Tìm đa thức nội suy bằng phương pháp lagrang và phương pháp newton

Tìm đa thức nội suy bằng phương pháp lagrang và phương pháp newton

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI KHOA TOÁN TIN ỨNG DỤNG - - TIỂU LUẬN Đề tài: Tìm đa thức nội suy phương pháp Lagrang phương pháp Newton Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển Sinh viên thực : Nguyễn Tiến Trung Lớp: Toán 2-k51 Hà Nội, tháng 11 năm 2009 MỤC LỤC Chương I Lý thuyết sở……………………………………… I Giới thiệu tổng quan Maple……………………………… Các tính Maple……………………………… Một số gói thủ tục……………………………………………… II Một số lệnh sử dụng chương trình…………………… Vòng lặp while………………………………………………… Vòng lặp for…………………………………………………… Câu điều kiện If……………………………………………… Lệnh Break …………………………………………………… Lệnh Next……………………………………………………… Sử dụng hàm DIFF,SUBS,COLLECT,SUM,STRUCT…… Chương II Tìm đa thức nội suy phương pháp Lagrange I Giới thiệu chủ đề toán ……………………………………… Mô tả toán………………………………………………… Yêu cầu mục đích toán……………………………… Giới hạn việc thực toán……………………………… II Xây dựng đa thức nội suy công thức Lagrange………… Công thức Lagrange…………………………………………… 2.Ví dụ cụ thể III Chương trình minh họa……………………………………… Chương IV Tìm đa thức nội suy công thức Newton… I Giới thiệu chủ đề toán …………………………………… Mô tả toán………………………………………………… Yêu cầu mục đích toán…………………………… Giới hạn việc thực toán……………………………… II Xây dựng đa thức nội suy công thức Newton………… Công thức Newton…………………………………………… 2.Ví dụ cụ thể III Chương trình minh họa *********************************** CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT CƠ SỞ Giới thiệu tổng quan Maple: Maple hệ thống tính toán biểu thức đại số minh họa toán học mạnh mẽ Từ đời đến Maple phát triển qua nhiều phiên bản, Maple có cách cài đặt đơn giản, chạy nhiều hệ điều hành, có cấu trúc linh hoạt để sử dụng cách tối ưu cấu hình máy có trình trợ giúp dễ sử dụng Trải qua nhiều phiên bản, Maple cung cấp ngày nhiều công cụ trực quan, gói lệnh giúp tính toán toán học phổ thông đại học Ưu điểm làm cho nhiều người lựa chọn sử dụng Maple với phần mềm toán học khác áp dụng dạy toán công việc tính toán đòi hỏi thực tiễn phát triển giáo dục Ngôn ngữ lập trình Maple ngôn ngữ kiểu động Cũng giống hệ thống đại số máy tính, biểu thức hình thức đuợc lưu trữ nhớ theo đồ thị không chu trình có huớng (DAG) Ngôn ngữ cho phép biến có phạm vi định (lexical scoping) Ngôn ngữ có hình thức lập trình hàm, có hỗ trợ đầy đủ cho lập trình truyền thống, theo kiểu mệnh lệnh Các tính Maple Người dùng nhập biểu thức toán học theo ký hiệu toán học truyền thống Có thể dễ dàng tạo giao diện người dùng tùy chọn Maple hỗ trợ cho tính toán số tính toán hình thức, hiển thị Nhiều phép tính số học thực dựa thư viện số