Về phạm vi áp dụng của công thức nội suy newton mốc cách đều

Trang 1

Luận văn được hồn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn Văn Khải Sự giúp đỡ và

hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình

thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong

cách tiếp cận một vấn đề mới Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn, lịng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phịng Sau đại học, các thầy cơ giáo trong nhà trường và các thầy cơ giáo dạy cao học chuyên ngành Tốn giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin chân thành cảm ơn người thân, gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khĩa học Thạc sĩ và hồn thành luận văn này

Hà Nội, ngàu 05 tháng 11 năm 2013 Tác giả

Trang 2

Luận văn được hồn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Khải

Tơi xin cam đoan luận văn là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi Trong quá trình nghiên cứu và hồn thành luận văn tơi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn Tơi xin cam đoan rằng các thơng tin trích dẫn

trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngàu 05 tháng 11 năm 2019 Tác giả

Trang 3

IMở đầu 1

1 Một số vấn đề về đa thức nội suy| 5

1.1 Bài tốn nội suy cổ điển 5

|L2 Một số cơng thức biểu diễn ĩ

[L.2.1 Cơng thức nội suy Lagrange] ee 7

[1.2.2 Cong thttc noi suy Newton) 8

la Phân tích cơng thức nội suy Newton mốc cách đều| 14

nu ng ng Ha va va va 14 |Ð.2 Phân tích qua các bài tốn cụ thể] 15 2.2.1 Các bài tốn lượng giác, lượng giác ngược l5 |B.2.2 Các bài tốn mũ, logarit| 38

[A.2.3 Các bài tốn căn thức, phân thức hữu t 63

|Ð.2.4 Các bài tốn dạng chuỗi hàm| 75

Kết luận

[Tài liệu tham khảo 156

Các bài tốn siêu bội

Trang 4

1 Ly do chon dé tai

Trong cuốn sách "Các cơ sở tốn học tính tốn" (tiếng Nga) của B.P Demidovich và I.A Maron, Matxcova 1963 tại trang 510 cĩ viết: "Nếu cần tinh gan ding f(x) tai x gần zạ ta dùng cơng thức nội suy

Newton tiến, nếu cần tính gần đúng f(x) tai x gan z„ ta dùng cơng thức nội suy Newton lùi sẽ cĩ lợi" Từ ảnh hưởng của cuốn sách này mà rất

nhiều giáo trình về Giải tích số ở Việt Nam cũng cĩ nhận xét tương tự: Phương pháp tính, Lê Đình Thịnh, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật, 1995 tại trang 103 "Các cơng thức nội suy Newton tiến dùng để tính các giá trị ở đầu bảng, các cơng thức nội suy Newton lùi dùng để

tính các giá trị ở cuối bảng"

Giải tích số, Phạm Kỳ Anh, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 tại trang 49 "Nếu cần tính f(r) tai x ~> #o(z > z„) ta nên dùng cơng thức nội suy Newton tiến (lùi) thì độ chính xác cao hơn."

Giải tích số, Nguyễn Minh Chương - Nguyễn Văn Khải - Khuất Văn

Ninh - Nguyễn Văn Tuấn - Nguyễn Tường, Nhà xuất bản giáo dục, 2009 tại trang 54 "Nếu cần tính ƒ(z) tại z gần z thì nên dùng đa thức nội suy Newton ở đầu bảng, ý nghĩa tương tự cho đa thức nội suy Newton

ở cuối bảng và giữa bảng."

Phương pháp số, Tơn Tích Ái, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 tại trang 104 "Cơng thức nội suy Newton tiến được sử dụng để nội suy và ngoại suy các điểm x nim gan điểm z; đầu tiên của bảng.", tại trang 105 "Cơng thức nội suy Newton lài được sử dụng để nội suy

và ngoại suy các điểm gần với điểm cuối của bảng z„."

Trang 5

Newton tién để nội suy ở đầu bảng, cơng thức lùi để nội suy ở cuối bảng"

Giải tích số, Trần Anh Bảo - Nguyễn Văn Khải - Phạm Văn Kiều - Ngơ Xuân Sơn, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2003 tại trang 33 "Nếu cần tính ƒ(z) tại z gần zạ thì nên dùng cơng thức nội suy Newton tiến; ngược lại, nếu cần tinh f(x) tai x gan z„ thì nên dùng cơng thức nội

suy Newton lùi."

Giải tích số, Phạm Phú Triêm - Nguyễn Bường, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2000 tại trang 110 "Cơng thức nội suy Gregory -

Nevton tiến thường hay được dùng để tìm giá trị của ham f(x) tai ving

đầu của bảng Tuy nhiên, nĩ cũng cĩ thể dùng được để nội suy ở cuối bảng, nhưng rất bất tiện", tại trang 114 "Cơng thức nội suy Gregory - Newton lùi thường hay được dùng dé tim gia tri cia ham f(z) tai ving cuối của bang."

Tuy nhiên, cĩ một số giáo trình khác về Giải tích số khơng đưa ra nhận xét trên:

Phương pháp tính, Tạ Văn Đĩnh, Nhà xuất bản Giáo dục, 2007 Phương pháp tính, Dương Thủy Vỹ, Nhà xuất bản khoa học kỹ thuật, 1999

Nhằm làm sáng tỏ vấn đề này trong các phân tích định tính cũng như các phân tích định lượng qua các bài tốn cụ thể tơi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình:

Trang 6

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn làm sáng tỏ vấn đề tại sao khi z gần zạ thì tính gần

ding f(x) sử dụng cơng thức nội suy Newton tiến lại tốt hơn so với sử

dụng cơng thức nội suy Newton lùi; tương tự khi z gần z„ thì tính gần

dang f(z) sit dung cơng thức nội suy Newton lùi lại tốt hơn so với sử dụng cơng thức nội suy Newton tiến

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu phương pháp nội suy Newton một cách chỉ tiết về lý thuyết và phân tích cơng thức nội suy Newton tiến, cơng thức nội suy Newton lùi trên những bài tốn cu thể nhằm làm sáng tỏ vấn đề trên

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng: Nghiên cứu về đa thức nội suy Newton mốc cách đều

và ứng dụng

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, giáo trình liên quan đến cơng thức nội suy Newton Trình bày cụ thể các bài tốn nhằm làm sáng tỏ mục đích nghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được một nghiên cứu tổng quan về cơng thức nội suy Newton

mốc cách đều

Trang 7

6 Dự kiến đĩng gĩp mới

Trang 8

Một sơ vần đê về đa thức nội suy

1.1 Bài tốn nội suy cơ điền

Trong thực tế, thường gặp những hàm số ÿ = ƒ(#z) khơng biết biểu

thức giải tích cụ thể của chúng: chẳng hạn bằng đo đạc, thực nghiệm ta chỉ thu được ở dạng một bảng số, nghĩa là biết giá trị g; tại điểm z; tương ứng (¡ = 0,1, ,?) Cũng cĩ trường hợp biết quy luật biến đổi y = f(x) nhưng ƒ(z) cĩ dạng quá phức tạp thì giá trị ÿ = ƒ(Z) cũng khĩ tính tốn được Trong các trường hợp như vậy người ta tìm cách thay

ham f(x) bởi hàm P(z) đơn giản, thường P(z) được chon là đa thức Định nghĩa 1.1.1 Hệ n + 1 điểm phân biệt {z¡} uới ø;¡ € [a,b], ¡ = 0, ,m được gọi là n + 1 mốc nội sug

