Giải tích số, Phạm Kỳ Anh, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia HàNội, 2005 tại trang 49 "Nếu cần tính f x tại x ' x0x ' xn ta nêndùng công thức nội suy Newton tiến lùi thì độ chính xác cao hơn
Trang 1Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn Văn Khải Sự giúp đỡ vàhướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá trìnhthực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trongcách tiếp cận một vấn đề mới Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kínhtrọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường
và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ,tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập
Tác giả xin chân thành cảm ơn người thân, gia đình, bạn bè đãgiúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóahọc Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này
Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm 2013
Tác giả
Đặng Thị Hương
Trang 2Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Khải.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừanhững thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sựtrân trọng và biết ơn Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫntrong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc
Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm 2013
Tác giả
Đặng Thị Hương
Trang 3Mở đầu 1
1.1 Bài toán nội suy cổ điển 5
1.2 Một số công thức biểu diễn 7
1.2.1 Công thức nội suy Lagrange 7
1.2.2 Công thức nội suy Newton 8
2 Phân tích công thức nội suy Newton mốc cách đều 14 2.1 Phân tích định tính 14
2.2 Phân tích qua các bài toán cụ thể 15
2.2.1 Các bài toán lượng giác, lượng giác ngược 15
2.2.2 Các bài toán mũ, logarit 38
2.2.3 Các bài toán căn thức, phân thức hữu tỉ 63
2.2.4 Các bài toán dạng chuỗi hàm 75
2.2.5 Các bài toán siêu bội 127
iii
Trang 4Giải tích số, Phạm Kỳ Anh, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia HàNội, 2005 tại trang 49 "Nếu cần tính f (x) tại x ' x0(x ' xn) ta nêndùng công thức nội suy Newton tiến (lùi) thì độ chính xác cao hơn."Giải tích số, Nguyễn Minh Chương - Nguyễn Văn Khải - Khuất VănNinh - Nguyễn Văn Tuấn - Nguyễn Tường, Nhà xuất bản giáo dục, 2009tại trang 54 "Nếu cần tính f (x) tại x gần x0 thì nên dùng đa thức nộisuy Newton ở đầu bảng, ý nghĩa tương tự cho đa thức nội suy Newton
ở cuối bảng và giữa bảng."
Phương pháp số, Tôn Tích Ái, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia HàNội, 2001 tại trang 104 "Công thức nội suy Newton tiến được sử dụng đểnội suy và ngoại suy các điểm x nằm gần điểm x0 đầu tiên của bảng.",tại trang 105 "Công thức nội suy Newton lùi được sử dụng để nội suy
và ngoại suy các điểm gần với điểm cuối của bảng xn."
Toán học tính toán, Doãn Tam Hòe, Nhà xuất bản giáo dục, 2005tại trang 79 "Với các bảng số liệu quá dài, người ta dùng công thức
Trang 5Newton tiến để nội suy ở đầu bảng, công thức lùi để nội suy ở cuốibảng".
Giải tích số, Trần Anh Bảo Nguyễn Văn Khải Phạm Văn Kiều Ngô Xuân Sơn, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2003 tại trang 33 "Nếucần tính f (x) tại x gần x0 thì nên dùng công thức nội suy Newton tiến;ngược lại, nếu cần tính f (x) tại x gần xn thì nên dùng công thức nộisuy Newton lùi."
-Giải tích số, Phạm Phú Triêm - Nguyễn Bường, Nhà xuất bản Đạihọc Quốc gia Hà Nội, 2000 tại trang 110 "Công thức nội suy Gregory -Newton tiến thường hay được dùng để tìm giá trị của hàm f (x) tại vùngđầu của bảng Tuy nhiên, nó cũng có thể dùng được để nội suy ở cuốibảng, nhưng rất bất tiện", tại trang 114 "Công thức nội suy Gregory -Newton lùi thường hay được dùng để tìm giá trị của hàm f (x) tại vùngcuối của bảng."
