy Gregory Newton tiến thường hay dùng để tìm giá trị hàm f (x) vùng đầu bảng Tuy nhiên, dùng để nội suy cuối bảng, bất tiện", trang 114 "Công thức nội suy Gregory Newton lùi thường hay dùng để tìm giá trị hàm f (x) vùng cuối bảng." Tuy nhiên, có số giáo trình khác Giải tích số khơng đưa nhận xét trên: Phương pháp tính, Tạ Văn Đĩnh, Nhà xuất Giáo dục, 2007 Phương pháp tính, Dương Thủy Vỹ, Nhà xuất khoa học kỹ thuật, 1999 Nhằm làm sáng tỏ vấn đề phân tích định tính phân tích định lượng qua tốn cụ thể tơi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ mình: “Về phạm vi áp dụng công thức nội suy Newton mốc cách đều” Mục đích nghiên cứu Luận văn làm sáng tỏ vấn đề x gần x0 tính gần f (x) sử dụng công thức nội suy Newton tiến lại tốt so với sử dụng công thức nội suy Newton lùi; tương tự x gần xn tính gần f (x) sử dụng công thức nội suy Newton lùi lại tốt so với sử dụng công thức nội suy Newton tiến Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp nội suy Newton cách chi tiết lý thuyết phân tích cơng thức nội suy Newton tiến, công thức nội suy Newton lùi toán cụ thể nhằm làm sáng tỏ vấn đề Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Nghiên cứu đa thức nội suy Newton mốc cách ứng dụng Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, giáo trình liên quan đến cơng thức nội suy Newton Trình bày cụ thể tốn nhằm làm sáng tỏ mục đích nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc phân tích, tổng hợp để nghiên cứu tổng quan công thức nội suy Newton mốc cách Nghiên cứu ứng dụng: Vận dụng công thức nội suy Newton mốc cách vào giải toán Dự kiến đóng góp Đề tài nghiên cứu làm sáng tỏ vấn đề nêu làm rõ dẫn đến kết Luận văn tài liệu phục vụ cho bạn sinh viên học tập nghiên cứu Chương Một số vấn đề đa thức nội suy 1.1 Bài toán nội suy cổ điển Trong thực tế, thường gặp hàm số y = f (x) biểu thức giải tích cụ thể chúng; chẳng hạn đo đạc, thực nghiệm ta thu dạng bảng số, nghĩa biết giá trị yi điểm xi tương ứng (i = 0, 1, , n) Cũng có trường hợp biết quy luật biến đổi y = f (x) f (x) có dạng phức tạp giá trị y = f (x) khó tính tốn Trong trường hợp người ta tìm cách thay hàm f (x) hàm P (x) đơn giản, thường P (x) chọn đa thức Định nghĩa 1.1.1 Hệ n + điểm phân biệt {xi } với xi ∈ [a, b] , i = 0, , n gọi n + mốc nội suy Sau ta kí hiệu Pn = (1, x, , xn ) không gian vecto R sinh hệ đơn thức 1, x, , xn Định lý 1.1.1 Cho n + mốc nội suy xi n + giá trị ω0 , ω1 , , ωn Khi đó, tồn Pn (x) ∈ Pn cho Pn (xi ) = ωi , i = 0, , n (1.1) Chứng minh Đa thức Pn (x) ∈ Pn có dạng a0 + a1 x + + an xn với n + hệ số Điều kiện (1.1) tương đương với n + phương trình tuyến tính n + ẩn : a0 + a1 xi + + an xi n = ωi (i = 0, , n) (1.2) Định thức hệ định thức Vandermonde x0 , x1 , , xn : x0 x2 · · · xn 0 x1 x2 · · · xn V (x0 , x1 , , xn , ) = xn x2 · · · xn n n Để tính V , ta xét hàm dạng định thức V (x) = V (x0 , x1 , , xn−1 , x) = x0 x2 ··· xn n xn−1 x2 n−1 · · · xn−1 x x2 ··· (1.3) xn rõ ràng V (x) ∈ Pn , đồng thời V (x) triệt tiêu x0 , x1 , , xn−1 hay nói cách khác V (x) có n nghiệm x0 , x1 , , xn−1 Do V (x0 , x1 , , xn−1 , x) = A(x − x0 )(x − x1 ) (x − xn−1 ) A đại lượng phụ thuộc vào x0 , x1 , , xn−1 Để tính A ta khai triển (1.3) theo dịng cuối ta có hệ số xn V (x0 , x1 , , xn−1 ), A = V (x0 , x1 , , xn−1 ) Từ ta có V (x0 , x1 , , xn−1 , x) = V (x0 , x1 , , xn−1 )(x − x0 ) (x − xn−1 ) (1.4) Đặc biệt V (x0 , x1 , , xn−1 , xn ) = V (x0 , x1 , , xn−1 )(xn −x0 )(xn −x1 ) (xn −xn−1 ) (1.5) Từ V (x0 , x1 ) = x1 − x0 (1.5) ta có V (x0 , x1 , x2 ) = (x1 − x0 )(x2 − x0 )(x2 − x1 ) Vậy n (xi − xj ) V (x0 , x1 , , xn ) = (1.6) i>j Vì điểm x0 , x1 , , xn phân biệt nên V = 0, định lí chứng minh Định nghĩa 1.1.2 Đa thức nội suy Pn (x) tồn theo định lí 1.1.1 gọi đa thức nội suy Bài toán nêu định lí 1.1.1 gọi tốn nội suy cổ điển 1.2 Một số cơng thức biểu diễn Định lí 1.1.1 mục 1.1 chứng minh đa thức nội suy tồn Tuy nhiên, để tìm đa thức nội suy từ hệ phương trình (1.2) theo phương pháp Cramer nêu định lí cồng kềnh, phức tạp Trong mục này, ta tìm cách tính nhanh đa thức nội suy mà không cần giải hệ (1.2) 1.2.1 Công thức nội suy Lagrange n (x − xi ) Đặt Φj (x) = i=j n j = 0, , n (xj − xi ) i=j Khi Φj (x) đa thức ẩn x deg Φj (x) = n với j = 0, , n, nữa, Φj (xi ) = i=j i=j 143 1) Tính gần f ,f 1000 9999 1000 trực tiếp từ biểu thức f (x) = dawson(x) 2) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến P (x) với 15 mốc nội suy cách 3) Xây dựng đa thức nội suy Newton lùi P (x) với 15 mốc nội suy cách cách áp dụng: 1000 a) Công thức nội suy Newton tiến P (x) sai số ∆P 4) Tính gần f b) Cơng thức nội suy Newton lùi P (x) sai số ∆P 9999 5) Tính gần f cách áp dụng: 1000 a) Công thức nội suy Newton tiến P (x) sai số ∆P b) Công thức nội suy Newton lùi P (x) sai số ∆P Lời giải ≈ 0.000999999333334 1000 9999 f ≈ 0.050258924646993 1000 2) Lập đa thức nội suy Newton tiến P (x) hàm số f (x) = dawson(x) 1) Ta có f với 15 mốc nội suy cách [0; 10]: 10t = −5.7601999208881 × 10−13 t15 15 +7.1155096178232 × 10−11 t14 − 4.022833782098 × 10−9 t13 P (x) = P +1.3784992423172 × 10−7 t12 − 0.00000319520717678547t11 +0.000052923910836772t10 − 0.0006448451432304t9 +0.00585693378115t8 − 0.03970272915866t7 + 0.1987335637720t6 −0.715844235133t5 + 1.764071001089t4 − 2.681621347937t3 +1.908265598608t2 + 0.06103647431198t 3) Lập đa thức nội suy Newton lùi P (x) hàm số f (x) = dawson(x) với 15 mốc nội suy cách [0; 10]: 144 10t = −5.7601999208881 × 10−13 t15 15 −5.844940204188 × 10−11 t14 − 2.68873589777456 × 10−9 t13 P (x) = P 10 + −7.425276937792 × 10−8 t12 − 0.00000137369955149t11 −0.000017983025900213t10 − 0.0001714657715840t9 −0.00120687749662t8 − 0.00628311527771t7 − 0.0239893169157t6 −0.0658187899957t5 − 0.125087033056t4 − 0.1544533284933t3 −0.109440187267t2 − 0.03664391976496t + 0.0502538471875985 4) Tính gần f 1000 cách áp dụng: = 0.000095839262182 1000 Sai số mắc phải ∆P = 10−4 × 9.04160071152 b) P = 0.000095839252459 1000 Sai số mắc phải ∆P = 10−4 × 9.04160080875 9999 5) Tính gần