Đa thức nội suy

Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy LỜI CẢM ƠN Sau thời gian miệt mài vào nghiên cứu với giúp đỡ thầy cô giáo bạn sinh viên trường Đại học sư phạm Hà Nội đến khố luận em hồn thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Ts Nguyễn Văn Hùng giúp đỡ hướng dẫn em tận tình q trình chuẩn bị hồn thành khoá luận Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em có hội để tập với việc nghiên cứu khoa học Đồng thời em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô tổ giải tích trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, động viên giúp đỡ đóng góp ý kiến bạn bè dành cho em trình học tập hồn thành khố luận tốt nghiệp Vì lần em làm quen với công việc nghiên cứu kiến thức thân hạn chế nên khơng tránh khỏi thiết sót Em mong đóng góp ý kiến thầy bạn sinh viên để khố luận em hoàn thành Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Phạm Thị Quỳnh Nga GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Phạm Thị Quỳnh Nga LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan kết khoá luận Đa thức nội suy kết nghiên cứu thân không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Sinh viên Phạm Thị Quỳnh Nga GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Phạm Thị Quỳnh Nga MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU 1.1 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE 1.1.1 ội suy .2 1.1.2 ội suy Lagrange với mốc 1.1.3 ội suy với mốc cách .4 1.1.4 1.1.5 trình Pascal để tính giá trị hàm số f  x  x theo đa thức nội suy Lagrange BÀI TẬP VẬN DỤNG HƯỚNG DẪN 10 1.2.SAI SỐ CỦA PHÉP NỘI SUY CHỌN MỐC NỘI SUY TỐI ƯU 13 1.2.1 số phương pháp 13 1.2.2 số tính tốn 14 1.2.3 ọn mốc nội suy tối ưu 15 BÀI TẬP VẬN DỤNG 17 HƯỚNG DẪN 17 1.3 ĐA THỨC NỘI SUY VỚI MỐC NỘI SUY CÁCH ĐỀU 18 1.3.1.hân 18 1.3.2 ội suy Newton tiến, lùi 21 1.3.3 ội suy Gauss " tiến, lùi " " lùi, tiến " 23 1.3.4 25 BÀI TẬP VẬN DỤNG 29 HƯỚNG DẪN 30 1.4 ĐA THỨC NỘI SUY VỚI MỐC NỘI SUY KHÔNG CÁCH ĐỀU 33 1.4.1 Tỷ sai phân 33 1.4.2 ội suy Newton với mốc không cách 36 1.4.3 máy tính 38 1.4.4 toán nội suy ngược 39 BÀI TẬP VẬN DỤNG 41 HƯỚNG DẪN 41 CHƯƠNG 2: MỞ RỘNG CỦA ĐA THỨC NỘI SUY 43 2.1 ĐA THỨC NỘI SUY HERMITTE .43 2.1.1 toán 43 2.1.2 ội suy Hermitte .43 2.2 NỘI SUY BẰNG HÀM GHÉP TRƠN( SPLINE ĐA THỨC) 44 BÀI TẬP VẬN DỤNG 47 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Phạm Thị Quỳnh Nga HƯỚNG DẪN 48 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC NỘI SUY .50 3.1 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM .50 3.1.1 đạo hàm trường hợp sử dụng đa thức nội suy Lagrange 50 3.1.2 đạo hàm trường hợp sử dụng đa thức nội suy với mốc cách 51 3.1.3 đạo hàm trường hợp sử dụng hàm nội suy Spline bậc ba 53 BÀI TẬP VẬN DỤNG 55 HƯỚNG DẪN 55 3.2 TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN 57 3.2.1 ng thức hình thang .57 3.2.2 ng thức Simpson 58 3.2.3 ng thức Newton – cotes .60 BÀI TẬP VẬN DỤNG 62 HƯỚNG DẪN 62 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích số hay gọi phương pháp số, phương pháp tính, Tốn học tin học, khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu giải số, phương trình, toán xấp xỉ hàm số toán tối ưu Từ năm 50 trở lại đây, từ năm 80, Giải tích số đặc biệt phát triển với phát triển Tin học Ngày nay, với xuất siêu máy tính khả song song hố q trình tính tốn rộng mở Nhiều thuật toán song song đề xuất áp dụng giải toán thực tế Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu sắc môn bước đầu tiếp cận với công nghệ nghiên cứu khoa học, em chọn đề tài " Đa thức nội suy" 2.Mục đích nghiên cứu Bước đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu Giải tích số đặc biệt Đa thức nội suy 3.Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu đa thức nội suy ứng dụng 4.Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận, tổng hợp, đánh giá 5.Cấu trúc khoá luận Gồm phần Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung Chương 1: Đa thức nội suy Chương 2: Mở rộng đa thức nội suy Chương 3: Ứng dụng đa thức nội suy Phần 3: Kết luận GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Phạm Thị Quỳnh Nga CHƯƠNG 1: ĐA THỨC NỘI SUY Trong thực tế tính tốn, ta thường phải tính giá trị hàm số y  f  x  với x đoạn a, b , biết giá trị yi  f  xi  , xi  a, b , i  0, n Ở số trường hợp khác, biểu thức giải tích f  x  biết phức tạp Với trường hợp vậy, người ta thường xây dựng hàm số P  x  đơn giản thoả mãn điều kiện P  x i   f  xi  i  0, n xi  x j , i  j , xi  a, b i ;  x  a, b , x  xi P  x  xấp xỉ y  f  x theo độ xác Hàm số P  x gọi hàm nội suy f  x , xi i  0, n  gọi mốc nội suy Bài toán xây dựng hàm số P  x  gọi toán nội suy Dùng hàm nội suy P  x , ta dễ dàng tính giá trị f  x x thuộc  a, b tương đối xác Từ tính gần đạo hàm tích phân f  x  a, b Vì đa thức đại số đơn giản nên trước tiên ta nghĩ đến việc xây dựng P  x  dạng đa thức đại số 1.1 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE 1.1.1 nội suy Giả sử hàm số f  x xác định đoạn  a, b ta biểu thức giải tích nó, ta biết giá trị y0 , y1 , , yn tương ứng với x , x1, , x n  a, b a  x  x1   xn  b Ta tìm đa thức bậc n: P  x    a x cho   n i Pn xi  yi ,i  0, n sai i i0 số Pn  x f  x nhỏ Khi đa thức Pn  x gọi đa thức nội suy GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Phạm Thị Quỳnh Nga 1.1.2 nội suy Lagrange với mốc Bài tốn: Cho xi  a, b , i  0, n , xi  x j , i  j yi  f  xi  , i  0, n Hãy xây dựng đa thức nội suy Pn  x thoả mãn: deg Pn  x   n , Pn  xi   yi , i  0, n Trước hết ta xét hàm số sau: n  x  x  i j   x  i j n i0  x  x  j i i0 i j Rõ ràng deg  j  x  n , j  0, n 0 Và j  x   1 j Do   x   i  x i  x0   xi  x1  (xi  xi ) xi  xn    x  j ijij 0,i  j  x  x   x  x  (x  x )  x  x  j j nê'u nê 'u j j i j n  x  x   x  x  (x  x )  x  x   1,i  j  x  x   x  x  (x  x )  x  x  j j j j j i j j i n j n n  x  x  i i0  i j n n Đặt Pn  x   y j (1.1)  j  x với  j  x j0  x  x  j i0 i j Ta có : deg Pn  x  n n Pn  x   y j   j  xi    y j   j  xi   yj   j  x j  j0 i j   yj  yj (i  j) Vậy Pn  x thoả