Sau đâu ta ki hiéu P, = (l,#, ,#") là khơng gian 0ecto trên R sinh bởi hệ các đơn thúc 1,#, ,#"

Dinh ly 1.1.1 Chon+1 méc noi suy x; van +1 gid tri wo, W1, ,Wn- Khi d6, ton tai duy nhat P,(r) € P, sao cho

P,(@;) = w;, 1=0, ,n (1.1)

Chứng mình Đa thức P,, (x) € P,, c6 dang ay Fayx+ +a,2" v6in+1

Trang 9

Điều kién (1.1) tương đương với ø + 1 phuong trinh tuyén tinh và n+ 1 an a;: qọ + 018i + + aaai” = 0 (1 = 0, ,7) (1.2) Định thức của hệ là định thức Vandermonde tại #g,#1, ,#„: 2 n 1% Xp -'- #9 2 n Lox, ve: a V(#g,#, ,#u, ) = 2 nm Lot, Us on Để tính V, ta xét hàm dạng định thức l1 #g a ¬ : Ví) = V(x, 21, -,2n-1, 2) = , » , (1.3) 1 Ty-1 Tyo Ey_y l1 ø wee gh ro rang V(x) € P,,, déng thoi V(x) triệt tiêu tại #o, #\, ,#„_¡ hay nĩi cách khác V(x) c6 n nghiém là #g, #+, ,#„_¡ Do đĩ

V (xo, %1, thờ v4n—1› #) = A(x — #0)( — #1) tee (x — #n„—1)

ở đĩ A là đại lượng chỉ phụ thuộc vào #g, #1, , „1

Để tính 4 ta khai triển (1.3) theo dịng cuối và ta cĩ hệ số của 2”

Trang 10

Tu V(x, 21) = 21 — Lp va (1.5) ta cĩ V(@o,#1, #3) = (#1 — #g)(#a — #g)(#a — #1) Vậy V (0, #ì, ; #„) =[[(@- =) (1.6) i>j Vì các điểm zp, 21, ,2, phan biệt nên V # 0, định lí được chứng minh L]

Định nghĩa 1.1.2 Da thức nội suy Pạ(œ) tồn tại duy nhất theo định lí 1.1.1 được gọi là da thúc nội su

Bài tốn nêu trong định lí 1.1.1 được gọi là bài tốn nội suy cổ điển

1.2 Một số cơng thức biểu diễn

Định lí 1.1.1 mục 1.1 đã chứng minh đa thức nội suy tồn tại và duy nhất Tuy nhiên, để tìm đa thức nội suy từ hệ phương trình (1.2)

theo phương pháp Cramer nêu trong định lí là khá cồng kềnh, phức tạp

Trang 11

.-x) = > y;®;(2) (1.7)

thì deg L„(œ) < n và L„(%¡) = u¡ với ¡ =0, ,m

Da thức L„(z) ở (1.7) thỏa mãn bài tốn nêu trong định lí 1.1.1, nĩ

được gọi là đa thức nội suy Lagrange Đa thức nội suy Lagrange được cho ở dạng cơng thức nên cũng gọi là cơng thức nội suy Lagrange n n Đặt ø„.¡(2) = [[ Œ — #¡) thì ø;,¡(2;) = [[ (aj — 2) j= 0,.-.,n ¡=0 iAj Thay wp+i(x) va w!,,,(x;) vào biểu thức của Ù„(z) ta cĩ (x x nụ ~tey"

Ta ciing néi da thie L,,(x) cho bởi (1.8) là đa thức nội suy Lagrange

Nhận xét 1.1 Da thúc nội suụ Lagrange cĩ ứu điểm là đơn giản, dễ tính nhưng nhược điểm là nếu thêm mốc nội suy thì lại phải tính lại từ đầu, khơng sử dụng được kết quả tính tốn cũ

1.2.2 Cơng thức nội suy Newton

1.2.2.1 Khái niệm tỷ sai phân và một số tính chất

Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm số y = ƒ(%) zác định trên đoạn |a;b| va

m+1 mốc nội suy {z;}, ¡= 0,1, ,1m Khi đĩ: ⁄ M¿+1 — Vi : > “ > Tỷ sơ Ya 7 ¿2 được gọi là tỷ sai phân cấp 1 của hàm số = ƒ(+) ¿+1 — Tị tai x; vd kí hiệu là ƒ(%;;#¡¿.1)- ‘ f (@i415 Li+2) — Ƒ(¡ +1) Tỷ sơ được gợi là tỷ sai phân cấp 2 của ¡+9 — T¡

hàm số ụ = ƒ(œ) tại z¡ ồ kí hiệu là ƒ(®¡¿+1;i+a)-

⁄ J(Ui+15+ + tý #itk) — Ji ccš Ti+k— ep suy Tỷ sơ Ji +n) = Fl +k-1) được gọi la tỷ sai phân

Trang 12

“ a (1.9) k I] (2 — 2)) j=0 trong dé w(x) f (xo) f(x) TT — 11 Ty Ly Giả sử ta chứng mình được với k < nø Khi đĩ Ƒ(đ1: :#n+1) — ƒ(đọ :#n) #n+1 — Lo BC (80m) _ x Sted) Chiing minh V6i k = 1, ta c6 f(x, 21) = ƒ(Œo:#4: :#u+1) —= ®uèi — Ø0 NI 01(8) E198) VỚI tJị() = w(x) ; g(#) = _“)_— và ((#) = (# — #g) (# — #u+1)- # —#ụọ w— #a+l Như vậy f (xo) f (@n41) ƒ(To;1: ;„+1) = + on i @'0(#0)(o — #n+1) (01(#n+1)(#n+l — #0) " x;y 1 + » _ #ứ) — ; ———¬ ¡=1 #n+1 — t0 Xứ 1(;) wW o() Ta cĩ + đụ + đụ wi(a) = 2), ye) = 2) ¡ — Tụ ị — #n+1 Suy ra 1 1 _ Tn+1 — Lo ws (x;) wy (xj) ˆ w'(2;) : Vay n+l f(z) a = f (xo 1 +1) >- @'(,)

Điều phải chứng minh L]

Tính chất 2 Tỷ sai phân là hàm đối xứng với các z;¿,

= F(xi)