học NAG; Maple, chương trình NAG mở rộng phép độ xác ngẫu nhiên lớn Cho phép triết xuất định dạng khác LaTex, Word, HTML,… Maple có ngôn ngữ lập trình cấp cao đầy đủ Cũng có giao diện cho ngôn ngữ khác (C, Fortran, Java, MatLab, Visual Basic) Cũng có giao diện dành cho Excel Đáp ứng nhu cầu tính toán nhiều đối tuợng: nguời dùng nhập biểu thức toán học theo ký hiệu toán học truyền thống thực đuợc hầu hết phép toán chương trình đại học sau đại học Là công cụ biên soạn giáo án giảng điện tử, thích hợp với lớp học tương tác trực tiếp; trợ giáo hữu ích cho học sinh sinh viên việc tự học Một số gói thủ tục Maple chứa lượng lớn hàm tạo sẵn đáp ứng cho yêu cầu tính toán khác nhiều lĩnh vực Các hàm lưu trữ gói chu trình (package) người sử dụng dễ dàng gọi đến cần thiết Tuy nhiên, người dùng Maple tự tạo cho riêng gói chu trình trao đổi dùng chung gói chu trình đấy, phục vụ cho công việc mang tính đặc thù riêng Ở báo cáo này, chúng em xin trình bày gói chu trình có chương trình Một số lệnh sử dụng chương trình Vòng lặp while Cấu trúc cú pháp: While od; Chức năng: Vòng lặp while cho phép lặp chuỗi câu lệnh od mà điều kiện condition (tức biểu thức điều kiện cho giá trị true) Điều kiện condition kiểm tra đầu vòng lặp, thỏa mãn (giá trị đúng) câu lệnh bên thực hiện, sau lại tiếp tục kiểm tra điều kiện condition điều kiện không thỏa mãn Vòng lặp while thường sử dụng số lần lặp hay chuỗi biểu thức không xác định rõ, đồng thời ta muốn biểu thức cần lặp điều kiện thỏa mãn Điều kiện condition vòng lặp phải biểu thức boolean, tức giá trị sai, không sinh lỗi Chú ý vòng lặp while- do- od; không bắt buộc phải nằm nhiều dòng lệnh người ta thường viết nhiều dòng để câu lệnh dễ đọc dễ hiểu Vòng lặp While cho phép lặp chuỗi câu lệnh nằm od mà điều kiện Vòng lặp for Cấu trúc cú pháp: for name from start by change to finish statement sequence od; Hoặc dạng phát biểu khác: for expression name statement sequence od; in Chức năng: Vòng lặp for dùng để lặp chuỗi biểu thức đặt od, lần lặp tương ứng với giá trị phân biệt biến số name đứng sau từ khoá for Ban đầu, giá trị start gán cho biến số Nếu giá trị biến name nhỏ hay giá trị finish chuỗi lệnh nằm od thực hiện, sau biến name gán giá trị cách cộng thêm vào giá trị change (name:=name+change) Sau đó, biến name so sánh với finish để định xem việc thực chuỗi lệnh có tiếp tục không Quá trình so sánh biến số name thực chuỗi lệnh lặp liên tiếp giá trị biến name lớn giá trị finish Giá trị cuối biến name giá trị vượt finish Chú ý, từ khóa from start by change bị bỏ qua mặc định from by dùng Vòng lặp for- in- do- od thực việc lặp với giá trị mà biến số name lấy từ biểu thức expression cho Chẳng hạn vòng lặp sử dụng hiệu mà giá trị biến