mãn yêu cầu toán đặt ra, Pn  x  xây dựng gọi đa thức nội suy Lagrange GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Phạm Thị Quỳnh Nga i n Đặt   x    x  xi  j0 i  x i0 Ta có: j Pn x  y j  n (1.2) x  x    x   Tính đa thức nội suy Lagrange Giả sử ngồi có đa thức P n  x  thoả mãn điều kiện trên, gọi   x  [Pn  x   P n  x  ] deg  x   n nhậnít (n  1) nghiệm x , x1, , x n (Do   xi   Pn  xi   P n  xi   yi  yi  , i  0, n ) Suy đa thức   x  phải đa thức khơng, P n  x   Pn  x  Vậy tồn đa thức thoả mãn điều kiện 1.1.3 nội suy với mốc cách Giả sử xi1  x i  h , i  0, n 1, x0  a , xn  b Khi dùng phép đổi biến x  x  th , x j  x  jh với j  0, n 1 thay vào biểu thức j  x  ta được:  x  x0  x  x1  x  x j1  x  x j1  x  xn    x  j  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  j j j j1 j j1 j n  x0  th  x0   x0  th  x0  h   x0  th  x0   j1 h  x  jh  x0   x0  jh  x0  h  x0  jh  x0   j 1 h  x  th  x   j 1 h   x0  th  x  nh   x0  jh  x0   j  1 h  x0  jh  x0  nh   n j t  t 1 t   j1  t   j 1   t  n  j j 1  j  j1   j  j 1   j n    t  t 1  t  n 1  tj j!n  j! n Mà Pn  x    y j   j  x  j0 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Suy P n x  P nx  th0   y   P x  th  n t  t 1 t n j j0 t  t 1  t  n  n nj n 1 n!  1nj C  j!n  j!n! tj j n j y (1.3) n! j0 tj Chún ý công thức (1.3) hệ số  1 n j C không phụ thuộc vào hàm số f  x  , mốc nội suy, bước h nên tính sẵn lập bảng để sử dụng q trình tính tốn j  Nhận xét:  Nội suy bậc hay gọi nội suy tuyến tính n  ta có đa thức nội suy Lagrange bậc nhất: P1 x  y 0 x  x1  y  x  x x x x x 1 Khi n  ta có đa thức nội suy Lagrange bậc hai: P2 x  y 0 x  x1  x  x2  x  x0   x  x2  y  x  x  x  x  y2  2 1 1  x  x0  x  x1   x  x  x  x  Tổng quát, hàm số f  x có (n 1) mốc nội suy x , x1, , x n đa thức nội suy Lagrange hàm số f  x đa thức bậc n  Đa thức nội suy Lagrange có ưu điểm đơn giản, dễ tính, nhiên nhược điểm thêm mốc nội suy phải tính lại từ đầu 1.1.4 Ví dụ  Ví dụ 1.1 Hãy tìm đa thức nội suy Lagrange hàm số y  sin x [0, ] với x  0, x  , x  2 Giải: GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Phạm Thị Quỳnh Nga x x  x x  Ta có: y  0, y  , y  1 Suy đa thức nội suy Lagrange hàm số y  sin x là: P x 01  2 xx1  1     11 1    66 2 x x     1     2  Rút gọn ta có: P  x  3x  x 2  Ví dụ 1.2 Sử dụng cơng thức nội suy Lagrange để phân tích phân thức hữu tỷ sau thành tổng phân thức tối giản  fx 3x2  x   x 1 x  2 x  3 Giải: Đặt g  x   3x  x  Lập bảng giá trị g x x  1, 2,3 x g x 15 31 Khi đó: g x      x  2  x  3  15   x 1  x  3  31  x 1  x  2 31  x  2 x  3 15 x 1 x  3   x 1 x  2 1  2  3 Từ suy f x    15  31 2 x 1 x  2 x  3  Ví dụ 1.3 Hàm số f  x cho bảng sau: GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Phạm Thị Quỳnh Nga 2 1  3 3 1  2 Đa thức nội suy Lagrange hàm số f(x)  x  1 x 1 x  2 P(x)  5   2  1 2 1 2  2  1  2 1 1 1  2  x  2 x 1 x  2   x  2 x  1 x  2   4  x  2x  x  2   x  x  4x  4 2 3  x  x  4x  4   x  2x  x  2 3 12 12 1  21  11  2  x  2 x  1 x 1   2  1 1 7  x3  x  x  2  f   x  x  x  2 