Trang 13

Tính chất 3 Tỷ sai phân cấp m +1 của đa thức bậc m đồng nhất bằng 0 Chitng minh Gia stt P(x) 1a da thite bac m Ta phai chttng minh P(x; 29; 21;. ;Um) = 0 Va € [a;b] 6 d6 (m+ 2) SỐ #,#g,81, , „ là đơi một khác nhau P(x) — P(: Ta c6 P(x; 29) = P(e) = Plo) là đa thức bậc m — 1 vì % — #ữụg P(x) — P(x (2) = Pl) _ m PO (x; PO), ye i- # — Xo i=1 a P(x; — P(x; Tương tự P(#;zg;#¡) = P(e; sto) = P (a0; 21) la da thttc bac m — 2 XL — Ly Bằng phương pháp quy nap ta cĩ P(#;Zg;Z\; ;#,„) là đa thức bậc m — (k + 1) Vậy P(z;zog;:zi; ;#„_¡) là đa thức bậc 0 Từ đĩ ta cĩ điều phải chứng minh L]

1.2.2.2 Cơng thức nội suy Newton với mốc bất kì

Trang 14

L,,(2; 20) = Ln (£03 £1) + L (£393 41) (2 — #1) Tương tự ta cĩ Ly(#: #g: :/) _ Ly (©; 93 5 Li-1) _ L,, (20; " aL Xi Từ đĩ rút ra La(#) = La(#o) + La(#o:#1)(% — #o) + La(@o:#1;22)(# — #g)(œ — #l) + cả TP Dp(Đ0:81; 1n)(# — #o)(£ — 81) (# — đ„— 1) Mặt khác L„(#;) = ¡ = (%¡), La(#o:#t; 1y) = f(a; 215 5 Le) (VE = 1, ,m) Vậy ta cĩ Pu) = ƒ(#o) + ƒŒa;1)(# — #1) + fg;t: #2)(# — #g)(# — #1) + P Ƒ(#o;#li ¡#u)(# — #g) (# — #u_1) (1.10) Cơng thức (1.10) được gọi là cơng thức nội suy Newton với mốc bất ki

Nhận xét 1.2 Nếu thêm một uài mốc nội suy thà để tìm cơng thúc nội suy Newton ta chi phai tinh thém một ồi số hạng cuối, khơng phải tính lại từ đầu, đâu là ưu điểm của cơng thức noi suy Newton so 0ới cơng thitc noi suy Lagrange

1.2.2.3 Khái niệm về sai phân và một số tính chất

Giả stt f : R > R 1A mot ham số cho trước, h là hằng số khác 0 Ta,

gọi

A° f(x) = ƒ(z) là sai phân cấp 0 của ƒ(z) tại z

Af(z) = f(x +h) — f(z) 1A sai phan cấp I của f(z) tai x

A" f(z) = A[A""'f(z)], n > 11a sai phan cAp n cia f(z) tai z

Tinh chat 4 A 1A toan ttt tuyén tinh, nghia IA Va, 6 €, Vf,g thi

Trang 15

Tinh chat 5 i, A(c) = 0 véi moi hang sé c , A(z") là đa thức bậc n — 1 1, A"(z") = 0 với m > n iv, A"(œ") =c Tính chất 6 ƒ(z + nh) = 3) CLA'ƒ(z) ¡=0 Chứng mình Ta cĩ ƒ(œ + nh) = ƒ(z) + Af(z) = (1+ A)ƒ(z) với 1 là tốn tử đơn vị ƒ(œ+2h) = ƒ(œ+h)+h) = (1+ A)ƒ@œ +) Từ đĩ ta cĩ ƒ(z + 2h) =(1+ A)?ƒ(z)

Theo quy nạp tốn học ta cĩ ƒ(z + mh) = (1+ A)"ƒ(z)

Khai triển Newton của (1+ A)* cĩ ƒ( + nh) = Ss CLA’ f(z) Oo i=0 Tính chất 7 A" f(x) = 30 (-1)'Ci f[x + (n—-i)h] i=0 Chúng mình Ta cĩ A"ƒ(z) [ 1+A)— 19/4) (U03 A)T 1/0) (—1JŒj ƒ[z + (n — ¡)h] L] 0 ll _

Cơng thức nội suy Newton tiến

Giả sử rằng mốc nội suy #g < #ị <_ < #„, #¿—¡ = h Vi=0, ,m= — I Ta tìm đa thức nội suy P,(z) ở dang

P,(#) = œg+ứ1(#—#a)+da(—#g)(#— 4) +au( Tag) (đ— at)

Ta cĩ P„(z;) = ƒ(z¡) = 1 với ¡ = 0, ,n Thay z lần lượt bằng o,#1, ,#„ ta thu được

Ayo AfTtu

Trang 16

Vậy ta cĩ Ayo A*yo P,(x) = U + Ti ( " ain ee) my w+ 8 Cr = ay) (@ = 4-1) nih” Ding phép bién déi r = 2) + th, x; =x) + jh, j =0, ,n—1 ta thu được Ay, A AY Py (ay + th) = yop ret eet) 1I 2! + + Mee 1) (t-n $0) n! (1.11) Cơng thức (1.11) là cơng thức nội suy Newton tiến hoặc đa thức

nội suy Newton ở đầu bảng

Cơng thức nội suy Newton lùi

Giả sử rằng mốc nội suy #„ > #„-¡ > > #g, #+¡ — %¿ = h Vi =U, ,mz T— 1 Ta tìm đa thức nội suy P, (x) ở dạng

P, (a) = œg+a1(#—#„)+da(—#„)(®—a-1)t Tdu(—#„) (®—z)

Ta c6 P,(x)(2;) = f(2;) = y; v6ii =0, ,n Thay z lần lượt bằng o,#1, ,#„ ta thu được _ _ AYn—1 _ A'Yn-i a = Yn, UM = h py GS ithi Vậy ta cĩ Dp AYn—1 APY 2 P,(#) = Yn + (2) = wo Spe) + gee #— #„) + s(# — #u)(# BNE — đ„—1) + Fe) Yo —(# — #„) (# — 24) mỊh" 2 a2 #— Dùng phép biên đổi x = x, + th, t = — ta thu được ĐỀ Ay Tì— A*?¡ Tì— A" P,(1,+th) = + Yi Ley yr 2 ý 1I 2! t(t+1) (t+n+—1) (1.12) t(t+1)+ 4

