Tìm đa thức nội suy bằng phương pháp lagrang và phương pháp newton

Tìm đa thức nội suy bằng phương pháp lagrang và phương pháp newton

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

KHOA TOÁN TIN ỨNG DỤNG

Đề tài: Tìm đa thức nội suy b

Lagrang và phương pháp Newton

áo viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển Sinh viên thực hiện : Nguyễn Tiến Trun

Lớp: Toán 2-k51

MỤC LỤC

hương I Lý thuyết cơ sở………

C I Giới thiệu tổng quan về Maple………

1 Các tính năng cơ bản của Maple………

2 Một số gói thủ tục ………

II Một số lệnh sử dụng trong chương trình………

1 Vòng lặp while………

2 Vòng lặp for………

3 Câu điều kiện If………

4 Lệnh Break ………

5 Lệnh Next………

6 Sử dụng các hàm DIFF,SUBS,COLLECT,SUM,STRUCT……

Chương II Tìm đa thức nội suy bằng phương pháp Lagrange I Giới thiệu chủ đề bài toán ………

1 Mô tả bài toán………

2 Yêu cầu và mục đích của bài toán………

3 Giới hạn việc thực hiện bài toán………

II Xây dựng đa thức nội suy bằng công thức Lagrange…………

1 Công thức Lagrange………

2.Ví dụ cụ thể

III Chương trình minh họa………

Chương IV Tìm đa thức nội suy bằng công thức Newton…

I Giới thiệu chủ đề bài toán ………

1 Mô tả bài toán………

**********************

2 Yêu cầu và mục đích của bài toán………

3 Giới hạn việc thực hiện bài toán………

II Xây dựng đa thức nội suy bằng công thức Newton…………

1 Công thức Newton……… 2.Ví dụ cụ thể III Chương trình minh họa

*************

CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT CƠ SỞ

ên các biểu thức đại số và minh họa toán h

Maple cung cấp ngày càng nhiều các công cụ trực

ngữ kiểu động Cũng giống như các h

h năng cơ bản của Maple

toán học theo các ký hiệu toán học truyề

ạo ra những giao diện người dùng tùy chọn

g như hiển thị Nhi

a các định dạng khác nhau như LaTex, Word, HTML,…

Giới thiệu tổng quan về Maple:

Maple là một hệ thống tính toán tr

ọc mạnh mẽ Từ khi ra đời đến nay Maple đã phát triển qua rất nhiều phiên bản, Maple có cách cài đặt đơn giản, chạy được trên nhiều hệ điều hành, có cấu trúc linh hoạt để sử dụng một cách tối ưu cấu hình máy và có trình trợ giúp rất dễ sử dụng

Trải qua nhiều phiên bản,

quan, các gói lệnh giúp tính toán toán học phổ thông và đại học Ưu điểm đó làm cho nhiều người lựa chọn và sử dụng Maple cùng với các phần mềm toán học khác áp dụng trong dạy toán và các công việc tính toán đòi hỏi thực tiễn và sự phát triển của giáo dục

Ngôn ngữ lập trình Maple là một ngôn

ệ thống đại số máy tính, các biểu thức hình thức đuợc lưu trữ trong bộ nhớ theo đồ thị không chu trình có huớng (DAG) Ngôn ngữ cho phép các biến có phạm vi nhất định (lexical scoping) Ngôn ngữ có hình thức lập trình hàm, nhưng cũng có hỗ trợ đầy đủ cho lập trình truyền thống, theo kiểu mệnh lệnh

Các tín

Người dùng có thể nhập biểu thức

n thống

Có thể dễ dàng t

Maple hỗ trợ cho cả tính toán số và tính toán hình thức, cũn

ều phép tính số học được thực hiện dựa trên thư viện số học NAG; trong Maple, các chương trình con NAG đã được mở rộng để cho phép độ chính xác ngẫu nhiên lớn

Cho phép triết xuất r

Maple cũng có một ngôn ngữ lập trình cấp cao đầy đủ Cũng có giao diện cho nh

u đối tuợng: nguời dùng có thể nhập biểu

với các l

ất lớn các hàm tạo sẵn đáp ứng cho những yêu cầu tính toán khác nhau trong nhi

h có trong ch

ụng trong chương trình

:

<điều kiện> do <dãy lệnh> od;

ững ngôn ngữ khác (C, Fortran, Java, MatLab, và Visual Basic) Cũng có một giao diện dành cho Excel

Đáp ứng nhu cầu tính toán của nhiề

thức toán học theo các ký hiệu toán học truyền thống và thực hiện đuợc hầu hết các phép toán cơ bản trong chương trình đại học và sau đại học

Là một công cụ biên soạn giáo án và bài giảng điện tử, thích hợp

ớp học tương tác trực tiếp; là một trợ giáo hữu ích cho học sinh sinh viên trong việc tự học

Một số gói thủ tục

Maple chứa một lượng r

ều lĩnh vực Các hàm này được lưu trữ trong các gói chu trình (package) và người sử dụng có thể dễ dàng gọi đến mỗi khi cần thiết Tuy nhiên, người dùng Maple có thể tự tạo cho riêng mình những gói chu trình cũng như có thể trao đổi dùng chung những gói chu trình nào đấy, phục vụ cho công việc mang tính đặc thù riêng của mình

Ở bản báo cáo này, chúng em xin chỉ trình bày những gói chu trìnương trình

mãn (giá trị của nó là đúng) thì các câu lệnh bên trong được thực hiện, sau

đó lại tiếp tục kiểm tra điều kiện condition cho đến khi điều kiện không còn thỏa mãn nữa Vòng lặp while thường được sử dụng khi số lần lặp một hay một chuỗi biểu thức là không xác định rõ, đồng thời ta muốn các biểu thức

đó cần được lặp trong khi một điều kiện nào đó còn được thỏa mãn

Điều kiện condition trong vòng lặp phải là một biểu thức boolean, tức là giá t

ều dòng

ặp chuỗi các câu lệnh nằm giữa do và od khi

mà đ

name from start by change to finish

rị của nó chỉ có thể là đúng hoặc sai, nếu không thì sẽ sinh ra lỗi

Chú ý rằng vòng lặp while- do- od; không bắt buộc phải nằm trên nhi lệnh nhưng người ta thường viết trên nhiều dòng để câu lệnh dễ đọc và

Vòng lặp for

à od, mỗi lần lặp tương ứng với một giá trị phân biệt của biến chỉ số name đứng sau từ khoá for Ban đầu, giá trị start được gán cho biến chỉ số Nếu giá trị của biến name nhỏ hơn hay bằng giá trị finish thì chuỗi lệnh nằm giữa do và od được thực hiện, sau đó biến name được gán giá trị tiếp theo bằng cách cộng thêm vào nó giá trị change (name:=name+change) Sau đó, biến name được so sánh với finish để quyết định xem việc thực hiện chuỗi lệnh có được tiếp tục nữa không Quá trình so sánh biến chỉ số name và thực hiện chuỗi lệnh được lặp liên tiếp cho đến khi giá trị của biến name lớn hơn giá trị finish Giá trị cuối cùng của biến name sẽ là giá trị vượt quá finish đầu tiên Chú ý, nếu các từ khóa from start hoặc by change bị bỏ qua thì mặc định from 1 và by 1 được dùng

Vòng lặp for- in- do- od thự

ấy từ biểu thức expression đã cho Chẳng hạn vòng lặp này được

sử dụng hiệu quả khi mà giá trị của biến name là một phần tử của một tập hợp hoặc danh sách

Câu điều kiện If

Cấu trúc cú pháp:

if cond

statement sequenc | elif condition then | else statement sequence |

Ch

Nếu muốn một dãy biểu thức được thực hiện khi điều kiện nào đó được thoả m

rằng cấu trúc lệnh (tuỳ chọn) elif then được lặp lại với số lần tuỳ ý T

dụng trong câu lệnh if phải được t

áp: break

ng lặp while/for đang được thực hiện, nếu lệnh break được gọi thì ch

ì sẽ sinh ra lỗi Chú ý: break không ph

ãn và một dãy biểu thức khác được thực hiện nếu trái lại thì có thể dùng câu lệnh if- then- else- fi Trong câu lệnh trên, nếu điều kiện condition

là đúng thì chuỗi biểu thức đứng sau then được thực hiện, nếu trái lại thì điều kiện condition sau từ khoá elif sẽ được kiểm tra, nếu nó đúng thì chuỗi lệnh tương ứng sau then được thực hiện, cứ tiếp tục cho đến khi các điều kiện condition đều không thỏa mãn, thì các biểu thức sau lệnh else được thực hiện