f cách áp dụng: 1000 9999 a) P = 0.050308565587881 1000 Sai số mắc phải ∆P = 10−5 × 4.9640940888 9999 b) P = 0.050308567347469 1000 Sai số mắc phải ∆P = 10−5 × 4.9642700476 a) P Nhận xét 2.57 Sử dụng công thức nội suy Newton tiến, công thức nội suy Newton lùi để tính gần f (x) = dawson(x) với 15 mốc nội suy cách [0; 10] ta thấy: - Với x = gần x0 cơng thức nội suy Newton tiến công 1000 thức nội suy Newton lùi cho ta kết có độ xác tương đương 9999 gần x15 cơng thức nội suy Newton lùi công - Với x = 1000 thức nội suy Newton tiến cho ta kết có độ xác tương đương Như vậy, tốn để tính gần f (x) x gần x0 sử dụng công thức nội suy Newton tiến công thức nội suy Newton 145 lùi độ xác tương đương, tương tự để tính gần f (x) x gần x15 sử dụng công thức nội suy Newton lùi công thức nội suy Newton tiến độ xác tương đương Bài tốn 2.58 Cho f (x) = dilog(x3 + 1) [2; 10] với 15 mốc nội suy cách xi = + ih, h = , i = 0, , 15 15 2001 9999 1) Tính gần f ,f trực tiếp từ biểu thức f (x) = 1000 1000 dilog(x3 + 1) 2) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến P (x) với 15 mốc nội suy cách 3) Xây dựng đa thức nội suy Newton lùi P (x) với 15 mốc nội suy cách 2001 cách áp dụng: 1000 a) Công thức nội suy Newton tiến P (x) sai số ∆P 4) Tính gần f b) Công thức nội suy Newton lùi P (x) sai số ∆P 9999 5) Tính gần f cách áp dụng: 1000 a) Công thức nội suy Newton tiến P (x) sai số ∆P b) Công thức nội suy Newton lùi P (x) sai số ∆P Lời giải 2001 ≈ −3.688972013494471 1000 9999 ≈ −25.500403128777480 f 1000 2) Lập đa thức nội suy Newton tiến P (x) hàm số f (x) = dilog(x3 +1) 1) Ta có f với 15 mốc nội suy cách [2; 10]: 146 10t = 5.586503908 × 10−17 t15 − 7.53298 × 10−15 t14 15 +4.727118 × 10−13 t13 − 1.8361388 × 10−11 t12 + 4.95541 × 10−10 t11 P (x) = P −9.893642 × 10−9 t10 + 1.5205078 × 10−7 t9 − 0.0000018501481t8 +0.000018220775t7 − 0.0001479379894t6 + 0.0010047378821t5 −0.005723405321t4 + 0.02594330173t3 − 0.05017978010t2 −1.757752436413t − 3.68567600075741 3) Lập đa thức nội suy Newton lùi P (x) hàm số f (x) = dilog(x3 + 1) với 15 mốc nội suy cách [2; 10]: 10t = 5.586503908 × 10−17 t15 + 5.03670 × 10−15 t14 15 +2.106074 × 10−13 t13 + 5.368267 × 10−12 t12 + 9.28022 × 10−11 t11 P (x) = P 10 + +1.146242 × 10−9 t10 + 1.040090 × 10−8 t9 + 7.01137 × 10−8 t8 +3.52117 × 10−7 t7 + 0.00000130332083t6 + 0.0000032984299t5 +0.00001512534t4 − 0.0003589511t3 + 0.01669561710t2 −1.10539912343t − 25.5024758138900 4) Tính gần f 2001 1000 cách áp dụng: 2001 = −3.688971962818104 1000 Sai số mắc phải ∆P = 10−8 × 5.0676367 2001 b) P = −3.688971968341225 1000 Sai số mắc phải ∆P = 10−8 × 4.5153246 9999 5) Tính gần f cách áp dụng: 1000 9999 a) P = −25.500403130963927 1000 Sai số mắc phải ∆P = 10−9 × 2.18645 9999 b) P = −25.500403131835848 1000 Sai số mắc phải ∆P = 10−9 × 3.05837 a) P Nhận xét 2.58 Sử dụng công thức nội suy Newton tiến, công thức nội 147 suy Newton lùi để tính gần f (x) = dilog(x3 + 1) với 15 mốc nội suy cách [2; 10] ta thấy: 2001 - Với x = gần x0 