Cơng thức (1.12) là cơng thức nội suy Newton lùi hoặc đa thức nội

suy Newton ở cuối bảng

Trang 17

Phân tích cơng thức nội suy

Newton moc cach déu

Trong chương này, tác giả tiến hành phân tích định tính và phân tích định lượng cơng thức nội suy Newton tiến, cơng thức nội suy Newton lùi trên các bài tốn cụ thể thơng qua đánh giá số phép tốn cần thực

hiện và sai số mắc phải nhằm làm sáng tỏ vấn đề luận văn đưa ra, đĩ

là: "Nếu cần tính gần đúng ƒ(z) tại z gần z; ta nên dùng cơng thức nội

suy Newton tiến, nếu cần tính gần đúng ƒ(z) tại z gần z„ ta nên dùng

cơng thức nội suy Newton lùi thì độ chính xác cao hơn." 2.1 Phân tích định tính Xét lại cơng thức nội suy Newton tiến Ai Lh’ Ant Pr (ay +th) = yo += t+ ị TT 1)+ + — TŒ—1) (E=n+ 1), cơng thức nội suy Newton lùi ~ AYn— A? yn —2 A" P,(x,+th) = Yu ar 21) 4.04 — (t1) .(EEn=1)

Cơng thức nội suy Newton tiến và cơng thức nội suy Newton lùi

đều là các đa thức cĩ bậc cao nhất bằng ø

Trang 18

Ta quy ước số phép tốn thực tế cần tính tốn bằng tổng số phép tốn nhân à chia của biến t trong biểu thúc, chẳng hạn trong biểu thúc A” yo

n!

số A” yy, n! vd trong biéu thitc t(t—1) (t—n+1) c6 (n—1) phép todn

t(t—1) (t-—n+1) ta b6 qua phép tinh nhan chia vdi céc hằng

nhân

Khi tinh gan ding gia tri f(x) sit dung cơng thức nội suy Đewton tiến và cơng thức nội suy Newton lùi ta thấy hai cơng thức trên cĩ số

phép tốn thực hiện với hằng số là bằng nhau và số phép tốn nhân chia cần thực hiện với biến # đều là nến — 1)

Kết luận Về mặt định tính số phép tốn cần thực hiện khi sử dụng cơng thức nội suy Newton tiến và cơng thức nội suy Newton lùi để tính gần đúng giá trị ƒ() khi z gần z hoặc z gần z„ là bằng nhau

Như vậy, nhận xét "Nếu cần tính gần đúng f(x) tai x gan xp» ta nên dùng cơng thức nội suy Newton tiến, nếu cần tinh gan ding f(x)

tại z gan x, ta nên dùng cơng thức nội suy Newton lùi thì độ chính xác

I

cao hơn." về lý thuyết là chưa thuyết phục

2.2 Phân tích qua các bài tốn cụ thể

Trong mục này, tác giả sử dụng phần mềm Maple 16 để tính gần đúng giá trị của f(x) bằng cơng thức nội suy Newton tiến và cơng thức nội suy Newton lùi Từ đĩ đánh giá sai số của cơng thức trong từng trường hợp cụ thể Trong các bài tốn sau, các kết quả được làm trịn

đến 15 chữ số sau dấu chấm thập phân

2.2.1 Cac bài tốn lượng giác, lượng giác ngược

Bài tốn 2.1 Cho ƒ(z) = sin(zz) trên |0; 1| với 15 mốc nội suy cách

` 1

Trang 19

` 1 99 Z 2 1) Tinh gan ding f (5): f (=) trực tiếp từ biểu thức f(x) = sin(z) 2) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến P(z) với 15 mốc nội suy cách đều ở trên 3) Xây dựng đa thức nội suy Newton lài P(x) với 15 mốc nội suy cách ê 4) Tính gần đúng ƒ (m) bằng cách áp dụng:

) Cơng thức nội suy Newton tiến P(z) và chỉ ra sai số AP b) Cơng thức nội suy Newton lùi P(z) và chỉ ra sai số AP

5) Tính gần đúng ƒ (=) bằng cách áp dụng:

) Cơng thức nội suy Newton tién P(x) và chỉ ra sai số AP b) Cơng thức nội suy Newton lùi P(x) va chỉ ra sai số AP Lời giải

1) Ta cĩ ƒ (m) # 0.031410759078128

ƒ 99 |) ~ 0.031410759078128 100/ `

2) Lap đa thức nội suy Newton tién P(x) cia ham s6 f(x) = sin(z}) với 15 mốc nội suy cách đều trên [0; 1]: t © P(«) =P (=) = —3.474640026 x 10-244! + 3.648372031 x 10-!¢!3 —2.921120157 x 10718#!* — 8.042480059 x 10~1¿1! —5.72660740 x 10”1%/!9 + 2.141909957 x 1071749 —3.41862489 x 10~1/# — 3.507183876 x 109” —6.36185 x 10~1?/5 + 0.00000335824242177 —3.19587 x 10”1?/1 — 0.001531174155? —1.5625 x 10”? + 0.2094395102i

Trang 20

~ ~ t P(x) =P (: + x) = —3.474640026 x 10-21¢!4 15 —3.648372028 x 10”1%/!13 — 2.921120118 x 107'8t? +8.042480076 x 10~16/!! — 5,72660699 x 10~16/19 —2.141909957 x 107-174? — 3.41862364 x 10143 +3.507183876 x 10~°t? — 6.36185 x 1071346 —0.000003358242421¢° — 3.19587 x 107-14" +0.0015311741557? — 1.5625 x 10”12/? — 0.2094395102: x 1 ` 4) Tính gần đúng ƒ (m) bằng cách áp dụng: 100 Sai số mắc phải AP = 10”! x 5.927 ~(1 b) P (m) = 0.031410753331442 100 Sai số mắc phải AP = 10”9 x 5.746686 ` 99 ` 5) Tính gần đúng ƒ (=) bằng cách áp dụng: 1 a) P (4) = 0.031410759072201 99 P ( —) = 0.031410753289691 a) (=) 0.03141075328969 Sai số mắc phải AP = 10” x 5.788437 ~ ( 99 b) P (=) = 0.031410759072201

Sai sé m&c phai AP = 107! x 5.927

Nhận xét 2.1 Sử dụng cơng thức nội suy Newton tiến, cơng thức nội

suy Newton lùi để tính gần đúng ƒ(+) = sin(zz) với 15 mốc nội suy cách đều trên |0; 1] ta thấy:

- Với z = 100 gần zọ thì cơng thức nội suy Newton tiến cho ta kết

quả cĩ độ chính xác cao hơn cơng thức nội suy Newton lùi

- Với — a gần z¡; thì cơng thức nội suy Newton lùi cho ta kết

quả cĩ độ chính xác cao hơn cơng thức nội suy Newton tiến

Như vậy, trong bài tốn này để tính gần đúng ƒ(z) khi z gần zọ sử

Trang 21

lùi, tương tự để tính gần đúng ƒ(z) khi z gần z¡; sử dụng cơng thức nội suy Newton lùi tốt hơn cơng thức nội suy Newton tiến