name phần tử tập hợp danh sách Câu điều kiện If Cấu trúc cú pháp: if condition then statement sequence | elif condition then statement sequence | | else statement sequence | fi; Ghi chú: Các câu lệnh cặp dấu ngoặc đứng lệnh tuỳ chọn Thí dụ: biểu thức | statement | cho biết statement câu lệnh tuỳ chọn Chức năng: Nếu muốn dãy biểu thức thực điều kiện thoả mãn dãy biểu thức khác thực trái lại dùng câu lệnh if- then- else- fi Trong câu lệnh trên, điều kiện condition chuỗi biểu thức đứng sau then thực hiện, trái lại điều kiện condition sau từ khoá elif kiểm tra, chuỗi lệnh tương ứng sau then thực hiện, tiếp tục điều kiện condition không thỏa mãn, biểu thức sau lệnh else thực Lưu ý cấu trúc lệnh (tuỳ chọn) elif then lặp lại với số lần tuỳ ý Từ khoá elif dạng viết tắt else if Các biểu thức điều kiện condition sử dụng câu lệnh if phải tạo thành từ bất đẳng thức, đẳng thức (các phép toán quan hệ), biến số, phép toán logic, hàm có giá trị trả lại giá trị logic Nếu trái lại gây lỗi Lệnh Break Cấu trúc cú pháp: break Chức năng: Trong lúc vòng lặp while/for thực hiện, lệnh break gọi chương trình thoát khỏi vòng lặp while/for tận mà có chứa lệnh break (vì có nhiều vòng lặp while/for lồng nhau) Một ví dụ điển hình việc sử dụng lệnh break trình tìm kiếm search, rõ ràng muốn dừng trình quét lại tìm thấy đối tượng cần tìm Khi đó, thời điểm tìm thấy, dùng lệnh break để nhảy khỏi vòng lặp tìm kiếm Trước lệnh break thường có câu lệnh điều kiện if then Nếu lệnh break dùng vòng lặp while/for sinh lỗi Chú ý: break từ khoá (từ dành riêng cho Maple), ta gán giá trị cho biến có tên break mà không sinh lỗi (mặc dù điều không nên) Lệnh Next Cấu trúc cú pháp: next Chức năng: Cũng giống câu lệnh break, lệnh next thực vòng lặp while/for với mục đích bỏ qua số lệnh bên vòng lặp để nhảy qua lần lặp Khi gặp lệnh next vòng lặp, chương trình bỏ qua lệnh vòng lặp tận chứa next gặp từ khoá xác định kết thúc vòng lặp (ở lệnh od) Đến vòng lặp tiếp tục nhảy qua lần lặp (nếu có thể) cách tăng số kiểm tra điều kiện để định xem có nên thực vòng lặp Lệnh next sinh lỗi gọi vòng lặp while/for Tương tự break, next từ khóa, ta hoàn toàn gán cho next giá trị (xem next biến) Ngay trước lệnh next thường câu lệnh điều kiện if then Sử dụng hàm DIFF,SUBS,SUM,COLLECT Hàm DIFF diff(,) diff tính đạo hàm theo biến Hàm SUBS Thế biểu thức vào biểu thức khác subs(s1, s2, ,sn, expr); - s1, phương trình, tập, danh sách thế; expr biểu thức Hàm Sum Tính tổng theo biểu thức sum( , ) Sum : Tạo công thức tổng, sum(f, k); sum(f, k=m n); sum(f, k=alpha); Sum(f, k); Sum(f, k=m n); Sum(f, k=alpha); - f biểu thức, k biến số tính tổng, n, m số nguyên biểu thức; alpha biểu thức RootOf Hàm Collect Khai triển đa thức theo