cơng thức nội suy Newton tiến cơng 1000 thức nội suy Newton lùi cho ta kết có độ xác tương đương 9999 - Với x = gần x15 cơng thức nội suy Newton lùi công 1000 thức nội suy Newton tiến cho ta kết có độ xác tương đương Như vậy, tốn để tính gần f (x) x gần x0 sử dụng công thức nội suy Newton tiến cơng thức nội suy Newton lùi độ xác tương đương, tương tự để tính gần f (x) x gần x15 sử dụng công thức nội suy Newton lùi công thức nội suy Newton tiến độ xác tương đương Bài tốn 2.59 Cho hàm điều hịa f (x) = harmonic(x) [0; 10] với 10 15 mốc nội suy cách xi = + ih, h = , i = 0, , 15 15 9999 1) Tính gần f ,f trực tiếp từ biểu thức f (x) = 1000 1000 harmonic(x) 2) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến P (x) với 15 mốc nội suy cách 3) Xây dựng đa thức nội suy Newton lùi P (x) với 15 mốc nội suy cách cách áp dụng: 1000 a) Công thức nội suy Newton tiến P (x) sai số ∆P 4) Tính gần f b) Cơng thức nội suy Newton lùi P (x) sai số ∆P 9999 5) Tính gần f cách áp dụng: 1000 a) Công thức nội suy Newton tiến P (x) sai số ∆P b) Công thức nội suy Newton lùi P (x) sai số ∆P Lời giải 1) Ta có f 1000 ≈ 0.001643733091232 148 9999 ≈ 2.928873083107368 1000 2) Lập đa thức nội suy Newton tiến P (x) hàm số f (x) = harmonic(x) f với 15 mốc nội suy cách [0; 10]: 10t = 1.602835776174 × 10−14 t15 15 −1.94826514332 × 10−12 t14 + 1.084900271 × 10−10 t13 P (x) = P −3.669051784 × 10−9 t12 + 8.423420779 × 10−8 t11 −0.00000139017885236t10 + 0.00001704083906t9 −0.0001581398009t8 + 0.001122981219337t7 − 0.00613572269t6 +0.02587761604295t5 − 0.08473796015t4 + 0.2196594395664t3 −0.47953792602t2 + 1.08287522958t 3) Lập đa thức nội suy Newton lùi P (x) hàm số f (x) = harmonic(x) với 15 mốc nội suy cách [0; 10]: 10t = 1.602835776174 × 10−14 t15 15 +1.658115334834 × 10−12 t14 + 7.802429568 × 10−11 t13 P (x) = P 10 + +2.209321286 × 10−9 t12 + 4.19707276 × 10−8 t11 +5.646077752 × 10−7 t10 + 0.00000553262649t9 +0.0000400018794t8 + 0.000213715247t7 + 0.00083618234t6 +0.00234705806454t5 + 0.00454865603t4 + 0.005808241222t3 +0.0021156594999t2 + 0.06471095675t + 2.92896825396825 4) Tính gần f 1000 cách áp dụng: = 0.001623234625318 1000 Sai số mắc phải ∆P = 10−5 × 2.0498465914 b) P = 0.001623375704145 1000 Sai số mắc phải ∆P = 10−5 × 2.0357387087 9999 5) Tính gần f cách áp dụng: 1000 a) P 149 9999 = 2.928871193161029 1000 Sai số mắc phải ∆P = 10−6 × 1.889946339 9999 b) P = 2.928871192273770 1000 Sai số mắc phải ∆P = 10−6 × 1.890833598 a) P Nhận xét 2.59 Sử dụng công thức nội suy Newton tiến, công thức nội suy Newton lùi để tính gần f (x) = harmonic(x) với 15 mốc nội suy cách [0; 10] ta thấy: gần x0 cơng thức nội suy Newton tiến công - Với x = 1000 thức nội suy Newton lùi cho ta kết có độ xác tương đương 9999 - Với x = gần x15 công thức nội suy Newton lùi công 1000 thức nội suy Newton tiến cho ta kết có độ xác tương đương Như vậy, tốn để tính gần f (x) x gần x0 sử dụng công thức nội suy Newton tiến công thức nội suy Newton lùi độ xác tương đương, tương tự