Lưu ý

ừ khoá elif là dạng viết tắt của else if

Các biểu thức điều kiện condition được sử

ạo thành từ các bất đẳng thức, các đẳng thức (các phép toán quan hệ), các biến số, các phép toán logic, các hàm có giá trị trả lại là giá trị logic Nếu trái lại thì sẽ gây ra lỗi

Nếu lệnh break dùng ngoài các vòng lặp while/for th

ải là từ khoá (từ dành riêng cho Maple), vì vậy ta có thể gán giá trị cho biến có tên là break mà không hề sinh ra lỗi (mặc dù điều này

là không nên)

thức khác

sách thế; expr là bi

ểu thức sum( <Lệnh tính tổng>,<biến chỉ

Lệnh next sinh ra lỗi nếu nó được gọi ngoài vòng lặp while/for

ư break, next cũng không phải là từ khóa, do đó ta hoàn toàn có thể gán cho next một giá trị (xem như next là một biến) Ngay trước lệnh next cũng thường là một câu lệnh điều kiện if then

Sử dụng các hàm DIFF,SUBS,SUM,CO

Hàm DIFF diff(<Biểu thức>,<Biến lấy đạo hà

của <biểu thức > theo biến <Biến lấy đạo hàm>

Hàm SUBS Thế một biểu thức con vào một biểu

subs(s1, s2, ,sn, expr); - s1, là phương trình, tập, danh

ểu thức được thế bất kỳ

Hàm Sum Tính tổng theo bi

ậndưới Cận trên> )

Sum : Tạo ra công thức

sum(f, k); sum(f, k=m n); sum

Sum(f, k); Sum(f, k=m n); Sum(f, k=alpha);

- f là một biểu thức, k là một biến hoặc chỉ s

Hàm Collect Khai triển đa thức theo số mũ, collect(a,x); collect(a, x, form, func); - a là một biểu thức, x là biến độc lập, danh

M ĐA THỨC NỘI SUY BẰNG PHƯƠNG

ANGE VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON

khôn chúng.Thông thường bằng đo đạc thực nghi

được thế nào là bài toán tìm đa thức nội suy bằng phương pháp

đa thức nội suy

e

ội suy thì quá trình ại từ đầu.Newton đưa ra cách lập khác thuận lợi hơn

sách hoặc một tập hợp, form một tên tùy chọn, func một thủ tục tùy chọn

CHƯƠNG II:

TÌ

PHÁP LAGR

I Giới thiệu chủ đề bài toán

1 Mô tả bài toán : Trong thực tế, thường gặp những hàm số y = f(x) mà

g biết biểu thức cụ thể của

ệm ta chỉ thu được ở dạng một bảng số nghĩa là biết giá trị yi tại điểm xi tương ứng (i=0 n) Cũng có trường hợp biết quy luật biến đổi y=f(x) nhưng f(x) có trong dạng phức tạp,thì giá trị y*=f(x*) cũng khó mà tính được.Vì vậy người ta tìm cahs thay ham f(x) bởi hàm F(x) đơn giản hơn để khi tính tại điểm x* thì sự sai lệch giữa f(x*) và F(x*) không đáng kể.Việc thay f(x) bởi F(x) được gọi là xấp xỉ hàm.Thường F(x) được chọn là đa thức và gọi là

đa thức nội suy

2 Yêu cầu và mục đích của bài toán

3 Giới hạn việc thực hiện bài toán

Đối với phương pháp Lagrange khi thêm vào một mốc n

tính toán phải bỏ đi tất cả và làm l

II.Xây dựng đa thức nội suy băng phương pháp Lagrange

Giả sử biết giá trị = f( ) i = ;

