Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết đã xây dựng đa thức nội suy Hertmite tổng quát trong miền phức, đồng thời đánh giá được sai số của công thức nội suy dựa vào tích phân hàm biến phức. Trường hợp đặc biệt, khi bội của các mốc nội suy bằng nhau, thiết lập được đa thức nội suy Jacobi.
ISSN 2354-0575 ISSN 2354-0575 ĐA THỨC NỘI SUY HERMITE TRONG MIỀN PHỨC Nguyễn Thị Loan - Trần Thị Hải Lý Bộ mơn Tốn – khoa Khoa Học Cơ Bản- Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Hưng Yên Ngày tòa soạn nhận báo: 22 - 10 - 2019 Ngày phản biện đánh giá sửa chữa: 28 - 11 - 2019 Ngày báo duyệt đăng: 15 - 12 - 2019 Tóm tắt: Bài báo xây dựng đa thức nội suy Hertmite tổng quát miền phức, đồng thời đánh giá sai số công thức nội suy dựa vào tích phân hàm biến phức Trường hợp đặc biệt, bội mốc nội suy nhau, thiết lập đa thức nội suy Jacobi Từ khóa: Nội suy phức, Hermite miền phức, nội suy Jacobi Đặt vấn đề Bài toán nội suy đa thức nói chung tốn nội suy cổ điển tổng quát Hermite nói riêng đóng vai trị quan trọng tính tốn, với ngành kỹ thuật Bởi thực tế, nhiều trường hợp biểu thức giải tích hàm y=f(x) biết việc tính trực tiếp giá trị điểm x miền gặp nhiều khó khăn, cần tính giá trị hàm nhiều điểm Trong trường hợp người ta dùng nội suy để giảm phức tạp tính tốn Người ta xây dựng đa thức P(x) trùng với hàm f(x) mốc nội suy điểm khác “tương đối gần” với f(x) Các tài liệu có thường xét tốn nội suy với mốc nội suy số thực phương pháp phổ biến đại số (xem [1,4]) Trong [2], tác giả xét toán nội suy Hermite tổng quát với mốc nội suy số thực đưa lý thuyết Thặng dư vào để xây dựng công thức nội suy thay cho việc dùng hệ phương trình tuyến tính quen thuộc, hướng mới, đưa giải tích phức vào giải tốn đại số Tuy nhiên, áp dụng thực tế tính tốn toán kỹ thuật, biết biểu thức hàm f việc tính trực tiếp hàm lại phức tạp miền xác định hàm phức cơng thức xây dựng bị hạn chế Đề khắc phục, xét mặt phẳng phức, với mốc nội suy số phức Lý thuyết hàm chỉnh hình ứng dụng thặng dư (xem [3]) công cụ sử dụng để đưa kết quan trọng báo Bài toán nội suy Hermite miền phức Giả sử hàm ( ) chỉnh hình miền G ( f (z) (G) ) Cho hệ điểm z1 , z2 , , zm thuộc miền G (gọi mốc nội suy) số tự nhiên tương ứng với mốc nội suy k1 , k , , k m (gọi bội mốc nội suy) thỏa mãn: k1 k km n (2.1) Hãy xây dựng đa thức P(z) với bậc thấp thỏa mãn điều kiện: P(zj)=f(zj), P’(zj)=f’(zj), … (2.2) k 1 k j 1 P j (z j ) f (z j ), j 1, m Việc xây dựng đa thức P(z) thỏa mãn điều kiện (2.2) gọi trình nội suy với mốc bội miền phức Các số kj,( j 1, m ) gọi bội mốc zj Để giải tốn này, chúng tơi phát biểu Định nghĩa Bổ đề quan trọng sau: Định nghĩa 2.1 Đa thức P(z) thỏa mãn điều kiện (2.2) gọi đa thức nội