số mũ, collect(a,x); collect(a, x, form, func); - a biểu thức, x biến độc lập, danh sách tập hợp, form tên tùy chọn, func thủ tục tùy chọn CHƯƠNG II: TÌM ĐA THỨC NỘI SUY BẰNG PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON I Giới thiệu chủ đề toán Mô tả toán : Trong thực tế, thường gặp hàm số y = f(x) mà biểu thức cụ thể chúng.Thông thường đo đạc thực nghiệm ta thu dạng bảng số nghĩa biết giá trị yi điểm xi tương ứng (i=0 n) Cũng có trường hợp biết quy luật biến đổi y=f(x) f(x) có dạng phức tạp,thì giá trị y*=f(x*) khó mà tính được.Vì người ta tìm cahs thay ham f(x) hàm F(x) đơn giản để tính điểm x* sai lệch f(x*) F(x*) không đáng kể.Việc thay f(x) F(x) gọi xấp xỉ hàm.Thường F(x) chọn đa thức gọi đa thức nội suy Yêu cầu mục đích toán Hiểu nắm toán tìm đa thức nội suy phương pháp Lagrange,phương pháp Newton Nắm phương pháp tìm đa thức nội suy phương pháp Lagrange,Newton, qua biết cách tìm đa thức nội suy Biết cách áp dụng phương pháp tính gần vào việc giải toán thực tế Cụ thể ta giải toán Maple Giới hạn việc thực toán Đối với phương pháp Lagrange thêm vào mốc nội suy trình tính toán phải bỏ tất làm lại từ đầu.Newton đưa cách lập khác thuận lợi 10 II.Xây dựng đa thức nội suy băng phương pháp Lagrange Giả sử biết giá trị = f( ) i = < a≡ ; < < < ≡ b Hãy tìm đa thức nội suy thỏa mãn yi = Pn(xi) i=0 n Lagrange tiến hành sau: Lập đa thức sở bậc n: L k ( x) = ( x − x0 )… ( x − xk −1 )( x − xk +1 )… ( x − xn ) , ≤ k ≤ n ( xk − x0 )… ( xk − xk −1 )( xk − xk +1 )… ( xk − xn ) Dễ dàng thấy đa thứ đa thức bậc n có tính chất Pn ( x ) = ( x − 1)( x − )( x − 3)( x − )( x − ) x − x + x − 5 x + n Từ chọn Pn (x)=∑ L j (x)y j (*) đa thức bậc n j=0 n từ suy ta có Pn (x)=∑Lj (x)yj =yi i=on j=0 để thuận lợi tính toán ta viết lại biểu thức (*) sau: Thì điểm xi Hay w'n+1 (xi )=(xi -x0 )(xi -x1) (xi -xn ) n suy ta có Pn (x)=wn+1(x)∑ i=0 n Pn (x) = wn+1(x)∑ i =0 đạo hàm w n+1 (x) yi (x − xi )w'n+1(xi ) yi DJ Ví dụ cụ thể: 11 DJ =(x−xi )w'n+1(xj ) VD1: Tìm đa thức nội suy theo bảng số sau i xi 17 17.5 76 210.5 1970 Giải : Lập bảng tính sau x -1 1-2 2-1 x−2 3-1 3-2 1-3 2-3 x−3 1-4 1-7 36(x-1) 2-4 2-7 -10(x-2) 3-4 3-7 8(x-3) 4-1 4-2 4-3 x−4 4-7 7-1 7-2 7-3 7-4 x−7 -18(x-4) 360(x-7) 17 ( x − 1) −1 36 −17.5 ( x − 2) −1 10 76 ( x − 3) −1 −210.5 ( x − 4) −1 18 1970 ( x − 7) −1 360 Vậy Pn (x) = (x −1)(x −2)(x −3)(x −4)(x −7)× ⎡ ⎤ 1 4 × ⎢− − + + + ⎥ ⎣ 6( x + 1) 6( x − 1) x 24( x − 2) 24( x + 2) ⎦ 60431 30211 1235287 2376167 93777137 3262043 t + t t + t t 1105 2227680 2227680 318240 2227680 37128 x − 17 x + 81 x − 153.5 x + 104.5 Pn = 12 VD2:Cho bảng tính sau: i xi -1 -2 1 4 Giải : Lập bảng tính sau x+1 -1-1 1+1 x −1 0+1 0-1 -1-0 1-0 x−0 -1-2 -1+2 -6(x+1) -6(x-2) − ( x − 