Bài tốn 2.2 Cho ƒ(z) = cos(zz) trên [0; I] với 15 mốc nội suy cách 1 déu 2; =0+%h, h = —,i=0, ,15 ? 1 99 1) Tính gần đúng ƒ (a): f (=) trực tiếp từ biểu thức ƒ(z) = cos(#) 2) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến P(z) với 15 mốc nội suy cách đều ở trên 3) Xây dựng đa thức nội suy Newton lùi P(x) với 15 mốc nội suy cách đều ở trên 1 4) Tính gần đúng ƒ ( a) bằng cách áp dụng:

a) Cơng thức nội suy Newton tién P(x) va chi ra sai s6 AP b) Cơng thức nội suy Newton Iii P(x) va chỉ ra sai s6 AP 5) Tính gần đúng ƒ (=) bằng cách áp dụng:

a) Cơng thức nội suy Newton tiến P(z) và chỉ ra sai số AP b) Cơng thức nội suy Newton lài P(x) và chỉ ra sai sé AP Lời giải 1) Ta cĩ 1 — +30 2 f (m) 0.99950656036573 99 f | — } ® —0.999506560365732 100

Trang 22

P(x) =P (5) = 4869354448 x 10° 23415 —5.478024786 x 10”?!!! + 4.80880813 x 10~?9/!3 +1.400517347 x 10”!7¿!? + 1.15564540 x 10-171 —4.486962438 x 107!!0 + §.978478§2 x 10~18/9 +9.181704978 x 107113 + 2.37842 x 107 —1.172247952 x 107/9 + 1.983241 x 1013 +0.00008017209102f1 + 5.5547 x 10=13/ ~—0.02193245425/? + 3.621704000 x 10”1 + 1

Trang 23

Sai số mắc phải AP = 10” x 6.477092 ~ ( 99

b) P (=) = —0.999506560366569

Sai số mắc phải AP = 101 x 8.37

suy Newton lùi để tính gần đúng f(x) = cos(zxz) với 15 mốc nội suy cách đều trên |0; I] ta thay:

- Với ø = 100 gan zøo thì cơng thức nội suy Newton tiến cho ta kết quả cĩ độ chính xác cao hơn cơng thức nội suy Newton lùi

- Với z = ae gần z¡; thì cơng thức nội suy Newton lùi cho ta kết

Như vậy, trong bài tốn này để tính gần đúng ƒ(z) khi + gần zp st dụng cơng thức nội suy Newton tiến tốt hơn cơng thức nội suy Newton

lùi, tương tự để tính gần đúng ƒ(z) khi z gần z¡; sử dụng cơng thức nội

suy Newton lùi tốt hơn cơng thức nội suy Newton tiến

Bài tốn 2.3 Cho ƒ(z) = tan(z) trên [0;1] với 15 mốc nội suy cách ` 1 đều z; =0+¡h, h= 11 0, , lỗ 1 999 1) Tính gần đúng ƒ (mm) f Lần 1000 ) trực tiếp từ biểu thức ƒ(z) = tan(z) 2) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến P(z) với 15 mốc nội suy cách đều ở trên 3) Xây dựng đa thức nội suy Newton lùi P(z) với 15 mốc nội suy cách đều ở trên x 1 R 4) Tính gần đúng ƒ (mm) bằng cách ap dụng: a) Cơng thức nội suy Newton tiến P(z) và chỉ ra sai số AP ` 999 ` 5) Tính gần đúng ƒ (=) bằng cách áp dụng: )

Trang 24

b) Cơng thức nội suy Newton lùi P(z) và chỉ ra sai số AP Loi gidi 1) Ta cĩ 1 f | —~— | 30.001000000333333 1000 999 — ] x1 1329528 f (=) 553987531329528

2) Lập đa thức nội suy Newton tiến P(+) của ham sé f(x) = tan(x) véi 15 mốc nội suy cách đều trên |0; l]: t P(x) =P (5) = 1.561286677 x 10~!3£!5 — 15056778 x 10191 +6.72570 x 1071513 — 1,82522 x 10”1?!? + 3.34965 x 10712¿H —4.3747157 x 1071!!! + 4.18758541 x 107199 — 2.96065471 x 109/8 -+F1.58512 x 107 — 5.98637 x 107/8 + 3.41433 x 10777 —3.18260 x 10~7/# + 0.00000991619572 — 2.8383 x 10-7t? +0.06666675331581

3) Lập đa thức nội suy Newton lùi P(r) của hàm s6 f(x) = tan(x) véi

Trang 25

Sai s6 m&c phai AP = 10-° x 1.725580986 ` 999 ` 5) Tính gần đúng ƒ (=) bằng cách áp dụng: 999 a) P {| —— } = 1.553987534809942 1000 Sai số mắc phải AP = 10” x 3.480414 ~ ( 999 b) P| —— } = 1 ) (=) 553987534726090 472

Sai sé m&c phai AP = 107° x 3.396562

suy Newton lai để tính gần đúng ƒ(+) = tan(z) với 15 mốc nội suy cách đều trên |0; 1] ta thấy:

- Vix = " gần z; thì cơng thức nội suy Newton tiến cho ta

kết quả cĩ độ chính xác cao hon cong thức nội suy Newton lùi

i 999 van ye LÁT VÀ nẽ

- Với ø = 1000 gần z¡; thì cơng thức nội suy Newton tiên và cơng thức nội suy Newton lùi cho ta kết quả cĩ độ chính xác tương đương

Như vậy, trong bài tốn này để tính gần đúng ƒ(z) khi z gần zạ sử dụng cơng thức nội suy Newton tiến tốt hơn cơng thức nội suy

Newton lui; dé tinh gan đúng ƒ(z) khi z gần z¡; sử dụng cơng thức nội

Trang 26

x 1001 :

4) Tinh gan ding f (a) bằng cách áp dụng:

a) Cơng thức nội suy Newton tién P(x) va chi ra sai s6 AP b) Cơng thức nội suy Newton lùi P(z) va chi ra sai s6 AP ) 1999 1000 a) Cơng thức nội suy Newton tiến P(z) và chỉ ra sai số AP 5) Tính gần đúng ƒ (an) bằng cách áp dụng: b) Cơng thức nội suy Newton lùi P(z) và chỉ ra sai số AP Lời giải 1001 1) Ta cĩ ƒ | —— | z 0.64068123§771289 1000 999 ƒ (=) = —0.456448656781366 1000

2) Lập đa thức nội suy Newton tiến P(z) của hàm số ƒ(z) = cot(z) với 15 mốc nội suy cách đều trên [1; 2]: 15 —4.660 x 10~!7#!3 + 1.822 x 10~15!? — 5.1823 x 1011 -+1.159957 x 10”!?/19 — 2.1850 x 10”1!2? + 3.65716 x 10”19/Š —5.758557 x 10” + 8.700384 x 1078 — 0.00000132993851” -0.000019324971201/ — 0.00031200434857? + 0.00403029398157? —0.09415219477724t + 0.642092615934331 t ¬ | P(x) =P (: + x) = —6.035793 x 10-244! + 7.633 x 1071914