để tính gần f (x) x gần x15 sử dụng công thức nội suy Newton lùi cơng thức nội suy Newton tiến độ xác tương đương Bài tốn 2.60 Cho f (x) = erf(x) [0; 10] với 15 mốc nội suy cách 10 xi = + ih, h = , i = 0, , 15 15 9999 ,f trực tiếp từ biểu thức f (x) = 1) Tính gần f 1000 1000 erf(x) 2) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến P (x) với 15 mốc nội suy cách 3) Xây dựng đa thức nội suy Newton lùi P (x) với 15 mốc nội suy cách cách áp dụng: 1000 a) Công thức nội suy Newton tiến P (x) sai số ∆P 4) Tính gần f b) Cơng thức nội suy Newton lùi P (x) sai số ∆P 150 9999 cách áp dụng: 1000 a) Công thức nội suy Newton tiến P (x) sai số ∆P 5) Tính gần f b) Công thức nội suy Newton lùi P (x) sai số ∆P Lời giải 1) Ta có ≈ 0.001128378790969 1000 9999 f ≈ 1000 2) Lập đa thức nội suy Newton tiến P (x) hàm số f (x) = erf(x) với f 15 mốc nội suy cách [0; 10]: 10t = 1.0005841826158 × 10−13 t15 15 −1.06749585353 × 10−11 t14 + 5.015600899 × 10−10 t13 P (x) = P −1.3450108323 × 10−8 t12 + 2.1914751589 × 10−7 t11 −0.000001989126367t10 + 0.0000028253143838t9 +0.0001831951592687t8 − 0.002769608004t7 +0.022173670891t6 − 0.11265409756403t5 + 0.365906488271t4 −0.69055361762t3 + 0.48016535136t2 + 0.591768988986t 3) Lập đa thức nội suy Newton lùi P (x) hàm số f (x) = erf(x) với 15 mốc nội suy cách [0; 10]: 10t = 1.0005841826158 × 10−13 t15 15 +1.18381855743 × 10−11 t14 + 6.236989290 × 10−10 t13 P (x) = P 10 + +1.9436541732 × 10−8 t12 + 4.0067041956 × 10−7 t11 +0.000005780316026t10 + 0.0000601416928447t9 +0.0004577910684720t8 + 0.002556023789t7 +0.010384449620t6 + 0.03009070345158t5 +0.059959807301t4 + 0.07706464780t3 +0.056562887305t2 + 0.017598817030t + 151 4) Tính gần f 1000 cách áp dụng: = 0.000888731528109 1000 Sai số mắc phải ∆P = 10−4 × 2.39647262860 b) P = 0.000888728767225 1000 Sai số mắc phải ∆P = 10−4 × 2.39650023744 9999 5) Tính gần f cách áp dụng: 1000 9999 = 0.999973724836649 a) P 1000 Sai số mắc phải ∆P = 10−5 × 2.6275163351 9999 b) P = 0.999973728781166 1000 Sai số mắc phải ∆P = 10−5 × 2.6271218834 a) P Nhận xét 2.60 Sử dụng công thức nội suy Newton tiến, công thức nội suy Newton lùi để tính gần f (x) = erf(x) với 15 mốc nội suy cách [0; 10] ta thấy: - Với x = gần x0 cơng thức nội suy Newton tiến công 1000 thức nội suy Newton lùi cho ta kết có độ xác tương đương 9999 - Với x = gần x15 cơng thức nội suy Newton lùi cơng 1000 thức nội suy Newton tiến cho ta kết có độ xác tương đương Như vậy, tốn để tính gần f (x) x gần x0 sử dụng công thức nội suy Newton tiến cơng thức nội suy Newton lùi độ xác tương đương, tương tự để tính gần f (x) x gần x15 sử dụng công thức nội suy Newton lùi công thức nội suy Newton tiến độ xác tương đương Kết luận 2.2.5 Đối với f (x) hàm số siêu bội thực khảo sát với 11 tốn, ta có: Khi tính gần f (x) x gần x0 có tốn (18.2%) sử dụng cơng thức nội suy Newton tiến cho kết có độ xác cao công thức nội suy Newton lùi, tốn (81.8%) sử dụng cơng thức nội suy 152 Newton tiến công thức nội suy Newton lùi cho