1) −1 − ( x − 1) −1 1-2 1+2 0-2 0+2 4x 24(x-2) ( x − 2) −1 24 2+1 2-1 2-0 x−2 2+2 -2+1 -2-1 -2-0 -2-2 x+2 Vậy Pn ( x) = ( x + 1)( x − 1)( x − 0)( x − 2)( x + 2) × ⎡ ⎤ 1 4 × ⎢− − + + + ⎥ ⎣ 6( x + 1) 6( x − 1) x 24( x − 2) 24( x + 2) ⎦ Pn ( x) = x 13 24(x+) ( x + 2) −1 24 ***Chương trình minh họa*** VD1:> 14 15 VD2: 16 II.Xây dựng đa thức nội suy băng phương pháp Newton Giả sử biết giá trị = f( ) i = < a≡ < < ; < ≡ b Hãy tìm đa thức nội suy thỏa mãn yi = Pn(xi) i=0 n Newton tiến hành sau: f [ x , x0 ] = f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 => f ( x ) = f ( x ) + ( x − x ) f [x,x ] 17 Ta lại có f [ x , x , x1 ] = f [ x , x ] − f [ x ,x ] x − x1 = > f [ x , x ] = f [ x ,x ] + ( x − x ) f [x ,x ,x ] Thay vào ta f(x) = f(x )+(x-x )f[x ,x1 ]+(x-x )( x − x1 ) f [x,x ,x1 ] Lặp lại trình với tỷ hiệu cấp 3,4….cuối ta : f(x) = f(x )+(x-x )f[x ,x ]+(x-x )( x − x1 ) f [x ,x ,x ]+ +(x-x )( x − x1 ) ( x − x n −1 ) f [ x ,x , ,x n ] +(x-x )( x − x1 ) ( x − x n −1 )( x − x n ) f [ x , x ,x , ,x n ] Từ đẳng thức ta đặt Pn ( x ) = f(x )+(x-x )f[x ,x ]+(x-x )( x − x1 ) f [x ,x ,x ]+ +(x-x )( x − x1 ) ( x − xn −1 ) f [ x0 ,x , ,x n ] n R n ( x ) = ∏ ( x − xk ) f [ x0 ,x1 , ,x n ] k f(x)=Pn ( x ) + R n ( x ) Ta thấy đa thức Pn(x) la đa thức bậc n sinh từ bảng = f( ) i = Thỏa mãn y i = Pn ( x i ) i = 0, n Pn(x) đa thức nội suy Ví dụ cụ thể: 18 ; X Y=f(x) 11 13 14 18 19 21 2342 2210 2758 5850 6878 9282 Lập đa thức nội suy Giải Lập bảng tỷ hiệu x Y=f(x) 11 1342 f[.,.] f[.,.] f[.,.] f[.,.] f[.,.] 434 13 38 2210 548 14 45 2758 773 18 51 5850 1028 19 58 6878 9282 Giả sử xuất phát với x =11 ta co đa thức nội suy là: Pn ( x ) = -3432+434t+38(t-11)(t-13)+(t-11)(t-13)(t-14) Pn ( x ) = t +t ***Chương trình minh họa*** 19 0 1202 21 > 20 VD2:Cho bảng số X Y=f(x) 10 27 50 68 21 82 Tìm đa thức nội suy x Y=f(x) f[.,.] f[.,.] f[.,.] f[.,.] f[.,.] 2.68 4.773 10 17 -3.86 -2.25 27 5.75 0.783 2.45 50 18 -0.846 68 82 Giả sử xuất phát với x =1 ta co đa thức nội suy là: 21 -0.0317 -0.0543 -0.194 21 0.58 13 79 (t-1 )(t-3)(t-1 )(t-3)(t-4 )+ 84 181 30 1 (t-1 )(t-3)(t-4 )(t-8)-30 21 (t-1)(t-3 )(t-4)(t-8 )(t-9) 840 22 Pn = -2+ t+ Pn = 60431 30211 1235287 2376167 93777137 3262043 t+ tt+ tt 1105 2227680 2227680 318240 2227680 37128 ***Chương trình minh họa*** > 22 23 CHƯƠNG III: KẾT LUẬN I Kết đạt đề tài Sau khoảng thời gian nghiên cứu, học hỏi thông tin mạng Internet tài liệu thầy PTS Nguyễn Hữu Điển cung cấp, em hoàn thành để tài Chương trình em phần đáp ứng cho công việc tính toán bao gồm tính toán túy ký hiệu toán học hay tính toán số Giúp ích cho việc giảng dạy toán, học toán việc ứng dụng toán ngành kỹ thuật, kinh tế Bên cạnh môn học Giải tích số cung cấp cho sinh viên kiến