Đa thức nội suy Lagrang và đa thức nội suy Newton

Môc lôc 1 Mở đầu Trong thực tế tính toán, ta thờng phải tính giá trị của hàm số y = f(x) với x bất kỳ trên đoạn , trong khi chỉ biết các giá trị . ở một số trờng hợp khác, biểu thức giả tích của f(x) đã biết, nhng quá phức tạp. Với những trờng hợp nh vậy, ngời ta thờng xây dựng một hàm số P(x) đơn giản thoả mãn điều kiện P(x i ) = f(x i ), ; ngoài ra tại thì P(x) xấp xỉ y = f(x) theo một độ chính xác nào đó. Hàm số P(x) nh vậy đợc gọi là hàm nội suy của f(x), còn các x i ( i = 0, 1, , n) gọi là các mốc nội suy. Bài toán xây dựng P(x) nh vậy gọi là bài toán nội suy. Mục tiêu của phép nội suy khá nhiều, nhng chủ yếu là tìm thuật toán đơn giản tính giá trị f(x) cho những x không nằm trong bảng ( ). Một bộ số liệu ( ) và một ch- ơng trình ngắn gọn có thể thay một bảng rất dài các giá trị . Ngoài ra sử dụng kết quả của phép nội suy, có thể tìm đạo hàm hoặc tích phân của trên đoạn . Do thời gian có hạn nên ở đề tài này chúng em chỉ trình bày cách sử dụng đa thức nội suy Lagrăng và đa thức nội suy Newton tiến để tính giá trị của hàm số f(x) cho dới dạng bảng tại một số giá trị ngoài bảng. I. Nội suy bằng đa thức đại số Ngoài ý nghĩa lịch sử ra, đa thức đại số thờng đợc dùng trong phép nội suy vì lý do đơn giản sau: các phép toán cộng, trừ, nhân, đạo hàm, tích phân dễ dàng đợc thực hiện trên đa thức. Hơn nữa nếu P(x) là đa thức, còn c là hằng số thì P(cx) và P(x + c) cũng là đa thức. Bài toán nội suy đặt ra nh sau: Cho các mốc nội suy Hãy tìm đa thức bậc m: ) ý nghĩa hình học của bài toán nội suy là: hãy xây dựng đờng cong đại số y = đi qua các điểm cho trớc Nh vậy ta cần xác định (m + 1) hệ số từ hệ phơng trình tuyến tính sau: (1.1) 2 Dễ thấy nếu m < n ( m > n) hệ nói chung vô nghiệm ( vô định). Khi m = n, hệ (1.1) có định thức Vandermonde Suy ra phơng trình (1.1) có nghiệm duy nhất. II. Đa thức nội suy Lagrange II.1. Cơ sở lý thuyết Sau đây ta sẽ trình bày cách xây dựng đa thức nội suy mà không cần giải hệ (1.1). Trớc hết, ta tìm đa thức có bậc n, sao cho Dễ thấy Vì: Nên: Đặt: ta có: Nh vậy, P(x) là đa thức nội suy (duy nhất) cần tìm. Nếu các mốc nội suy cách đều, tức là h Thì đặthay x = x 0 + th ta đợc Tóm lại 3 (2.1) Trong công thức (2.1), các hệ số không phụ thuộc vào hàm số f(x), mốc nội suy và bớc h. Do chúng đợc tính sẵn, lập bảng để sử dụng nhiều lần. Công thức nội suy Lagrange trình bày nh trên có u điểm đơn giản nhng nếu thêm mốc nội suy phải tính lại toàn bộ. Nhợc điểm này đợc khắc phục trong công thức nội suy Newton v.v Sau đây ta sẽ dùng phần mềm maple 12 để tìm đa thức nội suy Lagrăng và tính giá trị của hàm: 4 II.2. LËp tr×nh sö dông Maple 12 ®Ó t×m ®a thøc néi suy Lagrange 5 > 6 II.3. C¸c vÝ dô VÝ dô 1: Cho f(x) cho bëi b¶ng sau: x i -1 0 1 7 f(x i ) 1/3 1 3 TÝnh: f(1/2)? { f(x) = 3 x } > §a thøc néi suy Lagrange: VËy f(1/2) = 1.83333333 VÝ dô 2: Cho f(x) cho bëi b¶ng sau: x i -2 -4/3 0 4/3 2 f(x i ) 0 1 2 1 0 TÝnh f(1)? > §a thøc néi suy: 1.415625000 VËy f(1) = 1,41562500. VÝ dô 4: Cho f(x) cho bëi b¶ng sau: x i 0 1 2 3 4 5 f(x i ) 0 1 8 27 64 125 TÝnh f(6)? {f(x)=x 3 } > §a thøc néi suy: 8 VËy f(6) = 216. VÝ dô 5:Cho f(x) cho bëi b¶ng sau: x i 0 1 4 9 16 25 36 49 f(x i ) 0 1 2 3 4 5 6 7 TÝnh f(3)? { f(x) = } > §a thøc néi suy: 1.828194444 VËy f(3) = 1.82819444 VÝ dô 6: Cho f(x) cho bëi b¶ng sau: 9 x i 0 f(x i ) 1 0 -1 0 TÝnh ? { f(x) = cosx} > §a thøc néi suy: VËy =0.964421377 VÝ dô 7: Cho f(x) cho bëi b¶ng sau: x i 0 f(x i ) 0 1 0 -1 TÝnh ? { f(x) = sinx} 10 [...]