kết có độ xác tương đương, khơng có trường hợp công thức nội suy Newton lùi cho kết có độ xác cao cơng thức nội suy Newton tiến; Tương tự tính gần f (x) x gần x15 có tốn (18.2%) sử dụng công thức nội suy Newton lùi cho kết có độ xác cao cơng thức nội suy Newton tiến, tốn (81.8%) sử dụng cơng thức nội suy Newton tiến công thức nội suy Newton lùi cho kết có độ xác tương đương, khơng có trường hợp cơng thức nội suy Newton tiến cho kết có độ xác cao công thức nội suy Newton lùi 153 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu phương pháp nội suy Newton cách chi tiết lý thuyết thực phân tích cơng thức nội suy Newton tiến, cơng thức nội suy Newton lùi 60 toán cụ thể Trên sở đó, luận văn rút kết luận sau: Khi tính gần giá trị hàm số f (x) sử dụng đa thức nội suy Newton tiến, đa thức nội suy Newton lùi với x gần x0 x gần xn ta có Về mặt định tính, số phép tốn cần thực đa thức nội suy Newton tiến đa thức nội suy Newton lùi Về mặt định lượng, sử dụng phần mềm Maple 16 thực khảo sát qua 60 toán cụ thể với đa dạng hàm số: hàm số lượng giác, hàm số phân thức hữu tỉ, hàm số siêu việt, hàm số dạng chuỗi hàm, hàm số siêu bội ta có kết chung sau: - Tính gần giá trị hàm số f (x) x gần x0 có 39 toán (65%) đa thức nội suy Newton tiến cho kết có độ xác cao đa thức nội suy Newton lùi, 21 toán (35%) đa thức nội suy Newton tiến đa thức nội suy Newton lùi cho kết có độ xác tương đương, khơng có trường hợp đa thức nội suy Newton lùi cho kết có độ xác cao đa thức nội suy Newton tiến - Tính gần giá trị hàm số f (x) x gần xn có 35 tốn (58.33%) đa thức nội suy Newton lùi cho kết có độ xác cao đa thức nội suy Newton tiến, lại 25 toán (41.67%) đa thức nội suy Newton tiến đa thức nội suy Newton lùi cho kết có độ xác tương đương, khơng có trường hợp đa thức nội suy Newton tiến cho kết có độ xác cao đa thức nội suy Newton lùi Với hàm số lượng giác, tính gần giá trị hàm số f (x) 154 x gần x0 có 80% đa thức nội suy Newton tiến cho kết có độ xác cao đa thức nội suy Newton lùi; tính gần giá trị hàm số f (x) x gần xn có 70% đa thức nội suy Newton lùi cho kết có độ xác cao đa thức nội suy Newton tiến Với hàm số mũ logarit, tính gần giá trị hàm số f (x) x gần x0 có 81.8% đa thức nội suy Newton tiến cho kết có độ xác cao đa thức nội suy Newton lùi; tính gần giá trị hàm số f (x) x gần xn có 63.6% đa thức nội suy Newton lùi cho kết có độ xác cao đa thức nội suy Newton tiến Với hàm số thức, phân thức hữu tỉ, tính gần giá trị hàm số f (x) x gần x0 có 80% đa thức nội suy Newton tiến cho kết có độ xác cao đa thức nội suy Newton lùi; tính gần giá trị hàm số f (x) x gần xn có 80% đa thức nội suy Newton lùi cho kết có độ xác cao đa thức nội suy Newton tiến Với hàm số dạng chuỗi hàm, tính gần giá trị hàm số f (x) x gần x0 có 69.57% đa thức nội suy Newton tiến cho kết có độ xác cao đa thức nội suy Newton lùi; tính gần giá trị hàm số f (x) x gần xn có 60.87% đa thức nội suy Newton lùi cho kết có độ xác cao đa thức nội suy Newton tiến Với hàm số siêu bội, tính