thức số phương pháp giải gần liệu số Nghiên cứu cách cài đặt thuật toán máy tính Tìm hiểu lĩnh vực ứng dụng phương pháp thực tế Tạo sở để học tốt nghiên cứu ngành khoa học kỹ thuật nói chung Công nghệ thông tin nói riêng Góp phần xây dựng giới quan khoa học tác phong khoa học cần thiết cho người kỹ sư tương lai II STT Tài liệu tham khảo Tên sách Tên tác giả Nhà xuất Năm XB tâm 1999 Hướng dẫn sử Nguyễn Hữu Điển Trung dụng Maple V KHTN công nghệ QG Giáo trình Giải tích Lê Trọng Vinh số NXB Khoa học 2000 kỹ thuật Bài giảng pháp số Học viện Công 2002 nghệ BCVT Phương Phan Đăng Cầu Phan Thị Hà Một số tài liệu lấy Internet: 24 http://www.google.com http://www.thuvienkhoahoc.com http://www.wapedia.mobi III Kết luận Trên toàn tập lớn em trình xây dựng chương trình “ tìm đa thức nội suy phương pháp Lagrang phương pháp Newton “ Em hoàn thành chương trình lập trình tính toán tìm hiểu nghiên cứu đặc tính bản, chức tính toán Maple V Trong trình thực đề tài hạn chế mặt kiến thức kinh nghiệm có hạn nên chương trình em tránh khỏi hạn chế sai sót.Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy để nâng cao kiến thức, học hỏi kinh nghiệm, trau dồi kĩ Một lần em xin chân thành cảm ơn thầy PTS Nguyễn Hữu Điển giúp đỡ em nhờ giải lớp tài liệu thầy cung cấp website riêng thầy 25 [...]...II.Xây dựng đa thức nội suy băng phương pháp Lagrange Giả sử biết giá trị = f( ) i = trong đó < a≡ ; < < < ≡ b Hãy tìm đa thức nội suy thỏa mãn yi = Pn(xi) i=0 n Lagrange tiến hành như sau: Lập đa thức cơ sở bậc n: L k ( x) = ( x − x0 )… ( x − xk −1 )( x − xk +1 )… ( x − xn ) , 0 ≤ k ≤ n ( xk − x0 )… ( xk − xk −1 )( xk − xk +1 )… ( xk − xn ) Dễ dàng thấy rằng đa thứ trên là đa thức bậc n có tính... học 2000 và kỹ thuật 3 Bài giảng pháp số Học viện Công 2002 nghệ BCVT 4 Phương Phan Đăng Cầu Phan Thị Hà Một số tài liệu lấy trên Internet: 24 http://www.google.com http://www.thuvienkhoahoc.com http://www.wapedia.mobi III Kết luận Trên đây là toàn bộ bài tập lớn của em trong quá trình xây dựng chương trình “ tìm đa thức nội suy bằng phương pháp Lagrang và phương pháp Newton “ Em đã hoàn thành được chương... 0 )( x − x1 ) ( x − xn −1 ) f [ x0 ,x 1 , ,x n ] và n R n ( x ) = ∏ ( x − xk ) f [ x0 ,x1 , ,x n ] k thì f(x)=Pn ( x ) + R n ( x ) Ta thấy đa thức Pn(x) la đa thức bậc n sinh ra từ bảng = f( ) i = Thỏa mãn y i = Pn ( x i ) i = 0, n thì Pn(x) là đa thức nội suy Ví dụ cụ thể: 18 ; X Y=f(x) 11 13 14 18 19 21 2342 2210 2758 5850 6878 9282 Lập đa thức nội suy Giải Lập bảng tỷ hiệu x Y=f(x) 11 1342 f[.,.]... ta co đa thức nội suy là: Pn ( x ) = -3432+434t+38(t-11)(t-13)+(t-11)(t-13)(t-14) Pn ( x ) = t 3 +t ***Chương trình minh họa*** 19 0 0 1 1202 21 0 > 20 VD2:Cho bảng số X Y=f(x) 1 2 3 4 8 9 10 27 50 68 21 82 Tìm đa thức nội suy x 1 Y=f(x) f[.,.] f[.,.] f[.,.] f[.,.] f[.,.] 