3.1.2 Tính gần đạo hàm trường hợp sử dụng đa thức nội suy với mốc cách Ta sử dụng công thức nội suy newton tiến, Newton lùi, Gauss I, Gauss II để tính gần đạo hàm Trong phần trình bày cách tính gần đạo hàm đa thức nội suy Newton tiến, Newton lùi, trường hợp khác thực tương tự 3.1.2.1 gần đạo hàm nhờ sử dụng đa thức nội suy Newton tiến Giả sử cần tính f   x  , f  x x  x o , ta thay f  x  đa thức nội suy Newton tiến P  x với t  x  x o h P  x   P x  h   y  o y y 3! o yo t o t  t 1 t  2   o  yo t  t 1  1! 2! n t  t 1  t  n  1 n! Tính f   x  : f   x   P  x  1 y y f   x  y  o  2t 1  o  3t2  6t  2   GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng (6.2)  51 h o 2! SV: Phạm Thị Quỳnh Nga 3!    Vậy f x   y   y (t 1)   y 6t 18t 11     h2   o (6.3) o o 12 3.1.2.2 gần đạo hàm nhờ sử dụng đa thức nội suy Newton lùi Tương tự sử dụng đa thức nội suy Newton tiến ta có: n y y y P  x   y  n1 t  n2 t  t  1   t  t 1  t  n 1 n 1! 2! n! Trong t  x  x h Ta có: f   x  1 y2 y 3 y  n2  2t  1  n3  3t  6t  2   (6.4) h  h  f x   y   y  t  1   y 6t 18t 11     2! h2   -0.35 -0.1 0.15 0.4 0.65 y 0.387322 0.762616 1.501553 2.956482 5.821162 Tính f  0.25, f 0.61 Giải: Ta có bảng sai phân : x y 0,35 0,387322 y 2y 3 y 4 y 0,375294 -0,1 0,762616 0,15 1,501553 0,363643 0,738937 0,352349 0,715992 1,454929 0,4 2,956482 0,65 5,821162 0,34141 0,693759 1,409751 2,86468 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 52 n1   Ví dụ 2.7 Hàm số f(x) cho bảng: x  SV: Phạm Thị Quỳnh Nga 3! (6.5) n2 n3 n4 12 • Tính f   0, 25  ta sử dụng đa thức nội suy Newton tiến với h  0, 25; t  x  xo  0, 25  0,35  0, h 0, 25 2 y  y y y f  x  y o o t  o t t 1  o t  t 1 t  2  o t  t 1 t  2 t 3   1!  yo 2!  yo 3!  yo 24! f4  x  y  2t 1  3t  6t  2   4t 18t  22t  6 3   f  0, 25  1,38452544 h  o 2! 3!  4! • Tính f  0, 61 ta sử dụng đa thức nội suy Newton lùi với h  0, 25, t  x  xn  0, 61  0, 65  0,16 h f  x  y  yn1 n  y0   y y t 1!  yn2 t  t  1  2!  yn3 0, 25 t  t  1 t  2  3! t  t  1 t  2 t  3 4!  y  n2  2t 1  n3  3t  6t  2  2 h  yo  4t  18t2  22t  6   4!  f   x 1    n1 4  f  0, 61  14, 05891221 3.1.3 Tính gần đạo hàm trường hợp sử dụng hàm nội suy Spline bậc ba Với y = f(x), ta xấp xỉ nhờ đa thức Spline bậc ba S(x), lúc ta đặt : f   x  S  x , f x  Sx  Ví dụ 2.8 Cho f  x  sinx đoạn 0,  Hãy tính gần đạo hàm 4 f    , f    nhờ Spline bậc ba với phân hoạch 0,  ,              Giải: Ta có GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 53 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga 2! 3!   x  0, x   , x  , f  x   0, f  x   1, f  x   2 h h ,g 2,g 2 1   Ta tìm đa thức nội suy Spline bậc ba hàm số f(x) đoạn  xi , xi1  , i  1, 2 dạng: i i i i i i i i P  x  a  b  x  x   c  x  x   d x  x  , i  1, 2 Với a1  f  x1   0, a  f  x2   Và h1c1  2 h1  h2  c2  h2c3  3 g2  g1  Ta có c1  c3  từ suy ra:  h  h  c2   g  g   c  6 2 2 2 Có b  g  h  c  2c   3  b g 1h d c2  c1 c   2c  ,d   c3  c2  3h 3 3h 3 Vậy đoạn 0,  có S  x  x  4x    3.4x 12x2         S x  2.12x  24x  S3 x       