Trang 27

1001 a) P | —— | = 0.640681238776756 1000 Sai s6 mac phai AP = 10-! x 5.467 ~ (1001 b) P Lm) = 0.640681239273071 1000 Sai s6 m&c phai AP = 107! x 5.01782 19991 5) Tính gần đúng ƒ (=) bằng cách áp dụng: 1999 a) P | —— } = —0.456448657859225 1000 Sai số mắc phải AP = 10” x 1.077859 ~ (1999 b) P Lm) = —0.456448656779489 1000 Sai số mắc phải AP = 10°” x 1.877

suy Newton lùi dé tinh gan ding f(x) = cot(z) với 15 mốc nội suy cách đều trên [1;2] ta thấy:

1001

- Với z = “ T000 gan xq thì cơng thức nội suy Newton tiến cho ta kết quả cĩ độ chính xác cao hơn cơng thức nội suy Newton lùi

1999

- Với z = 1000 gần z¡; thì cơng thức nội suy Newton lùi cho ta kết quả cĩ độ chính xác cao hơn cơng thức nội suy Newton tiến

Nhu vậy, trong bài tốn này để tính gần đúng ƒ(z) khi z gần z sử dụng cơng thức nội suy Newton tiến tốt hơn cơng thức nội suy Newton

lùi, tương tự để tính gần đúng ƒ(z) khi z gần z¡; sử dụng cơng thức nội

Trang 28

3) Xây dựng đa thức nội suy Newton lùi P(z) với 15 mốc nội suy cách

4) Tính gần đúng ƒ inh gan ding f | —— | bằng cách áp 8g g 1000 (—Ì— } bằng cách áp d 5 p dụng: dụng

ơng thức nội suy Newton tiến P(x) và chỉ ra sai số AP 999 5) Tính gần đúng ƒ (=) bằng cách áp dụng: ề )T )C b) Cơng thức nội suy Newton lùi P(x) va chỉ ra sai số AP )T

) Cơng thức nội suy Newton tiến P(z) và chỉ ra sai số AP b) Cơng thức nội suy Newton lùi P(z) và chỉ ra sai số AP Lời giải 1) Ta cĩ 1 1 f (=) = arccos (=) 1.569796326628230 1000 1000 999 999 — |= —— | & 0.04472 1 : f (=) arccos (=) 0.044725087168733

2) Lập đa thức nội suy Newton tiến P(x) cha ham sé f(x) = arccos(x) với l5 mốc nội suy cách đều trên [0; l]: t 5 P(x) =P (5) = —9.08276917415 x 10-115 +9.520238802 x 10~1?/!1 — 4.5310287662 x 1019/13 +1.2957727379 x 10~8t!? — 2.483037536 x 10~T7#! +0.0000033657906859t!" — 0.00003320228173t° +0.0002414643098/Š — 0.00129663709117 +0.005095766369018/5 — 0.01435631923877 +0.027939942017781 — 0.03526828878997? +0.025449758257? — 0.07449176199244 1.57079632679490

Trang 29

t 5 P(r) =P (1 + x) = —9.08276917415 x 10~!4/15 —1.0915991838 x 10~!!!1 — 5.9965694541 x 1071913 —1.9947718222 x 10~8t!? — 4.487322776 x 10~T£H —0.000007219329359t"° — 0.00008566049529¢° —0.0007618401556Š — 0.00510967131349” —0.0257886182041918/8 — 0.09695803808177 —0.2665190816535471 — 0.52078401847387? —0.70142303048t? — 0.738769992624660t 1000 1 a) P (mm) = 1.569684558933619 1000 Sai số m&c phai AP = 1073 x 1.11767694611 ~( 1 b) P (am) = 1.569684559389750 ` 1 ` 4) Tính gần đúng ƒ (am) bằng cách áp dung: 1000 Sai số mắc phải AP = 1073 x 1.11767238480 ` 999 ` 5) Tính gần đúng ƒ | ——— |] bằng cách áp dụng: 1000 999 a) P {| — } = 0.010925473121028 1000 Sai số mắc phải AP = 10”? x 3.3799614047705 ~ { 999 b) P | —— } = 0.010925473934055 1000 Sai số mắc phải AP = 10-2 x 3.3799613234678

suy Newton lùi để tính gần đúng ƒ(z) = arecos(z) với 15 mốc nội suy cách đều trên |0; I] ta thay:

- Với ø = 1000 gan x thi cong thức nội suy Newton tiến và cơng thức nội suy Newton lùi cho ta kết quả cĩ độ chính xác tương đương

999, LZ

- VỚI ø = 1000 gan 21; thi cơng thức nội suy Newton tiên và cơng thức nội suy Newton lùi cho ta kết quả cĩ độ chính xác tương đương

Trang 30

sử dụng cơng thức nội suy Newton tiến hoặc cơng thitc noi suy Newton

lùi thì độ chính xác là tương đương, tương tự để tính gần đúng ƒ(z) khi

+ gần zø¡; sử dụng cơng thức nội suy Newton lùi hoặc cơng thức nội suy

Newton tiến thì độ chính xác là tương đương

Bài tốn 2.6 Cho ƒ(z) = aretan(z+) trên [0; 1] với 15 mốc nội suy cách x 1 đều zø; =0+¡h, h= TH BS 1 999 1) Tính gần đúng ) Tính gần ang £ ( ——— 1000 )-/(nm ——— ) trực tiếp từ biểu thức ƒ(#) = arctan(#) 2) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến P(z) với 15 mốc nội suy cách đều ở trên 3) Xây dựng đa thức nội suy Newton lùi P(x) với 15 mốc nội suy cách đều ở trên 4) Tính gần đúng ƒ (mm) bằng cách áp dụng: a) Cơng thức nội suy Newton tién P(x) va chi ra sai s6 AP b )C )C oh oan a4 999 Vas ap a 5) Tính gần đúng ƒ (=) bằng cách áp dụng: ) ơng thức nội suy Newton lùi P(z) và chỉ ra sai số AP 1000

a) Cơng thức nội suy Newton tiến P(z) và chỉ ra sai số AP b) Cơng thức nội suy Newton lài P(x) và chỉ ra sai số AP Lời giải 1) Ta cĩ 1 1 " ˆ ~ 0 (tam) are (aa) 0.000999999666667 909 999 | —— |] = arctan | —— | ® 0.784897913314115 1000 1000

Trang 31

t P(t) =P (5) = —1.9827619 x 107?915 + 2.298 x 1071314 —1.154 x 1018/13 + 3.177 x 10~15¿!2 — 4.78984 x 1071H +2.755 x 10712! + 1.758 x 10~!2/ + 6.1 x 10~!/$ — 8.113 x 10-19 —1.7538 x 107198 + 2.64005219 x 107779 — 1.47 x 10ˆ% —0.000098763393/2 — 1.57 x 10”? + 0.066666667168¢