suy hàm f(z) tương ứng với mốc nội suy zj với bội kj, (j= 1, m ) Bổ đề 2.2 Đa thức nội suy P(z) có bậc bé n thỏa mãn điều kiện (2.2) (nếu tồn tại) 28 Khoa học & Công nghệ - Số 24/ Tháng 12 – 2019 Jornal of Science and technology |19 Khoa học & Công nghệ - Số 24/ Tháng 12 – 2019 Jornal of Science and technology ISSN 2354-0575 ISSN 2354-0575 Chứng minh Nếu P(z) đa thức nội suy số hạng dư R(z)=f(z)-P(z) hàm chỉnh hình G Từ đó, suy k 1 R(z j ) R'(z j ) R j (z j ) 0,j 1, m Do đó, R(z) có 0- điểm điểm zj với bội kj với j= 1, m Giả sử P(z) đa thức khác thỏa mãn điều kiện (2.2) Khi đó, hàm tương ứng P z f ( ) Q( ) Q(z) d , 2 i Q( ) z với đường cong đóng Jordan đo nằm miền G với phần chứa mốc nội suy z1 , z2 , hàm R(z) R(z) P(z) P(z) Thật vậy, Q(z) không điểm z1 , z2 , k1 , k , P(z)- P(z) chia hết cho đa thức bậc n z z1 z z2 Q(z)= k2 z zm n Q( ) Q(z) z A j 0 A A j j j , zj z An ( n 1 z n 1 ) An n 1 A2 An n 2 z đó, H n1 ( ), Hn2 ( ) z, đa thức km Do vậy, đa thức P(z) P(z) có bậc thấp n hiệu chúng phải đồng 0, tức tập hợp đa thức bậc thấp n tồn không đa thức thỏa mãn tốn nêu Vậy ta có điều phải chứng minh Từ bổ đề ta có nhận xét sau: Để tìm đa thức P(z) thỏa mãn điều kiện (2.2) ta có tất k1 k j An z n 1 , zm với bội không bé H n1 ( ) H n2 ( ) z H ( ) z n1 , , k m tương ứng Từ đó, suy hàm k1 n A z j 0 A1 A2 z Như vậy, hiệu P(z)- P(z) đa thức có m , zm Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh công thức (3.1) biểu diễn đa thức bậc không cao (n-1) R(z) f(z) P(z) có 0- điểm điểm zj với bội kj (j= 1, m ) Điều (3.1) m km kj j 1 điều kiện Vì số hệ số đa thức lớn bậc đơn vị nên ta cần tìm đa thức bậc m k j 1 toán gọi toán nội suy j 1 Hertmite miền phức Các công thức nội suy Đa thức nội suy Hermite miền phức biểu diễn định lý sau: Định lý 3.1 Đa thức nội suy P(z) tồn biểu diễn dạng tích phân , H0 ( ) z n1 với bậc trùng với số hiệu chúng Từ đó, ta viết P(z) trở thành P (z) 2 i f ( ) n 1 H n 1 j ( ) z j d Q( ) j 0 n 1 j 0 i f ( ) Q( ) H n 1 j ( ) z j d z j n 1 a jz j , j 0 ; (j= 0, n ), tức với a f ( ) H j n 1 j ( ) d 2 i Q( ) P(z) đa thức có bậc n-1 Tiếp theo, ta cần chứng minh P(z) thỏa mãn điều kiện toán nội suy Thật vậy, lập hiệu R(z)=f(z)-P(z) Nếu điểm z nằm miền giới hạn theo cơng thức tích phân Cauchy, ta có f (z) f ( ) d 2 i z Từ đó, suy Khoa học & Công nghệ - Số 24/ Tháng 12 – 2019 Jornal of Science and technology 29 20| Khoa học & Công nghệ - Số 24/ Tháng 12 – 2019 Jornal of Science and technology ISSN 2354-0575 ISSN 2354-0575 1 f ( ) f ( ) Q( ) Q(z) d d 2 i z 2 i Q( ) z R(z) Q(z) f ( ) d 2 i z Q( ) Trong miền G, cho m điểm khác z1 , z2 , Như vậy, số hạng dư R(z) có biểu diễn tích phân f ( ) d R(z) Q(z) 2 i z Q( ) (3.2) Ta xét tích