f      0, 71619724     f     0, 60792710    GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 54 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga  3 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Hàm số f(x) cho bảng: x -3 -2 y 58 19 -1 Tính f   x Bài Hàm số f(x) cho bảng: x 0,05 y 0,100335 0,2 0,35 0,5 0,65 0,422793 0,842288 1,557407 3,602102 Bài Hàm số f  x  e cho bảng: x x f(x) e e2 e3 Tính f  0,125 , f 0,125 dựa vào Spline bậc ba: S3  x hàm số f  x HƯỚNG DẪN Bài f   x   9 x  5x  2 Bài Lập bảng sai phân: GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 55 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga x y 0,05 0,100335 y 2y 3 y 4 y 0,322458 0,2 0,422793 0,35 0,842288 0,097037 0,419495 0,198587 0,295624 0,715119 0,5 1,557407 0,65 3,602102 0,835365 1,033952 1,329576 1,329576 Ta có: h=0,15 • Tính f 0,11 Ta áp dụng đa thức nội suy Newton tiến yo  yo y y t  t  t 1  o t  t 1t  2  o t  t 1t  2 t 3 o   1!  yo 2!  yo 3!  yo 24! y  2t 1  3t  6t  2   4t 18t  22t  6 f  x  y  f4  x   Với t  x  xo  0,11  0, 05  0, h 0,15 h   f 0,11  2,143520911 • Tính f  0, 62 ta sử dụng đa thức nội suy Newton lùi với h  0,15, t  x  x n  0, 62  0, 65  0, h y  y y f  x   y  t  t  t  1  t  t  1 t  2  1! 2! 3!  y0 t  t  1 t  2 t  3 4! GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 56 0,15 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga o 2! 3! 4!    y   y 2t  1   y 3t  6t    h  yo     f   x    4! 2!  3!  4    4t 18t  22t  6  f  0, 62  17,87830158 Bài f   0,125  0, 608979312 f 0,125  0,14150549 3.2 TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN Trong thực tế, nhiều ta phải tính tích phân xác định hàm số mà khơng biết ngun hàm Nếu dùng định nghĩa tính tích phân n1 I  lim  f  x i  xi tổng Darboux hội tụ chậm, để đạt n i0 độ xác khơng cao, ta phải thực khối lượng tính tốn lớn Ngồi nhiều trường hợp, hàm f(x) cho dạng bảng khái niệm ngun hàm trở lên vơ nghĩa Phương pháp đơn giản để tính gần tích phân xác định thay f(x) đa thức nội suy P(x), sau đặt: b b I   f  x dx   P x dx a a 3.2.1 thức hình thang b Tính I   f  x  dx a Ta chia đoạn [a,b] thành n phần với điểm chia x : a  x  x  x   x  b, x  a  ih, i  0, n , h  b  a i o n i   n Khi ta có: x1 x2 xn I   f  x dx   f  x dx    f  x dx xo x1 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng xn 1 57 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga  h y  y  y  y  y   y  y  h y  y  y   y  o n1 n   Ví dụ 2.9 Tính gần tích phân I    (6.6)  dx x 1 cơng thức hình thang với việc chia đoạn [0,1] thành 10 phần Giải: Ta có bảng x 1 0,1 0,990099009 0,2 0,961538461 0,3 0,917431192 0,4 0,862068965 0,5 0,8 0,6 0,735294117 0,7 0,671140939 0,8 0,609756097 0,9 0,552486187 0,5 Ta có: h=0,1 Áp dụng công thức (6.6) ta được: I  0,1 1  0,5  20,990099009  0,961538461   0,552486187    0, 784981496 3.2.2 thức Simpson b Tính I   f  x dx a Ta chia đoạn [a,b] thành 2n phần với điểm chia GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 58 