2 2.68 3 4.773 10 17 4 -3.86 -2.25 27 5.75 8 0.783 2.45 50 18 9 -0.846 68 82 Giả sử xuất phát với x 0 =1 ta co đa thức nội suy là:... x 24( x − 2) 24( x + 2) ⎦ Pn ( x) = x 2 13 24(x+) 4 ( x + 2) −1 24 ***Chương trình minh họa*** VD1:> 14 15 VD2: 16 II.Xây dựng đa thức nội suy băng phương pháp Newton Giả sử biết giá trị = f( ) i = trong đó < a≡ < < ; < ≡ b Hãy tìm đa thức nội suy thỏa mãn yi = Pn(xi) i=0 n Newton tiến hành như sau: f [ x , x0 ] = f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 => f ( x ) = f ( x 0 ) + ( x − x 0 ) f [x,x 0 ] 17 Ta lại có... j (*) đây là đa thức bậc n j=0 n từ đó suy ra ta có Pn (x)=∑Lj (x)yj =yi i=on j=0 để thuận lợi trong tính toán ta viết lại biểu thức (*) như sau: Thì điểm xi Hay w'n+1 (xi )=(xi -x0 )(xi -x1) (xi -xn ) n suy ra ta có Pn (x)=wn+1(x)∑ i=0 n Pn (x) = wn+1(x)∑ i =0 là đạo hàm của w n+1 (x) tại yi (x − xi )w'n+1(xi ) trong đó yi DJ Ví dụ cụ thể: 11 DJ =(x−xi )w'n+1(xj ) VD1: Tìm đa thức nội suy theo bảng... thuần túy bằng ký hiệu toán học hay các tính toán số Giúp ích cho việc giảng dạy toán, học toán cũng như việc ứng dụng toán trong các ngành kỹ thuật, kinh tế Bên cạnh đó môn học Giải tích số cũng cung cấp cho sinh viên kiến thức căn bản nhất về một số phương pháp giải gần đúng trên dữ liệu số Nghiên cứu cách cài đặt các thuật toán trên máy tính Tìm hiểu các lĩnh vực ứng dụng của các phương pháp trong... tốt và nghiên cứu các ngành khoa học kỹ thuật nói chung và Công nghệ thông tin nói riêng Góp phần xây dựng thế giới quan khoa học và tác phong khoa học cần thiết cho người kỹ sư tương lai II STT Tài liệu tham khảo Tên sách Tên tác giả Nhà xuất bản Năm XB 1 tâm 1999 Hướng dẫn và sử Nguyễn Hữu Điển Trung dụng Maple V KHTN và công nghệ QG 2 Giáo trình Giải tích Lê Trọng Vinh số NXB Khoa học 2000 và kỹ... chương trình lập trình tính toán căn bản cũng như tìm hiểu nghiên cứu những đặc tính cơ bản, các chức năng tính toán chính của Maple V Trong quá trình thực hiện đề tài do hạn chế về mặt kiến thức cũng như kinh nghiệm có hạn nên chương trình của em không thể tránh khỏi những hạn chế và sai sót.Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy để nâng cao kiến thức, học hỏi kinh nghiệm, trau dồi các kĩ năng... f [x ,x 0 ,x 1 ] Thay vào ta được f(x) = f(x 0 )+(x-x 0 )f[x 0 ,x1 ]+(x-x 0 )( x − x1 ) f [x,x 0 ,x1 ] Lặp lại quá trình trên với tỷ hiệu cấp 3,4….cuối cùng ta được : f(x) = f(x 0 )+(x-x 0 )f[x 0 ,x 1 ]+(x-x 0 )( x − x1 ) f [x 0 ,x 1 ,x 2 ]+ +(x-x 0 )( x − x1 ) ( x − x n −1 ) f [ x 0 ,x 1 , ,x n ] +(x-x 0 )( x − x1 ) ( x − x n −1 )( x − x n ) f [ x , x 0 ,x 1 , ,x n ] Từ đẳng thức trên ta đặt Pn (