... 5211/10000 Đa thức nội suy: Vậy f(14/100) = 0.00941915520 Ví dụ 3: Cho f(x) cho bởi bảng sau: x0 h y1 y2 0 Tính ? y3 0 y4 { f(x) = cosx} > 18 y5 -1 y6 y7 0 y8 Đa thức nội suy: 19 Vậy =0.964421377 20 Ví dụ 4: Cho f(x) cho bởi bảng sau: x0 h 0 0 Tính ? 1 { f(x) = sinx} > 21 0 -1 Đa thức nội suy: 22 0.260017727 Vậy =0.26001772 Qua các ví dụ minh hoạ ở trên ta thấy việc dùng đa thức Lagrăng và Newton tiến... a0 = y0 ; x = x1 Nói chung đặt x = xi, ta có Đổi biến ta đợc: (*) Ta gọi (*) là công thức nội suy Newton tiến 14 III.2 Lập trình sử dụng maple 12 tìm đa thức nội suy Newton tiến 15 III.3 Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho f(x) cho bởi bảng sau: x0 h y0 0 1 0 Tính f(6)? y1 1 y2 y3 8 27 {f(x) = x3 } > 16 y4 64 y5 125 Đa thức nội suy: 216 Vậy f(3) = 216 Ví dụ 2: Cho f(x) cho bởi bảng sau: x y h y y 0 0 1 2 y4 3...> Đa thức nội suy: 0.260017727 Vậy =0.26001772 11 III Đa thức nội suy Newton tiến III.1 Cơ sở lý thuyết III.1.1 Sai phân và các tính chất Giả sử f: là một hàm cho trớc và h = const Ta gọi sai phân cấp 1 của f(x) là đại lợng: Tỷ sai phân cấp 1 của f(x) là Một cách tổng quát Các tính chất của sai phân: 1) là toán tử tuyến tính, nghĩa là: 2) Nếu c = const thì 3) Từ tính chất (2) suy ra với... nhỏ ( Đpcm) III.1.2 Một số quy tắc nội suy hàm số trên lới đều a Bảng sai phân Giả sử hàm số y = f(x) cho dới dạng bảng yi = f(xi) tại các môcác xi cách đều: xi+1 xi = h = const () Khi đó sai phân của dãy yi đợc xác định nh sau: Tính chất 5, 6 của mục III đợc viết lại nh sau: b Nội suy ở đầu bảng Mốc nội suy đợc sắp theo thứ tự x0 < x1 < < xn Ta tìm đa thức nội suy dới dạng: P(x) = a0 + a1(x x0)... quả xấp xỉ nhau Nội suy cui bảng (Newton tiến) ở giữa bảng lm tơng tự 23 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Minh Chơng(chủ biên) Nguyễn văn Khải Khuất văn Ninh Nguyễn Văn Tuấn Nguyễn Tờng (2001), Giải tích số, Nxb Giáo dục [2] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình và giảng dạy toán học trên Maple, Nxb Khoa học và kỹ thuật [3] Phạm Kỳ Anh (2007), Giải tích số, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội [4] Maple... tính chất (2) suy ra với mọi m > n 4) Nếu P(x) là đa thức bậc n thì theo công thức Taylor 5) Thật vậy (ở đây 1 là toán tử đơn vị) áp dụng nhiều lần ta đợc: 6) Ta có 7) Giả sử Khi đó (5.1) Ta chứng minh (5.1) bằng qui nạp 12 Với n = 1, ta có công thức số gia hữu hạn Giả sử (5.1) đúng với mọi Ta chứng minh cho k = n+1 Thật vậy trong đó áp dụng công thức số gia hữu hạn cho , ta đợc: Trong đó Đặt , ta . trình bày cách sử dụng đa thức nội suy Lagrăng và đa thức nội suy Newton tiến để tính giá trị của hàm số f(x) cho dới dạng bảng tại một số giá trị ngoài bảng. I. Nội suy bằng đa thức đại số Ngoài. còn c là hằng số thì P(cx) và P(x + c) cũng là đa thức. Bài toán nội suy đặt ra nh sau: Cho các mốc nội suy Hãy tìm đa thức bậc m: ) ý nghĩa hình học của bài toán nội suy là: hãy xây dựng đờng. hệ (1.1) có định thức Vandermonde Suy ra phơng trình (1.1) có nghiệm duy nhất. II. Đa thức nội suy Lagrange II.1. Cơ sở lý thuyết Sau đây ta sẽ trình bày cách xây dựng đa thức nội suy mà không cần