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga o n 1 n1  x : a  x  x  x   x  b, x  a  ih, h  b  a i o 2n i 2n Khi ta có: x2 x2 n x4 I   f  x dx   f  x dx   o x2  f  x dx x2 n  h y  4y  y  4y  y   y  o  h y  y  y  y   y 2n2 2n1 2n 3  Ví dụ 3.1 Tính gần tích phân I   dx x2  công thức Simpson với việc chia đoạn [0,1] thành 20 phần Giải: Ta có bảng: x 0,05 0,997506234 0,1 0,990099009 0,15 0,97799511 0,2 0,961538461 0,25 0,94117647 0,3 0,917431192 0,35 0,890868596 0,4 0,862068965 0,45 0,831600831 0,5 0,8 0,55 0,767754318 0,6 0,735294117 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 59  4y  y  SV: Phạm Thị Quỳnh Nga o 2n  2n2   2n1   y  y   y  (6.7) 0,65 0,702987697 0,7 0,671140939 0,75 0,64 0,8 0,609756097 0,85 0,580551523 0,9 0,552486187 0,95 0,525624178 0,5 Áp dụng công thức (6.7) ta được: I  4  0,997506234  0, 97799511   0, 525624178  0, 05 1  0,   0, 990099009  0, 961538461   0, 552486187      0, 78564507 3.2.3 thức Newton – cotes b Tính I   f  x dx a xa Đặt t   x  a   b  a t , ta I   b  a   g t  dt ba Ta chia đoạn [a,b] thành n phần với điểm chia x : a  x  x  x   x  b,x  a ih i  0,n , h  ba , t  i i  0,n i o n  i  n i h   Thay g(t) đa thức nội suy Lagrange P(x) với  Đặt yi = f(xi) ta có: GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng  n n     P x ny          60 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga  y        o      1  n  n     yn 1  0 1   1 n 1  n   n   i n            i   i i 1   i i    i o P  i          n  n n   n n  n i Ta nhận thấy hệ số  n  n   t  0  t   t  i 1  t  i   t 1dt  , i  0, n     Pn ; i  0, n khơng phụ thuộc vào hàmf x đoạn lấy tích phân [a,b], chúng tính sẵn, lập bảng sử dụng lâu dài n Pno Pn1 1 3 32 12 32 19 75 50 50 75 19 41 216 27 272 27 216 Pn2 Pn3 Pn4 Pn5 90  288 41 Trongn N bội số chung nhỏ mẫu số P ; i  0, n  n  N Pn6 i I   b  a   y P ; ii n0, n  n  Đặt n        1  n n   n n n   n   t  0  t    t  n 1  n   t  0  t   t 1 t   t    t 1 i  840 vậy, ta có cơng thức tính gần tích phân Newton-cotes (6.8) i0  Ví dụ 3.2 Tính gần tích phân I   GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 61 x 1 theo công thức SV: Phạm Thị Quỳnh Nga dx   1 i  i   n t,g t  i   i,f x  Newton-cotes với n=6 Giải: Ta chia đoạn [0,1] thành phần ta có: 41 216 Po  P6  ; P  P5   ; 6 840 840 35 P63  272  34 ; P26 P4 6 27  ; 840 105 840 280 yo  1; y1  0,972972973; y2  0,9; y3  0,8 y4  0, 692307692; y5  0,590163934; y6  0,5 Áp dụng công thức (6.8) ta được: I   y i Pn  0, 785392713 i i0 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Tính gần tích phân I   cos x2dx theo cơng thức hình thang với việc chia đoạn [1,2] thành 10 phần Bài Tính gần tích phân I   cos x2dx theo công thức Simpson với việc chia đoạn [1,2] thành 10 phần dx Bài Tính gần tích phân I   x  theo công thức Newton-cotes với n=4 HƯỚNG DẪN Bài Ta có bảng: GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 62 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga x cos x2 0,999729241 1,1 0,999603590 1,2 0,999438581 1,3 0,999226750 1,4 