< < < <

trong đó a ≡ ≡ b

Hãy tìm đa thức nội suy th a mãn ỏ yi = n(xi) i=0 n P

Lagrange tiến hành như sau:

P (x)= L (x)y =y i=on ∑

để thuận lợi trong tính toán ta viết lại biểu thức (*) như sau:

Ví dụ cụ thể:

VD1: Tìm đa thức nội suy theo bảng số sau

-18(x-4) 360(x-7)

36 ) 7 1

(x− 1)−

1 36

24(x-2) 24(x+)

***Chương trình minh họa***

VD1:>

VD2:

II.Xây dựng đa thức nội suy băng phương pháp Newton

Giả sử biết giá trị = f( ) i = ;

trong đó a ≡ < < < < ≡ b

Hãy tìm đa thức nội suy thỏa mãn yi = Pn(xi) i=0 n

Newton tiến hành như sau:

Thỏa mãn yi = Pn( ) x ii = 0, n thì Pn(x) là đa thức nội suy

Ví dụ cụ thể:

X 11 13 14 18 19 21

Y=f(x) 2342 2210 2758 5850 6878 9282

Lập đa thức nội suy Giải Lập bảng tỷ hiệu x Y=f(x) f[.,.] f[.,.] f[.,.] f[.,.] f[.,.] 11 1342

13

14 18

9 21

2210

2758

5850

6878

9282

434

38

548 1

45 0

51 0

1028 1

58

1202 773 1 0

1

Giả sử xuất phát với =11 ta co đa thức nội suy là: Chương trình minh họa*** 0 x ( ) n P x =-3432+434t+38(t-11)(t-13)+(t-11)(t-13)(t-14) ( ) n P x =t +t 3 ***

>

10

27

50

68

82

2.68 4.773

17 -3.86 -2.25 0.58 5.75 0.783 -0.0317 2.45 -0.0543

18 -0.194 -0.846

7

Giả sử xuất phát với x0 =1 ta co đa thức nội suy là:

***Chươn minh họa***

>

CHƯƠNG III: KẾT LUẬN

I Kết quả đã đạt được của đề tài

Sau một khoảng thời gian nghiên cứu, học hỏi các thông tin trên mạng Internet cũng như các tài liệu đã được thầy PTS Nguyễn Hữu Điển cung cấp, em đã hoàn thành để tài này

Chương trình của em cũng đã phần nào đáp ứng được cho công việc tính toán bao gồm các tính toán thuần túy bằng ký hiệu toán học hay các tính toán số Giúp ích cho việc giảng dạy toán, học toán cũng như việc ứng dụng toán trong các ngành kỹ thuật, kinh tế

Bên cạnh đó môn học Giải tích số cũng cung cấp cho sinh viên kiến thức căn bản nhất về một số phương pháp giải gần đúng trên dữ liệu số

Nghiên cứu cách cài đặt các thu

Tìm hiểu các lĩnh vực ứng dụng của các phương pháp trong thực tế Tạo cơ ở để học tốt và nghiên cứu các ngành khoa học kỹ thuật nói chung và Công nghệ thông tin nói riêng

Góp phần xây dựng thế giới quan khoa học và tác phong khoa học cần thiết cho người kỹ sư tương lai

II Tài liệu tham khảo

ật toán trên máy tính

2002

4 Một số tài liệu lấy trên Internet:

http://www.thuvienkhoahoc.com

http://www.wapedia.mobi

III Kết luận

Trên đây là toàn bộ bài tập lớn của em trong quá trình xây dựng

chương trình “ tìm đa thức nội suy bằng phương pháp Lagrang và

t mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy để nâng cao kiến thức, học hỏi kinh nghiệm, trau dồi các kĩ năng của mình Một lầ ành cảm ơn thầy PTS Nguyễn Hữu Điển

ã giúp đỡ em nhờ những bài giải trên lớp cũng như tài liệu do thầy cung cấp trên website riêng của thầy

iểu nghiên cứu những đặc tính cơ bản, các chức năn

aple V

Trong quá trình thực hiện đề tài

kinh nghiệm có hạn nên chương trình của em không thể tránh khỏi những hạn chế và sai sót.Em rấ

n nữa em xin chân thđ