3) Lập đa thức nội suy Newton lùi P(z) của hàm số ƒ(z) = aretan(z) với 15 mốc nội suy cách đều trên [0; l]: P(x) =P (1 + x) = —1.9827619 x 107?Âđ 2.160 x 10718¢!4 —1.012 x 1071/13 — 2.724 x 10”15‡!2 — 4.88223 x 10- Met! —6.283 x 1071312 — 5.730 x 10~1?/! — 4.01 x 10H —2.573 x 10719” + 1.0561 x 107/6 — 3.5020201 x 103 —3.97 x 107/1 + 0.00002468648573 — 0.001111114557? +0.033333332292¢ + 0.785398163397448 ` 1 ` 4) Tính gần đúng ƒ (mm) bằng cách áp dụng: 1 P| ——)=0 a) (mm) 0.000999999677599 Sai số mắc phải AP = 101! x 1.0932 ~/ 1 b) P (mm) = 0.000999999677599 1000 Sai số mắc phải AP = 107 x 7.70550453 x 999 ` 5) Tính gần đúng ƒ (=) bang cach ap dung: 999 P | —— | = 0.784 1 118 a) (=) 0.784897913766118 Sai s6 mac phai AP = 107! x 4.52003 ~ ( 999 b) P (an) = 0.784897913329028 1000

Sai s6 m&c phai AP = 107! x 1.4913

Trang 32

cách đều trên [0; 1] ta thấy:

- Với ø = 1000 gần z thì cơng thức nội suy Newton tiến cho ta kết quả cĩ độ chính xác cao hơn cơng thức nội suy Newton lùi

- VỚI # = ng gần z¡; thì cơng thức nội suy Newton lùi cho ta kết quả cĩ độ chính xác cao hơn cơng thức nội suy Newton tiến

Như vậy, trong bài tốn này để tính gần đúng ƒ(z) khi z gần zạ sử

dụng cơng thức nội suy Newton tiến tốt hơn cơng thức nội suy Newton lùi, tương tự để tính gần đúng ƒ(z) khi z gần z¡; sử dụng cơng thức nội suy Newton lùi tốt hơn cơng thức nội suy Newton tiến

Bài tốn 2.7 Cho ƒ(z) = are cot(z) trên |0; 1] với 15 mốc nội suy cách ` 1 đều zø; =0+¡h, h= TH be 1 999 1) Tính gần đúng ƒ (mm) f (— 1000 ) trực tiếp từ biểu thức ƒ(z) = are cot(z) 2) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến P(z) với 15 mốc nội suy cách đều ở trên 3) Xây dựng đa thức nội suy Newton lùi P(x) với 15 mốc nội suy cách đều ở trên ` 1 ` 4) Tính gần đúng ƒ (mm) bằng cách áp dụng:

a) Cơng thức nội suy Newton tiến P(z) và chỉ ra sai số AP

b) Cơng thức nội suy Newton lùi P(x) va chi ra sai sé AP

` 999 `

5) Tính gần đúng ƒ (=) bằng cách ap dung:

Trang 33

2) Lập đa thức nội suy Newton tién P(x) cia ham sé f(x) = arc cot(x) với 15 mốc nội suy cách đền trên (0; 1]: t P(x) =P (5) = 1.98300 x 10729! — 2.297 x 1018/12 +1.153543 x 1071513 — 3.1730 x 10”15!° + 4.795 x 10H —2.74 x 1071319 — 1.744 x 10712? — 7.38 x 10”!¿Š +8.10 x 107197 + 1.74 x 107198 — 2.6402 x 107 +1.462 x 10”! + 0.00009876338/? + 1.55 x 10”? —0.0666666671841¢ + 1.57079632679490

Trang 34

suy Newton lùi để tính gần đúng ƒ(+) = arecot(z) với 15 mốc nội suy cách đều trên |0; I] ta thay:

- Với ø = 1000 gan xq thi cong thức nội suy Newton tiến cho ta kết quả cĩ độ chính xác cao hơn cơng thức nội suy Newton lùi

999

- Với z = 1000 gần z¡; thì cơng thức nội suy Newton lùi cho ta kết

dụng cơng thức nội suy Newton tiến tốt hơn cơng thức nội suy Newton lùi, tương tự để tính gần đúng ƒ(z) khi z gần z¡; sử dụng cơng thức nội

Bài tốn 2.8 Cho ƒ(#) = arcsin(z) trên [0; I] với 15 mốc nội suy cách ` 1 đều z; =0+¡h, h= t= 0, ,15 1 999 1) Tính gần đúng ƒ (mm) f (a 1000 ) trực tiếp từ biểu thức ƒ(z) = arcsin() 2) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến P(z) với 15 mốc nội suy cách đều ở trên 3) Xây dựng đa thức nội suy Newton lùi P(x) với 15 mốc nội suy cách đều ở trên x 1 R 4) Tính gần đúng ƒ (mm) bằng cách ap dụng:

a) Cơng thức nội suy Newton tiến P(z) và chỉ ra sai số AP ) b) Cơng thức nội suy Newton lài P(x) và chỉ ra sai số AP

` 999 R

a) Cơng thức nội suy Newton tiến P(z) và chỉ ra sai s6 AP b) Cơng thức nội suy Newton lài P(x) va chỉ ra sai số AP Lời giải

1 1

1) Ta cĩ ƒ | — ] = aresin | —— ] 3 0.001000000166667

Trang 35

999 999

f | —— ] = arcsin | —— | 3 1.526071239626163

1000 1000

2) Lập đa thức nội suy Newton tiến P(z) của hàm số f(x) = arcsin(x) với 15 mốc nội suy cách đều trên |0; l]: t P(x) =P (5) = 9.08276917889973 x 1011/15 —9.52023880626 x 10”!!! + 4.5310287687 x 1019/13 —1.29577273916 x 10”!? + 2.4830375365 x 107! —0.00000336579068622t'° + 0.000033202281765¢t° —0.00024146431025/ + 0.00129663709295” —0.0050957663710¢° + 0.01435631922693t° —0.027939942034295t! + 0.03526828879398t? —0.025449758292t? + 0.0744917620023¢

Trang 36

~ 1 b) P | —— |] = 0.001111768686496 1000 _ Sai s6 mac phai AP = 107+ x 1.11768519829 999 R 5) Tính gần đúng ƒ (=) bằng cách áp dụng: 999 a) P (=) = 1.559870852798939 1000 Sai số mắc phải AP = 10”? x 3.3799613172776 ~ ( 999 b) P { —— } = 1.559870852860408 1000

Sai s6 mAc phai AP = 107? x 3.3799613234245

suy Newton lùi để tính gần đúng f(x) = arcsin(x) véi 15 mốc nội suy cách đều trên [0; 1] ta thấy:

- Với z= 1000 gần zạ thì cơng thức nội suy Newton tiến và cơng thức nội suy Newton lùi cho ta kết quả cĩ độ chính xác tương đương

999

- VỚI ø = 1000 gần z¡; thì cơng thức nội suy Newton tiến và cơng thức nội suy Newton lùi cho ta kết quả cĩ độ chính xác tương đương

Như vậy, trong bài tốn này để tính gần đúng ƒ(z) khi z gần zạ sử dụng cơng thức nội suy Newton tiến hoặc cơng thức nội suy Newton lùi thì độ chính xác là tương đương, tương tự để tính gần đúng ƒ(z) khi z gần z¡; sử dụng cơng thức nội suy Newton tiến hoặc cơng thức nội suy Newton lui thì độ chính xác là tương đương

Trang 37

3) Xây dựng đa thức nội suy Newton lùi P(z) với 15 mốc nội suy cách đều ở trên

1 :

4) Tính gần đúng ƒ (mm) bằng cách áp dụng:

a) Cơng thức nội suy Newton tién P(x) va chi ra sai s6 AP b) Cơng thức nội suy Newton lùi P(x) va chỉ ra sai s6 AP

999 R

5) Tính gần đúng ƒ bằng cách áp dụng: 1000

a) Cơng thức nội suy Newton tién P(x) va chi ra sai s6 AP b) Cơng thức nội suy Newton lùi P(z) va chi ra sai s6 AP Lời giải 1 - 1) Ta cĩ ƒ (mm) 5.00666625000005 x 107 999 f | —— ] & 1.123525159438428 1000

n ` đa thức nội suy Newton tiến P(z) của hàm số

=f (2# + sin(f))đ# với 15 mốc nội suy cách đều trên [0; l]: 0 15 +1.I x 10711! — 2,8 x 1071/19 + 2 x 10-149 -+9 x 10~148 + 5.47 x 101! + 1.21 x 10-198 +1.23963 x 107145 — 8.23048 x 10-7 +0.000197530872¢? + 0.00222222224159t? + 107 !# P(x) =P (5) = =10ˆ?% + 10-?!⁄H1 — 10-913 — 2 x 10-1812

n _ da thitte ndi suy Newton lui P(x) của hàm số

Trang 38

4) Tính gần đúng ƒ (au ) bằng cách áp dụng: 1000 1 a) P (aa) = 5.00666638134001 x 1077 1000 Sai số mắc phải AP = 10”! x 1.3133996 ~ 1 b) P | —— ] = 4 ) (mm) 99048991667202 x 10 4 1 202 x 107-7 Sai số mắc phải AP = 10” x 1.617633332803 999 5 5) Tính gần đúng ƒ (=) bằng cách áp dụng: 999 a) P {| —— } = 1.123525159214488 1000 Sai số mắc phải AP = 1019 x 2.23940 ~ ( 999 b) P | —— } = 1.123525159438426 1000

Sai s6 mac phai AP = 10-% x2

suy Newton lùi để tính gần đúng ƒ(z) = fee + sin(#))d# với 15 mốc 0

nội suy cách đều trên [0; 1] ta thấy:

1

- Với z = = Tooo gần z thì cơng thức nội suy Newton tiến cho ta kết quả cĩ độ chính xác cao hơn cơng thức nội suy Newton lùi

999 Z

- VỚI # = 1000 gần z¡; thì cơng thức nội suy Newton lùi cho ta kết quả cĩ độ chính xác cao hơn cơng thức nội suy Newton tiến

suy Newton lùi tốt hơn cơng thức nội suy Newton tiến Bài tốn 2.10 Cho ƒ(z)

cach déu 2; =0+ ih, h =

Trang 39

2) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến P(z) với 15 méc nội suy cách đều ở trên ) 3) Xây dựng đa thức nội suy Newton lùi P(x) với 15 mốc nội suy cách đều ở trên ` 1 ` 4) Tính gần đúng ƒ (mm) bằng cách áp dụng:

a) Cơng thức nội suy Newton tiến P(z) và chỉ ra sai số AP b) Cơng thức nội suy Newton lùi P(z) và chỉ ra sai số AP

` 999 `

a) Cơng thức nội suy Newton tiến P(z) va chi ra sai s6 AP b) Cơng thức nội suy Newton lùi P(z) và chỉ ra sai số AP Lời giải 1 1) Ta cĩ ƒ (mm) = —0.000540302636553 1000 999 =") ~ 0.72 16615974 ƒ (=) 0.72077831661597

2) Lập đa thức nội suy Newton tiến P(z) của hàm số ƒ(z) = (sin(cosz))' với 15 mốc nội suy cách đều trên [0; l]: t 5 P(x) =P (=) = 4.9332 x 10-2345 — 3 x 19-2244 —1.304 x 10719! + 4.6 x 107181? + 1.2 x 1071%/H1 — 2.1 x 10716¢!° —1.34 x 1071? + 1.2565 x 107138 — 9.01 x 107! + 1 x 1071/68 +2.215227 x 10775 — 1.1 x 107121 — 0.00009798076973 +5 x 10”1?? — 0.036020153726¿

Trang 40

` 1 ` 4) Tính gần đúng ƒ (mm) bằng cách áp dụng: 1 a) P (aa) = —0.000540302638543 1000 Sai s6 mac phai AP = 107” x 1.99 ~( 1 b) P | ——]} ) (mm) = -0 0.000539749496167 49496167 Sai s6 mac phai AP = 1077 x 5.53140386 ` 999 ` 5) Tính gần đúng ƒ (=) bằng cách áp dụng: 999 a) P | —— } = —0.720778315928583 1000 Sai s6 mac phai AP = 107-'° x 6.87391 ~ ( 999 b) P | —— } = —0.720778316616048 1000

Sai số mắc phải AP= 101! x 7.4

suy Newton lài để tính gần đúng ƒ(Z) = (sin(eosz))' với 15 mốc nội suy cách đều trên [0; I] ta thay:

- Với ø = 1000 gần z thì cơng thức nội suy Newton tiến cho ta kết quả cĩ độ chính xác cao hơn cơng thức nội suy Newton lùi

999

- VỚI # = 1000 gần z¡; thì cơng thức nội suy Newton lùi cho ta kết quả cĩ độ chính xác cao hơn cơng thức nội suy Newton tiến

Kết luận 2.2.1 Đối vdi f(x) là các hàm số lượng giác, lượng giác ngược thực hiện khảo sát uới 10 bài tốn, ta co:

Khi tính gần ding f(x) tai x gan xq cĩ 8 bài tốn (80%) sử dung

cơng thức nội suy Neuton tiến cho kết quả cĩ độ chính xác cao hơn cơng

thúc nội suy Neuton lài, 2 bài tốn (20%) sử dụng cơng thúc nội suy

Định dạng
Số trang	159
Dung lượng	21,06 MB