phân f ( ) f ( ) d Q( ) d 2 i z Q( ) 2 i z (3.3) Vì hàm f ( ) khơng chỉnh hình điểm Q( ) z1 , z2 , , zm liên tục nên tích phân vế phải biểu thức (3.3) tích phân dạng Cauchy, xác định hàm chỉnh hình Q(z)= z z1 z z2 k gọi công thức Hermite Tiếp theo, ta xét trường hợp riêng công thức nội suy Hermite gọi đa thức nội suy Jacobi k2 z zm km với bội k k z z z z1 k kj z z j 1 k j 1 k 1 k 1 J mk (z j ) f (z j ), j 1, m 1 Đa thức Jacobi cần tìm biểu diễn qua hệ sau Hệ 3.2.Đa thức nội suy cần tìm có dạng k 1 j 1 k j 1 hàm chỉnh hình lân cận điểm zj Từ đó, suy R(z)= z z j kj (z), (3.5) hàm chỉnh hình (z) vế phải m-1 Qn(z) đa thức bậc f ( ) d 2 i q( ) z z z z z z , m 1 j 0 j z z n n 0 Qn (z) f ( ) Q( ) (3.4) k d z zm m 2 i z (3.7) J mk 1 (z) Qn (z) q(z) , , k k , m sau, k tăng vô hạn mốc nội suy giữ nguyên Bài toán đặt tìm đa thức Jmk-1(z) với bậc khơng lớn (mk-1) thỏa mãn điều kiện: Jmk-1 (zj)=f(zj), (3.6) J’mk-1(zj)=f’(zj), … nên từ (3.2), thu R(z) , zm , j n j 1 (3.8) với q(z)= z z1 z z2 z zm Chứng minh Thật vậy, đặt q(z)= z z1 z z2 z zm , mk (z) z z1 z z2 k k z zm k q(z) k Từ đó, theo cơng thức Hermite, ta có k k (3.4) Hệ thức (3.5) chứng tỏ z=zj 0-điểm f ( ) q( ) q(z) J (z) d 3.9) mk k R(z) với cấp kj Điều có 2 i q( ) z nghĩa R(zj)=0, R’(zj)=0,…, R( k 1) (z j ) =0, tức Bằng biến đổi đơn giản biểu thức điều kiện (2.2) thỏa mãn dấu tích phân ta Như vậy, đa thức (3.1) thỏa mãn điều kiện k k q( ) q(z) toán nội suy đặt Do đó, đa thức k z q( ) (3.1) nghiệm tốn nội suy j Cơng thức (3.1) biểu diễn đa thức nội suy P(z), q( ) q(z) q(z) công thức (3.2) biểu diễn số hạng dư z q( ) q( )2 𝑅𝑅( ) = ( ) − 𝑃𝑃( ) công thức nội suy ( ) = 𝑃𝑃( ) + 𝑅𝑅( ) k 1 n 0 q( ) n 1 q(z) k q( ) k 1 (3.10) q( ) q(z) n q(z) z 30 Khoa học & Công nghệ - Số 24/ Tháng 12 – 2019 Jornal of Science and technology |21 Khoa học & Công nghệ - Số 24/ Tháng 12 – 2019 Jornal of Science and technology ISSN 2354-0575 ISSN 2354-0575 Thế (2.12) vào (2.11), ta J mk 1 (z) k 1 2 i n 0 f ( ) q( ) n 1 (vì từ đầu ta địi hỏi đường cong q( ) q(z) n d q(z) z với phần thuộc miền chỉnh hình hàm f chứa điểm z1 , z2 , , zm ), |q(z)|= m (3.11) Bằng số biến đổi hàm phân thức ta dễ dàng có z z1 q( ) q(z) q( ) z z z1 z2 z z1 z zm1 z1 zm f ( ) d z z1 n z1 z j 1 j 2 i q ( ) z zj m 1 j 0 j (3.12) Hệ thức (3.12) chứng tỏ Qn(z) đa thức bậc bé (m-1) với hệ số tích phân dạng f ( ) d Aj= 2 i q( )n 1 z1 z j 1 Các tích phân tính nhờ định lý thặng dư Như vậy, từ (3.11) (3.12), thu công thức (3.7) gọi đa thức nội suy Jacobi Tiếp theo, ta nghiên cứu phần dư công thức nội suy Thật vậy, tương tự tốn nội suy Hermite tổng qt ta có số hạng dư thu công thức nội suy Jacobi có dạng f ( ) q(z) d 2 i z q( )k k Rmk (z) ' 0 lemniscates