0,998959986 1,5 0,998629534 1,6 0,998225999 1,7 0,997739345 1,8 0,997158900 1,9 0,996473359 2,0 0,995670790 Áp dụng công thức (6.6) với h=0,1 ta được: I  0,1 0,999729241 0,995670790   0,999603590   0,996473359   I  0,998315606 Bài Ta có bảng: x cos x2 0,999972025 1,1 0,999959042 1,2 0,999941991 1,3 0,999920101 1,4 0,999892532 1,5 0,999858379 1,6 0,999816668 1,7 0,9997666368 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 63 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga 1,8 0,999706343 1,9 0,999635448 2,0 0,999552432 Áp dụng công thức (6.6) với h=0,1 ta được: I 0,1 0,999972025  0,999552432  20,999941991  0,999706343  4  0,999959042   0,999635448   I  0,999826598 Bài Ta chia đoạn [0,1] thành phần 32 P4o  P44  ; P1 4 P3 4 ; P 4 90 90 yo  1; y1  0,8; y2  0, 666666666; y3  0,5711428571; y4  0,5 i y P Áp dụng công thức (6.8) ta được: I  GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 64 i i0 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga n  0, 715295238 KẾT LUẬN Ngày nay, toán học ứng dụng dần sâu vào lĩnh vực đời sống xã hội Người học toán, nghiên cứu toán học khơng học lý thuyết mà phải có vốn hiểu biết nhiều tốn ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp trình bày đa thức nội suy Ngồi ra, khóa luận đưa ví dụ minh họa tập vận dụng Đặc biệt, khóa luận ứng dụng tin học vào việc giải tốn tính gần sử dụng lập trình Pascal Vấn đề nghiên cứu nhiều điểm hay bổ ích lần đầu tiến hành nghiên cứu khoa học thời gian, kiến thức hạn chế nên khóa luận em nhiều thiếu sót cần bổ sung góp ý, em mong nhận bảo góp ý thầy bạn Một lần nữa, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô giáo tổ giải tích, thầy khoa tốn trường ĐHSP Hà Nội đặc biệt thầy Ts Nguyễn Văn Hùng người trực tiếp hướng dẫn em hồn thành khóa Em xin chân thành cảm ơn! GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 65 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga luận TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kỳ Anh (1995), Giải tích số, NXB ĐHQG Hà Nội Nguyễn Minh Chương(2000)– Nguyễn Văn Khải–Khuất Văn Linh– Nguyễn Văn Tuấn-Nguyễn Tường, Giảitíchsố, NXBGiáodục Phạm Huy Điền (2000), Tính tốn lập trình giảng dạy toán học Maple, NXB Khoa học kỹ thuật Gs Tạ Văn Đĩnh (1991), Phương pháp tính, NXB Giáo dục Khuất Văn Ninh (2011), Giải tích số, NXB ĐHSP Hà Nội GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Phạm Thị Quỳnh Nga ... có (n 1) mốc nội suy x , x1, , x n đa thức nội suy Lagrange hàm số f  x đa thức bậc n  Đa thức nội suy Lagrange có ưu điểm đơn giản, dễ tính, nhiên nhược điểm thêm mốc nội suy phải tính lại... n! Công thức (3.4) gọi đa thức nội suy Newton lùi 1.3.3 nội suy Gauss " tiến, lùi " " lùi, tiến " Đa thức nội suy Newton tiến, lùi mang đặc trưng phía Nhiều ta cần sử dụng công thức nội suy chứa... công thức nội suy thông dụng công thức chứa sai phân trung tâm Giả sử mốc nội suy xếp sau: xi  x0  ih i  0, 1,, n  1.3.3.1 Đa thức nội suy Gauss " tiến, lùi " (Gauss  ) Đa thức nội suy