Nhằm làm sáng tỏ vấn đề này trong các phân tích định tính cũngnhư các phân tích định lượng qua các bài toán cụ thể tôi chọn đề tài choluận văn thạc sĩ của mình:
“Về phạm vi áp dụng của công thức nội suy Newton mốc cáchđều”
Trang 62 Mục đích nghiên cứu
Luận văn làm sáng tỏ vấn đề tại sao khi x gần x0 thì tính gầnđúng f (x) sử dụng công thức nội suy Newton tiến lại tốt hơn so với sửdụng công thức nội suy Newton lùi; tương tự khi x gần xn thì tính gầnđúng f (x) sử dụng công thức nội suy Newton lùi lại tốt hơn so với sửdụng công thức nội suy Newton tiến
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp nội suy Newton một cách chi tiết về lýthuyết và phân tích công thức nội suy Newton tiến, công thức nội suyNewton lùi trên những bài toán cụ thể nhằm làm sáng tỏ vấn đề trên
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng: Nghiên cứu về đa thức nội suy Newton mốc cách đều
và ứng dụng
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, giáo trình liên quan đến côngthức nội suy Newton Trình bày cụ thể các bài toán nhằm làm sáng tỏmục đích nghiên cứu
5 Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổnghợp để được một nghiên cứu tổng quan về công thức nội suy Newtonmốc cách đều
Nghiên cứu ứng dụng: Vận dụng công thức nội suy Newton mốccách đều vào giải bài toán
Trang 76 Dự kiến đóng góp mới
Đề tài nghiên cứu làm sáng tỏ vấn đề nêu trên và làm rõ tại saodẫn đến kết quả đó Luận văn là tài liệu phục vụ cho các bạn sinh viênhọc tập và nghiên cứu
Trang 8Một số vấn đề về đa thức nội suy
1.1 Bài toán nội suy cổ điển
Trong thực tế, thường gặp những hàm số y = f (x) không biết biểuthức giải tích cụ thể của chúng; chẳng hạn bằng đo đạc, thực nghiệm
ta chỉ thu được ở dạng một bảng số, nghĩa là biết giá trị yi tại điểm xi
tương ứng (i = 0, 1, , n) Cũng có trường hợp biết quy luật biến đổi
y = f (x) nhưng f (x) có dạng quá phức tạp thì giá trị y = f (x) cũng khótính toán được Trong các trường hợp như vậy người ta tìm cách thayhàm f (x) bởi hàm P (x) đơn giản, thường P (x) được chọn là đa thức.Định nghĩa 1.1.1 Hệ n + 1 điểm phân biệt {xi} với xi ∈ [a, b] , i =
0, , n được gọi là n + 1 mốc nội suy
Sau đây ta kí hiệu Pn = (1, x, , xn) là không gian vecto trên Rsinh bởi hệ các đơn thức 1, x, , xn
Định lý 1.1.1 Cho n + 1 mốc nội suy xi và n + 1 giá trị ω0, ω1, , ωn.Khi đó, tồn tại duy nhất Pn(x) ∈ Pn sao cho
Pn(xi) = ωi, i = 0, , n (1.1)
Chứng minh Đa thức Pn(x) ∈ Pn có dạng a0+ a1x + + anxn với n + 1
hệ số ai
5
Trang 9Điều kiện (1.1) tương đương với n + 1 phương trình tuyến tính và
n + 1 ẩn ai:
a0 + a1xi+ + anxin = ωi (i = 0, , n) (1.2)Định thức của hệ là định thức Vandermonde tại x0, x1, , xn:
V (x0, x1, , xn, ) =
Để tính V , ta xét hàm dạng định thức
V (x) = V (x0, x1, , xn−1, x) =
...
(1.12 )Công thức (1.12) công thức nội suy Newton lùi đa thức nộisuy Newton cuối bảng
Nhận xét 1.3 Công thức nội suy Newton tiến, công thức nội suy ton lùi cách vi? ??t khác công thức nội suy. .. 15 mốc nội suy cách? ?ều trên.
3) Xây dựng đa thức nội suy Newton lùi eP (x) với 15 mốc nội suy cách? ?ều
4) Tính gần f
11000
bằng cách áp dụng:
a) Công thức nội. .. từ biểu thức f (x) =cos(πx)
2) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến P (x) với 15 mốc nội suy cách? ?ều
3) Xây dựng đa thức nội suy Newton lùi eP (x) với 15 mốc nội suy cách? ?ều
4)