gần f (x) với x gần x0 có 18.2% sử dụng đa thức nội suy Newton tiến cho kết có độ xác cao đa thức nội suy Newton lùi, tính gần f (x) với x gần xn có 18.2% sử dụng đa thức nội suy Newton lùi cho kết có độ xác cao đa thức nội suy Newton tiến, cịn lại 81.8% tính gần f (x) với x gần x0 x gần xn đa thức nội suy Newton tiến đa thức nội suy Newton lùi cho kết có độ xác tương đương Như vậy, nhận xét "Nếu cần tính gần f (x) x gần x0 ta 155 nên dùng công thức nội suy Newton tiến, cần tính gần f (x) x gần xn ta nên dùng công thức nội suy Newton lùi độ xác cao hơn." phù hợp với thực tiễn tính tốn, viết nhận xét vào giáo trình chấp nhận Với khả thời gian có hạn, chắn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong q thầy bạn góp ý để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn ! Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Tơn Tích Ái (2001), Phương pháp số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [2] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [3] Trần Anh Bảo, Nguyễn Văn Khải, Phạm Văn Kiều, Ngơ Xn Sơn (2002), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội [4] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2009), Giải tích số, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [5] Phạm Huy Điển (2002), Tính tốn, lập trình giảng dạy tốn học Maple, Nhà xuất Khoa học - kỹ thuật, Hà Nội [6] Phạm Huy Điển, Đinh Thế Lục, Tạ Duy Phượng (1998), Hướng dẫn thực hành tính tốn Maple, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [7] Tạ Văn Đĩnh (2007), Phương pháp tính, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [8] Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh (2001), Phương pháp tính thuật tốn, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội 156 157 [9] Dỗn Tam Hịe (2005), Tốn học tính tốn, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [10] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất khoa học kỹ thuật, Hà Nội [11] Lê Đình Thịnh (1995), Phương pháp tính, Nhà xuất khoa học kỹ thuật, Hà Nội [12] Phạm Phú Triêm, Nguyễn Bường (2000), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [13] Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [14] Dương Thủy Vỹ (1999), Phương pháp tính, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [B] Tài liệu ting Nga [15] ẽ ồỡốọợõốữ, ẩ Maợớ ỡũồỡũốờố , Mợủờõ (1963), ẻủớợõỷ õỷữốủởốũồởỹớợộ ... (1.12) Công thức (1.12) công thức nội suy Newton lùi đa thức nội suy Newton cuối bảng Nhận xét 1.3 Công thức nội suy Newton tiến, công thức nội suy Newton lùi cách vi? ??t khác công thức nội suy Lagrange... mốc nội suy cách 34 3) Xây dựng đa thức nội suy Newton lùi P (x) với 15 mốc nội suy cách cách áp dụng: 1000 a) Công thức nội suy Newton tiến P (x) sai số ∆P 4) Tính gần f b) Công thức nội suy. .. 2) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến P (x) với 15 mốc nội suy cách 3) Xây dựng đa thức nội suy Newton lùi P (x) với 15 mốc nội suy cách cách áp dụng: 1000 a) Công thức nội suy Newton tiến P