D = {phần ( ) } ( ) Vì z D ta có |q(z)| m , điểm ( ') ta có |q(z)|= q( ) ( ')m nên lấy A z z z z với số ' mà hợp đóng m 1 j giả sử số dương tùy ý bé Khi đó, ( ') thuộc phần ( 0 ) chứa tập f ( ) q( ) q(z) Qn (z) d 2 i q( )n 1 z nhiêu Giả sử 0 bán kính Lemniscate ( 0 ) mà ( 0 ) hàm f(z) chỉnh hình Từ đó, ta có đa thức Ta biết Lemniscate chứa tiêu điểm z1 , z2 , , zm số bao Để ước lượng |Rmk(z)| ta lấy (3.13) đường Lemniscate ( ) với tiêu điểm z1 , z2 , đường Lemniscate ( ') mk sup f (z) z ( ') Rmk (z) l ( '), 2 dist ( ); ( ') ' (3.14) với z D , l ( ') := độ dài ( ') Từ ước lượng (3.14) suy k Rmk(z) hội tụ đến D Kết luận Trong nội dung nghiên cứu tác giả xây dựng đa thức nội suy tổng quát Hermite, đánh giá sai số phép nội suy xét trường hợp đặc biệt bội mốc nội suy nhau, ta có đa thức nội suy Jacobi Các đa thức nội suy xây dựng miền phức, khắc phục hạn chế đa thức nôi suy xây dựng miền thực, điều mang ý nghĩa quan trọng tính tốn , zm Khoa học &Khoa Cônghọc nghệ - Số 24/ Tháng 2019 12 – 2019 Jornal of Science and 31 22| & Công nghệ - Số12 24/– Tháng Jornal of technology Science and technology ISSN 2354-0575 ISSN 2354-0575 Tài liệu tham khảo [1] N.V Mậu, Nội suy đa thức, NXB ĐHQGHN, 2016 [2] N.T.Loan, Nội suy Hermite cơng cụ giải tích phức, Tạp chí Khoa học công nghệ Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên 19 ( 2018), 52-55 [3] N.T.Thanh, Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2006 [4] A.O Gelfond, Isqislenie koneqnyh raznostedi , Moskva, Nauka, 1967 HERMITE INTERPOLATION POLYNOMIALS IN COMPLEX DOMAIN Abstract: This paper establishes general Hermite interpolation polynomial in complex domain At the same time, we evaluate the error of this interpolation polynomial based on complex integrals Especialylly, when the multiple of the interpolation points is equal, we give Jacobi interpolation polynomial Keywords: Complex interpolation, Hermite in complex domain, Jacobi interpolation 32 Khoa học & Công nghệ - Số 24/ Tháng 12 – 2019 Jornal of Science and technology |23 Khoa học & Công nghệ - Số 24/ Tháng 12 – 2019 Jornal of Science and technology ... Vì số hệ số đa thức lớn bậc đơn vị nên ta cần tìm đa thức bậc m k j 1 toán gọi toán nội suy j 1 Hertmite miền phức Các công thức nội suy Đa thức nội suy Hermite miền phức biểu diễn... thu công thức (3.7) gọi đa thức nội suy Jacobi Tiếp theo, ta nghiên cứu phần dư công thức nội suy Thật vậy, tương tự toán nội suy Hermite tổng quát ta có số hạng dư thu cơng thức nội suy Jacobi... trường hợp đặc biệt bội mốc nội suy nhau, ta có đa thức nội suy Jacobi Các đa thức nội suy xây dựng miền phức, khắc phục hạn chế đa thức nôi suy xây dựng miền thực, điều mang ý nghĩa quan trọng tính